沪科版数学七年级下8.3完全平方公式与平方差公式（第1课时） 课件 (共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 沪科版数学七年级下8.3完全平方公式与平方差公式（第1课时） 课件 (共29张PPT) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 433.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-03-31 20:13:41 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
沪科版数学七年级下
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？
导入新知
2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.
素养目标
3. 体验归纳添括号法则.
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
探究新知
知识点 1
完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
(3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= .
p2–2p+1
(4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= .
m2–4m+4
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
探究新知
问题1：
问题2：
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
探究新知
完全平方公式
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗
探究新知
设大正方形ABCD的面积为S.
S= =S1+S2+S3+S4= .
(a+b)2
a2+b2+2ab
S1
S2
S3
S4
探究新知
证明
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
探究新知
几何解释
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
差的完全平方公式：
探究新知
几何解释
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a–b)2= a2–2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(1) 说一说积的次数和项数.
(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？
(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？
探究新知
问题4：
公式特征：
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
探究新知
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x –y)2 =x2 –y2
(3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x –y)2 =x2 –2xy +y2
(–x +y)2 =x2 –2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
探究新知
想一想
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
素养考点 1
利用完全平方公式进行计算
探究新知
(2)
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
y2
=y2
–y
+
解： =
+
–2 y
利用完全平方公式计算：
(1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2；
(3)(–3a＋b)2.
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2；
(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
巩固练习
(1) 1022；
= (100 –1)2
=10000 –200+1
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．
素养考点 2
利用完全平方公式进行简便计算
探究新知
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99； (2)20162–2016×4030＋20152.
＝(2016–2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；
(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152
巩固练习
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.
求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20；
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20 –16＝4.
素养考点 3
利用完全平方公式的变形求整式的值
探究新知
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.
52
对应训练.
(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=________ .
18或–18
(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.
1
巩固练习
添括号法则
a+(b+c) = a+b+c;
a– (b+c) = a – b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号：
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
知识点 2
探究新知
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).
探究新知
添括号法则
例 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
解: (1)
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
素养考点 4
添括号法则的应用
探究新知
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)]
＝12–(2x–y)2
巩固练习
1. 将9.52变形正确的是( )
A．9.52=92+0.52 B．9.52=(10+0.5)(10–0.5)
C．9.52=102–2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
2. 若x2+2(m–3)x+16是关于x的完全平方式，则m= ．
C
–1或7
连接中考
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( )
A．(a–b)2 B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( )
A．a2–4a+4 B．a2–2a+4
C．a2–4 D．a2–4a–4
A
D
基础巩固题
课堂检测
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；(2) (4x–3y)2=_______________ ；
(3) (2m–1)2 =_______________；(4)(–2m–1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2–24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2–4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25
课堂检测
计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．
(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]
＝(3a)2–(b–2)2
＝9a2–b2＋4b–4.
＝(x–y)2–(m–n)2
＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.
能力提升题
课堂检测
1.若a+b=5，ab=–6， 求a2+b2，a2–ab+b2.
2.已知x+y=8，x–y=4，求xy.
解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；
a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.
解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;
由①–②得
4xy=48
∴xy=12.
拓广探索题
课堂检测
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;
4ab=(a+b)2–(a–b)2.
课堂小结
沪科版数学七年级下
8.3 完全平方公式与平方差公式
第1课时 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因实际需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种.(如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较.你有什么发现呢？
导入新知
2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.
素养目标
3. 体验归纳添括号法则.
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
a
a
b
b
直接求：总面积=(a+b)(a+b)
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
探究新知
知识点 1
完全平方公式
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1) (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
(2) (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
(3) (p–1)2=(p–1)(p–1)= .
p2–2p+1
(4) (m–2)2=(m–2)(m–2)= .
m2–4m+4
根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
探究新知
问题1：
问题2：
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
探究新知
完全平方公式
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗
探究新知
设大正方形ABCD的面积为S.
S= =S1+S2+S3+S4= .
(a+b)2
a2+b2+2ab
S1
S2
S3
S4
探究新知
证明
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
探究新知
几何解释
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
差的完全平方公式：
探究新知
几何解释
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a–b)2= a2–2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(1) 说一说积的次数和项数.
(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？
(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？
探究新知
问题4：
公式特征：
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
探究新知
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x –y)2 =x2 –y2
(3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x –y)2 =x2 –2xy +y2
(–x +y)2 =x2 –2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
探究新知
想一想
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
素养考点 1
利用完全平方公式进行计算
探究新知
(2)
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
y2
=y2
–y
+
解： =
+
–2 y
利用完全平方公式计算：
(1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2；
(3)(–3a＋b)2.
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2；
(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
巩固练习
(1) 1022；
= (100 –1)2
=10000 –200+1
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．
素养考点 2
利用完全平方公式进行简便计算
探究新知
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99； (2)20162–2016×4030＋20152.
＝(2016–2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；
(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152
巩固练习
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.
求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20；
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20 –16＝4.
素养考点 3
利用完全平方公式的变形求整式的值
探究新知
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.
52
对应训练.
(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=________ .
18或–18
(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.
1
巩固练习
添括号法则
a+(b+c) = a+b+c;
a– (b+c) = a – b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号：
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
知识点 2
探究新知
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).
探究新知
添括号法则
例 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
解: (1)
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
素养考点 4
添括号法则的应用
探究新知
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)]
＝12–(2x–y)2
巩固练习
1. 将9.52变形正确的是( )
A．9.52=92+0.52 B．9.52=(10+0.5)(10–0.5)
C．9.52=102–2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
2. 若x2+2(m–3)x+16是关于x的完全平方式，则m= ．
C
–1或7
连接中考
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( )
A．(a–b)2 B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2 D．–(a–b)2
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( )
A．a2–4a+4 B．a2–2a+4
C．a2–4 D．a2–4a–4
A
D
基础巩固题
课堂检测
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2=_______________；(2) (4x–3y)2=_______________ ；
(3) (2m–1)2 =_______________；(4)(–2m–1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2–24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2–4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25
课堂检测
计算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．
(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]
解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]
＝(3a)2–(b–2)2
＝9a2–b2＋4b–4.
＝(x–y)2–(m–n)2
＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.
能力提升题
课堂检测
1.若a+b=5，ab=–6， 求a2+b2，a2–ab+b2.
2.已知x+y=8，x–y=4，求xy.
解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；
a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.
解：∵x+y=8， ∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①;
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②;
由①–②得
4xy=48
∴xy=12.
拓广探索题
课堂检测
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;
4ab=(a+b)2–(a–b)2.
课堂小结