第五章 抛体运动 知识要点讲义

第五章 抛体运动
5.1．曲线运动
一、曲线运动
1.定义
物体运动轨迹是曲线的运动。
2.曲线运动的速度
(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，是沿曲线在这一点的切线方向。
(2)曲线运动的速度特点
曲线运动中质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向，就是曲线上这一点的切线方向。所以曲线运动的速度方向时刻在变化。
3.物体做曲线运动的条件
F合（a）与v不共线，包含三层意思： ①v0≠0；②F合≠0；③F合（a）方向与v方向不共线
4．曲线运动的性质及分类
(1)性质：由于速度方向时刻在发生变化，所以曲线运动一定是变速运动，加速度一定不为零，所受合外力一定不为零。
(2)分类：①匀变速曲线运动：加速度恒定；②非匀变速曲线运动：加速度变化。
5．曲线运动的轨迹与速度、合力的关系
做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切，并向合力方向弯曲，(如图所示)夹在速度方向与合力方向之间．
6．合外力与速率变化的关系
(1)内容：当合力F(加速度a)跟物体速度不共线时，此时可以把F(a)在沿速度的方向和垂直速度的方向进行分解，如图a、b所示。其中F1(a1)与速度共线，只能改变速度的大小，图a中F1(a1)与速度同向，故速度要增大，图b中F1(a1)与速度反向，故速度要减小；F2(a2)与速度垂直，只能改变速度的方向，不能改变速度的大小。
(2)结论：若合力方向与速度方向的夹角为α，则：
甲　　　 　乙　　　　　丙
7．运动的五种类型
轨迹特点 加速度特点 运动性质
直线 加速度为零 匀速直线运动
加速度不变 匀变速直线运动
加速度变化 变加速直线运动
曲线 加速度不变 匀变速曲线运动
加速度变化 变加速曲线运动
典例题
例1：下列说法正确的是(　　)
A．做曲线运动的物体速度方向一定发生变化
B．速度方向发生变化的运动一定是曲线运动
C．速度变化的运动一定是曲线运动
D．加速度变化的运动一定是曲线运动
答案 A　
解析 做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，故A正确；速度方向发生变化不是判断物体做曲线运动的条件，而是曲线运动的特点，如物体在弹簧作用下的往返运动，物体速度方向改变，但做直线运动，故B错误；速度是矢量，速度的变化包括大小和方向的变化，如匀变速直线运动，物体速度大小发生变化，但不是做曲线运动，故C错误；做直线运动的物体加速度也可以变化，如变加速直线运动，故D错误．
例2：假设“嫦娥三号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的(　　)
答案 C　
解析 由合力方向指向轨迹弯曲的一侧知A、D一定错误。由于运动方向是从M点向N点，B中合力与速度的夹角为锐角，速度增加，C中合力与速度的夹角为钝角，速度减小，故选C。
例题3：(多选)物体受到几个力作用而做匀速直线运动，若突然撤去其中的一个力，它可能做(　　)
A．匀速直线运动　　　 B．匀加速直线运动
C．匀减速直线运动 D．匀变速曲线运动
答案 BCD　
解析 剩余几个力的合力恒定不为零，所以物体不可能做匀速直线运动，选项A错误．剩余的几个力的合力与撤去的力等值、反向、共线，所以这个合力恒定不变，物体一定做匀变速运动．若物体的速度方向与此合力方向相同，则物体做匀加速直线运动；若剩余的几个力的合力与物体的速度方向相反，则物体做匀减速直线运动；若剩余几个力的合力与速度不共线，物体做匀变速曲线运动，选项B、C、D正确．
5.2运动的合成和分解
一、一个平面运动的实例
1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt.
2．蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝.
3．蜡块运动的轨迹：y＝x，是一条过原点的直线．
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的四个特性
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解．
(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则．
4.合运动的性质判断
(1)加速度(或合外力)
(2)加速度(或合外力)与速度方向
5．两个直线运动的合运动性质的判断
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
三、小船渡河问题
1.渡河时间最短问题
当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
2.渡河位移最短问题
甲
情况一：v水＜v船
当船头方向与上游夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d，此时渡河所用时间t＝，如图甲所示．
情况二：v水＞v船
当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，为x＝＝d.如图乙所示，由图可知sin α＝，最短航程为此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
乙
四、绳(杆)端速度分解模型
1.模型特点
绳(杆)拉物体或物体拉绳(杆)，以及两物体通过绳(杆)相连，物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上，求解运动过程中它们的速度关系，都属于该模型。
2.模型分析
①合运动→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
②分运动→
(3)解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见实例如下：
五、典例题
例题1．(多选)关于合运动和分运动，下列说法中正确的有(　　)
A．物体同时参与几个运动时的实际运动就是这几个运动的合运动
B．合运动的时间比分运动的时间长
C．合运动与分运动的位移、速度、加速度的关系都一定满足平行四边形定则
D．合速度一定大于分速度
答案　AC
解析　物体同时参与几个运动时，物体的实际运动叫作这几个运动的合运动，A正确；合运动与分运动同时进行，具有等时性，B错误；位移、速度、加速度都是矢量，故合运动与分运动的位移、速度、加速度的关系都满足平行四边形定则，C正确；根据平行四边形定则可知，合矢量可能大于分矢量，也可能小于分矢量，即合速度可能小于分速度，D错误。
例题2．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是(　　)
①风速越大，雨滴下落时间越长　②风速越大，雨滴着地时速度越大　③雨滴下落时间与风速无关　④雨滴着地速度与风速无关
A．①②　　　　　 B．②③
C．③④ D．①④
答案 B　
解析 将雨滴的运动在水平方向和竖直方向分解，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确．风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误，故选B.
例题3．如图所示，在玻璃管的水中有一红蜡块正在匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管从AB位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的(　　)
A．直线P　　　　　　　 B．曲线Q
C．曲线R D．三条轨迹都有可能
答案 B　
解析 红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动这两个分运动，实际运动的轨迹即是合运动的轨迹．由于它在任意一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之间有一定夹角，故轨迹是曲线．又因为物体做曲线运动的轨迹总向加速度方向偏折(或加速度方向总指向曲线的凹侧)，故选项B正确．
例题4．某质点在Oxy平面上运动。t＝0时，质点位于y轴上。它在x方向运动的速度—时间图像如图甲所示，它在y方向的位移—时间图像如图乙所示，则(　　)
A．质点做匀加速直线运动
B．1 s末的瞬时速度大小为11 m/s
C．2 s内的位移大小为2 m
D．质点沿y轴正方向做匀速直线运动
答案 C
解析 质点在x轴方向做匀变速运动，而在y轴方向上为匀速直线运动，故合运动一定为匀变速曲线运动，A错误；质点在x方向的加速度为a＝＝2 m/s2，质点在x方向1 s末的速度为vx＝v0＋at＝6 m/s，质点在y方向做匀速直线运动，在y方向的速度为vy＝＝5 m/s，则1 s末瞬时速度大小为v＝eq \r(v＋v)＝ m/s，B错误；2 s末，质点在x方向的位移x＝v0t＋at2＝12 m，质点在y方向的位移y＝10 m，则2 s末位移大小为x0＝＝2 m，C正确；质点的运动方向应该是合速度的方向，不是y轴的方向，D错误。
例题5．质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其在相互垂直的x方向和y方向的分速度vx和vy随时间变化的图像如图所示，求：
(1)物体所受的合力大小；
(2)物体的初速度大小；
(3)t1＝4 s时物体的位移大小；
(4)t2＝8 s时物体的速度大小；
(5)物体运动的轨迹方程。
答案　(1)1 N　(2)3 m/s　(3)4 m　(4)5 m/s　(5)y＝
解析　(1)物体在x方向的加速度ax＝0，
在y方向的加速度ay＝＝0.5 m/s2，
故合加速度为a＝＝0.5 m/s2
根据牛顿第二定律得F合＝ma＝1 N。
(2)由题图可知vx0＝3 m/s，vy0＝0，
所以物体的初速度大小为v0＝＝3 m/s。
(3)t1＝4 s时，x1＝vx0t1＝12 m，y1＝ayt＝4 m
所以此时物体的位移大小s1＝＝4 m。
(4)t2＝8 s时，vx2＝vx0＝3 m/s，vy2＝ayt2＝4 m/s，
所以物体的速度大小为v2＝＝5 m/s。
(5)由x＝vxt＝3t，y＝ayt2＝t2，
联立消去t得y＝。
例题6.小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为2 m/s，船在静水中的速度为4 m/s。
(1)若小船的船头始终正对对岸，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达正对岸，应如何航行？历时多长？
(3)小船渡河的最短时间为多长？
(4)若水流速度是5 m/s，船在静水中的速度是3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？
答案　见解析
解析　(1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动。因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t＝＝ s＝50 s。小船沿水流方向的位移s水＝v水t＝2×50 m＝100 m，即船将在正对岸下游100 m处靠岸。
(2)要使小船到达正对岸，合速度v应垂直于河岸，如图甲所示，则
cos θ＝＝＝，故θ＝60°，即船的航向与上游河岸成60°，渡河时间t1＝＝ s＝ s。
(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角θ，如图乙所示。船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度v⊥＝v船sin θ，故小船渡河的时间为t＝，当θ＝90°，即船头与河岸垂直时，渡河时间最短，最短时间为tmin＝50 s。
(4)因为v船＝3 m/s例题7.(多选)如图所示，有一不可伸长的轻绳，绕过光滑定滑轮C，与质量为m的物体A连接，A放在倾角为θ的光滑斜面上，绳的另一端和套在固定竖直杆上的物体B连接，连接物体B的绳最初水平。从当前位置开始，使物体B以速度v沿杆匀速向下运动，设绳的拉力为T，在此后的运动过程中，下列说法正确的是(　　)
A．物体A做加速运动 B．物体A做匀速运动
C．T小于mgsin θ D．T大于mgsin θ
答案　AD
解析　由题图可知绳端的速度为vBsin α，与B的位置有关，因为B为匀速运动，B下降过程中α变大，因此物体A做加速运动，T大于mgsin θ，故A、D正确，B、C错误。
例题8.如图所示，一根长直轻杆AB在墙角沿竖直墙与水平地面滑动。当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
答案 C
解析 将A、B两点的速度分解为沿AB方向与垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分别为v1∥和v2∥，由于AB不可伸长，两点沿AB方向的速度分量应相同，则有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，C正确。
5.3．实验：探究平抛运动的特点
一、抛体运动
1. 定义
以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动。
分类
竖直上抛运动（竖直下抛运动）、斜抛运动、平抛运动
二、平抛运动
1.定义
沿水平方向的速度将物体抛出，在空气阻力可 以忽略的情况下，物体只受重力作用，这时的运动叫平抛运动。
2.条件
①初速度沿水平方向；②只受重力的作用。
3.性质
平抛运动是曲线运动，所受合力（重力）恒定，故平抛运动为加速度为g的匀变速曲线运动。
三、实验思路
方法一：喷水法
如图所示，倒置的饮料瓶内装有水，瓶塞内插着两根两端开口的细管，其中一根弯成水平，且加上一个很细的喷嘴．水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运动的轨迹．将它描在背后的纸上，进行分析处理．
方法二：频闪照相法
数码照相机每秒拍下小球做平抛运动时的十几帧或几十帧照片．将照片上不同时刻的小球的位置连成平滑曲线便得到了小球的运动轨迹．
实验结论：平抛运动在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动。
方案三：对比实验法
步骤一：探究平抛运动竖直分运动的特点
1.用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；
2.同时B球被释放，做自由落体运动；
3.观察两球轨迹，比较落地时间先后；
4.改变小球距地面高度和小锤击打力度，重复多次试验。
实验现象：两小球同时落地
实验结论：平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动
步骤二：探究平抛运动水平分运动的特点
如右图所示的装置中，斜槽M末端水平。钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动。在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板N，钢球飞出后，落到挡板上。实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上。钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹。上下调节挡板 N，通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置。最后，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹。
设计实验：
①如图所示安装实验装置，将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上，用铅垂线把木板调整到竖直方向并固定;调节斜槽M末端水平。
②把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点 O，为坐标原点，再利用铅垂线在纸上画出通过 O点的竖直线，即 y 轴，过 O 点垂直 y 轴画出 x 轴。
③钢球在斜槽中从某一高度由静止滚下，从末端飞出后做平抛运动落到挡板 N上，在白纸上记录钢球位置。
④同一高度释放小球，上下调节挡板 N，重复多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置。
⑤用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹。
实验注意事项:
(1)保证斜槽末端的切线必须水平。
(2)木板平面竖直且平行于小球平抛的轨道平面，并使小球的运动靠近木板但不接触。
(3)坐标原点不在斜槽口的末端，应在槽口上方小球球心处。
(4)小球应在同一位置无初速自由释放；释放的高度要适当，使小球以合适的水平初速度抛出，其轨迹在坐标纸的左上角到右下角间分布，从而减小测量误差。
例题1.(1)为了探究平抛运动的规律，老师做了如下两个演示实验：
①为了说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，用如图甲所示装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开自由下落。关于该实验，下列说法正确的有____________。
A．所用两球的质量必须相等
B．只做一次实验发现两球同时落地，即可以得到实验结论
C．应改变装置的高度多次实验
D．本实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
②如图乙所示，两个相同的弧形轨道M、N位于同一竖直面内，其中N轨道的末端与光滑的水平地面相切。两个完全相同的小钢球P、Q以相同的水平初速度v0同时从轨道M、N的末端射出，观察到P落地时与Q相遇。只改变弧形轨道M的高度，多次重复实验，仍能观察到相同的现象。这说明：_______________________________。
(2)为了进一步研究平抛运动，某同学用如图丙所示的装置进行实验。
①为了准确地描绘出平抛运动的轨迹，下列要求合理的是____________。
A．小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放
B．斜槽轨道必须光滑
C．斜槽轨道末端必须水平
D．本实验必需的器材还有刻度尺和停表
②甲同学按正确的操作完成实验并描绘出平抛运动的轨迹，以平抛运动的初始位置O为坐标原点建立xOy坐标系，如图1所示。从运动轨迹上选取多个点，根据其坐标值可以验证轨迹符合y＝ax2的抛物线。若坐标纸中每小方格的边长为L，根据图中M点的坐标值，可以求出a＝____________，小球平抛运动的初速度v0＝________。(重力加速度为g)
③乙同学不小心将记录实验的坐标纸弄破损，导致平抛运动的初始位置缺失。他选取轨迹中任意一点O为坐标原点，建立xOy坐标系(x轴沿水平方向、y轴沿竖直方向)，如图2所示。在轨迹中选取A、B两点，坐标纸中每小方格的边长仍为L，重力加速度为g。由此可知：小球从O点运动到A点所用时间t1与从A点运动到B点所用时间t2的大小关系为：t1____________t2(选填“>”“<”或“＝”)；小球平抛运动的初速度v0＝__________，小球平抛运动的初始位置坐标为(__________，__________)。
④丙同学将实验方案做了改变，如图3所示，他把桌子搬到墙的附近，调整好仪器，使从斜槽轨道滚下的小球打在正对的墙上，把白纸和复写纸附在墙上，记录小球的落点。然后等间距地改变桌子与墙的距离，就可以得到多个落点。如果丙同学还有一把刻度尺，他是否可以计算出小球平抛时的初速度？请简要阐述理由。
答案 (1)①C　②做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动　
(2)①AC　②　　③＝　2　－4L　－L　④可以　用刻度尺测量落点与抛出点之间的竖直距离y，测量墙与桌子的水平距离x，根据y＝gt2，可得t＝，则v0＝＝x，改变桌子与墙的水平距离x，测量多组x，y值，计算多组初速度，取平均值即可
解析 (1)①本实验应改变装置高度多次实验，发现两球的下落时间总是相同，进而说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，但不能说明水平分运动是匀速直线运动。由自由落体运动规律有h＝gt2，下落时间t＝，与球质量无关，两球质量可以不等。
②小球Q在光滑水平面上做匀速直线运动，改变弧形轨道M的高度，P球从不同高度做平抛运动，落地时均与Q相遇说明相同时间内两球运动相同的水平位移，即平抛运动的水平分运动为匀速直线运动。
(2)①小球每次从斜槽上同一位置由静止释放，滑到斜槽末端时的速率一定，保证平抛初速度不变，描出的是同一轨迹。斜槽轨道不必光滑。末端水平，才能保证小球做平抛运动。本实验不需要停表。
②由y＝ax2得a＝，将M点坐标(5L，5L)代入得a＝＝。根据x＝v0t，y＝gt2，得v0＝＝＝x＝5L＝。
③O、A，A、B间水平方向均为4个格，由t＝可知，t1＝t2。yAB－yOA＝gT2，T＝＝，v0＝＝2。小球竖直方向做自由落体运动，从开始下落，相邻相等时间内竖直位移之比为1∶3∶5，而yOA∶yAB＝3∶5，因此初始位置坐标为(－4L，－L)。
5.4 抛体运动的规律
一、抛体运动
1. 定义
以一定的初速度将物体抛出，如果物体只受重力的作用，这时的运动叫做抛体运动。
2.分类
竖直上抛运动（竖直下抛运动）、斜抛运动、平抛运动
二、平抛运动
1.定义
以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。
2.条件
①初速度沿水平方向；②只受重力的作用。
3.性质
平抛运动是加速度为g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。
4.处理方法
“化曲为直”，平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。
5.规律
（1）速度关系
（2）位移关系
（3）轨迹
由水平方向x＝v0t解出t＝，代入y＝gt2得y＝x2，平抛运动的轨迹是一条抛物线．
（4）两个重要推论
①做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ＝2tanα。
②做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，则x＝2OB。
（5）常用结论
①飞行时间：t＝，取决于下落高度h，与初速度v0无关。
①水平射程：x＝v0t＝v0，由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
③落地速度：v＝eq \r(v＋v)＝eq \r(v＋2gh)，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tanθ＝＝，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关。
④速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。
三、一般的抛体运动
物体抛出的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ)，如图所示．
1．水平方向：物体做匀速直线运动，初速度vx＝v0cosθ.
2．竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy＝v0sinθ.
3.斜上抛运动
(1)任意时刻t 物体的速度：
(2)任意时刻t 物体的位置：
(3)射程：
(4)射高：
(5)飞行时间：
四、与斜面结合的平抛运动问题
1．顺着斜面抛
如图所示，物体从斜面上某一点水平抛出以后，又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移方向与水平方向的夹角等于斜面的倾角．分解位移，构建位移三角形。结论有：
(1)速度方向与斜面夹角恒定：,所以ɑ不变
(2)运动时间：
(3)末速度v大小：
(4)A、B之间的距离s：
2．对着斜面抛
如图所示，做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角．分解速度，构建速度三角形。结论有：
(1)速度方向与斜面垂直．
(2)水平分速度与竖直分速度的关系：tanθ＝＝.
(3)运动时间t＝.
3.与弧面相关的平抛运动
分解位移，构建几何三角形。竖直方向：h＝gt2，水平方向：R±＝v0t
类平抛运动
1．受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．运动特点
在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动．加速度a＝.
3．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．
(2)特殊分解法：可以过抛出点建立适当的平面直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
例：如图所示的光滑斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g)
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时的初速度v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
答案　(1)　(2)b　(3)
解析　(1)沿斜面向下的方向有mgsin θ＝ma，l＝at2
联立解得t＝.
(2)沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b.
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝＝.
六、平抛运动中的临界、极值问题
例：如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在离网3 m的线上(图中虚线所示)正对网前跳起将球水平击出。(不计空气阻力，g取10 m/s2)
(1)设击球点在3 m线正上方高度为2.5 m处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？
(2)若击球点在3 m线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度。
答案 (1)3 m/s解析 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x1＝3 m，竖直位移y1＝h2－h1＝(2.5－2) m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝gt2，可得v＝x，代入数据可得v1＝3 m/s，即所求击球速度的下限。设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x2＝12 m，竖直位移y2＝h2＝2.5 m，代入上面的速度公式v＝x，可求得v2＝12 m/s，即所求击球速度的上限。欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足3 m/s(2)设击球点高度为h3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示。
设此时排球的初速度为v，击球点到触网点的水平位移x3＝3 m，竖直位移y3＝h3－h1＝(h3－2) m，代入速度公式v＝x可得v＝3；同理对压线点有x4＝12 m，y4＝h3，代入速度公式v＝x可得v＝12。两式联立解得h3≈2.13 m，即当击球高度小于2.13 m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界。
例：一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
A．B．C．D．答案 　D
解析 　设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方向上有3h－h＝gt　①，水平方向上有＝v1t1　②。由①②两式可得v1＝。设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有3h＝gt　③，在水平方向有 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L2,2)))\s\up12(2)＋L)＝v2t2　④。由③④两式可得v2＝ eq \r(\f(（4L＋L）g,6h))，则v的最大取值范围为v1七、经典习题
1. (多选)如图所示，从半径为R＝1 m的半圆PQ上的P点水平抛出一个可视为质点的小球，经t＝0.4 s小球落到半圆上。已知当地的重力加速度g取10 m/s2，据此判断小球的初速度可能为(　　)
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
答案 AD
解析 由h＝gt2，可得h＝0.8 m<1 m，如图所示，小球落点有两种可能，若小球落在左侧，由几何关系得平抛运动水平距离为0.4 m，初速度v0＝ m/s＝1 m/s；若小球落在右侧，平抛运动的水平距离为1.6 m，初速度v0＝ m/s＝4 m/s，A、D正确。
2．某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．第1次击中篮板时的速度小
B．两次击中篮板时的速度相等
C．球在空中运动过程中第1次速度变化快
D．球在空中运动过程中第2次速度变化快
答案 A
解析 将篮球的运动反过来看，则篮球两次做平抛运动，由于第1次平抛运动的高度更大，由h＝gt2得t＝，所以第1次运动的时间更长，由于两次的水平位移相等，则时间越长的水平初速度越小，故第1次击中篮板时的速度小，故A正确，B错误；球在空中运动过程中速度变化快慢即为加速度，由于球只受重力作用，加速度为重力加速度，则两次速度变化快慢相同，故C、D错误。
3.有A、B两小球，B的质量为A的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图所示，①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)
A.①　 　B.②　 　C.③ 　　D.④
答案　A
解析　物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A、B两小球的运动轨迹相同，选项A正确。
4.(2017·全国卷Ⅰ，15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)。速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网；其原因是(　　)
A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
答案　C
解析　由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h＝gt2及v＝2gh可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A、B、D均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故选项C正确。
5. (多选)如图所示，某人向放在水平地面上正前方的小桶中抛球，球被抛出时的速度沿水平方向，结果球越过小桶落到小桶的后方。为了能把小球抛进小桶中，可能做出的调整为(不计空气阻力)(　　)
A.抛出点高度不变，增大初速度
B.抛出点高度不变，减小初速度
C.初速度不变，降低抛出点高度
D.初速度不变，增大抛出点高度
答案　BC
解析　设小球平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，则平抛运动的时间t＝，水平位移x＝v0t＝v0；为了能把小球抛进小桶中，要减小水平位移x，由上式分析可知，可保持抛出点高度h不变，减小初速度v0，选项A错误，B正确；也可保持初速度v0大小不变，减小降低抛出点高度h，选项C正确，D错误。
6.(2017·江苏单科，2)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇。若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为(　　)
A.t B.t C. D.
答案　C
解析　设A、B两小球的抛出点间的水平距离为L，分别以水平速度v1、v2抛出，经过时间t的水平位移分别为x1、x2，根据平抛运动规律有x1＝v1t，x2＝v2t，又x1＋x2＝L，则t＝ ；若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，故选项C正确。
7.如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°。在顶点把A、B两个小球以同样大小的初速度分别为向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则A、B两个小球的运动时间之比为(　　)
A.1∶1 B.4∶3 C.16∶9 D.9∶16
答案　D
解析　对于A球有tan 37°＝＝eq \f(\f(1,2)gt,v0tA)＝，解得tA＝；同理，对于B球有tB＝，则＝＝，故选项D正确。