第六章 圆周运动 讲义
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第六章 曲线运动知识要点
目录
TOC \o "1-3" \h \u 一、线速度 1
二、角速度 2
三、周期、频率和转速 3
四、向心加速度 3
五、向心力 4
六、匀速圆周运动和一般的圆周运动 5
七、三种传动装置及其特点 6
八、水平路面转弯模型 7
九、铁路的弯道 7
十、拱形桥 8
十一、航天器中的失重现象 9
十二、离心运动 9
十三、竖直面内圆周运动的“两类模型”问题 10
十四、匀速圆周运动的周期性和多解性 11
十五、圆锥摆模型 12
十六、圆锥斗模型 14
十七、圆碗模型 15
十八、圆盘模型 16
十九、圆周运动中的临界问题 16
典例题 21
一、线速度
1．大小：线速度的大小等于质点通过的弧长Δs与通过这段弧长所用时间Δt的比值．
2．公式：v＝.Δs是弧长并非位移，当Δt 很小很小时（趋近零），弧长Δs 就等于物体的位移，式中的v ，就是直线运动中学过的瞬时速度。
3．意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．
4．单位：m/s
5．方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直．
6．匀速圆周运动
(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动．
(2)匀速的含义：
①速度的大小不变，即速率不变.
②转动快慢不变，即角速度大小不变.
(3)运动性质：
线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动．这里的“匀速”是指速率（线速度大小）不变。
二、角速度
1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值．
2．公式：ω＝.Δθ代表在时间Δt内，物体与圆心的连线转过的角度.
3．单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1.
4．物理意义：用来描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
5．匀速圆周运动是角速度不变的运动
6．线速度与角速度的关系
由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r.如下图所示．
三、周期、频率和转速
周期 频率 转速
定义 做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间 物体在一秒内所转过的圈数 物体转动的圈数与所用时间之比
符号 T f n
单位 s Hz或s-1 r/s或r/min
物理意义 描述物体做圆周运动的快慢
关系 T＝＝.（n单位取r/s）
四、向心加速度
1．定义
任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫作向心加速度．
2．大小
an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.
3．方向
沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻改变．
4．物理意义
描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．
作用效果
只改变线速度方向，不改变线速度大小。
6．向心加速度与半径的关系
由an＝＝ω2r可知，若线速度一定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)一定，an与r成正比．如图所示．
五、向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个力叫作向心力．
2．方向
方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直．
3．表达式
Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化．
4．效果力：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．
5．向心力的作用效果
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．
6．向心力的来源
(1)匀速圆周运动：向心力等于物体的合外力，可能分三种情况：一是等于合力，二是等于某一个力，三是等于某个力的分力．
(2)非匀速圆周运动：向心力不一定等于物体的合外力，但一定等于物体沿半径方向的合力．
六、匀速圆周运动和一般的圆周运动
1．匀速圆周运动的特点
线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变．
2．变速圆周运动
(1)如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：
，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，
(2)作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，，ρ为曲率圆半径。
物体做加速圆周运动时，合力方向与速度方向的夹角小于90°，如图(甲)所示．
物体做减速圆周运动时，合力方向与速度方向的夹角大于90°，如图(乙)所示．
3.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
运动 种类项目 匀速圆周运动 变速圆周运动
特点 v、an、Fn大小不变但方向变化，ω、T、n不变 v、an、Fn、ω均变化
向心力来源 合力提供向心力 合力沿半径方向的分力
周期性 有 不一定有
条件 合外力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直 合外力大小变化，方向与线速度方向不垂直
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r，an＝＝ω2r
七、三种传动装置及其特点
同轴传动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 A、B两点角速度、周期、转速相同 A、B两点线速度相同 A、B两点线速度相同
转动方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝.(2)周期与半径成正比：＝ (1)角速度与半径成反比，与齿轮齿数成反比：＝＝.(2)周期与半径成正比，与齿轮齿数成正比：＝＝
八、水平路面转弯模型
1.汽车在水平路面上转弯时，不能靠车身倾斜来实现。它所需要的向心力只能来自轮胎与路面之间的侧向摩擦力。
2.最大安全转弯速度vm：最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，根据μmg=mvm2/r，得 vm=。
3.当速度小于vm时：侧向静摩擦力提供向心力，f=mvm2/r。
九、铁路的弯道
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
2．向心力来源
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损．如图甲：
(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力和支持力的合力提供．如图乙：
(3)火车受力如图丙所示，则Fn＝F＝mgtan α＝，所以v＝.
(4)当火车行驶速度v>v0＝时，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此时外侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；
当火车行驶速度v当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和弹力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用.
十、拱形桥
关于汽车过桥问题，用图表概括如下
内容项目 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力分析
规定向心力方向为正方向 mg－FN＝mFN＝mg－m FN－mg＝m FN＝mg＋m
牛顿第三定律 F压＝FN＝mg－m，即车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态. F压＝FN＝mg＋m，即车对桥面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态.车速v越大，压力越大．
讨论 v增大，F压减小；当v增大到时，F压＝0 v增大，F压增大
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.①当v＝时，FN＝0.②当0≤v<时，0时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险. 汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.由此可知，汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.
十一、航天器中的失重现象
1．向心力分析
宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，mg－FN＝m.
2．支持力分析
FN＝mg－.
3．讨论
当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态．
4.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力提供向心力，满足关系：mg－FN＝.
当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态.
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.
十二、离心运动
1．定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．
2．原因：向心力突然消失或合外力不足以提供所需向心力．本质是物体惯性的表现．
3．离心运动、近心运动的判断
物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力的大小关系决定．
(1)若Fn＝mrω2，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
(2)若Fn>mrω2，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”．
(3)若Fn(4)若Fn＝0，则物体做直线运动．
4．应用：洗衣机的脱水筒，制作无缝钢管、水泥管道等．
5．防止：汽车转弯时要限速；转速很高的砂轮，其飞轮半径不宜太大．
十三、竖直面内圆周运动的“两类模型”问题
1.两类模型比较
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见类型
受力示意图
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小(3)当v＝时，FN＝0(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高点的FN图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
十四、匀速圆周运动的周期性和多解性
因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)．
例1：如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3，…)
解析：选B 依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2,3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0,1,2,3，…)，A、D错误．
例2：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω.
解析：小球做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，则运动时间t＝.又因为水平位移为R
所以小球的初速度v＝＝R·
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3…)，其中n为圆盘转动的圈数，
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3…)．
答案：R· 2nπ(n＝1,2,3…)
十五、圆锥摆模型
1．结构特点
一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥 ( http: / / baike. / doc / 5409225.html" \t "_blank )表面。
2.受力特点
摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
3.运动特点
摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动 ( http: / / baike. / doc / 5568562.html" \t "_blank )的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
4.讨论
(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度=也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
5.多绳圆锥摆问题
十六、圆锥斗模型
1.结构特点
内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
受力特点
小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
运动特点
轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道 ( http: / / baike. / doc / 5568562.html" \t "_blank )的圆心是O，轨道半径是， 则有：
向心力.
支持力.
由此得，，。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
十七、圆碗模型
受力分析运动分析
正交分解x轴指向心
x轴: FNsinθ=mω2r
y轴: FNcosθ=mg
r=Rsinθ
；；an=gtanθ
规律
①同角同向心加速度（B和C）
②同高同角速度（A和C）
十八、圆盘模型
f静=mω2rω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界：隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB,ω临1= ①ωmin=[]
②μA<μB,ω临2= ②ωmax=
十九、圆周运动中的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
例1：如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。
在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan θ＝mω02lsin θ
解得：ω02＝，
即ω0＝ ＝ rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：
mgtan α＝mω′2lsin α
解得：ω′2＝，即ω′＝ ＝2 rad/s。
答案：(1) rad/s (2)2 rad/s
例2：如图甲所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长l＝1 m，B点距转轴的水平距离和距C点竖直距离相等(重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为0，而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB刚好竖直，且张力为0，求此时角速度ω2的大小；
(3)装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在图乙坐标中画出细线AC上张力FT随角速度的平方ω2变化的关系图像。
解析：(1)细线AB上张力恰为零时有：mgtan 37°＝mω12lsin 37°，解得：ω1＝ ＝ rad/s。
(2)细线AB恰好竖直，但张力为零时，由几何关系得：cos θ′＝，θ′＝53°
mgtan θ′＝mω22lsin θ′，此时ω2＝ rad/s。
(3)ω≤ω1＝ rad/s时，细线AB水平，细线AC上张力的竖直分量等于小球的重力
FTcos θ＝mg，FT＝＝12.5 N
ω1≤ω≤ω2时细线AB松弛
细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力FTsin α＝mω2lsin α，FT＝mω2l
ω＞ω2时，细线AB在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力。FTsin θ′＝mω2lsin θ′，FT＝mω2l
综上所述ω≤ω1＝ rad/s时，FT＝12.5 N不变，
ω>ω1时，FT＝mω2l＝ω2(N)
FT ω2关系图像如图所示。
答案： (1) rad/s (2) rad/s (3)见解析
例3：(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )
A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
解析：ABD 当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由Ff－FT＝mLω2可知，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．
例4：(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案 AC
例5：(多选)(2014·全国卷Ⅰ)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
解析：选AC 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，B错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，A正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωb2·2l，可得ωb＝ ，C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωa2l，可得ωa＝ ，而转盘的角速度 < ，小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f＝mω2l＝kmg，D错误。
典例题
1.(多选)(2016·郑州模拟)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时圆盘的角速度为
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D．此时烧断细线，A仍相对盘静止，B将做离心运动
解析：选ABC 两物体刚好未发生滑动时，A受背离圆心的静摩擦力，B受指向圆心的静摩擦力，其大小均为μmg。
则有：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r
解得：FT＝3μmg，ω＝ ，故选项A、B、C正确；
当烧断细线时，A所需向心力为F＝mω2r＝2μmg>Ffm，所以A将发生滑动，选项D错误。
2.(多选)如图甲所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上(细绳能承受足够大的拉力)，A、B、C在同一直线上。t＝0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图乙所示，则下列说法中正确的有( )
A．两钉子间的距离为绳长的
B．t＝10.5 s时细绳拉力的大小为6 N
C．t＝14 s时细绳拉力的大小为10 N
D．细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔为3 s
解析：选ABD 设两钉子间的距离为x，则根据牛顿第二定律有：FT1＝m＝5 N，FT2＝m＝6 N，联立解得：x＝L，所以选项A正确；从图中可知：t1＝＝6 s，t2＝＝5 s，t3＝＝4 s，t4＝＝3 s，所以t＝10.5 s时细绳拉力的大小为6 N，t＝14 s时细绳拉力的大小为FT3＝m＝7.5 N，所以选项B、D正确，C错误。
3．一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为( )
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
解析：选C。汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力。如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1＝FN1′①
所以由牛顿第二定律可得mg－FN1′＝②
同样，如图乙所示，FN2′＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有FN2′－mg＝③
由题意可知FN1＝mg④
由①②③④式得FN2＝mg，所以FN1∶FN2＝1∶3。
4. (多选)如图所示，轻杆一端套在光滑水平转轴O上，另一端固定一质量为m＝1 kg的小球，使小球在竖直平面内做半径为R＝0.4 m的圆周运动。设运动轨迹的最低点为A点，最高点为B点，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．要使小球能够做完整的圆周运动，则小球通过B点的速度至少为2 m/s
B．若小球通过B点的速度为1 m/s，则杆对小球的作用力为7.5 N，方向向上
C．小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小一定随着小球速度的增大而增大
D．小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小可能为0
解析：选BD。在最高点，由于杆能支撑小球，所以小球在最高点B时的速度可以恰好为0，故A错误；设竖直向下为正方向，在B点由牛顿第二定律有mg＋F＝m，得F＝m－mg＝(1×－1×10) N＝－7.5 N，负号说明杆对小球的作用力方向竖直向上，故B正确；在最高点，若小球所受的杆的作用力方向向上，根据牛顿第二定律有mg－F＝m，若增大小球的速度，则F减小，若小球受杆的弹力向下，则mg＋F＝m，v增大，F增大，当v＝ 时，F＝0，故C错误，D正确。
5．(多选)如图所示，这是赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
解析：选AB。因赛车在圆弧弯道上做匀速圆周运动，由向心力公式有F＝m，则在大小圆弧弯道上的运动速率分别为v大＝ ＝ ＝45 m/s，v小＝ ＝ ＝30 m/s，可知赛车在绕过小圆弧弯道后做加速运动，则A、B正确；由几何关系得直道长度为d＝＝50 m，由运动学公式v－v＝2ad得赛车在直道上的加速度大小为a＝6.50 m/s2，则C错误；设R与OO′的夹角为θ，由几何关系得cos α＝＝，得θ＝60°，可得出小圆弧的圆心角为，则赛车在小圆弧弯道上运动的时间t＝＝2.79 s，则D错误。
6.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析：ACD 对小球在最高点进行受力分析，速度为零时，F－mg＝0，结合图像可知a－mg＝0；当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝，结合图像可知mg＝，联立解得g＝，m＝，A正确，B错误；由图像可知b7.长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点的距离也为L，重力加速度大小为g，今使小球在竖直平面内以A、B连线为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小均为( )
A．mg B．2mg
C．3mg D．
解析：选A。小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有：mg＝m，当小球在最高点的速率为2v时，根据牛顿第二定律有：mg＋2Tcos 30°＝m，解得：T＝mg，故选A。
8.一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)
图
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小.
答案 (1)2.24 m/s (2)4 N
解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.
此时有：mg＝m，
则所求的最小速率为：v0＝≈2.24 m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，
代入数据可得：FN＝4 N.
由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N.
9.质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g＝10 m/s2)求：
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力.
答案 (1)3 m/s (2)6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下
解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝m，解得v0＝3 m/s.
(2)v1＞v0，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝m，由牛顿第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6 N，方向竖直向上.
v2＜v0，由牛顿第二定律得：mg－F2＝m，由牛顿第三定律得：F2′＝F2，解得：F2′＝1.5 N，方向竖直向下.
10.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法不正确的是( )
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定等于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析：选BCD 以A为例对小球进行受力分析，可得支持力和重力的合力充当向心力，设圆锥筒的锥角为θ，则FN＝，Fn＝＝m＝mω2r＝mr，A、B质量相等，A做圆周运动的半径大于B做圆周运动的半径，所以球A的线速度必定大于球B的线速度，球A的角速度必定小于球B的角速度，球A的运动周期必定大于球B的运动周期，球A对筒壁的压力必定等于球B对筒壁的压力，A正确，B、C、D错误。
故选BCD
11.（2020·新课标Ⅰ卷）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A. 200 N B. 400 N C. 600 N D. 800 N
解析：选B 在最低点由，知T=410N，即每根绳子拉力约为410N，故选B。
v
F
Fτ
Fn
v
F
Fτ
Fn
mg
θ
R
FN
mg
FN
θ
x
y
A
B
C
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
ω2
O
f
μmg
ω2
O
T
出现T
滑动
ω2
O
f
B
μmBg
μmAg
A
ω2
O
f
B
μmBg
μmAg
A
目录
TOC \o "1-3" \h \u 一、线速度 1
二、角速度 2
三、周期、频率和转速 3
四、向心加速度 3
五、向心力 4
六、匀速圆周运动和一般的圆周运动 5
七、三种传动装置及其特点 6
八、水平路面转弯模型 7
九、铁路的弯道 7
十、拱形桥 8
十一、航天器中的失重现象 9
十二、离心运动 9
十三、竖直面内圆周运动的“两类模型”问题 10
十四、匀速圆周运动的周期性和多解性 11
十五、圆锥摆模型 12
十六、圆锥斗模型 14
十七、圆碗模型 15
十八、圆盘模型 16
十九、圆周运动中的临界问题 16
典例题 21
一、线速度
1．大小：线速度的大小等于质点通过的弧长Δs与通过这段弧长所用时间Δt的比值．
2．公式：v＝.Δs是弧长并非位移，当Δt 很小很小时（趋近零），弧长Δs 就等于物体的位移，式中的v ，就是直线运动中学过的瞬时速度。
3．意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢．
4．单位：m/s
5．方向：线速度是矢量，方向与圆弧相切，与半径垂直．
6．匀速圆周运动
(1)定义：沿着圆周，并且线速度的大小处处相等的运动．
(2)匀速的含义：
①速度的大小不变，即速率不变.
②转动快慢不变，即角速度大小不变.
(3)运动性质：
线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动．这里的“匀速”是指速率（线速度大小）不变。
二、角速度
1．定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值．
2．公式：ω＝.Δθ代表在时间Δt内，物体与圆心的连线转过的角度.
3．单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1.
4．物理意义：用来描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
5．匀速圆周运动是角速度不变的运动
6．线速度与角速度的关系
由v＝ωr知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r.如下图所示．
三、周期、频率和转速
周期 频率 转速
定义 做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间 物体在一秒内所转过的圈数 物体转动的圈数与所用时间之比
符号 T f n
单位 s Hz或s-1 r/s或r/min
物理意义 描述物体做圆周运动的快慢
关系 T＝＝.（n单位取r/s）
四、向心加速度
1．定义
任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫作向心加速度．
2．大小
an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝4π2f2r＝ωv.
3．方向
沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻改变．
4．物理意义
描述线速度改变的快慢，只表示线速度的方向变化的快慢，不表示其大小变化的快慢．
作用效果
只改变线速度方向，不改变线速度大小。
6．向心加速度与半径的关系
由an＝＝ω2r可知，若线速度一定，an与r成反比；若角速度(或周期、转速)一定，an与r成正比．如图所示．
五、向心力
1．定义
做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个力叫作向心力．
2．方向
方向时刻在变化，始终指向圆心，与线速度的方向垂直．
3．表达式
Fn＝m＝mrω2＝mωv＝mr，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v的变化而变化．
4．效果力：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力．
5．向心力的作用效果
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向．
6．向心力的来源
(1)匀速圆周运动：向心力等于物体的合外力，可能分三种情况：一是等于合力，二是等于某一个力，三是等于某个力的分力．
(2)非匀速圆周运动：向心力不一定等于物体的合外力，但一定等于物体沿半径方向的合力．
六、匀速圆周运动和一般的圆周运动
1．匀速圆周运动的特点
线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心加速度和向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变．
2．变速圆周运动
(1)如图所示，做圆周运动的物体，所受合外力与速度成一般夹角时，可将合外力沿速度和垂直速度分解，则由牛顿第二定律，有：
，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，
(2)作一般曲线运动的物体，处理轨迹线上某一点的动力学时，可先以该点附近的一小段曲线为圆周的一部分作曲率圆，然后即可按一般圆周运动动力学处理。
，aτ改变速度v的大小
，an改变速度v的方向，，ρ为曲率圆半径。
物体做加速圆周运动时，合力方向与速度方向的夹角小于90°，如图(甲)所示．
物体做减速圆周运动时，合力方向与速度方向的夹角大于90°，如图(乙)所示．
3.匀速圆周运动与变速圆周运动的比较
运动 种类项目 匀速圆周运动 变速圆周运动
特点 v、an、Fn大小不变但方向变化，ω、T、n不变 v、an、Fn、ω均变化
向心力来源 合力提供向心力 合力沿半径方向的分力
周期性 有 不一定有
条件 合外力的大小不变，方向始终与线速度方向垂直 合外力大小变化，方向与线速度方向不垂直
性质 均是非匀变速曲线运动
公式 Fn＝m＝mω2r，an＝＝ω2r
七、三种传动装置及其特点
同轴传动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 A、B两点角速度、周期、转速相同 A、B两点线速度相同 A、B两点线速度相同
转动方向 相同 相同 相反
规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝.(2)周期与半径成正比：＝ (1)角速度与半径成反比，与齿轮齿数成反比：＝＝.(2)周期与半径成正比，与齿轮齿数成正比：＝＝
八、水平路面转弯模型
1.汽车在水平路面上转弯时，不能靠车身倾斜来实现。它所需要的向心力只能来自轮胎与路面之间的侧向摩擦力。
2.最大安全转弯速度vm：最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，根据μmg=mvm2/r，得 vm=。
3.当速度小于vm时：侧向静摩擦力提供向心力，f=mvm2/r。
九、铁路的弯道
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，需要很大的向心力．
2．向心力来源
(1)若转弯时内外轨一样高，则由外轨对轮缘的弹力提供向心力，这样铁轨和车轮极易受损．如图甲：
(2)若内外轨有高度差，依据规定的行驶速度行驶，转弯时向心力几乎完全由重力和支持力的合力提供．如图乙：
(3)火车受力如图丙所示，则Fn＝F＝mgtan α＝，所以v＝.
(4)当火车行驶速度v>v0＝时，重力和支持力的合力提供的向心力不足，此时外侧轨道对轮缘有向里的侧向压力；
当火车行驶速度v
十、拱形桥
关于汽车过桥问题，用图表概括如下
内容项目 汽车过凸形桥 汽车过凹形桥
受力分析
规定向心力方向为正方向 mg－FN＝mFN＝mg－m FN－mg＝m FN＝mg＋m
牛顿第三定律 F压＝FN＝mg－m，即车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态. F压＝FN＝mg＋m，即车对桥面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态.车速v越大，压力越大．
讨论 v增大，F压减小；当v增大到时，F压＝0 v增大，F压增大
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.①当v＝时，FN＝0.②当0≤v<时，0
十一、航天器中的失重现象
1．向心力分析
宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力为他提供向心力，mg－FN＝m.
2．支持力分析
FN＝mg－.
3．讨论
当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态．
4.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力提供向心力，满足关系：mg－FN＝.
当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态.
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.
十二、离心运动
1．定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．
2．原因：向心力突然消失或合外力不足以提供所需向心力．本质是物体惯性的表现．
3．离心运动、近心运动的判断
物体做圆周运动是离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需向心力的大小关系决定．
(1)若Fn＝mrω2，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”．
(2)若Fn>mrω2，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”．
(3)若Fn
4．应用：洗衣机的脱水筒，制作无缝钢管、水泥管道等．
5．防止：汽车转弯时要限速；转速很高的砂轮，其飞轮半径不宜太大．
十三、竖直面内圆周运动的“两类模型”问题
1.两类模型比较
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见类型
受力示意图
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/rF低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小(3)当v＝时，FN＝0(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高点的FN图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
十四、匀速圆周运动的周期性和多解性
因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，一般t＝nT(T为运动周期，n为运动圈数)．
例1：如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上边缘的A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速运动，角速度为ω.若飞镖恰好击中A点，则下列关系式正确的是( )
A．dv＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2,3…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2,3，…)
解析：选B 依题意，飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝，平抛的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2,3，…)，B正确，C错误；平抛的竖直位移为d，则d＝gt2，联立有dω2＝gπ2(2n＋1)2(n＝0,1,2,3，…)，A、D错误．
例2：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度和圆盘转动的角速度ω.
解析：小球做平抛运动，在竖直方向上h＝gt2，则运动时间t＝.又因为水平位移为R
所以小球的初速度v＝＝R·
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3…)，其中n为圆盘转动的圈数，
又因为θ＝ωt，则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3…)．
答案：R· 2nπ(n＝1,2,3…)
十五、圆锥摆模型
1．结构特点
一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥 ( http: / / baike. / doc / 5409225.html" \t "_blank )表面。
2.受力特点
摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
3.运动特点
摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动 ( http: / / baike. / doc / 5568562.html" \t "_blank )的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
4.讨论
(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度=也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
5.多绳圆锥摆问题
十六、圆锥斗模型
1.结构特点
内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
受力特点
小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
运动特点
轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道 ( http: / / baike. / doc / 5568562.html" \t "_blank )的圆心是O，轨道半径是， 则有：
向心力.
支持力.
由此得，，。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
十七、圆碗模型
受力分析运动分析
正交分解x轴指向心
x轴: FNsinθ=mω2r
y轴: FNcosθ=mg
r=Rsinθ
；；an=gtanθ
规律
①同角同向心加速度（B和C）
②同高同角速度（A和C）
十八、圆盘模型
f静=mω2rω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界：隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB；整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB,ω临1= ①ωmin=[]
②μA<μB,ω临2= ②ωmax=
十九、圆周运动中的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
例1：如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT。(g取10 m/s2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
解析：(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。
在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan θ＝mω02lsin θ
解得：ω02＝，
即ω0＝ ＝ rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式有：
mgtan α＝mω′2lsin α
解得：ω′2＝，即ω′＝ ＝2 rad/s。
答案：(1) rad/s (2)2 rad/s
例2：如图甲所示，装置BO′O可绕竖直轴O′O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°。已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长l＝1 m，B点距转轴的水平距离和距C点竖直距离相等(重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的张力为0，而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度为ω2时，细线AB刚好竖直，且张力为0，求此时角速度ω2的大小；
(3)装置可以以不同的角速度匀速转动，试通过计算在图乙坐标中画出细线AC上张力FT随角速度的平方ω2变化的关系图像。
解析：(1)细线AB上张力恰为零时有：mgtan 37°＝mω12lsin 37°，解得：ω1＝ ＝ rad/s。
(2)细线AB恰好竖直，但张力为零时，由几何关系得：cos θ′＝，θ′＝53°
mgtan θ′＝mω22lsin θ′，此时ω2＝ rad/s。
(3)ω≤ω1＝ rad/s时，细线AB水平，细线AC上张力的竖直分量等于小球的重力
FTcos θ＝mg，FT＝＝12.5 N
ω1≤ω≤ω2时细线AB松弛
细线AC上张力的水平分量等于小球做圆周运动需要的向心力FTsin α＝mω2lsin α，FT＝mω2l
ω＞ω2时，细线AB在竖直方向绷直，仍然由细线AC上张力的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力。FTsin θ′＝mω2lsin θ′，FT＝mω2l
综上所述ω≤ω1＝ rad/s时，FT＝12.5 N不变，
ω>ω1时，FT＝mω2l＝ω2(N)
FT ω2关系图像如图所示。
答案： (1) rad/s (2) rad/s (3)见解析
例3：(多选)如图所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( )
A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
解析：ABD 当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由Ff－FT＝mLω2可知，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．
例4：(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案 AC
例5：(多选)(2014·全国卷Ⅰ)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg
解析：选AC 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mω2R，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，B错误；因为两小木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，A正确；当b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωb2·2l，可得ωb＝ ，C正确；当a开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωa2l，可得ωa＝ ，而转盘的角速度 < ，小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得f＝mω2l＝kmg，D错误。
典例题
1.(多选)(2016·郑州模拟)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，RB＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg
B．此时圆盘的角速度为
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外
D．此时烧断细线，A仍相对盘静止，B将做离心运动
解析：选ABC 两物体刚好未发生滑动时，A受背离圆心的静摩擦力，B受指向圆心的静摩擦力，其大小均为μmg。
则有：FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r
解得：FT＝3μmg，ω＝ ，故选项A、B、C正确；
当烧断细线时，A所需向心力为F＝mω2r＝2μmg>Ffm，所以A将发生滑动，选项D错误。
2.(多选)如图甲所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上(细绳能承受足够大的拉力)，A、B、C在同一直线上。t＝0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10 s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图乙所示，则下列说法中正确的有( )
A．两钉子间的距离为绳长的
B．t＝10.5 s时细绳拉力的大小为6 N
C．t＝14 s时细绳拉力的大小为10 N
D．细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔为3 s
解析：选ABD 设两钉子间的距离为x，则根据牛顿第二定律有：FT1＝m＝5 N，FT2＝m＝6 N，联立解得：x＝L，所以选项A正确；从图中可知：t1＝＝6 s，t2＝＝5 s，t3＝＝4 s，t4＝＝3 s，所以t＝10.5 s时细绳拉力的大小为6 N，t＝14 s时细绳拉力的大小为FT3＝m＝7.5 N，所以选项B、D正确，C错误。
3．一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为( )
A．3∶1 B．3∶2
C．1∶3 D．1∶2
解析：选C。汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力。如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1＝FN1′①
所以由牛顿第二定律可得mg－FN1′＝②
同样，如图乙所示，FN2′＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有FN2′－mg＝③
由题意可知FN1＝mg④
由①②③④式得FN2＝mg，所以FN1∶FN2＝1∶3。
4. (多选)如图所示，轻杆一端套在光滑水平转轴O上，另一端固定一质量为m＝1 kg的小球，使小球在竖直平面内做半径为R＝0.4 m的圆周运动。设运动轨迹的最低点为A点，最高点为B点，不计一切阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．要使小球能够做完整的圆周运动，则小球通过B点的速度至少为2 m/s
B．若小球通过B点的速度为1 m/s，则杆对小球的作用力为7.5 N，方向向上
C．小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小一定随着小球速度的增大而增大
D．小球能过最高点B时，杆对小球的作用力大小可能为0
解析：选BD。在最高点，由于杆能支撑小球，所以小球在最高点B时的速度可以恰好为0，故A错误；设竖直向下为正方向，在B点由牛顿第二定律有mg＋F＝m，得F＝m－mg＝(1×－1×10) N＝－7.5 N，负号说明杆对小球的作用力方向竖直向上，故B正确；在最高点，若小球所受的杆的作用力方向向上，根据牛顿第二定律有mg－F＝m，若增大小球的速度，则F减小，若小球受杆的弹力向下，则mg＋F＝m，v增大，F增大，当v＝ 时，F＝0，故C错误，D正确。
5．(多选)如图所示，这是赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s
解析：选AB。因赛车在圆弧弯道上做匀速圆周运动，由向心力公式有F＝m，则在大小圆弧弯道上的运动速率分别为v大＝ ＝ ＝45 m/s，v小＝ ＝ ＝30 m/s，可知赛车在绕过小圆弧弯道后做加速运动，则A、B正确；由几何关系得直道长度为d＝＝50 m，由运动学公式v－v＝2ad得赛车在直道上的加速度大小为a＝6.50 m/s2，则C错误；设R与OO′的夹角为θ，由几何关系得cos α＝＝，得θ＝60°，可得出小圆弧的圆心角为，则赛车在小圆弧弯道上运动的时间t＝＝2.79 s，则D错误。
6.(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图像如图乙所示。则( )
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等
解析：ACD 对小球在最高点进行受力分析，速度为零时，F－mg＝0，结合图像可知a－mg＝0；当F＝0时，由牛顿第二定律可得mg＝，结合图像可知mg＝，联立解得g＝，m＝，A正确，B错误；由图像可知b
A．mg B．2mg
C．3mg D．
解析：选A。小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有：mg＝m，当小球在最高点的速率为2v时，根据牛顿第二定律有：mg＋2Tcos 30°＝m，解得：T＝mg，故选A。
8.一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)
图
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力大小.
答案 (1)2.24 m/s (2)4 N
解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.
此时有：mg＝m，
则所求的最小速率为：v0＝≈2.24 m/s.
(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，
代入数据可得：FN＝4 N.
由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N.
9.质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g＝10 m/s2)求：
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力.
答案 (1)3 m/s (2)6 N，方向竖直向上 1.5 N，方向竖直向下
解析 (1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg＝m，解得v0＝3 m/s.
(2)v1＞v0，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝m，由牛顿第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6 N，方向竖直向上.
v2＜v0，由牛顿第二定律得：mg－F2＝m，由牛顿第三定律得：F2′＝F2，解得：F2′＝1.5 N，方向竖直向下.
10.如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则下列说法不正确的是( )
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定等于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析：选BCD 以A为例对小球进行受力分析，可得支持力和重力的合力充当向心力，设圆锥筒的锥角为θ，则FN＝，Fn＝＝m＝mω2r＝mr，A、B质量相等，A做圆周运动的半径大于B做圆周运动的半径，所以球A的线速度必定大于球B的线速度，球A的角速度必定小于球B的角速度，球A的运动周期必定大于球B的运动周期，球A对筒壁的压力必定等于球B对筒壁的压力，A正确，B、C、D错误。
故选BCD
11.（2020·新课标Ⅰ卷）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A. 200 N B. 400 N C. 600 N D. 800 N
解析：选B 在最低点由，知T=410N，即每根绳子拉力约为410N，故选B。
v
F
Fτ
Fn
v
F
Fτ
Fn
mg
θ
R
FN
mg
FN
θ
x
y
A
B
C
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
ω2
O
f
μmg
ω2
O
T
出现T
滑动
ω2
O
f
B
μmBg
μmAg
A
ω2
O
f
B
μmBg
μmAg
A