4.2 万有引力定律的应用 教案

第4章第2节 万有引力定律的应用
考点一、天体质量以及密度的计算
1、太阳质量的计算
利用某一行星：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G＝，由此可得太阳质量Ms＝，由此式可知只要测出行星绕太阳运动的公转周期T和距离r就可以计算出太阳的质量。
2、地球质量的计算
（1）若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即＝，可求得地球质量M地＝.
（2）若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得
mg＝G，解得地球质量为M地＝。
3、计算天体的密度
（1）若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝；将M＝代入上式得ρ＝。
（2）特例，当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。
4、注意事项
（1）计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量。
（2）要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R＝r。
【典例精析】
例1、一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)
A.　　 B．　　 C．　　 D．
【答案】B。
例2、若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为(　　)
A. 　　　　 B． C. D．
【答案】B。
例3、据报道，最近在太阳系外发现了首颗宜居行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为(　　)
A．0.5　　　　　　B．2　 C．3.2 D．4
【答案】B。
例4、“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟．已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为(　　)
A．8.1×1010 kg
B．7.4×1013 kg
C．5.4×1019 kg
D．7.4×1022 kg
【答案】D。
例5、一物体从某行星表面某高度处自由下落．从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图所示，不计阻力．则根据h t图象可以计算出(　　)
A．行星的质量
B．行星的半径
C．行星表面重力加速度的大小
D．物体受到行星引力的大小
【答案】C。
考点二、人造卫星与宇宙速度
1、人造卫星
卫星是太空中绕行星运动的物体。将第一颗人造卫星送入围绕地球运行轨道的国家是前苏联．
2、宇宙速度
（1）第一宇宙速度v1
①大小：v1＝7.9km/s.
②意义：从地球表面发射的人造地球卫星，使它能围绕地球运行所需的最小发射速度．
（2）第二宇宙速度v2
①大小：v2＝11.2km/s.
②意义：如果要使人造卫星脱离地球的引力，不再绕地球运行，从地面发射所需的最小发射速度．
③在地面发射能够绕地球运行的人造卫星，发射速度v应满足7.9km/s≤v<11.2km/s.
（3）第三宇宙速度v3
①大小：v3＝16.7km/s.
②意义：使人造卫星脱离太阳的束缚而飞离太阳系，从地面发射所需的最小发射速度．
【典例精析】
例5、关于第一宇宙速度，下列说法中正确的是(　　)
A．第一宇宙速度是人造地球卫星环绕运行的最小速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星环绕运行的最大速度
C．第一宇宙速度是地球同步卫星环绕运行的速度
D．不同行星的第一宇宙速度都是相同的
【答案】B。
例6、下列关于绕地球运行的卫星的运动速度的说法中正确的是(　　)
A．一定等于7.9 km/s
B．一定小于7.9 km/s
C．大于或等于7.9 km/s，而小于11.2 km/s
D．只需大于7.9 km/s
【答案】B。
考点三、有关天体运动的计算
1、地球同步卫星及特点
（1）周期一定：T＝24 h。
（2）角速度一定：等于地球自转的角速度。
（3）轨道一定：轨道必在赤道平面内，高度约为3.6×104 km。
（4）运行速度大小一定：3.08 km/s，运行方向与地球自转方向相同。
2、解决天体运动问题的基本思路
一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G＝ma，式中a是向心加速度．
3、常用的关系式
（1）G＝m＝mω2r＝mr，万有引力全部用来提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
（2）mg＝G即gR2＝GM，物体在天体表面时受到的引力等于物体的重力。该公式通常被称为黄金代换式。
4、四个重要结论
设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动．
（1）由＝m得v＝，r越大，天体的v越小。
（2）由G＝mω2r得ω＝，r越大，天体的ω越小。
（3）由＝得T＝2π，r越大，天体的T越大。
（4）由G＝man得an＝，r越大，天体的an越小。以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”。
5、天体运动问题解答技巧
（1）比较围绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的v、ω、T、an等物理量的大小时，可考虑口诀“越远越慢（v、ω、T）”、“越远越小（an）”；
（2）涉及绕同一个中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的计算问题时，若已知量或待求量中涉及重力加速度g，则应考虑黄金代换式gR2＝GM的应用。
（3）若已知量或待求量中涉及v或ω或T，则应考虑从G＝m＝mω2r＝mr中选择相应公式应用。
【典例精析】
例7、下面关于同步通信卫星的说法中不正确的是(　　)
A．各国发射的地球同步卫星的高度和速率都是相等的
B．同步通信卫星的角速度虽已被确定，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大；高度降低，速率减小，仍同步
C．我国发射第一颗人造地球卫星的周期是114 min，比同步通信卫星的周期短，所以第一颗人造卫星离地面的高度比同步通信卫星的低
D．同步通信卫星的速率比我国发射的第一颗人造地球卫星的速率小
【答案】B。
例8、所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大 D．甲的线速度比乙的大
【答案】A。
例9、研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A．距地面的高度变大　 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
【答案】A。
例10、探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比(　　)
A．轨道半径变小　　　 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
【答案】A。
考点四、万有引力定律对天文学的作用
1、预言彗星回归
1743年，克雷洛预言哈雷彗星于1759年4月份经过近日点得到了证实，1986年此彗星又一次临近地球，下一次来访将是2062年。
2、预言未知星体
根据已发现天体的运行轨道结合万有引力定律推算出未知星体的轨道，如海王星、冥王星就是这样发现的。
【典例精析】
例11、下列说法正确的是(　　)
A．海王星是人们直接应用万有引力定律计算出轨道而发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的
C．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发现了海王星
【答案】D。
例12、科学家们推测，太阳系内除八大行星之外还有另一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定(　　)
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星上同样存在着生命
【答案】A。
【课后练习】
1、把人造地球卫星的运动近似看做匀速圆周运动，则离地球越近的卫星（ ）
A．质量越大　　　 B．万有引力越大
C．周期越大 D．角速度越大
【答案】D。
2、在轨道上运行的人造地球卫星，若卫星上的天线突然折断，则天线将（ ）
A．做自由落体运动
B．做平抛运动
C．和卫星一起绕地球在同一轨道上运行
D．由于惯性沿轨道切线方向做直线运动
【答案】C。
3、如图所示是在同一轨道平面上的三颗不同的人造地球卫星，关于各物理量的关系，下列说法正确的是（ ）
A．根据v＝可知vAB．根据万有引力定律可知FA>FB>FC
C．角速度ωA>ωB>ωC
D．向心加速度aA【答案】C。
4、星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为该星球的第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与其第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（ ）
A. B． C. D．gr
【答案】C。
5、已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为（ ）
A．3.5 km/s B．5.0 km/s C．17.7 km/s D．35.2 km/s
【答案】A。
6、（多选）如图所示，地球赤道上的物体A、近地卫星B和同步卫星C均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设A、B、C的运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则（ ）
A．v1>v2>v3 B．v1a2>a3 D．a1【答案】BD。
7、设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期为T，万有引力常量G已知，根据这些数据，不能求出的量有（ ）
A．土星线速度的大小 B．土星加速度的大小 C．土星的质量 D．太阳的质量
【答案】C。
8、（多选）一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则（ ）
A．恒星的质量为 B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
【答案】ACD。
9、月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地月连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动线速度大小之比约为（ ）
A．1∶6 400　　　　　 B．1∶80 C．80∶1 D．6 400∶1
【答案】C。
10、假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）
A．1－　　　　B．1＋ C. D．
【答案】A。
11、“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的（ ）
A．密度　　　 B．质量 C．半径 D．自转周期
【答案】A。
12、如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极（轨道可视为圆轨道）．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°正上方时所用时间为t，地球半径为R（地球可看做球体），地球表面的重力加速度为g，引力常量为G.由以上条件可以求出（ ）
A．卫星运行的周期 B．卫星距地面的高度 C．卫星的质量 D．地球的质量
【答案】ABD。
13、（多选）P1、P2为相距遥远的两颗行星，距各自表面相同高度处各有一颗卫星s1、s2做匀速圆周运动．图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产生的加速度a，横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方，两条曲线分别表示P1、P2周围的a与r2的反比关系，它们左端点横坐标相同．则（ ）
A．P1的平均密度比P2的大 B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小
C．s1的向心加速度比s2的大 D．s1的公转周期比s2的大
【答案】AC。
14、如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是（ ）
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c
D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将减小
【答案】B。
15、地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m，公转的周期是3.16×107 s，太阳的质量是多少？
【答案】1.96×1030 kg。
16、如图所示，A是地球同步卫星，另一个卫星B的圆轨道位于赤道平面内，距离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．
（1）卫星B的运行周期是多少？
（2）如果卫星B的绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），求至少再经过多长时间，它们再一次相距最近？
【答案】（1）2π；　（2）。
17、进入21世纪，我国启动了探月计划“嫦娥工程”．同学们也对月球有了更多的关注．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月。
【答案】　(1)　(2)