4.5 垂线
第1课时 垂线
课题 第1课时 垂线 授课人
教学目标 知识技能 1.理解垂线的概念，会利用垂线的概念判定两直线垂直．2.逐步训练学生正确使用几何符号、几何语言，逐步熟悉推理的格式．
数学思考 把抽象的几何知识转化为具体的平面模型，提高学生动手动脑的能力．
问题解决 培养学生观察、理解的能力，几何语言能力、画图能力，抽象思维能力以及运用知识解决实际问题的能力．
情感态度 通过创设情境，利用变式训练，多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会.
教学重点 垂线的概念、垂线的两个性质．
教学难点 垂线的概念及两个性质的应用．
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体，量角器，三角板，直尺，相交线模型
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 问题1：如图4－5－10，(1)∠AOC的对顶角是哪个角，这两个角的关系怎样？(2)∠AOC的补角有几个，是哪几个角？图4－5－10 问题2：如图4－5－11，当∠AOC＝90°时，∠AOD，∠DOB，∠BOC等于多少度？为什么？直线AB，CD的位置关系怎样？ 图4－5－11 问题1是巩固对顶角和补角的相关知识，在此基础上完成问题2的内容，从而初步认识垂直，为新课做好铺垫.
活动一：创设情境导入新课 【课堂引入】 教师出示相交线的模型，演示模型，学生观察思考：如图4－5－12，固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a，b所成的角α是如何变化的？图4－5－12 创设情境，引导学生探究从一般到特殊的情景，借助于教具，模型，教学手段，使学生先得到直观的感性认识.
活动二：实践探究交流新知 【探究1】 垂线的概念接[课堂引入]，思考下列问题：问题1 直线a不动，当直线b转到什么位置时，两条直线在交点形成的四个夹角中至少有一个角等于90°？问题2 四个夹角中有一个角等于90°的位置有几个？用两支笔抽象成两条直线试试看．问题3 当a，b相交有一个角是直角时，其他三个角呢？此时两条直线的位置叫做什么？问题4 你是如何理解“互相垂直”与“垂线”这两个概念的？“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名．如果说两条直线“互相垂直”，那么其中一条必定是另一条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”．问题5 平行可用符号“∥”来表示，那么垂直又该用什么符号来表示？垂直用符号“⊥”来表示，“⊥”读作“垂直于”．如图4－5－13，“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为“AB⊥CD，垂足为O”，并在图中任意一个角处作上直角记号．图4－5－13归纳总结：(1)两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时(易知其余三个角也是直角)，这两条直线叫做互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．(2)两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足．【探究2】 垂线的性质问题6 如图4－5－14①，在同一平面内，如果a⊥m，b⊥m，那么a∥b吗？你能写出推理过程吗？试试看！因为a⊥m( )，所以∠1＝90°( )．又因为b⊥m( )，所以∠2＝90°( )，所以∠1＝∠2( )，所以a∥b( )．图4－5－14问题7 如图4－5－14②，在同一平面内，如果a∥b，m⊥a，那么m⊥b吗？相信你也可以把推理理由写出来．归纳总结：1.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行．2．在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行直线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 1.通过学生独立思考，动手操作，经历探索过程，发现结论，提高学生探索问题的能力．2．让学生概括结论，可以培养学生的概括能力.
活动三：开放训练体现应用活动三：开放训练体现应用 【应用举例】例1 如图4－5－15，已知CD⊥AB，∠1＝∠2，求∠BEF的度数．图4－5－15解：因为CD⊥AB，所以∠BDC＝90°.又因为∠1＝∠2，所以DC∥EF( )．所以∠BEF＝∠BDC＝90°( )．变式训练1．如图4－5－16，OA⊥OB，OD⊥OC，O为垂足，若∠AOC＝35°，则∠BOD＝________．图4－5－16.如图4－5－17，OA⊥OC，OB⊥OD，且∠AOD＝3∠BOC，求∠BOC的度数.图4－5－17 进一步巩固垂线的概念，利用垂直进行有关的角度计算.
【拓展提升】例2 如图4－5－18，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝a cm，BC＝b cm，则BD的范围是( ) 图4－5－18 A．大于a cm B．小于b cmC．大于a cm或小于b cm D．大于b cm且小于a cm例3 如图4－5－19，OC⊥OB，垂足为O，∠COB与∠AOC之差为60°，试求∠AOB的度数. 图4－5－19 通过拓展提升，使学生能运用所学知识和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性.
活动四：课堂总结反思 【当堂训练】1．如图4－5－20，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O.(1)若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；(2)若∠1＝∠BOC，求∠AOC和∠MOD的度数．图4－5－202.如图4－5－21，O为直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．(1)求∠COD的度数；(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由.图4－5－21 通过设置达标测评，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
【课堂总结】1．课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！师生总结：①垂线的定义；②垂线的性质．2．布置作业：教材第98页练习第1，2题．教材第102页习题4.5第1，2，3题． 注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
【知识网络】 框架图式总结，更容易形成知识网络.
活动四：课堂总结反思 【教学反思】①[授课流程反思]让学生能由实物的形状想象出垂线的几何模型，使新知识建立在对周围环境的直接感知的基础上．训练学生用数学的眼光研究实际问题，增强学生对数学模型的理解，提高学生学习数学的兴趣．②[讲授效果反思]通过习题帮助学生逐步树立转化的思想和发展性思维．在授课过程中努力遵循由学生置疑——感知——概括——应用的过程，通过学生积极参与、积极思维，使学生从被动的学习转化到主动探索和发现的过程中，使学生能感受到学习与探索的乐趣．③[师生互动反思] ④[习题反思]好题题号 错题题号 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.4.5 垂线
第2课时 点到直线的距离
课题 第2课时 点到直线的距离 授课人
教学目标 知识技能 1.理解垂线段的概念．2.会过一点画已知直线的垂线．3.掌握基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.4.了解垂线段最短的性质．理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离．
数学思考 通过作图，把抽象的几何知识转化为具体的平面模型，提高了学生动手动脑的能力，同时让学生更加清晰地认识到直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
问题解决 培养学生观察、理解能力，几何语言能力、画图能力，抽象思维能力以及运用知识解决实际问题的能力．
情感态度 通过创设情境，利用变式训练，多种教学手段来激发学生的学习兴趣，给学生创造成功的机会，使他们爱学、会学、学会.
教学重点 基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，以及垂线段最短的性质.
教学难点 垂线的画法及垂线段最短的理解与应用．
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体，量角器，三角板，直尺，相交线模型
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境导入新课 【课堂引入】 前面学过，通过一靠、二移、三画线，我们可以经过直线外一点作这条直线的平行线，并且只能作一条，那么如何过一点作已知直线的垂线呢？可以作几条？今天这节课我们就来学习这个内容． 创设情境，借助于教具，模型，教学手段，使学生先得到直观的感性认识.
活动二：实践探究交流新知 【探究1】 垂线的画法操作：如图4－5－53，已知一条直线l，需要我们画出它的垂线：图4－5－53作图工具：直尺、三角板．垂线的作图方法：如图4－5－54①，把直尺放在直线l上，三角板的直角边紧靠直尺上面，然后移动三角板到需要画垂线的位置，画出所需垂线，最后标注字母和直角符号(如图4－5－54②)．口诀：一放二靠三移四画五标．图4－5－54问题1 如图4－5－55，经过直线AB上一点P，你能画出垂直于直线AB的直线吗？这样的垂线能画出多少条？图4－5－55根据垂线的画法，按照一放二靠三移四画五标的作图方法完成．问题2 如图4－5－56，经过直线AB外一点P，你能分别在两图中画出过点P垂直于直线AB的直线吗？这样的垂线分别能画出多少条？图4－5－56归纳总结：垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【探究2】 垂线段最短图4－5－57操作：如图4－5－57，点A是直线l外一点，AB与直线l垂直，B为垂足，试用直尺量一量线段AB，AC，AD的长度．问题 由度量结果，你发现了什么规律？用自己的语言叙述你发现的结论，再与书本比较，你认为你的总结有什么不足？归纳总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．【探究3】 点到直线的距离的概念思考：在体育课中，怎样正确量出跳远的成绩？落点是一个点，起跳板是一条直线，度量跳远的成绩实际上是量点到线的距离，应该如何量才正确呢？图4－5－58归纳总结：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 通过学生独立思考，动手操作，经历探索过程，发现结论，提高学生探索问题的能力.让学生概括结论，可以培养学生的概括能力．通过学生动手操作画图，教师在教学中及时订正学生发生的错误，训练学生以严谨的科学态度研究问题、解决问题.
活动三：开放训练体现应用活动三：开放训练体现应用 【应用举例】例1 如图4－5－59，分别过点P作AB的垂线．图4－5－59例2 如图4－5－60，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求：(1)点A到直线BC的距离；(2)点B到直线AC的距离.图4－5－60 通过两个训练题巩固本课时所学内容．通过简单的推理和转化达到掌握知识的目的，不仅训练学生的思维能力，而且也提升了学生的语言表达能力及合作交流能力.
【拓展提升】例3 如图4－5－61，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M，N是分别位于公路两侧的村庄．图4－5－61(1)设汽车行驶到公路AB上的点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置．(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上，距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而距离村庄M越来越远？教师活动：(1)当汽车距离M最近时，相当于过M画直线AB的垂线，垂足就是P，同理，过点N画直线AB的垂线，垂足就是Q的位置；(2)可以通过图形观察发现，当处于AP路段时距离两村庄都越来越近，在处于PQ路段时距离N越来越近，距离M越来越远. 让学生运用垂线段最短的性质解决生活中的实际问题，让他们感受到数学来源于生活，从而增加他们学习数学的兴趣.
活动四：课堂总结反思 【当堂训练】1．如图4－5－62所示，下列说法不正确的是( )图4－5－62A.点B到AC的垂线段是线段ABB．点C到AB的垂线段是线段ACC．线段AD是点D到BC的垂线段D．线段BD是点B到AD的垂线段2．到直线l的距离等于2 cm的点有( ) A．0个 B．1个C．无数个 D．无法确定3．如图4－5－63，过点C作线段AB或射线AB的垂线．图4－5－63 通过设置当堂训练，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到“堂堂清”.
【课堂总结】1．课堂小结：(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！师生总结：①垂线的定义；②垂线的性质；③点到直线的距离．2．布置作业：教材第101页练习第1，2，3题．教材第102页习题4.5第5，6，8题． 注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
【知识网络】 框架图式总结，更容易形成知识网络.
活动四：课堂总结反思 【教学反思】①[授课流程反思]通过复习和类比引入新课，让学生在操作与质疑中自己归纳、总结，形成结论，加强了学生对数学经验的积累意识，为后续培养学生的合情推理打下了良好的基础．②[讲授效果反思]本节采用“引导发现”法鼓励学生自己去发现、分析、解决问题，使学生在自己动手的基础上，发现垂线的性质，又借助于教具、实物、图形，从直观的感性认识发现抽象的概念，使他们成为探求知识的主体，同时还利用边讲边练的教法让学生对新课加以巩固理解．③[师生互动反思]从课堂交流和课堂检测来看，学生能够运用直尺、三角板作垂线，并且效果很好．④[习题反思]好题题号 错题题号 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.
