3.2 提公因式法
第2课时 公因式为多项式的提公因式法
课题 第2课时 公因式为多项式的提公因式法 授课人
教学目标 知识技能 1.进一步理解公因式的概念，并能熟练地找出多项式的公因式．2．会用提公因式法把多项式因式分解．
数学思考 使学生经历探索公因式是多项式时的公因式的识别与提公因式法因式分解，依据数学化归思想方法进行因式分解．
问题解决 掌握用提公因式法把多项式因式分解的方法．
情感态度 增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的经验，体会其应用价值．
教学重点 公因式是多项式的提公因式法因式分解．
教学难点 适时添加括号或变形后找公因式．
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 请同学们回忆并完成下面的题目．1．因式分解：①am＋bm； ②15x4y3－10x3y4＋30x2y5.2．下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A．x2－y B．x2＋2x C．x2＋y2 D．x2－xy＋y23．9x2y－3xy2的公因式是________．4．因式分解：－4a3＋16a2b－26ab2＝________. 学生回忆并回答，温故知新.
活动一：创设情境导入新课 【课堂引入】1．把下列各式的公因式写在式子的后边．(1)3x2＋x，________； (2)4x＋6，________；(3)3mb2－2nb，________； (4)7y2－21y，________；(5)8a3b2＋12a2b－ab，________；(6)7x3y2－42x2y3，________；(7)4a2b－2ab2＋6abc，________．2.填空：(1)a2b＋ab2＝ab(________)，(2)3x2－6x3＝3x2(________)；(3)9abc－6a2b2＋12abc2＝3ab(________)．3．如果把多项式am＋bm中的m换成(x－2)得到a(x－2)＋b(x－2)，那么该怎样因式分解呢？ 从学生已有的知识出发，利用多媒体，激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动二：实践探究交流新知 【探究1】 公因式是多项式的因式分解问题1：将am＋bm中的m换成(x－2)得到的多项式a(x－2)＋b(x－2)中的公因式是什么？怎样因式分解？问题2：在问题1的基础上，若再将a换成(2b－3)得到的多项式(2b－3)(x－2)＋b(x－2)中的公因式是什么？怎样因式分解？问题3：将am＋bm中的m换成(a－b)2得到的多项式a(a－b)2＋b(a－b)2中的公因式是什么？怎样因式分解？归纳总结：公因式可以是单个的数、字母、单项式，也可以是多项式．如果公因式是多项式，同样可以用提公因式的方法因式分解．【探究2】 公因式不明显的因式分解1．你知道下面的多项式有什么关系吗？用式子怎样表达它们的关系？①a＋b与b＋a；②a－b与b－a；③(a－b)2与(b－a)2；④(a－b)3与(b－a)3.2．下面的多项式有公因式吗？如果有，公因式是什么？①a(x－2)＋b(2－x)；②a(a－b)2＋b(b－a)2；③a(a－b)3－b(b－a)3.归纳总结：有时多项式的公因式不明显，有一些互为相反数，我们先必须通过提出负号或根据：(x－y)2＝(y－x)2，(x－y)3＝－(y－x)3等转化后，才能看出公因式．有些则是系数扩大(或缩小)，如(3a＋3b)与(a＋b)，把前一个式子提出3后，与后一个式子就有公因式了． 1.培养学生从特殊到一般的思想方法．2．为进一步理解因式分解打好基础，循序渐进，使学生易于掌握公因式不明显的因式分解.
活动三：开放训练体现应用 【应用举例】例1 把下列多项式因式分解：(1)x(x－2)－3(x－2)； (2)x(x－2)－3(2－x)．解：(1)x(x－2)－3(x－2)＝(x－2)(x－3)．(2)x(x－2)－3(2－x)＝x(x－2)－3[－(x－2)]＝x(x－2)＋3(x－2)＝(x－2)(x＋3)．例2 把(a＋c)(a－b)2－(a－c)(b－a)2因式分解．解：(a＋c)(a－b)2－(a－c)(b－a)2＝(a＋c)(a－b)2－(a－c)(a－b)2＝(a－b)2[(a＋c)－(a－c)]＝(a－b)2(a＋c－a＋c)＝2c(a－b)2.例3 把12xy2(x＋y)－18x2y(x＋y)因式分解．解：12xy2(x＋y)－18x2y(x＋y)＝6xy(x＋y)(2y－3x). 通过例题教学，让学生一方面学会应用新知识，另一方面注意因式分解中的细节.
【拓展提升】例4 某中学有三块草坪，第一块草坪的面积为(a＋b)2m2，第二块草坪的面积为a(a＋b)m2，第三块草坪的面积为b(a＋b)m2，求这三块草坪的总面积．例5 mn2(x－y)3＋m2n(x－y)4分解因式后等于________．例6 求满足4x(2x－1)－3(1－2x)＝0的x的值．注：我们知道两个因式相乘等于0，那么这两个因式中至少有一个因式等于0；反过来，如果两个因式中有一个因式为0，那么它们的积一定为0，请仿照上面的例子，求满足5x(x－2)－4(2－x)＝0的x的值． 除巩固所学内容外，也给学生创造一个知识迁移及巩固的机会，使学生各抒己见，并培养学生分析问题、解决问题的能力.
活动四：课堂总结反思活动四：课堂总结反思 【当堂训练】1．将m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，正确的是( )A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m＋1)C．m(a－2)(m－1) D．m(2－a)(m－1)2．下列各组代数式中，没有公因式的是( )A．5m(a－b)和b－a B．(a＋b)2和－a－bC．mx＋y和x＋y D．－a2＋ab和a2b－ab23．a，b互为相反数，则a(x－2y)－b(2y－x)的值为________．4．把下列各式分解因式：(1)6p(p＋q)－4p(p＋q)；(2)(m＋n)(p＋q)－(m＋n)(p－q)；(3)(2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)；(4)x(x＋y)(x－y)－x(x＋y)2. 通过设置当堂训练，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到堂堂清.
【课堂小结】1．课堂小结：本节课你学到了什么，谈谈你的感受吧！2．布置作业：(1)教材第62页练习．(2)教材第62页习题3.2第2(4)(5)(6)，3题． 系统归纳本节知识点，提高学生归纳问题的能力.
【知识网络】 框架图式总结，更容易形成知识网络.
【教学反思】①[授课流程反思]本节课通过问题情景，启发学生思考，引起认知冲突，引导学生逐步深入地探索新知识，应用新知识．②[讲授效果反思]本节课对公因式是多项式形式以及通过变号、提系数、加括号变形后提公因式问题，有了清楚的认识，相信大多数学生能灵活掌握及运用．③[师生互动反思]师生互动中教师因势利导培养学生逆向思维，渗透化归的思想方法．④[习题反思]好题题号 错题题号 反思，更进一步提升.
3.2提取公因式法
班级 姓名 学号
学习目标：
1．了解因式分解的意义，会用提公因式法进行因式分解．
2．经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思考问题的能力和推理能力．
学习重点：会用提公因式法进行因式分解．
学习难点：正确找出多项式中各项的公因式．
教学过程：
一、问题情境：
问题：计算375×2.8+375×4.9+375×2.3
二．建构活动:
(1)讨论上题的两种计算方法,分别提出各自的依据,然后比较哪种方法简便.
(2)类似地,ab+ac+ad又能写成什么形式呢？这样变形的依据是什么呢？
(3)引入“因式分解”及“公因式”．
(4)找出下列多项式各项的公因式并填写下表：
多项式 公因式
4x+4y 4
-8ax+12ay -4
8a3bx+12a2b2y 42
三．数学概念（模型）：
（1）因式分解；
（2）因式分解与整式乘法的关系；
（3）提公因式法；
四．例题讲解：
例1：把下列各式分解因式：
⑴ 63 – 922c ； ⑵63-922+32 (3) -822+42-2
“想一想”，如何把多项式分解因式？
例2：把下式分解因式：
例3：分解因式：(1) (2)
五．应用与拓展：
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
（1）++=(+)+； （2）2-1=(+1)(-1)；
（3）(+1)(-1)=2-1．
（1）将多项式-52+3提出公因式-后,另一个因式是 ；
（2）把多项式4(+)-2(+)分解因式,应提出公因式 ．
把下列各式分解因式；
（1）42-123； （2）．
计算：2.37×52.5+0.63×52.5-4×52.5；
把下列各式分解因式：
（1）； （2）；
六．课堂小结:
提公因式法分解因式的关键是确定公因式，当公因式是隐含的时候，多项式要经过适当的变形；变形的过程要注意符号的相应改变．
七、课后作业
一、填空题1. 多项式24ab2－32a2b提出公因式是 .
2. .
3. 当x=90.28时，8. 37x+5.63x－4x=____ _____.
4. 若m、n互为相反数，则5m＋5n－5＝__________．
5. 分解因式： .
二、选择题
6. 下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B.
C. D.
7.多项式－5mx3+25mx2－10mx各项的公因式是（ ）
A.5mx2 B.－5mx3 C. mx D.－5mx
8.在下列多项式中，没有公因式可提取的是（ ）
A.3x－4y B.3x+4xy C.4x2－3xy D.4x2+3x2y
9.已知代数式的值为9，则的值为（ ）
A．18 B．12 C．9 D．7
三、解答题
10.把下列各式分解因式：
⑴18a3bc-45a2b2c2； ⑵－20a－15ab； ⑶18xn＋1－24xn；
⑷（m＋n）（x－y）－（m＋n）（x＋y）； ⑸15（a－b）2－3y（b－a）；
11.计算：⑴39×37-13×81； ⑵29×20.09+72×20.09+13×20.09-20.09×14.3.2 提公因式法
第1课时 公因式为单项式的提公因式法
课题 第1课时 公因式为单项式的提公因式法 授课人
教学目标 知识技能 1.理解公因式的概念，会找出公因式．2．会用提公因式法因式分解．
数学思考 使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．
问题解决 掌握用提公因式法把多项式因式分解．
情感态度 增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的经验，体会其应用价值．
教学重点 会用提公因式法因式分解．
教学难点 能准确找出多项式中各项的公因式
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
活动一：创设情境导入新课 【课堂引入】引例：一块场地由三个长方形组成，这些长方形的长分别为，，，宽都是，求这块场地的面积．若将上面的问题一般化，即三个长方形的长分别为a，b，c，宽都是m，则这块场地的面积为ma＋mb＋mc或m(a＋b＋c)，可以用等号来连接．即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？ 从学生已有的知识出发，利用多媒体，激发学生强烈的好奇心和求知欲.
活动二：实践探究交流新知 【探究1】公因式及公因式的确定下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？(1)2x2＋4＝2(x2＋2)；(2)2t2－3t＋1＝(2t3－3t2＋t)；(3)x2＋4xy－y2＝x(x＋4y)－y2；(4)m(x＋y)＝mx＋my；(5)x2－2xy＋y2＝(x－y)2.问题：1．多项式mn＋mb中各项含有相同的因式吗？2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？ 归纳总结：1．我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn＋mb中的公因式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y中的公因式是y.2．找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．【探究2】 提公因式法因式分解若将情景导入中的引例问题一般化，即三个长方形的长分别为a，b，c，宽都是m，则这块场地的面积为ma＋mb＋mc或m(a＋b＋c)，可以用等号来连接．即ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．问题1：在上面的等式中，等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？问题2：由上面的等式你可以总结得到什么？提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？问题3：什么是提公因式法因式分解？有哪些步骤？归纳总结：(1)提公因式法：如果一个多项式各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，这种把多项式因式分解的方法叫做提公因式法．(2)提公因式法的步骤：①找各项系数的最大公约数；②找各项中含有的相同的字母，相同字母的指数取次数最低的；③把各项的公因式提到括号外，如果某一项恰好就是公因式，提出公因式后要补1. 1.引导学生观察，讨论，交流因式分解的概念、公因式的来由及公因式的确定、提公因式的意义.2．教师引导学生进行探索，并进行适当的启发和提示，帮助学生学会提公因式法因式分解.
活动三：开放训练体现应用 【应用举例】例1 把5x2－3xy＋x因式分解．[解析] 多项式各项均含有x，因此公因式为x.第3项将x提出后，括号内的因式为1.解：5x2－3xy＋x＝x(5x－3y＋1)．例2 把4x2－6x因式分解．[解析] 先确定公因式的系数，再确定字母．这两项的系数为4，6，它们的最大公约数是2；两项的字母部分x2与x都含有字母x，且x的最低次数是1，因此公因式为2x.解：4x2－6x＝2x(2x－3)．例3 把8x2y4－12xy2z因式分解．[解析] 公因式的系数8与12的最大公约数是4；公因式含的字母是各项中相同的字母x和y，它们的指数取各项中次数最低的，因此公因式为4xy2.解：8x2y4－12xy2z＝(4xy2)·2xy2－(4xy2)·3z＝4xy2·(2xy2－3z). 通过应用举例，反馈学生的学习情况，并及时地查缺补漏，进一步提升教学效果.
【拓展提升】例4 试说明32002－4×31999＋10×31998能被7整除．例5 利用提公因式法计算：0．582×8.69＋1.236×8.69＋2.478×8.69＋5.704×8.69.例6 利用因式分解计算：(1)32016－32015；(2)(－2)101＋(－2)100. 在掌握基本技能的基础上，进一步培养学生良好的观察能力和分析解决问题的能力.
活动四：课堂总结反思 【当堂训练】1．(1)12m2n2与12mn的公因式是________；(2)πR2－2aπR＝πR(________)(3)－4p2＋12pq＝(________)(p－3q)2．49a3bc3＋14a2b2c2－21ab2c2在分解因式时，应提取的公因式是( )A．7abc2 B．7ab2c2 C．7a2b2c2 D．7a3bc33．下列各题因式分解正确的是( )A．3x2－5xy＋x＝x(3x－5y)B．4x3y2－6xy3z＝－2xy2(2x2－yz＋3)C．3ab(a－b)－6a(a－b)＝3(a－b)(ab－2a)D．－56x3yz＋14x2y2z－21xy2z2＝－7xyz(8x2－2xy＋3yz)4．把下列各式因式分解：(1)x2yz－xy2z＋xyz2； (2)－8x4－48x3y；(3)－64x2y2z－32xy3z＋48xy2z2; (4)xmyn＋1－2x2myn. 通过设置当堂训练，进一步巩固所学新知，同时检测学习效果，做到堂堂清.
【课堂总结】1．课堂小结：本节课你学到了什么，谈谈你的感受吧！2．布置作业：(1)教材第60页练习第1，2，3题．(2)教材第62页习题3.2第1，2(1)(2)(3)题． 课堂总结，发展潜能，提高学生的归纳能力及语言表达能力.
【知识网络】 框架图式总结，更容易形成知识网络.
活动四：课堂总结反思 【教学反思】①[授课流程反思]本节课通过问题情景，启发学生思考，引起认知冲突，引导学生逐步深入地探索新知识，应用新知识．需要注意的是，学生有自己的看法和意见，教师不可一味地否定．教师要关注学生思考问题的过程，千万不要代替学生思考，更不可强加给学生固定的思维模式．让学生在独立思考和合作交流中解决问题，发展数学应用能力．②[讲授效果反思]学生在学习利用提公因式法因式分解时，找最大公因式容易出错．在找最大公因式时应注意：(1)系数要找各项系数的最大公约数；(2)字母要找各项都有的；(3)指数要找最低次幂．③[师生互动反思] ④[习题反思]好题题号 错题题号 反思，更进一步提升.
