人教版数学八年级下册 18.2.1 第1课时 矩形的性质 课件 (共19张PPT)

(共19张PPT)
第十八章 平行四边形
18.2.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.
重点难点：
1.理解矩形的概念，掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用．
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.
学习目标：
情景导入
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
知识精讲
知识点一 矩形的性质
当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形.
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
命题1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°.
又∵矩形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C ， ∠B = ∠D，∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.即矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，
求证：AC = BD.
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB.

∴AC = BD， 即矩形的对角线相等.
命题2: 矩形的对角线相等
矩形除了具有平行四边形所有性质，还具有的性质有：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
几何语言描述：
在矩形ABCD中，对角线AC与DB相交于点O.
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB =90°，AC=DB.
A
B
C
D
O
归纳：
例1 如图,在矩形ABCD中,E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴DF=DC.
针对练习
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC=BD
C．AC⊥BD D．OA=OB
A
B
C
D
O
C
2.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的_________.
知识点二 直角三角形斜边上的中线的性质
命题3：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
O
C
B
A
D
证明: 延长BO至D, 使OD=BO,连接AD、DC.∵AO=OC, BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.求证: BO = AC
∴BO= BD= AC.
例2 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE.
解：连接EG，DG.∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点G是BC的中点，∴EG＝ BC，
DG＝ BC.∴EG＝DG.
又∵点F是DE的中点，∴GF⊥DE.
归纳：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
针对练习
1.如图，在△ABC中,∠ABC = 90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3cm,则AC =_____cm;
(2)若∠C = 30° ,AB = 5cm,则AC =_____cm, BD = _____cm.
A
B
C
D
6
10
5
当堂检测
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线相等 B.对边相等
C.对角相等 D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边分别5和12,则斜边上的中线长为 ( )
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
A
C
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF=______cm．
2.5
4.如图，△ABC中，E在AC上，且BE⊥AC．D为AB中点，若DE=5，AE=8，则BE的长为______．
6
第4题图
第5题图
5.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE,
（2）若∠DBC=30° , BO=4 ,求四边形ABED的面积.
A
B
C
D
O
E
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴AC= BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8.
∵∠DBC=30°,
∴CD= BD= ×8=4,
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
BC=
∴四边形ABED的面积= ×(4+8)× = .
A
B
C
D
O
E
6.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF⊥BD于F，求PE+PF的值.
解：连接OP.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，OA=OD=OC=OB，
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC
= S矩形ABCD= ×6×8=12.
在Rt△BAD中，由勾股定理得BD=10，
∴AO=OD=5，
∵S△APO+S△DPO=S△AOD，
∴ AO·PE+ DO·PF=12，即5PE+5PF=24，
∴PE+PF= .
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
课堂小结