北师大版数学八年级下册 第五章分式与分式方程 教案

第五章　分式与分式方程
1　认识分式
第1课时　认识分式
1．理解分式的概念，明确分式和整式的区别．
2．理解分式有意义、无意义、值为0的条件．
重点
理解分式的概念，分式有意义的条件．
难点
对分式有意义、无意义、值为0的条件的理解．
一、情境导入
问题情境1：面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林 2 400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多 30 hm2，结果提前完成原计划的任务．如果设原计划每月固沙造林 x hm2，那么原计划完成造林任务需要________个月，实际完成造林任务用了________个月．
问题情境2：2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内的统计结果显示，前a天日均参观人数35万人，后b天日均参观人数45万人，这(a＋b)天日均参观人数为多少万人？
问题情境3：新华书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现每册降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元．降价销售开始时，新华书店这种图书的库存量是多少？
参考答案：1. ，.2..3. .
处理方式：学生独立思考，小组讨论得出结果．小组互相矫正．
二、探究新知
1．分式的概念
(1)思考：
对前面出现的代数式 ，，，，它们有什么共同特征？它们与整式有什么不同？
整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果整式B中含有字母，那么称为分式．其中A叫做分式的分子，B为分式的分母．对于任意一个分式，分母都不能为零．
(2)剖析分式的概念：
形式：与分数一样，分式也是由分子、分母和分数线组成．
内容：分数的分子、分母都是整数，分式的分子、分母都是整式．
要求：分式的分母中必须含有字母；分子中可以含字母，也可以不含字母．
(3)课件出示：
下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
x－1，，，，(x＋y)，，，.
处理方式：让学生小组内交流探讨，对照分式的概念作出正确的判断．讨论交流的过程中，对学生产生的困惑和疑问，教师及时地作出解释．
2．分式有意义、无意义、值为0的条件
课件出示：
(1)当a＝1，2，－1时，分别求分式的值；
(2)当a取何值时，分式有意义？
处理方式：由学生独立完成后，再分小组讨论、交流，进一步明确解题方法．
解：(1)当 a＝1时，＝＝2；
当 a＝2时，＝＝1；
当 a＝－1时，＝＝0.
(2)当分母的值为零时，分式没有意义，除此以外，分式都有意义.
由分母2a－1＝0，得a＝， 所以，当a≠ 时，分式都有意义．
三、举例分析
例　什么条件下，下列分式的值为零？
(1)； (2) .
处理方式：教师指导，示范说明当分子为零且分母不为零时的值为零．
解：根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0.
所以，(1)x＝0.(2)由x2－1＝0 ，解得x＝±1 .又因为x＋1≠0，即x≠－1 .所以x＝1 .
四、练习巩固
1．代数式：①；②；③；④ 中，是分式的有(　　)
A．①②　　　　　　　B．③④
C．①③ D．①②③④
2．当x＝________时，分式无意义．
3．当x取什么值时，下列分式值为0
(1) ；
(2) .
五、课堂小结
这节课你有哪些收获？
六、课外作业
1．教材第109页“随堂练习”第1、2、3题．
2．教材第109～110页习题5.1第1～5题．
本节课在教学分式概念时，是让学生通过观察、归纳、总结整式与分式的异同，从而得出分式的概念．新课标注重学生探索、创新、合作能力的培养，本课时观察分式与整式的异同时，就是采取学生自主探索、合作交流的形式．
第2课时　分式的基本性质
1．熟练掌握分式的基本性质．
2．利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形．
3．了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法．
重点
掌握分式的基本性质．
难点
利用分式的基本性质约分．
一、复习导入
1．什么叫单项式？什么叫多项式？什么叫整式？
2．分数的基本性质是什么？
3．什么叫分式？
二、探究新知
1．探究分式的基本性质
问题1：你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流．
问题2：据此你能总结出分式的性质吗？
处理方式：学生分组讨论，归纳分析回答．
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．
用式子表示为：·＝，÷＝·＝.
注意：性质中是同时乘(或除以)同一个不为零的整式．
2．分式的约分
(1)课件出示：
下列等式的右边是怎样从左边得到的？
① ＝ (y≠0)；②＝ .
处理方式：学生自主完成解题过程．
解：①因为y≠0，所以 ＝ ＝.
②因为x≠0，所以＝ ＝ .
(2)课件出示：
化简下列分式：
① ；② .
处理方式：师生共同完成化简过程．
解：①中a2bc可分解为ac·(ab)，分母中也含有因式ab，因此利用分式的基本性质：
＝ ＝＝ac.
②＝ ＝ .
说明：在①中相当于分子、分母同时约去了整式ab ；在②中相当于分子、分母同时约去了整式x－1.把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
三、举例分析
例1　化简下列分式：
(1) ；(2) .
处理方式：学生自主完成化简过程．
解：(1) ＝ ＝ .
(2)＝.
例2　在化简时，小颖与小明出现了分歧．
小颖是这样做的：＝，
小明是这样做的：＝＝.
提出问题：你对他们两人的做法有何看法？与同伴交流．
归纳：如果化简成，说明化简的结果中分子与分母已没有公因式，这种分式称为最简分式．化简分式时，我们通常要使结果成为最简分式或者整式．
四、练习巩固
1．下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
(1) ； (2) ； (3) ；(4) .
2．已知分式.
(1) 当x为何值时，分式无意义？
(2) 当x为何值时，分式有意义？
3．化简下列分式：
(1)；(2) .
五、课堂小结
通过今天的学习，同学们有何收获和感想？
六、课外作业
1．教材第112页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第113页习题5.2第1～4题．
在让学生小组讨论之前应给学生一定的时间独立思考，不要让一些思维活跃的同学的回答代替了其他学生的思考，从而掩盖了其他学生的疑问和错误．教师应对学生的讨论给予引导，对学习困难的学生给予及时的帮助，使小组合作学习更具实效性．找公因式是约分的关键，应设计一些找公因式的练习，作为铺垫，这样学生可能对约分掌握得更好．
2　分式的乘除法
1．类比分数的乘除运算法则，探究分式的乘除法法则，研究分式的运算算理．
2．会利用分式的乘除法运算法则，进行简单的分式的乘除法运算．
3．提升学生的思维迁移能力，发展符号运算水平．
重点
会进行简单的分式的乘除法运算．
难点
解决一些与分式有关的简单的实际问题．
一、情境导入
有一次，鲁班的手不慎被一片小草割破了，他发现小草叶子的边缘布满了密集的小齿，于是便产生联想，根据小草的结构发明了锯子．鲁班在这里就运用了“类比”的思想方法，“类比”也是数学学习中常用的一种重要方法．
上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？今天我们研究“分式的乘除法”．(板书课题)
二、探究新知
1．探究分式的乘法法则
(1)计算，并说出分数的乘法法则：
①×；　　　②×.
分数乘分数，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
(2)猜一猜：×＝________．
你能总结分式的乘法法则吗？与同伴交流．
×＝.
分式的乘法法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
2．探究分式的除法法则
(1)计算，并说出分数的除法法则．
①÷；　　　②÷.
分数除以分数，把除数的分子分母颠倒位置，与被除数相乘．
(2)猜一猜：÷＝________．
你能总结分式的除法法则吗？与同伴交流．
÷＝×＝.
分式的除法法则：
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
三、举例分析
例1　计算：
(1) ·； (2) ·.
处理方式：师生共同完成解题过程．
解：(1) ·＝＝.
(2)·＝＝.
注意：①分子、分母有多项式的，一般是分子和分母先分解因式，并在运算过程中约分；②运算结果要化成最简分式．
例2　计算：
(1) 3xy2÷；
处理方式：学生自主完成计算过程．
解：3xy2÷＝3xy2·＝＝x2.
提出问题：就计算过程谈谈你的想法？
引导学生得出计算分式除法的步骤：
① 除法变乘法； ②再按乘法法则运算；③结果为最简分式．
(2) ÷.
处理方式：师生共同完成计算过程．
解：原式＝·＝
＝
＝.
注意：①分式的分子和分母是多项式，先要对分子和分母进行因式分解；②结果要化为最简分式或整式．
四、练习巩固
1．计算：
(1)·；(2)·()2.
2．购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，已知球的体积公式为V＝πR3 (其中R为球的半径)．那么
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴交流．
3．对于a÷b· ，小明是这样计算的：a÷b· ＝ a÷1＝a.他的计算过程正确吗？为什么？
五、课堂小结
通过这节课的学习，你学到了哪些知识？要注意什么问题？
六、课外作业
1．教材第115页“随堂练习”．
2．教材第116页习题5.3第1、2、4题．
本节课中的运算法则的运用不难，但有的学生在运用法则计算时遇到单项式乘单项式、单项式乘多项式或多项式乘多项式即整式的乘法运算时，情况较差．另外，部分学生在结果的化简上存在问题，化简意识不够，因此在本节课的教学中应该在复习分数的乘除法时复习分数的约分，通过对分数的约分类比分式的约分，加强化简意识．还有些学生因式分解的基础知识不扎实，这些直接影响这节课的学习，这充分体现了数学知识是相关联的，所以课前有必要巩固分式的约分和因式分解这两方面的知识，进行有针对的练习．
3　分式的加减法
第1课时　同分母分式的加减法
1．类比同分母分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则．
2．理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算．
重点
分式的加减法的运算法则及其应用．
难点
简单的异分母的分式的加减．
一、复习导入
问题1：计算：
(1)＋＝________；(2)－＝________；
(3)＋＝________；(4)－＝________．
处理方式：让学生回答，使学生很快进入状态又不觉得困难，而后两个小题运算后要约分，学生极有可能报出没有约分的答案．老师强调：约分是分数的必要步骤．
问题2：同分母的分数相加减的法则是什么？
同分母的分数相加减，分母不变，把分子相加减．
二、探究新知
1．探究同分母分式相加减的法则
课件出示：
(1)＋＝________；(2)－＝________；
(3)＋＝________；(4)－＝________．
思考：同分母的分式应该如何加减？
运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为：±＝.
2．同分母分式相加减法则的运用
课件出示：
(1)－ ；(2)－ ；
(3)－ ；(4)＋－.
处理方式：先选四名学生板书，其余学生在练习本上完成后小组内进行交流，小组长对本组学生出现的答案进行汇总并尽可能通过交流达到统一；教师结合学生的板书情况对做题的格式进行规范和强调，让学生学会加减法运算并注意运算时可能出现的问题．
注意：(1)若分子是多项式的，分子要先加括号，再去括号后合并同类项；(2)运算结果也类比分数加减法的结果，要化成最简形式，即约去分子与分母的所有公因式．
三、举例分析
例　计算：
(1)＋；(2)－ .
处理方式：先引导学生思考两个问题：(1)这两个题目与我们前面做的题目有什么不同点？(2)能不能化成同分母的分式加减法？然后两名学生板书，其余学生在练习本上完成．待学生全部完成后教师进行强调：分母互为相反数时，改变一下运算符号即可变为同分母．
注意：第二小题有意增加难度，利于学生能力的提高．解答时只要将后一分母前的运算符号变为相反，即可按同分母分式的加减法法则进行运算．旨在初现异分母分式加减的运算，实则化成同分母的分式，这要求学生能够熟练掌握，为下节课一般的异分母加减的学习做好准备．
四、练习巩固
1．计算：
(1)＋；(2)＋；
(3)－.
2．计算：
(1)＋；(2)－；
(3)＋－；(4)－.
五、课堂小结
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？
六、课外作业
1．教材第118页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第118～119页习题5.4第3、4题．
本节课的内容充分挖掘教材中的素材，把它们转化成本节课的实质内容，并能渗透教学目标，让学生通过对这些素材的把握，做到举一反三，灵活运用．鼓励学生通过与分数类比，得出分式加减运算法则后，应该先讲例1，顺水推舟给出例2，演练结合，讲纠互补，注意对关键点的引导．毕竟课堂时间有限，课后还是应该多练，扎实基本功．
第2课时　异分母分式的加减法
1．类比分数的加减，理解异分母分式的加减法法则．
2．能通过通分把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，能熟练地进行分式的混合运算，同时能运用分式的运算解决生活中的实际问题．
3．经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力．
重点
掌握分式的通分及异分母分式的加减运算．
难点
分式的混合运算．
一、复习导入
1．异分母的分数如何加减？如：＋应如何计算？
2.你认为异分母的分式应该如何加减？比如＋应如何计算？
处理方式：小组讨论交流，完成上述问题．引导学生思考：在进行上述运算时，首先进行了怎样的变形呢？
二、探究新知
1．探究异分母的分式加减法法则
课件出示教材第119页“议一议”．
总结：为了计算简便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母(简称最简公分母)作为它们的公分母．所以说通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
提出问题：你们能仿照小学学习的异分母分数的加减运算法则总结出异分母分式的加减运算法则吗？
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
这一法则用字母表示为： ±＝±＝.
2．通分
课件出示：
将下列各式通分：
(1) ， ，；(2)，；
(3) ，；(4) ，.
问题1：你能找出各个小题的最简公分母吗？
问题2：我们找出它们的最简公分母后该怎么通分呢？
找最简公分母：首先将分式的分母能写成乘积的形式，一定要写成乘积的形式，也就是将分母分解因式．然后按照以下步骤：
①找系数：各分母系数的最小公倍数；
②找字母(或式子)：各分母中出现的字母(或式子)；
③找次数：相同字母(或式子)最高的次数．
三、举例分析
例1　计算：
(1)＋ ；(2)－ ；
(3)－.
解：(1)＋＝＋
＝＝ ＝ .
(2)－＝－
＝＝.
(3)－＝－
＝＝ ＝ .
例2　小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽走的是平路，骑车速度为2v km/h.小刚需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的骑车速度为v km/h，在下坡路上的骑车速度为3v km/h.那么
(1)小刚从家到学校需要多长时间？
(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少用多长时间？
处理方式：以问题串的形式引导学生思考：①小刚上坡路需要的时间是多少？②小刚下坡路需要的时间是多少？③小丽走平路需要的时间是多少？……(通过小组合作，学生间相互提问找出解决问题的办法)
四、练习巩固
1．化简－ 可得(　　)
A.　　　　　B．－
C. D.
2．化简＋的结果是(　　)
A. B.
C. D.
3.化简：(－)÷ ＝________．
4．化简(1－)(m＋1) 的结果是________．
5.计算：＋.
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
六、课外作业
1．教材第121页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第121～122页习题5.5第1～5题．
本节课中异分母分式加减法的例题和习题采取梯度设置，有助于学生循序渐进地获得知识，对知识的掌握更容易且更牢靠，教学效果很好．异分母分式加减法的法则的讨论让学生更明确其理所在，容易接受；演练让老师能更好地发现学生在接受新知识时所遇到的困难和容易犯的错误，有助于及时纠正，应该多采取这种方式．实际问题解决在于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识得到增强，数学思想得到提升．
第3课时　分式的加减混合运算
1．会进行分母是多项式的异分母分式的加减法运算及分式与整式的加减法运算．
2．提高学生对代数式化简变形的能力．
3．能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值．
4．会运用分式建立数学模型，从而解决实际问题，增强学生用数学的意识．
重点
异分母分式的加减法运算及分式的应用．
难点
异分母分式的加减法运算及分式的化简求值．
一、复习导入
问题1：同分母分式是怎样进行加减运算的？
问题2：异分母分式是如何进行加减运算的？
问题3：计算：
(1)＋ ；(2)－ ；(3)－ .
思考：请同学们观察这三道题，总结一下做这类题的关键是什么？
进行异分母的分式加减法关键是：如何确定合适的最简公分母．本节课就让我们继续探索这方面的知识．
二、探究新知
1．课件出示教材第122页例5.
解：(1) ＋＝＋
＝＋……(通分)
＝……(同分母分式相加减)
＝……(分子相加，分母不变)．
(2)－x＋1
＝－(x－1)……(整式看作一个整体)
＝－……(通分)
＝……(同分母分式相加减)
＝……(分子相加减)
＝……(最简分式)．
(3)＋－
＝＋－……(通分)
＝……(同分母分式相加减)
＝……(最简分式)．
2．课件出示教材第123页例6.
解：－－
＝＝.
因为＝2，即x＝2y，
所以，原式＝＝＝.
思考：还有其他解法吗？
－－＝－－.
根据 ＝2，变形得＝ ，然后将它们代入计算．
师：你认为哪种方法更好？
生：还是先化简，再代入求值的方法更好．
三、举例分析
例　根据规划设计，某工程队准备修建一条长 1 120 m 的盲道．由于采用新的施工方式，实际每天修建盲道的长度比原计划增加10 m，从而缩短了工期．假设原计划每天修建盲道x m，那么
(1)原计划修建这条盲道需要多少天？实际修建这条盲道用了多少天？
(2)实际修建这条盲道的工期比原计划缩短了几天？
处理方式：学生独立思考，老师适时指导点拨．
四、练习巩固
计算：
(1)1－x＋；(2)＋ －.
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有什么收获？
六、课外作业
1．教材第123～124页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第124页习题5.6第1～5题．
本节课是对异分母分式加减法的进一步学习和运用，在例题的讲解和习题训练中出现了如：分子添括号、结果约分等问题，今后在课下需要加强辅导与巩固练习．另外实际问题解决取决于对数学模型的理解，对字母表示数的理解，可以在平时教学中不时渗透，使学生用数学的意识增强，数学思想得到提升．
4　分式方程
第1课时　分式方程的概念
1．通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型．
2．能利用具体情境中的等量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义．
重点
理解分式方程的概念．
难点
根据实际问题建立分式方程的数学模型．
一、情境导入
在这一章的第一节中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题．
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期限内固沙造林2 400 hm2，实际每月固沙造林的面积比原计划多30 hm2，结果提前4个月完成原计划的任务．那么原计划每月固沙造林多少公顷呢？
当时，我们设原计划每月固沙造林x hm2，那么原计划完成任务需要个月，实际完成任务用了个月．根据题意，可得方程－＝4 .
－＝4 中，， 是不同于整式的代数式，我们称之为分式．像－＝4这样的方程我们称之为分式方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型．今天我们共同来研究分式方程．
二、探究新知
1．路程问题
甲、乙两地相距1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
(1) 你能找出这一问题中有哪些等量关系吗？
(2) 如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
(3) 如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
解：(1) 等量关系：
乘高铁列车所用的时间＋9 h＝乘特快列车所用的时间．
高铁列车的速度＝特快列车的速度×2.8.
乘高铁列车所用的时间＝.
乘特快列车所用的时间＝ .
(2)x 满足方程：－＝9 .
(3)y 满足方程：＝2.8×.
2．捐款问题
我国是世界上自然灾害种类最多的国家，自然灾害也给一些地区造成重创(播放图片)，每当这时全国人民都会纷纷伸出友谊之手，捐出自己的一份爱．
课件出示教材第125页“做一做”．
处理方式：学生独立思考，然后组织讨论、交流，教师巡视，给予必要的指导．
解：设七年级捐款人数为x人，根据题意，可得方程＝.
3．总结分式方程的概念
师：上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程怎么称呼？
特点：这些方程都有分式，分母中都含有未知数．
强调分式方程的定义：分母中含有未知数的方程是分式方程．
判断分式方程的条件：①方程；②分母中含有未知数．
思考：整式方程与分式方程有什么区别？
整式方程的分母中不含有未知数，分式方程的分母中含有未知数．
三、举例分析
例　有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9 000 kg和15 000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3 000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．
问题1：在这个问题中涉及哪几个基本量？它们的关系如何？
解：涉及三个基本量：总产量、每公顷试验田的产量、试验田的面积．其中总产量＝每公顷试验田的产量×试验田的面积．
第一块试验田的面积＝第二块试验田的面积；(a)
第一块试验田每公顷的产量＋3 000 kg＝第二块试验田每公顷的产量．(b)
问题2：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少千克呢？
解：方法1：根据等量关系(b)，可知第二块试验田每公顷的产量是(x＋3 000)kg.
根据题意，利用等量关系(a)，可得方程：＝.
方法2：根据等量关系(a)，我们可以设两块试验田的面积都为x hm2，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量．根据等量关系(b)，可列出方程：＋3 000＝.
四、练习巩固
1．下列各式中，是分式方程的是(　　)
A．x＋y＝5　　　　　　B.＝
C. D.＝0
2．“退耕还林还草”是在我国西部地区实施的一项重要生态工程．某地规划退耕面积共69 000公顷，退耕还林与退耕还草的面积比为5∶3.设退耕还林的面积为x hm2，那么x满足怎样的分式方程？
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？
六、课外作业
1．教材125～126页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第126页习题5.7第1～3题．
本节课循序渐进，合理设计教学问题系列，有效组织教学活动，既发挥了教师的主导作用，又体现了学生的主体地位，较好地完成了教学目标．在本节课堂教学中，学生在掌握了列分式和分式计算式的基础上，结合过去学过的列一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式(组)、一次函数解应用题等知识，能够很快列出分式方程．而且，本节课在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法， 激活学生的思维，营造良好的课堂氛围．
第2课时　分式方程的解法
1．探索分式方程的解法，体会解分式方程的必要步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2．知道增根的意义，了解增根产生的原因，会检验方程的根是不是增根．
3．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程．
重点
掌握分式方程的解法．
难点
知道增根的意义，了解增根产生的原因，会检验方程的根是不是增根．
一、复习导入
问题1：什么叫分式方程？
问题2：下列方程中，哪些是分式方程？并给出理由．
(1)＝；(2)2x＋＝10；
(3)＝ ；(4)＝.
问题3：解一元一次方程有哪些步骤？如何解一元一次方程＋＝？
二、探究新知
1．解分式方程的基本思想
问题：什么是方程的解？你能设法求出分式方程－＝9的解吗？
解法1：－＝9，＝9，x＝100.(中的1 400与2.8约分后，与变成同分母，再根据分式的基本性质求解)
解法2：1 400×2.8－1 400＝2.8x×9，2.8×9x＝1 400×1.8，x＝100.(根据分式基本性质，两边同时乘2.8x，去分母后变成一元一次方程，然后求解)
解分式方程的基本思想：把分式方程化为整式方程求解．
2．解分式方程的步骤
(1)课件出示：
解方程＝ .
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2)．
解这个方程，得x＝3.
检验：将x＝3带入原方程，得
左边＝1，右边＝1，左边＝右边．
所以，x＝3是原方程的根．
(2)课件出示教材第127页“议一议”．
归纳总结：
增根：使原分式方程的分母为零的未知数的值，我们称它为原方程的增根．
增根产生的原因：去分母时，我们在方程的两边同时乘了一个使分母为零的整式．
注意：解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须验根；增根不是计算过程中的失误造成的，而是在从分式方程转化为整式方程的过程中产生的；验根只需把求的根代入最简公分母中，看其是否为零．
注意事项：在解这个方程的过程中，学生容易忽视两个分母互为相反数，所以在去分母时会化简为繁．要提醒学生先将一个分母化为另一个分母的相反数．
(3)解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
处理方式：引导学生结合例题的解题步骤，展开讨论，小组总结回答，教师多媒体出示．
解分式方程的步骤：
①去分母，把分式方程转化为整式方程；
②解这个整式方程；
③检验：将未知数的值代入原方程，检验方程左右两边是否相等或代入最简公分母，检验最简公分母是否为0.
④写出分式方程的根．
三、举例分析
例　解方程：－＝45 .
处理方式：学生观察、分析，小组讨论，学生代表口述解题思路，师生共同完成解题过程，教师多媒体展示步骤．
四、练习巩固
1．已知x＝1是分式方程＝的根，则实数k＝________.
2．若关于x的方程－1＝0有增根，则a的值为________．
3．解分式方程：＋4＝.
4．若关于x的方程＝1的解是负数，求m的取值范围．
五、课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
六、课外作业
1．教材第128页“随堂练习”第1、2题．
2．教材第128页习题5.8第1～4题．
本节课中的数学活动建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础之上，学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．关于分式方程的增根的教学，通过创设“议一议”的问题，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习， 促使学生在教师指导下生动活泼地、主动地、富有个性地学习，使学生的学习能力得到最大限度的提升．
第3课时　分式方程的应用
1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用．
2．使学生经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程．
3．学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力．
重点
能将实际问题中的等量关系用分式方程表示．
难点
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．
一、复习导入
1．解分式方程有哪些步骤？
2．解分式方程： －＝1.
3．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？
二、探究新知
1．课件出示教材第129页“做一做”．
处理方式：小组讨论，教师巡回指导，师生共同总结．
解：(1)等量关系：
①第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500元．
②第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋间数．
③出租房屋的间数＝所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金．
(2)①求出租房屋的总间数；②分别求这两年每间房屋的租金．
(3)方法一：
解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为(x＋500)元．第一年出租的房屋为间，第二年出租的房屋为间，根据题意，得 ＝ .
解得x＝8 000.
经检验，x＝8 000是原分式方程的解，也符合题意．
x＋500＝8 500(元)．
所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．
方法二：
解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为元，第二年每间房屋的租金为元，根据题意，得＝＋500.
解这个方程，得x＝12.
经检验，x＝12是原方程的解，也符合题意．
所以每年各有12间房屋出租．
102 000÷12＝8 500(元)，96 000÷12＝8 000(元)．
所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元．
(教师强调：解分式方程应用题时一定要检验．)
三、举例分析
例　某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．
处理方式：审清题意，找出题中的等量关系．
思考：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？
处理方式：先引导学生思考这个问题，小组交流，学生回答并相互补充，教师多媒体展示．
(1)审：分析题意，找出数量关系和相等关系．
(2)设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．
(3)列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．
(4)解：认真仔细．
(5)验：有两次检验．
(6)答：注意单位和语言完整．
四、练习巩固
1．某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是(　　)
A.＝　　　　　B.＋3＝
C.＝ D.＝＋3
2.全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传，全程共10千米，自行车队的速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为(　　)
A.＋2＝＋ B.－＝2－0.5
C.－＝2－0.5 D.－＝2＋0.5
五、课堂小结
通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？
六、课外作业
1．教材第129页“随堂练习”．
2．教材第130页习题5.9第1、2、3题．
本节课教学列分式方程解决实际问题，这个内容是在学生已经认识了解分式方程、列一元一次方程解决实际问题的基础上进行教学的．教学列分式方程解决实际问题，需要引导学生在解决问题的过程中，进一步掌握分式方程的解法，积累分析数量关系以及把实际问题抽象为方程的经验，进而适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题．