中考数学专题 几何探究——构造辅助圆解决一类动点问题 教学设计

中考数学复习
<<几何探究—构造辅助圆解决一类动点问题>>
教学设计
一、教学内容分析
动点问题一直是近年中考的热点问题，也是让大多数同学感到困惑的一类问
题.学生之所以对动点问题思路不够清晰，主要原因在于对模型的理解还不够深
刻.本节课主要传授学生借助构造辅助圆来解决一些动点问题的方法，既是对刚
学过的圆的知识的巩固，也是对所学知识的一个必要补充，旨在发展学生的几何
直观，培养学生能够从不同角度认识事物和还原事物本质的能力.
二、学生情况分析
在本节课前，学生已完成了圆的基础知识的学习，对圆的概念和相关性质有
了初步的理解和掌握.但对于如何借助圆这个工具来解决一些棘手问题，比如说
动点问题，学生可能还比较陌生，学生对动点问题中的定值与变量条件的利用还
比较困难.从而导致面对很多动点问题，学生往往会无从下手.
三、学习目标
1.复习回顾圆的定义和相关性质，知道利用圆的相关性质，构造辅助圆，可
将某些动点问题由“隐形”变为“显形”.
2.能抓住翻折、张角为直角等问题的本质特征，通过构造适当的辅助圆，来
解决一些动点问题.
3.获得应用思想方法的成功体验，增强探索的欲望.
四、教学重难点
教学重点: 构造辅助圆解决“定点、定长型”和“直角型”动点问题.
教学难点: 能够准确判断出构造圆的条件，建立用圆的观点看问题的意识.
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五、教学过程
（一）回顾旧知
1、圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
（圆的定义）
2、直径所对的圆周角是 90°，90°的圆周角所对的弦是直径.
（圆周角定理推论）
（二）模型初探--- 一道简单的动点问题引发的思考
如图，点M为线段 AB外一动点，且 AB=5，AM=3，
填空：当点M位于 时，线段 BM的长取最大值，且最大
值为 .
M
A B
此环节，学生可能会想到利用三角形两边之和大于第三边来解决问题，此时再加
入圆作为背景，引导学生从圆的角度去理解该问题，从而引出辅助圆的概念.
问：
思考 1：什么条件让你想到可以构造辅助圆，可以构造圆的依据是什么？
条件 1：动点到定点的距离等于定长时，可构造辅助圆.
依据 1：圆的定义
此模型可简称为“定点、定长型”.
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（三）问题探究
探究 1
如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90 ,AC=4,BC=6,点 D是边 BC的中点,点 E是边
AB上的任意一点(点 E不与点 B重合)，沿 DE翻折△DBE使点 B落在点 F处，
连接 AF，则线段 AF长的最小值为 .
该环节继续鼓励学生用不同方法解决.
方法一：
方法二：
总结：构造辅助圆来解决动点问题的一般步骤：
显形 寻点 求解
（通过提问引导学生总结出一般步骤）
问：通过以上探究你觉得构造辅助圆来解决动点问题有什么优点？
（让学生通过刚才已有的经验总结出构造辅助圆解决动点问题的优点）
设计意图：通过该探究过程让学生感受构造辅助圆解决动点问题的优势（直观、
方便）.
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演练 1
如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠A=60°，点 F在边 AC上，并
且 CF＝2，点 E为边 BC上的动点，将△CEF沿直线 EF翻折，点 C落在点 P处，
则点 P到边 AB距离的最小值是_________.
设计意图：通过此问题让学生巩固利用构造辅助圆的方法来解决“定点、定长型”
动点问题.
老师提示: 辅助圆是一种思想，一种工具，不是我们解决问题地唯一办法，但借
助辅助圆，可以使我们解决问题更方便。
(四)模型再探
圆周角定理推论：直径所对的圆周角是 90°，90°的圆周角所对的弦是直径.
思考 2：什么条件还可以让你想到构造辅助圆，可以构造圆的依据是什么？
条件 2：定线段所对的张角是直角时，可构造辅助圆.
依据 2： 90°的圆周角所对的弦是直径.
此模型可简称为“直角型”.
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探究 2
如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且
满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP长的最小值为 .
设计意图：此问题仍然引导学生用不同方法解决，旨在训练学生对条件的转化能
力以及利用辅助圆解决“直角型”动点问题的能力.
总结：你觉得通过构造辅助圆来解决动点问题与其他方法相比有什么优势？
演练 2
如图，E，F是正方形 ABCD的边 AD上两个动点，满足 AE=DF.连接 CF交 BD
于点 G，连接 BE交 AG于点 H.若正方形的边长为 2，则线段 DH长度的最小值
是 .
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设计意图：该环节旨在帮助学生巩固利用辅助圆解决“直角型”动点问题，体验
通过构造辅助圆解决动点问题的优势.
总结：从以上探究中你能悟出一些解决动点问题的“诀窍”吗？
从“变”中找不变，以不变应万变.
（五）总结提升
1.本节课主要学习的数学方法：构造辅助圆解决一类动点问题.
2.两种可以构造辅助圆的情形：（1）“定点、定长型 ”
（2）“直角型”
3.本节课主要采用的思想方法：转化思想---将动点问题转化为圆中的变量问题.
六、作业设计
必做题：
1．如图，点 E、F是边长为 4的正方形 ABCD边 AD、AB上的动点，且 AF = DE，
BE交 CF于点 P，在点 E、F运动的过程中，PA的最小值为 .
2.如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段 AC上一动点，
连接 BD，过点 C作 CH⊥BD于 H，连接 AH，AH的最小值为_________.
3. 如图，直线 y＝x＋4分别与 x轴、y轴相交与点M、N，边长为 2的正方形
OABC一个顶点 O在坐标系的原点，直线 AN与MC相交与点 P，若正方形绕着
点 O旋转一周，点 P到点（0，2）长度的最小值为________.
1题图 2题图 3题图
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4.如图矩形 ABCD 中,AD=5,AB=7,点 E为 DC上一个动点,把△ADE 沿 AE折叠,
当点 D的对应点 D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 .
选做题：
5.如图 1,在 Rt△ABC中,∠A=90 ，AB=AC，点 D，E分别在边 AB，AC上，
AD=AE，连接 DC，点M，P，N分别为 DE，DC，BC的中点。
（1）如图 2，把△ADE绕点 A在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请
求出△PMN面积的最大值。
（2）在（1）的条件下请直接写出 PM的最大值。
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