2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.2二项式系数的性质课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
1.二项式定理：
2.通项：
3.二项式系数：
注：项的系数与二项式系数是两个不同的概念
一、温故知新
二项式系数：Cnk
项的系数：二项式系数与数字系数的积
一般地，对于n N*有
二项定理:
新课引入：
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表：
通过计算填表,你发现了什么
n (a+b)n展开式的二项式系数 1
2
3
4
5
6
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
每一行的系数具有对称性
除此以外还有什么规律呢
二、探究新知
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
上表写成如下形式：
1 7 21 35 35 21 7 1
… … … … … …
1 Cn-11 Cn-12 …… Cn-1k-1 Cn-1k …… Cn-1n-2 1
能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗
①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离
的项的系数相等.
②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于
它“肩上”两个数的和.
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
上表写成如下形式：
杨辉三角：
这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似右侧的表：
展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是：
当 时，其图象是右图中的7个孤立点．
二项式系数的性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
得到．
图象的对称轴：
二项式系数的性质
1.对称性
2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，
知识对接测查1
1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )
A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项
则n=__________
B
8
2.增减性与最大值
所以 相对于 的增减情况由 决定
由
可知，当 时，
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值
二项式系数的性质
因此,当n为偶数时,中间一项的二项式
系数 取得最大值；
当n为奇数时,中间两项的二项式系数
相等，且同时取得最大值。
2.增减性与最大值
二项式系数的性质
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ；
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 .
3.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。
最大的系数呢？
知识对接测查2
2.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数
最大。
解:
第8、9项的二项式系数
即6435最大。
3.各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ，则
这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于
同时由于 上式还可以写成：
这是组合总数公式.
二项式系数的性质
例3.证明：在(a+b)n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
在展开式
证明：
得
即
赋值法
中，
=2n-1
知识对接测查3
2.求证：
证明：∵
倒序相加法