第一章基本知能检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．下列命题是全称命题的是( )
A．圆有内接四边形
B.>
C.<
D．若三角形的三边长分别为2,4,5，则这个三角形为直角三角形
[答案] A
[解析] A是隐含全称量词“对任意一个”，B、C、D为简单命题．
2．对于任意实数a，b，c给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；
④“a<5”是“a<3”的必要条件；
其中真命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] 当c＝0时，a、b不为0时，ac＝bc?/ a＝b，所以①是假命题；当a＝2，b＝－3时，a>b?/ a2>b2，所以③是假命题，②④显然正确，故选B.
3．命题“若A?B，则A＝B”与其逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] “若A?B，则A＝B”为假命题，其逆命题“若A＝B，则A?B”为真命题，故其否命题为真，逆否命题为假．故选B.
4．(2009·厦门模拟)已知命题P：?b∈[0，＋∞)，f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上为增函数，命题Q：?x∈{x|x∈Z}，使log2x>0，则下列为真命题的是( )
A．綈P∨綈Q B．綈P∧綈Q
C．P∨綈Q D．P∧綈Q
[答案] C
[解析] P为真，Q为真，故选C.
5．已知A、B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么綈A是綈B的( )
A．充分条件 B．充要条件
C．必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] A是B的充分条件，则A?B，∴綈B?綈A，
∴綈A是綈B的必要条件．
6．(2010·上海文，16)“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 本题考查了任意角的三角函数值及充要条件问题．
∵tan(2kπ＋)＝1，而tanx＝1?x＝kπ＋ k∈Z，故选A.
7．设有两个命题，命题p：关于x不等式(x－2)≥0的解集为{x|x≥2}；命题q：若函数y＝kx2－kx－1的值恒小于0，则－4
A．“?p”为假命题
B．“?p”为真命题
C．“p或q”为真命题
D．“p且q”为真命题
[答案] B
[解析] ∵x＝1为不等式(x－2)·≥0的解，∴p为假命题；命题q中k＝0使y<0恒成立，∴q为假命题，
∴?p为真命题，故选B.
8．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，m⊥α，n⊥β，则下列命题中的假命题是( )
A．若m∥n，则α∥β
B．若α⊥β，则m⊥n
C．若α，β相交，则m、n相交
D．若m，n相交，则α，β相交
[答案] C
[解析] 若α，β相交，∴m⊥α，n⊥β，∴m与n可能异面，可能相交，故C错．为假命题．
9．若命题p：x∈(A∩B)，则綈p( )
A．x∈A且x?B B．x?A或x?B
C．x?A且x?B D．x∈(A∩B)
[答案] B
[解析] ∵x∈(A∩B)∴x∈A且x∈B，
∴綈p：x?A或x?B.
10．命题p：x＝π是y＝|sinx|的一条对称轴，q：2π是y＝|sinx|的最小正周期，下列新命题有
①p∨q②p∧q③綈p④綈q其中真命题有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
[答案] C
[解析] 由题意知p真q假，则①④为真命题，故选C.
11．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是( )
A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l
B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
[答案] D
[解析] 对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，m是否垂直β，决定于m的位置；
对于B，β⊥γ与α、γ的交线m没有必然的联系，即不一定有m⊥β；
对于C，α⊥γ，β⊥γ，则α、β的位置关系可相交，可平行；
对于D，n⊥α，n⊥β，则有α∥β，又m⊥α，∴m⊥β是充分的．
12．(2009·广东)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
[答案] D
[解析] 考查空间线面的位置关系的判定与性质．
①错，②正确，③错，④正确．故选D.
二、填空题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．命题：“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是______．
[答案] A∪B≠A则A∩B≠B
14．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是____________________________________．
[答案] 若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不全大于0.
15．a＝3是直线l1：ax＋2y＋3a＝0和直线l2：3x＋(a－1)y＝a－7平行且不重合的________条件．
[答案] 充要
[解析] l1：ax＋2y＋3a＝0
l2：3x＋(a－1)y＋7－a＝0
∵l1、l2平行且不重合
∴＝≠
∴a＝3
16．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是______________，命题綈p的真假是________．
[答案] 綈p 对一切实数m，方程x2＋mx＋1＝0都没有实数根 假
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)写出所给命题的逆命题、否命题，并分别判断它们的真假．
若x2＋x≤0，则|2x＋1|<1.
[解析] 逆命题：若|2x＋1|<1，则x2＋x≤0，由|2x＋1|<1.∴－1<2x＋1<1，∴－1此时x2＋x＝x(x＋1)≤0成立，∴逆命题为真．
否命题：若x2＋x>0，则|2x＋1|≥1
由x2＋x>0，∴x>0或x<－1.
当x>0时，|2x＋1|≥1成立；
当x<1时，2x＋1<－1，
∴|2x＋1|≥1成立．
∴否命题为真．
18．(本小题满分12分)设有两个命题：
(1)关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；
(2)函数f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数．
若命题(1)、(2)中有且仅有一个是真命题，则实数a的取值范围是多少？
[解析] 记命题p：A＝{a|x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立}，
命题q：B＝{a|f(x)＝－(4－2a)x在(－∞，＋∞)上是减函数}，
则A＝{a|－2∵p与q中仅有一个为真命题，
∴命题p真且命题q假或命题p假且命题q真，
∴原题转化为求(A∩?RB)∪(?RA∩B)，
∵?RA＝{a|a≥2或a≤－2}，
?RB＝{a|a≥}，
∴A∩?RB＝{a|≤a<2}，
?RA∩B＝{a|a≤－2}，
∴实数a的取值范围为{a|a≤－2或≤a<2}．
19．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：?x∈R，使得x2＋x＋1≤0.
[解析] (1)綈p：?m∈R，使方程x2＋x－m＝0无实数根．
若方程x2＋x－m＝0无实数根，则
Δ＝1＋4m<0，则m<－，
所以当m＝－1时，綈p为真．
(2)綈q：?x∈R，使得x2＋x＋1>0.(真)
因为x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0，
所以綈q为真．
20．(本小题满分12分)已知命题p：{x|1－c0}，命题q：(x－3)2<16，且p是q的充分而不必要条件．求c的取值范围．
[解析] 命题p对应的集合A＝{x|1－c0}，由(x－3)2<16可解得命题q对应的集合B＝{x|－1∵p是q的充分而不必要条件，
∴A?B，∴
解得：021．(本小题满分12分)设x，y∈R，求证：|x－y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≤0.
[解析] 充分性：如果xy＝0，那么，①x＝0，y≠0；②x≠0，y＝0，③x＝0，y＝0，
于是|x－y|＝|x|＋|y|.
如果xy<0，即x>0，y<0或x<0，y>0，
当x>0，y<0时，|x－y|＝x－y＝|x|＋|y|，
当x<0，y>0时，
|x－y|＝－(x－y)＝－x＋y＝|x|＋|y|，
总之，当xy≤0时，|x－y|＝|x|＋|y|.
必要性：由|x－y|＝|x|＋|y|及x，y∈R.
得(x－y)2＝(|x|＋|y|)2，
即x2－2xy＋y2＝x2＋2|xy|＋y2.
得|xy|＝－xy.
所以xy≤0，故必要性成立．
综上，原命题成立．
22．(本小题满分14分)已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0，a∈R，求：
(1)方程有两个正根的充要条件；
(2)方程至少有一个正根的充要条件．
[解析] (1)方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是，
即?
即：a≥10或a≤2且a≠1，
设此时方程两根为x1，x2，
∴有两正根的充要条件是
?
?1(2)从(1)知1当a＝1时，方程化为3x－4＝0有一个正根x＝.
方程有一正、一负根的充要条件是：
??a<1.
综上所述：方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0至少有一个正根的充要条件是a≤2或a≥10.
第一章综合素质检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．“a＝1”是“函数y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，周期T＝＝＝π，则a＝±1.故选A.
2．若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2<5x－6，则綈p是綈q的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] B
[解析] 綈p：{x|x<－5或x>3}，綈q：{x|x≤2或x≥3}，∴綈p?綈q，綈q 綈p.故选B.
3．已知m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n?α，则m∥α.
其中真命题的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案] A
[解析] ①正确，排除C、D；m⊥α，m∥β，
∴β内存在直线n∥m，∴n⊥α，
∴α⊥β，③正确，排除B.
故选A.
4．下列命题中，真命题是( )
A．?x∈R，x>0
B．如果x<2，那么x<1
C．?x∈R，x2≤－1
D．?x∈R，使x2＋1≠0
[答案] D
[解析] A显然是假命题，B中若x∈[1,2)虽然x<2但x不小于1.C中不存在x，使得x2≤－1，D中对?x∈R总有x2＋1≥1，
∴x2＋1≠0，故D是真命题，选D.
5．(2009·山东烟台3月考)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] ①④正确，②③不正确．故选B.
6．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的( )
A．充分必要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直的充要条件是：(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝或m＝－2，故应选B.
7．(2010·广东文，8)“x＞0”是“＞0”成立的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
[答案] A
[解析] 本题考查了充要条件的判定问题，这类问题的判断一般分两个方向进行，x>0显然能推出>0，而>0?|x|>0?x≠0，不能推出x>0，故选A.
8．已知命题p：?x∈R，sinx≥0，则下面说法正确的是( )
A．綈p是存在性命题，且是真命题
B．綈p是全称命题，且是真命题
C．綈p是全称命题，且是假命题
D．綈p是存在性命题，且是假命题
[答案] A
[解析] 綈p：?x∈R，sinx<0，所以是存在性命题也是真命题．故选A.
9．给出命题p：“若·>0，则△ABC为锐角三角形”；命题q：“实数a、b、c满足b2＝ac，则a、b、c成等比数列”．那么下列结论正确的是( )
A．p且q与p或q都为真
B．p且q为真而p或q为假
C．p且q为假且p或q为假
D．p且q为假而p或q为真
[答案] C
[解析] p：若·>0，则∠B>90°所以△ABC为钝角三角形，故p为假命题．q：a、b、c均为零时b2＝ac但a、b、c不成等比数列，故q为假命题，所以p且q为假，p或q也为假，故选C.
10．下列有关命题的说法错误的是( )
A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0
B．x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件
C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
D．对于命题p：?x∈R，使得x2＋x＋1<0，则綈p：?x∈R，均有x2＋x＋1≥0
[答案] C
[解析] p∧q为假，则p，q至少一个为假．故选C.
11．(2009·天津高考)设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] x＝1?x3＝x，但x3＝x x＝1，故选A.
12．用反证法证明命题：若系数为整数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是( )
A．假设a、b、c都是偶数
B．假设a、b、c都不是偶数
C．假设a、b、c至多有一个是偶数
D．假设a、b、c至多有两个是偶数
[答案] B
[解析] a、b、c中至少有一个是偶数的否定是a、b、c都不是偶数，故选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．“|x－2|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的________条件．
[答案] 必要不充分
[解析] 由|x－2|<2得－2由x(x－3)<0?014．设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，则使p∨q为真，p∧q为假的实数m的取值范围是________．
[答案] (－∞，－2]∪[－1,3)
[解析] 对于方程x2＋2mx＋1＝0有两个不等正根，
∴∴m<－1，
方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，
Δ＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0，
∴－215．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的充要条件是________________．
[答案] c＝0
16．设A、B为两个集合，下列四个命题：
①AB?对?x∈A，有x?B；
②AB?A∩B＝?；
③AB?A?B；
④AB??x∈A，使得x?B，其中真命题的序号是________________．
[答案] ④
[解析] 通过举反例说明：
若A＝{1,2,3}，B＝{1,2,4}，满足AB，
但1∈A且1∈B，A∩B＝{1,2}，所以①，②是假命题；若A＝{1,2,4}，B＝{1}
满足A?B，但B?A，所以③是假命题；只有④为真命题．
三、解答题(本大题共6个大题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)写出命题“若＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解析] 逆命题：若x＝2且y＝－1，则＋(y＋1)2＝0；(真)
否命题：若＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；(真)
逆否命题：若x≠2或y≠－1，则＋(y＋1)2≠0(真)
18．(本题满分12分)已知a>0设命题p：函数y＝()x为增函数．
命题q：当x∈[，2]时函数f(x)＝x＋>恒成立．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的范围．
[解析] 当y＝()x为增函数，得0当x∈[，2]时，因为f(x)在[，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数．
∴f(x)在x∈[，2]上最小值为f(1)＝2.
当x∈[，2]时，由函数f(x)＝x＋>恒成立．
得2>解得a>.
如果p真且q假，则0如果p假且q真，则a≥1.
所以a的取值范围为(0，]∪[1，＋∞)．
19．(本题满分12分)已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1)当b>0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明a≤2；
(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
[证明] (1)∵f(x)＝－b(x－)2＋，
对任意x∈R，都有f(x)≤1，
∴f()＝≤1.
又∵a>0，b>0，∴a2≤4b，即a≤2.
(2)必要性：
对任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1，
即－1≤f(x)≤1，
∴f(1)≥－1，即a－b≥－1，∴a≥b－1.
∵b>1，∴0<<1，∴f≤1.
即a·－b·()2≤1，
∴－1≤1，∴a≤2.
所以b－1≤a≤2.
充分性：
∵b>1，∴f(x)的图象是开口向下的抛物线．
由a≤2，得0<<≤1.
∴0<<1.
∴ymax＝f()＝＝()2≤1.
∴f(x)≤1.∵f(0)＝0，∴f(0)>－1.
又∵f(1)＝a－b，由b－1≤a，即a≥b－1，
知f(1)≥b－1－b＝－1.而函数f(x)在(0，)上单调递增，在上单调递减，所以当x∈[0,1]时，f(x)≥－1.
综上所述，当b>1时，对任意x∈[0,1]，
|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
20．(本小题满分12分)求使函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴上方成立的充要条件．
[解析] 要使函数f(x)的图象全在x轴上方的充要条件是：
或
解得1所以使函数f(x)的图象全在x轴上方的充要条件是1≤a<19.
21．(本小题满分12分)已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：|1－|<1.若p是真命题，q是假命题，求实数x的取值范围．
[解析] 由lg(x2－2x－2)≥0得x2－2x－2≥1，即x2－2x－3≥0，
即(x－3)(x＋1)≥0，∴x≥3或x≤－1.
由|1－|<1，－1<1－<1∴0∵命题q为假，∴x≤0或x≥4，
则{x|x≥3或x≤－1}∩{x|x≤0或x≥4}
＝{x|x≤－1或x≥4}，
∴满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
22．(本小题满分14分)证明二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.
[解析] 充分性：设△＝b2－4ac≤0则af(x)＝a2x2＋abx＋ac＝a2(x＋)2－＋ac
＝a2(x＋)2－(b2－4ac)≥0，
所以af(m)≥0，这与af(m)<0矛盾，即b2－4ac>0.
故二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个不等的零点，设为x1，x2，且x1af(m)＝a2(m－x1)(m－x2)<0，所以x1必要性：设x1，x2是方程的两个零点，且x1因为f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，且x1∴af(m)＝a2(m－x1)(m－x2)<0，即af(m)<0.
综上所述，二次函数f(x)的两个零点在点(m,0)的两侧的充要条件是af(m)<0.
第二章基本知能检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．θ是任意实数，则方程x2＋y2sinθ＝4的曲线不可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
[答案] C
[解析] 无论sinθ是否为零，均不能表示抛物线方程．
2．抛物线y＝－x2的焦点坐标为( )
A．(0，) B．(0，－)
C．(，0) D．(－，0)
[答案] B
[解析] 原方程可化为：x2＝－y，
∴焦点坐标为(0，－)，选B.
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为( )
A. B．－
C．8 D．－8
[答案] B
[解析] y＝ax2?x2＝y，
＝－2，a＝－，选B.
4．已知椭圆＋＝1(a>5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为( )
A．10 B．20
C．2 D．4
[答案] D
[解析] 由椭圆定义可知，有|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，
∴△ABF2的周长L＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝2a＋2a＝4a.
由题意可知b2＝25,2c＝8，∴c2＝16，
a2＝25＋16＝41，∴a＝，
∴L＝4，故选D.
5．椭圆＋＝1的一个焦点为(0,1)，则m＝( )
A．1 B.
C．－2或1 D．－2或1或
[答案] C
6．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标和渐近线方程分别为( )
A．(±4,0)，y＝±x B．(±4,0)，y＝±x
C．(±2,0)，y＝±x D．(±2,0)，y＝±x
[答案] B
[解析] 本题考查了椭圆和双曲线的相关性质．
易知椭圆焦点(±4,0)，双曲线离心率e＝＝2，c＝4可知a＝2，又∵a2＋b2＝c2可得b＝2，双曲线的渐近线方程：y＝±x，即y＝±x.故选B.
7．椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则|ON|等于( )
A．2 B．4
C．9 D.
[答案] B
[解析] |ON|＝|PF2|＝×8＝4，故选B.
8．已知点F1(－，0)、F2(，0)动点P满足|PF2|－|PF1|＝2，当点P的纵坐标是时，点P到坐标原点的距离是( )
A. B.
C. D．2
[答案] A
[解析] 由题意知，P点的轨迹是双曲线的左支，c＝，a＝1，b＝1，
∴双曲线的方程为x2－y2＝1，
把y＝代入双曲线方程，得x2＝1＋＝，
∴|OP|2＝x2＋y2＝＋＝，
∴|OP|＝.
9．(2009·湖北)已知双曲线－＝1的准线经过椭圆＋＝1 (b>0)的焦点，则b＝
( )
A．3 B.
C. D.
[答案] C
[解析] 本题主要考查圆锥曲线的基本知识．
双曲线的准线方程为x＝±＝±1，
∵双曲线－＝1的准线经过椭圆的焦点，
∴椭圆半焦距c＝1且焦点在x轴上，
∴4－b2＝1，∴b2＝3，b＝.
10．双曲线的虚轴长为4，离心率e＝，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为( )
A．8 B．4
C．2 D．8
[答案] A
[解析] 利用双曲线定义，∵AB在左支上，
∴|AF2|－|AF1|＝2a，
|AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝4a，
又∵2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴2|AB|－|AB|＝4a，|AB|＝4a，
而∴|AB|＝8，选A.
11．曲线y2＝4x关于直线x＝2对称的曲线方程是( )
A．y2＝8－4x B．y2＝4x－8
C．y2＝16－4x D．y2＝4x－16
[答案] C
[解析] 设所求曲线的任意一点的坐标为P(x，y)，其关于x＝2对称的点的坐标为Q(4－x，y)，把它代入方程y2＝4x得y2＝4(4－x)，∴y2＝16－4x，故选C.
12．(2010·四川文，10)椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0，] B．(0，]
C．[－1,1) D．[，1)
[答案] D
[解析] 本题考查椭圆的有关性质及线段的垂直平分线的性质等基础知识．
如图所示，|AF|＝－c＝，由线段AP的垂直平分线过点F知，|FP|＝|FA|＝，
∵点P在椭圆上，由题意得a－c≤≤a＋c，解之得e＝≥，
故e∈[，1)．
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的标准方程是________．
[答案] －y2＝1
[解析] 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，知＝，它的一个焦点是(，0)知a2＋b2＝10，因此a＝3，b＝1，故双曲线的方程是－y2＝1.
14．已知双曲线－＝1的离心率为3，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
[答案] (±3,0) y＝±2x
[解析] 双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为(±3，0)，又双曲线离心率为2，即＝2，c＝3，故a＝1，b＝2，渐近线为y＝±x＝±2x.
15．过抛物线y2＝4x的焦点F作垂直于x轴的直线，交抛物线于A、B两点，则以F为圆心，AB为直径的圆方程是________________．
[答案] (x－1)2＋y2＝4
[解析] 抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，因为AB为抛物线的通径2p，所以AB＝4，即圆的半径为2，故圆的方程是(x－1)2＋y2＝4.
16．双曲线－＝1(a>b>0)的左右焦点分别是F1，F2，已知线段F1F2被点(b,0)分成5?1两段，则此双曲线的离心率为____．
[答案]
[解析] 由已知＝5，∴2c＝3b，
即4c2＝9b2＝9(c2－a2)，
∴5c2＝9a2，∴e＝.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)若已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P(，y)，求椭圆及双曲线的方程．
[解析] 由椭圆与双曲线有相同的焦点得
10－m＝1＋b，即m＝9－b①
又点P(，y)在椭圆、双曲线上，得
解由①、②、③组成的方程组得
m＝1，b＝8，
∴椭圆方程为＋y2＝1，双曲线方程为x2－＝1.
18．(本小题满分12分)已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线方程．
[解析] (1)得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由韦达定理，得x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)．
所以|AB|＝
＝
＝
＝
＝，
所以当m＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y＝x.
19．(本小题满分12分)已知α∈[0，π)，试讨论当α的值变化时，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示曲线的形状．
[解析] (1)当α＝0时，方程为y2＝1，即y＝±1，表示两条平行于x轴的直线；
(2)当α∈(0，)时，cosα>sinα>0，方程可化为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(3)当α＝时，方程为x2＋y2＝，表示圆心在原点，半径为的圆；
(4)当α∈(，)时，sinα>cosα>0，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆；
(5)当α＝时，方程化为x2＝1，表示两条平行于y轴的直线；
(6)当α∈(，π)时，sinα>0，cosα<0，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在x轴上的双曲线．
20．(本小题满分12分)公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在圆形水面的中心，OA＝1.25米．安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一个平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离1米处时达到距水面最大高度2.25米．如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？
[解析] 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径．
以OA所在直线为y轴，O为原点建立直角坐标系．依题意知，A(0,1.25)，设右侧抛物线顶点为B，则B(1,2.25)，抛物线与x轴正向交点为C，OC即为圆形水池的半径．设抛物线ABC的方程为(x－1)2＝－2p(y－2.25)(p>0，x≥0，y≥0)，将A(0,1.25)代入，求得p＝.
∴抛物线方程为(x－1)2＝－(y－2.25)．令y＝0，(x－1)2＝1.52，
∴x＝2.5.即水池的半径至少要2.5米，
才能使喷出的水不致落到池外．
21．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x，椭圆＋＝1，它们有共同的焦点F2，并且相交于P、Q两点，F1是椭圆的另一个焦点，
试求：(1)m的值；(2)P、Q两点的坐标；(3)△PF1F2的面积．
[解析] (1)∵抛物线方程为y2＝4x，∴2p＝4，
∴＝1，
∴抛物线焦点F2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c＝1，a2＝9＝b2＋c2，
∴9＝m＋1，
∴m＝8.
(2)解方程组得或，
∴点P、Q的坐标为(，)、(，－)．
(3)点P的纵坐标就是△PF1F2的边F1F2上的高，
∴S△PF1F2＝|F1F2|·|yP|＝×2×＝.
22．(本小题满分14分)如图所示，圆x2＋y2＝4与y轴的两个交点分别为A、B，以A、B为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y轴左方的交点分别为C、D，当梯形ABCD周长最大时，求此双曲线方程．
[解析] 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
C(x0，y0)(x0<0，y0>0)，|BC|＝t(0连结AC，则∠ACB＝90°.
作CE⊥AB于E，则有|BC|2＝|BE|·|AB|，
∴t2＝(2－y0)×4，即y0＝2－.
∴梯形ABCD的周长l＝4＋2t＋2y0，即l＝－t2＋2t＋8＝－(t－2)2＋10.
当t＝2时，l最大，此时，|BC|＝2，|AC|＝2.
又C在双曲线的上支上，且B、A分别为上、下两焦点，
∴|AC|－|BC|＝2a，则2a＝2－2.
∴a＝－1，即a2＝4－2，
∴b2＝c2－a2＝2.
∴所求双曲线方程为－＝1.
第二章综合素质检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 依题意，e＝＝2，c＝1，
即：解得m＝，
n＝，mn＝，选A.
2．与抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线的焦点坐标是( )
A．(1,0) B．(，0)
C．(－1,0) D．(0，－)
[答案] C
[解析] x2＝4y关于x＋y＝0，对称的曲线为y2＝－4x，其焦点为(－1,0)．
3．过点C(4,0)的直线与双曲线－＝1的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是( )
A．|k|≥1 B．|k|>
C．|k|≤ D．|k|<1
[答案] B
[解析] 如图所示，l1平行于y＝x，l2平行于y＝－x，由图可看出，当过C由l1位置逆时针方向转到l2位置之间的直线与双曲线－＝1的右支都有两个交点，此时k>或k<－.
4．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P的椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
[答案] A
[解析] 由条件可得F1(－3,0)，PF1的中点在y轴上，∴P点坐标(3，y0)．又P在＋＝1的椭圆上得y0＝±.
∴M在坐标，故选A.
5．已知||＝3，A、B分别在y轴和x轴上运动；O为原点，若＝＋，则点P的轨迹方程是( )
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋y2＝1 D．x2＋＝1
[答案] A
[解析] 设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由题知(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，
即x＝x0，y＝y0，
∴x0＝x，y0＝3y，
又∵||＝3，∴x＋y＝9，
∴＋y2＝1即为点P的轨迹方程．
6．如图，在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致是( )
[答案] D
[解析] 解法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为标准方程：＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，因此>>0，所以由椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，则D选项正确．
解法二：将方程ax＋by2＝0中的y换成－y，其结果不变，即说明ax＋by2＝0的图形关于x轴对称；排除B、C，又椭圆的焦点在y轴上，故选D.
7．(2010·天津理，5)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上．则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[答案] B
[解析] 由题易知＝①
且双曲线焦点为(6,0)、(－6,0)，
则由a2＋b2＝36②
由①②知：a＝3，b＝3，
∴双曲线方程为－＝1，故选B.
8．F1，F2是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任何一焦点向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
[答案] A
[解析] 如图所示：∠BAF1为外角，AP为外角角平分线l所在直线
设长轴长为2a(a>0)，∠BAF1＝∠CAF2，
∴AP平分∠CAF2，延长F2P交F1A于C，
∴C、F2关于P对称，∴AC＝AF2.
设F2为(c,0)，F1为(－c,0)，P为(x，y)，
∴c为(2x－c,2y)∵AC＝AF2，AF2＋AF1＝2a，
∴F1C＝2a，即4x2＋4y2＝4a2，
∴轨迹为圆，选A.
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若＝，·＝48，则抛物线方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝6x D．y2＝4x
[答案] B
[解析] 如图，∵＝，||＝p，
∴|AC|＝2p，∴|AF|＝|FB|＝2p，
又·＝48，
∴|BC|2＝48，
∴在Rt△ABC中，(4p)2－(2p)2＝48，
∴p＝2，∴y2＝4x.
10．若椭圆＋＝(a>b>0)和圆x2＋y2＝(＋c)2(c为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是( )
A．(，) B．(，)
C．(，) D．(0，)
[答案] A
[解析] 要保证椭圆与圆的4个交点，只要保证圆的半径b<＋c??
由①得4c2>b2＝a2－c2,5c2>a2，>，e2>，e>，
由②得4(a2＋c2－2ac)>b2＝a2－c2，得3a2－8ac＋5c2>0，
两边同除以a2，得5e2－8e＋3>0，(e－1)(5e－3)>0，e>1(舍去)或e<，
则11．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于点P1，P2，线段P1P2的中点设为P，设直线l的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值等于( )
A．2 B．－2
C. D．－
[答案] D
[解析] 设直线l的方程y＝k1(x＋2)将y＝k1(x＋2)代入x2＋2y2＝2中得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－2＝0.
设P(x0，y0)则x0＝，
y0＝k1(x0＋2)＝
∴k2＝＝－
∴k1k2＝－·k1＝－.
故选D.
12．B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头， 向B、C两地运转货物．经测算，从M到B、C两地修建公路的费用都是a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是( )
A．(＋1)a万元 B．(2－2)a万元
C．2a万元 D．(－1)a万元
[答案] B
[解析] 设总费用为y万元，则y＝a·(MB＋MC)
∵河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2km，
∴曲线PG是双曲线的一支，B为焦点，且a＝1，c＝2.
由双曲线定义，得MA－MB＝2a，即MB＝MA－2，
∴y＝a·(MA＋MC－2)≥a·(AC－2)．
以直线AB为x轴，中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A(－2,0)，C(3，)．
∴AC＝＝2，
故y≥(2－2)a(万元)．
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线交于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．
[答案] 2
[解析] 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F为抛物线焦点，由得y2＋4y－4＝0，|y1－y2|＝＝4，S△POQ＝|OF|·|y1－y2|＝2.
14．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是________．
[答案] 2x－y－15＝0
[解析] 设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x－4y＝4，x－4y＝4，两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵AB的中点为P(8,1)，
∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，∴＝2，
∴直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，
即2x－y－15＝0.
15．已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程是________．
[答案] (x－10)2＋y2＝36(y≠0)
[解析] 设A(x，y)，则D(，)，由|CD|＝3和两点间距离公式求得方程，同时结合图形，除去A，C，D三点共线的情况．
16．下列四个关于圆锥曲线的命题：①设A，B为两个定点，k为非零常数，若||－||＝k，则动点P的轨迹为双曲线；②过定点C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若＝(＋)，则动点P的轨迹为椭圆；③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线－＝1与椭圆＋y2＝1有相同的焦点．其中真命题的序号为________．
[答案] ③④
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P(，)，求抛物线方程和双曲线方程．
[解析] 依题意，设抛物线方程为y2＝2px，(p>0)，
∵点(，)在抛物线上，
∴6＝2p×，∴p＝2，
∴所求抛物线方程为y2＝4x.
∵双曲线左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点(，)在双曲线上，∴－＝1，
由解得：a2＝，b2＝.
∴所求双曲线方程为 4x2－y2＝1.
18．(本小题满分12分)已知定点A(a,0)，其中0[解析] 设椭圆上任一点为P(x，y)(－3≤x≤3)，
则|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋(36－4x2)＝(x－a)2＋4－a2，
当0∴当x＝a时，|PA|＝4－a2＝1，
得a＝>(舍)，
当当且仅当x＝3时，|PA|＝a2－6a＋9＝1，
故a＝2或a＝4(舍)，综上得a＝2.
19．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点F1、F2，它们的离心率之和为2，
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2的值．
[解析] (1)在椭圆＋＝1中，
a2＝25，b2＝9，
∴c＝＝4，焦点在y轴上，离心率为e＝.
由题意得：所求双曲线的半焦距c＝4，
离心率e′＝2－＝2，
又∵e′＝＝＝2，
∴双曲线的实半轴为a′＝2，
则b′2＝c2－a′2＝16－4＝12，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)由双曲线、椭圆的对称性可知，不论点P在哪一个象限，cos∠F1PF2的值是相同的，设点P是双曲线与椭圆在第一象限的交点，其中|PF1|>|PF2|
由定义可知|PF1|＋|PF2|＝10①
|PF1|－|PF2|＝4②
由①、②得|PF1|＝7，|PF2|＝3.
又∵|F1F2|＝8，在△F1PF2中，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝＝－，
∴cos∠F1PF2的值为－.
20．(本小题满分12分)(2010·辽宁文，20)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
[解析] 本题考查圆锥曲线中椭圆与直线的位置关系，第(1)问较基础，第(2)问中计算是关键之处．
解：(1)设焦距为2c，则F1(－c,0)F2(c,0)
∵kl＝tan60°＝
∴l的方程为
y＝(x－c)
即：x－y－c＝0
∵f1到直线l的距离为2
∴＝＝c＝2
∴c＝2
∴椭圆C的焦距为4
(2)设A(x1，y1)B(x2，y)由题可知y1＜0，y2＞0
直线l的方程为y＝(x－2)
得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b2(a2－4)＝0
由韦达定理可得
∵＝2 ∴－y1＝2y2，代入①②得
得＝·
＝ ⑤
又a2＝b2＋4 ⑥
由⑤⑥解得a2＝9 b2＝5
∴椭圆C的方程为＋＝1
21．(本小题满分12分)已知椭圆长轴|A1A2|＝6，焦距|F1F2|＝4，过椭圆的左焦点F1作直线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M＝α(0≤α≤π)，问α取何值时，|MN|等于椭圆的短轴的长．
[解析] 如图所示，a＝3，c＝2，b＝1，∴椭圆方程为＋y2＝1.
设过F1的直线方程为y＝k(x＋2)．
∴
①代入②，整理
得(1＋9k2)x2＋36k2x＋72k2－9＝0，
∴x1＋x2＝－，x1·x2＝.
代入|MN|＝，整理得|MN|＝.
∵＝2，∴k＝±.
即tanα＝±，∴α＝或α＝.
22．(本小题满分14分)如右图，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且·＝·.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．
[解析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，由·＝·，
得(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简整理，得y2＝4x.
即动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
(2)设直线AB的方程为x＝my＋1(m≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又M(－1，－)，
联立方程组消去x化简整理，
得y2－4my－4＝0，
Δ＝(－4m)2＋16>0，由根与系数的关系，
得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
由＝λ1，＝λ2，
得y1＋＝－λ1y1，y2＋＝－λ2y2，
整理得λ1＝－1－，λ2＝－1－，
∴λ1＋λ2＝－2－(＋)＝－2－·＝－2－·＝0.
即λ1＋λ2的值为0.
第三章基本知能检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．直三棱柱ABC—A1B1C1，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a＋b－c B．a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
[答案] D
[解析] 结合图形，得＝＋＋＝－c－a＋b＝－a＋b－c.
2．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则a与c的夹角为( )
A．0 B.
C. D.
[答案] D
[解析] a·c＝|a|2－(a·b)
＝|a|2－a·a＝0
∴a⊥b.
3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b垂直，则λ等于( )
A．1 B．－1
C．6 D．－6
[答案] C
[解析] a·b＝2－λ＋4＝0，∴λ＝6.
4．已知非零向量a、b，及平面α，若向量a是平面α的法向量，则a·b＝0是b所在直线平行于α或在α内的( )
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若a·b＝0，则b∥α；反之，b∥α?a·b＝0.故选A.
5．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3，d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z分别为( )
A.，－，－1 B.，，1
C．－，，1 D.，－，1
[答案] A
[解析] 由已知得
∴x＝，y＝－，z＝－1.
故选A.
6．下列说法中不正确的是( )
A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量
B．一个平面的所有法向量互相平行
C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直
D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量
[答案] D
[解析] 由线面垂直的判定定理知D成立．
7．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] 由题意知M为△ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则＝①
又AD为中线，则＋＝2＝m
即2＝m，②
联立①②得m＝3，故选B.
8．对于任意向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，给出下面两个命题：
①a∥b?＝＝；
②若a1＝a2＝a3＝1，则a为单位向量．
其中正确命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] A
[解析] 由＝＝?a∥b但a∥b?/ ＝＝；若a1＝a2＝a3＝1，则|a|＝，∴①②都不正确．故选A.
9．如右图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为( )
A．arccos
B.
C．arccos
D.
[答案] D
[解析] 建立空间直角坐标系，如图所示．
E(0,0,1)，A1(1,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，∴＝(1,0,1)，
＝(1，－1，－1)，
而·＝0，
∴⊥.选D.
10．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( )
A.＝2－－
B.＝＋＋
C.＋＋＝0
D.＋＋＋＝0
[答案] C
[解析] 由共面向量定理知选C.
11．如图，P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AF，为求P与CD的距离作PQ⊥CD于Q，则( )
A．Q为CD的中点
B．Q与D重合
C．Q与C重合
D．以上都不对
[答案] C
[解析] 连AC，则AC⊥CD，由三垂线定理知PC⊥CD，∴Q与C重合．
故选C.
12．在60°的二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是( )
A.
B．2
C．3
D．4
[答案] D
[解析] 设二面α—l—β为60°，α内一点为A，过A作AB⊥β于B，AO⊥l于O，连OB，则OB⊥l，∴∠AOB＝60°，∴AB＝8sin60°＝4.
二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知向量a，c不共线，且b≠0，且(a·b)c＝(b·c)a，d＝a＋c，则〈d，b〉＝________.
[答案] 90°
14．如下图所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.
[答案] －－＋
15．三个平面两两垂直，它们交于一点O，空间一点P到三个面的距离分别为，和2，则PO＝________.
[答案] 5
[解析] PO＝＝5.
16．正△ABC边长为a，AD⊥BC于点D，沿AD把△ABC折起来使∠BDC＝90°，这时点B到AC的距离是______________．
[答案] a
[解析] 过D作DH⊥AC于H，连BH，则DH＝a，∴BH＝＝a.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分12分)在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．
(1)求证：AEC1F是平行四边形；
(2)求AE和AF之间的夹角的余弦值；
(3)求四边形AEC1F的面积．
[解析] (1)证明：如下图，以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，E(0,0，)，F(a，a，)，C1(0，a，a)．
∴＝(－a,0，)，＝(－a,0，)．
∴＝，∴AEC1F为平行四边形．
(2)解：由＝(0，a，)，
得cos〈，〉＝＝.
(3)解：由(2)知sin∠EAF＝.
∴S?AEC1F＝||||sin∠EAF＝a2.
18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求SC与平面ASD所成角的余弦值．
[解析] 建立如下图所示空间直角坐标系，
则S(0,0,1)，A(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，则
＝(1,1，－1)，＝(，1,0)，
＝(0,1,0)，平面ASD的一个法向量为＝(0,1,0)．
设SC与平面ASD所成的角为θ，则
sinθ＝＝，∴cosθ＝.
19．(本小题满分12分)(2009·江西)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的大小．
[解析] (1)依题设知，AC是所作球面的直径，则AM⊥MC.
又因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，又CD⊥AD，PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，又AM?面ABM，
所以平面ABM⊥平面PCD.
(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；设平面ACM的一个法向量n＝(x，y，z)，由n⊥，n⊥可得：，
令z＝1，则n＝(2，－1,1)．
设所求角为α，则sinα＝＝，
所以所求角的大小为arcsin.
20．(本小题满分12分)已知空间四边形OABC，棱OA，OB，BC互相垂直，OA＝OB＝BC＝1，N是OC的中点，点M在AB上，且MN⊥AB，求AM?AB的值．
[解析] 如图所示，设＝x，则＝x.
＝(1－x)＋x，
＝＝(＋)，
＝－
＝＋－(1－x)－x
＝(x－1)＋(－x)＋.
又知＝－，MN⊥AB，
所以·＝0.
即[(x－1)＋(－x)＋]·(－＋)＝0.
进行向量运算，考虑到、、互相垂直且它们的长度都为1，运算结果得－x＋1－x＝0.
解得x＝.
所以MN∶AB＝3∶4.
21．(本小题满分12分)在正棱锥P—ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别是BC，PB上的一点，且BE?EC＝PE?FB＝1?2.求证：
(1)平面GEF⊥平面PBC；
(2)EG是PG与BC的公垂线．
[证明] (1)以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．
令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)．
于是＝(3,0,0)，＝(1,0,0)．
故＝3.∴PA∥FG.
又PA⊥平面PBC，∴FG⊥平面PBC.
又FG?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PBC.
(2)∵＝(1，－1，－1)，＝(1,1,0)，＝(0，－3，3)．
∴·＝1－1＝0，·＝3－3＝0.
∴EG⊥PG，EG⊥BC，
∴EG是PG和BC的公垂线．
22．(本小题满分14分)(2009·湖南)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，点D是A1B1的中点，点E在A1C1上，且DE⊥AE.
(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；
(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．
[解析] 考查多面体的概念、空间平面与平面的位置关系和线面角．
解：(1)如图所示，由正三棱柱ABC－A1B1C1的性质知，AA1⊥平面A1B1C1，
又DE?平面A1B1C1，∴DE⊥AA1，
又DE⊥AE，AA1∩AE＝A，∴DE⊥平面ACC1A1，
∵DE?平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACC1A1.
(2)设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系如图．
不妨设AA1＝，则AB＝2，相关各点的坐标分别是A1(0，－1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D
易知＝(，1,0)，＝(0,2，)，AD＝
设平面ABC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有
解得x＝－y，z＝－y.
故可取n＝(1，－，)．
所以，cos〈n，〉＝＝＝.
由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.
第三章综合素质检测
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．在以下命题中，不正确的个数为( )
①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；
②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；
③对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－2－，则P，A，B，C四点共面；
④若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底；
⑤|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|.
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
[答案] C
[解析] ①|a|－|b|＝|a＋b|?a与b的夹角为π，故是充分不必要条件，①不正确．②b为非零向量，故不正确．③2－2－1≠1，故不正确．④正确．⑤不正确．
2．在正三棱柱ABC—A1B1C1D1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
[答案] B
[解析] 建立空间直角坐标系，可求·＝0，故成90°.
3．已知△ABC，＝c，＝b，＝a，用向量a，b，c的数量积的形式表示△ABC为锐角三角形的充要条件是( )
A．b·c>0，a·c>0
B．a·b>0，b·c>0，a·c>0
C．a·b>0
D．a·b>0，b·c>0，a·c<0
[答案] D
[解析] 由数量积的意义知D成立．
4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，若存在点D, 使得DB∥AC，DC∥AB，则点D的坐标为( )
A．(－1,1,1)
B．(－1,1,1)或(1，－1，－1)
C．(－，，)
D．(－，，)或(1，－1,1)
[答案] A
[解析] 代入坐标运算得D(－1,1,1)，故选A.
5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量与的夹角为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
[答案] C
[解析] ∵A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，
∴＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)．
∴cos〈，〉＝＝，∴选C.
6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么AM与CN所成的角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] D
[解析] 以D为坐标原点、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则＝(0，，1)，＝(1,0，)，
∴cosθ＝＝(用基向量表示亦可)．
7．下面命题中，正确命题的个数为( )
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2?α∥β；
②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β?n1·n2＝0；
③若n是平面α的法向量且a与α共面，则n·a＝0；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[答案] D
[解析] ①②③④均正确，故选D.
8．直线l1的方向向量v1＝(1,0，－1)；直线l2的方向向量v2＝(－2,0,2)，则直线l1 与l2的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或重合
[答案] D
[解析] ∵v2＝－2v1，∴l1∥l2或l1与l2重合．
9．如图，在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是( )
A. B.
C. D．2
[答案] D
[解析] 以、、为x轴，y轴，z轴的正向建立直角坐标系，则M(，0,3)，N(0，，3)，A(0,0,0)，
∵n＝(2,2，－1)，＝(3,0,0)，
∴d＝＝2，故选D.
10．如右图所示，正方体ABCD—A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin〈，〉的值为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] 以DA，DC，DD′所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B′(1,1,1)，C(0,1,0)，M(1，，0)，则＝(1,1,1)，＝(1，－，0)，cos〈，〉＝，则sin〈，〉＝.
11．在棱长为a的正方体OABC－O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE＝BF，则异面直线A′F与C′E所成角的大小为( )
A．锐角 B．直角
C．钝角 D．不确定
[答案] B
[解析] 如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设AE＝BF＝x，则A′(a,0，a)、F(a－x，a,0)、C′(0，a，a)、E(a，x,0)，－(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，
∴·＝－xa＋a(x－a)＋a2＝0，
∴A′F⊥C′E.
12．如图，四面体P－ABC中，PC⊥面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B－PA－C的余弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 如图，作BD⊥AP于D，作CE⊥AP于E，设AB＝1，则易得CE＝，EP＝，PA＝PB＝，AB＝1，
可以求得BD＝，ED＝.
∵＝＋＋，
∴2＝2＋2＋2·＋2＋＋2·.
∴·＝－.
∴cos〈，〉＝－.
∴cos〈，〉＝.
二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝________.
[答案] 0
[解析] 由于(2m＋n)·(m－3n)＝0，
可得：m·n＝－2，则：
a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝18.
|a|＝＝6，
|b|＝＝3，
cos〈a，b〉＝＝1，∴〈a，b〉＝0.
14．边长为1的等边三角形ABC中，沿BC边高线AD折起，使得折后二面角B－AD－C为60°，点D到平面ABC的距离为________．
[答案]
[解析] 如图所示，AD⊥面BCD，AD＝，
BD＝CD＝BC＝，
∴VA－BCD＝×AD×S△BCD.
又∵VA－BCD＝VD－ABC＝×h×S△ABC，
∴由等积法可解得h＝.
15．如图所示，在三棱锥P—ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成的角为________．
[答案] 60°
[解析] 由于PA＝PB＝PC，故P在底面ABC上的射影为△ABC外心，由于△ABC为直角三角形，不妨设OB＝OC，所以OP⊥面ABC，∠PAO为所求角，不妨设BC＝1，则OA＝，cos∠PAO＝，所以∠PAO＝60°.
16．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．
[答案] 0
[解析] 由λ＋m＋n＝0，得＝－－.
根据空间直线的向量参数方程有－－＝1?－m－n＝λ?m＋n＋λ＝0.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的法向量．
[解析] 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2.则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是＝(1,1,2)＝(－2,2,0)，＝(－2，0,1)，由于·＝－2＋2＝0，及·＝－2＋2＝0，∴⊥，⊥.
∴AC∩AP＝A，∴⊥平面PAC，
即是平面PAC的法向量．
18．(本小题满分12分)(2009·陕西)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝，∠ABC＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A－A1C－B的大小．
[解析] (1)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC.
在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60°，
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.
如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，
C(0，，0)，A1(0,0，)，
∴＝(1,0,0)，
＝(0，，－)，
∵·＝1×0＋0×＋0×(－)＝0，
∴AB⊥A1C.
(2)解：如图，可取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C的法向量，
设平面A1BC的法向量为n＝(l，m，n)，
则·n＝0，·n＝0，又＝(－1，，0)，
∴∴l＝m，n＝m.
不妨取m＝1，则n＝(，1,1)．
cos〈m，n〉＝
＝＝，
∴二面角A－A1C－B的大小为arccos.
19．(本小题满分12分)如图的多面体是底面为平行四边形的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面ADG；
(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
[解析] (1)证明：在△BAD中，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，由余弦定理得，BD＝，
∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD，
又GD⊥平面ABCD，∴GD⊥BD，
GD∩AD＝D，∴BD⊥平面ADG，
(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
则有A(1,0,0)，B(0，，0)，G(0,0,1)，E(0，，2)，
＝(－1,0,1)，＝(－1，，2)，
设平面AEFG法向量为m＝(x，y，z)，
则，取m＝(1，－，1)，
平面ABCD的一个法向量n＝＝(0,0,1)，
设平面AEFG与面ABCD所成锐二面角为θ，
则cosθ＝＝.
20．(本小题满分12分)(2008·江苏)如图，设动点P在棱长为1正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．
[解析] 由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)．
由＝(1 ,1，－1)得＝λ＝(λ，λ，－λ)，所以＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，
＝＋＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．
显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC＝cos<，>＝<0，这等价于·<0，
即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，得<λ<1.
因此，λ的取值范围为.
21．(本小题满分12分)(2009·山东)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．
(1)证明：直线EE1∥平面FCC1；
(2)求二面角B－FC1－C的余弦值．
[解析] (1)因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CD綊AF，
因此四边形AFCD为平行四边形，
所以AD∥FC.
又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，所以平面ADD1A1∥平面FCC1，
又EE1?平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1.
(2)过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)
所以＝(0,2,0)，
＝(－，－1,2)，＝(，3,0)．
由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.
又CC1⊥平面ABCD，
所以为平面FCC1的一个法向量．
设平面BFC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得
即
取x＝1得，因此n＝，
所以cos<，n>＝＝＝＝.
故所求二面角的余弦值为.
22．(本小题满分14分)已知长方体AC1中，棱AB＝BC＝3，棱BB1＝4，连接B1C，过点B作B1C的垂线交于CC1于E，交B1C于F.
(1)求证：A1C⊥平面EBD；
(2)求点A到平面A1B1C的距离；
(3)求ED与平面A1B1C所成角的正弦值．
[解析] (1)证明：建立如右图所示的空间直角坐标系A－xyz，设|CE|＝a，则C(3,3,0)，B1(3,0,4)，A1(0,0,4)，B(3,0,0)，D(0,3,0)．设E(3,3，a)，则＝(3,3，－4)，
＝(0,3，－4)，＝(－3,3,0)，＝(0,3，a)．
由BE⊥B1C，知·＝0，
即0·0＋3·3＋a·(－4)＝0.
∴a＝.
∴E(3,3，)，＝(0,3，)，
∴·＝0，·＝0，
∴A1C⊥BE，A1C⊥BD.
又BE∩BD＝B，∴A1C⊥平面EBD.
(2)易证A1B1⊥BE，∴可看作平面A1B1C的法向量n＝(0,3，)，
＝(－3，－3,0)．
∴点A到平面A1B1C的距离d＝＝.
(3)＝(－3,0，－)，
设ED与平面A1B1C所成角为θ.
则sinθ＝
＝＝
即ED与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
综合能力测试题一
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案] A
[解析] 圆心(a，b)，半径r＝，若a＝b，则圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r.
∴直线与圆相切，若直线与圆相切则＝，此时a＝b或a－b＝－4，∴是充分不必要条件，故应选A.
2．设命题甲为“点P的坐标适合方程F(x，y)＝0”；命题乙为：“点P在曲线C上；命题丙为：“点Q的坐标不适合方程F(x，y)＝0”；命题丁为：“点Q不在曲线C上”，已知甲是乙的必要条件，但不是充分条件，那么( )
A．丙是丁的充分条件，但不是丁的必要条件
B．丙是丁的必要条件，但不是丁的充分条件
C．丙是丁的充要条件
D．丙既不是丁的充分条件，也不是丁的必要条件
[答案] A
[解析] 由已知条件，得“乙?甲”，即“点P在曲线C上，则点P的坐标适合方程F(x，y)＝0”，它的逆否命题是：“若点P的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则点P不在曲线C上”，即“丙?丁”．
3．给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：
① m?α，l∩α＝A，点A?m，则l与m不共面；
②m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
④若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.
其中为假命题的是( )
A．① B．② C．③ D．④
[答案] C
[解析] 逐一验证
①由异面直线的判定定理得l与m为异面直线，故①正确．
②由线面垂直的判定定理知②正确．
③l可能与m相交或异面，故③错误．
④由线面垂直的判定定理得α∥β，故④正确，故选C.
4．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则ΔPF1F2的面积为( )
A．6 B．12
C．12 D．24
[答案] B
[解析] ∵|PF1|∶|PF2|＝3∶2，
又有|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝6，|PF2|＝4，
又∵|F1F2|＝2c＝2，
∴(2)2＝62＋42，∴∠F1PF2＝90°，
∴SΔPF1F2＝×6×4＝12.
5.已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 B．2
C．2 D．4
[答案] C
[解析] 由题意c＝2，焦点在x轴上，故该椭圆方程为＋＝1，与x＋y＋4＝0联立方程组，令Δ＝0，解得a＝.
6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线的点P(k，－2)与点F的距离为4，则k等于( )
A．4 B．4或－4
C．－2 D．－2或2
[答案] B
[解析] 由题设条件可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，又点P在抛物线上，则k2＝4p，
∵|PF|＝4∴＋2＝4，即p＝4，∴k＝±4.
7．设集合M＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{(x，y)|x2－y＝0}，则集合M∩N中元素的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] B
8．若PO⊥平面ABC，O为垂足，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝5，PA＝PB＝PC＝10，则PO的长等于( )
A．5 B．5
C．10 D．10
[答案] B
9．已知圆x2＋y2＝1，点A(1,0)，△ABC内接于圆，且∠BAC＝60°，当BC在圆上运动时，BC中点的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝ B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝(x<) D．x2＋y2＝(x<)
[答案] D
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是( )
①(－)－； ②(＋)－；
③(－)－2； ④(＋)＋.
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
[答案] A
11．如图所示，在直二面角α—l—β中，A，B∈l，AC?α，AC⊥l，BD?β，BD⊥l，|AC|＝6，|AB|＝8，|BD|＝24，则线段CD的长是( )
A．25 B．26
C．27 D．28
[答案] B
[解析] ∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴·＝0，·＝0，·＝0，＝＋＋，
∴||2＝|＋＋|2＝676，
∴||＝26.
12．在空间直角坐标系O－xyz中，已知点P(2cosx＋1,2cos2x＋2,0)和点Q(cosx，－1,3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为( )
A. B.
C.或 D.或
[答案] C
[解析] 由题意得⊥，得cosx(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0，利用cos2x＝2cos2x－1，化简后得2cos2x－cosx＝0，于是cosx＝0或cosx＝，因为x∈[0，π]，所以x＝或.
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．命题“若a>b，则3a>3b－1”的否命题为________．
[答案] 若a≤b，则3a≤3b－1
[解析] “a>b”的否命题是“a≤b”，“3a>3b－1”的否命题是“3a≤3b－1”．
∴原命题的否命题是“若a≤b，则3a≤3b－1”．
14．如果过两点A(a,0)和B(0，a)的直线与抛物线y＝x2－2x－3没有交点，那么实数a的取值范围是____．
[答案] (－∞，－)
[解析] 过A、B两点的直线为：x＋y＝a与抛物线y＝x2－2x－3联立得x2－x－a－3＝0，因为直线x与抛物线没有交点，则方程无解．即Δ＝1＋4(a＋3)<0，解之a<－.
15．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小是________．
[答案]
[解析] 取AC中点E，连接BE，则BE⊥平面ACC1A1，∴∠BC1E为线面角．
由已知得BE＝，BC1＝，
∴sin∠BC1E＝，∴∠BC1E＝.
16．与椭圆＋＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为________．
[答案] x2－y2＝2
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，分别求出平面ABC1D1和平面A1B1CD的一个法向量，并证明这两个平面互相垂直．
[解析] 设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)．
则＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)．
设平面ABC1D1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则
n1·＝y＝0，n1·＝－x＋z＝0，不妨令x＝1，则z＝1.
故n1＝(1,0,1)，设平面A1B1CD的一个法向量为n2，同理，可求n2＝(－1,0,1)，
∵n1·n2＝(1,0,1)·(－1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，
∴n1⊥n2.∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD.
18．(本小题满分12分)已知条件p：|5x－1|>a和条件q：>0，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题：若A则B.使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，并说明为什么这一命题是符合要求的命题．
[解析] 已知条件p即5x－1<－a或5x－1>a，∴x<或x>.
已知条件q即2x2－3x＋1>0，∴x<或x>1.
令a＝4，则p即x<－或x>1，此时必有p?q成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a＝4，A为p，B为q，对应的命题是“若A则B”．由以上过程可知，这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．
19．(本小题满分12分)设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R；命题q：不等式<1＋ax对一切正实数均成立．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．
[解析] 命题p为真命题?f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R?ax2－x＋a>0对任意实数x均成立?a>2，所以命题p为真命题?a>2.命题q为真命题?－1＝＝对一切正实数x均成立，由于x>0，所以>1，所以＋1>2，所以<1，所以命题q为真命题?a≥1.由题意知p与q有且只有一个是真命题．当p真q假时，a不存在；当p假q真时，a∈[1,2]．综上知a∈[1,2]．
20．(本小题满分12分)设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且·＝－，求点P的坐标；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析] (1)由题意得a＝2，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)．
设P(x，y)(x>0，y>0)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3＝－，联立解得∴∴P(1，)．
(2)显然k＝0不满足题设条件．可设直线l的方程为y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立
∴x2＋4(kx＋2)2＝4，
∴(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
∴x1x2＝，x1＋x2＝－，
由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0,16k2－3(1＋4k2)>0,4k2－3>0，得k2>①.
又∠AOB为锐角，∴cos∠AOB>0，∴·>0，
∴·＝x1x2＋y1y2>0.
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2) ＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，
∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝(1＋k2)·＋2k·(－)＋4＝－＋4＝>0，∴0综合①②可知∴k的取值范围是(－2，－)∪(，2)．
21．(本小题满分12分)(2010·天津理，20)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4.求y0的值．
[解析] (1)解：由e＝＝，得3a2＝4c2，再由c2＝a2－b2，得a＝2b.
由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.
解方程组得a＝2，b＝1，
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)可知A(－2,0)，设B点的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．
于是A、B两点的坐标满足方程组
由方程组消去y并整理，得
(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.
由－2x1＝，得
x1＝，从而y1＝.
设线段AB的中点为M，则M的坐标为.
以下分两种情况：
①当k＝0时，点B的坐标为(2,0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是＝(－2，－y0)，＝(2，－y0)，由·＝4，得y0＝±2.
②当k≠0时，线段AB的垂直平分线方程为
y－＝－.
令x＝0，解得y0＝－.
由＝(－2，－y0)，＝(x1，y1－y0)．
·＝－2x1－y0(y1－y0)
＝＋
＝＝4，
整理得7k2＝2，故k＝±，所以y0＝±.
综上，y0＝±2或y0＝±.
22．(本小题满分14分)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，AB＝a，AD＝2，SA＝1，且SA⊥底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的一点P，使得⊥.
(1)求a的最大值；
(2)当a取最大值时，求异面直线AP与SD所成角的大小；
(3)当a取最大值时，求平面SCD的一个单位法向量n0及点P到平面SCD的距离．
[解析] (1)建立如图空间直角坐标系，设||＝x，
则A(0,0,0)，S(0,0,1)，D(0,2,0)，P(a，x,0)，
∴＝(－a，－x,1)，
＝(－a,2－x,0)．
∵⊥，∴·＝0，即a2－x(2－x)＝0.
即a2＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，
则x＝1∈(0,2)时，a的最大值为1.
(2)由(1)可知，当a取最大值时，＝(1,1,0)，
＝(0,2，－1)，
∴cos<，>＝＝.
∴异面直线AP与SD所成角的大小为arccos.
(3)设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)，则
∴
∵C(1,2,0)，＝(1,2，－1)，
＝(0,2，－1)
∴，
取y＝1，则z＝2，x＝0，∴n＝(0,1,2)，
∴n0＝＝(0,1,2)＝(0，，)．
∵P到平面SCD的距离d等于在n0上的射影长，
∴d＝|||cos<，n0>|＝
＝|·n0|＝|(0,1,0)·(0，，)|＝.
综合能力测试题二
时间120分钟，满分150分．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)
1．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么在命题：
①M的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有P的元素；
④M中元素不都是P的元素
中，真命题的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
[答案] B
[解析] 若命题P错误，则?P正确，命题②④正确，故选B.
2．设直线l1、l2的方向向量分别为a＝(2，－2，－2)，b＝(2,0,4)，则直线l1、l2的夹角是( )
A．arccos
B．π－arcsin
C．arcsin
D．arccos(－)
[答案] A
[解析] cos〈a，b〉＝＝＝－，
∴l1，l2夹角为π－arccos()即arccos为l1，l2的夹角．
3．在椭圆＋＝1上有一点P，F1、F2是椭圆的左、右焦点，△F1PF2为直角三角形，这样的点P有( )
A．2个
B．4个
C．6个
D．8个
[答案] C
[解析] 以F1或F2为直角顶点时，符合条件的点P有4个；以P为直角顶点时，由于e＝，符合条件的点P有2个，故符合条件的点P共有6个．
4．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] ∵A(3,3,1)，B(1,0,5)，
∴中点坐标为M(2，，3)．
∴|CM|＝，∴选C.
5．(2010·浙江文，6)设0A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 本题考查了充要条件及基本不等式．
∵0∴0∴xsin2x则x·sinx<1?x·sin2x<1成立，故选B.
6．已知A(1,2,1)，B(－1,3,4)，P为AB的中点，则||等于( )
A．5
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] P点坐标为(0，，)，由距离公式得||＝.
7．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好为椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．1
B.
C．2
D．2
[答案] D
[解析] F点的坐标为(，0)，
∴由＋＝1得m4＋8m2－128＝0，∴m2＝8，∴m＝2.故选D.
8．二面角α－l－β为120°，A，B是棱上两点，AC，BD分别在α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD长为( )
A.
B.
C．2
D.
[答案] C
[解析] ∵＝＋＋，
∴()2＝()2＋()2＋()2＋2·＋2·＋2·.
又∵<，>＝90°，<，>＝60°，<，>＝90°，
∴()2＝4，∴||＝2.
9．设θ∈(π，)，则关于x，y的方程－＝1所表示的曲线为( )
A．实轴在y轴上的双曲线
B．实轴在x轴上的双曲线
C．长轴在y轴上的椭圆
D．长轴在x轴上的椭圆
[答案] A
[解析] ∵θ∈(π，)，∴sinθ<0，－cosθ>0
∴原方程可化为＋＝1，即＋＝1
它表示实轴在y轴上的双曲线．故选A.
10．设A1，A2是椭圆＋＝1的长轴两个端点，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.－＝1
D.－＝1
[答案] C
[解析] 设交点P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)，
∵A1，P1，P共线，∴＝.
∵A2，P2，P共线，∴＝.
解得x0＝，y0＝，代入＋＝1，化简得－＝1.
11．双曲线x2－y2＝1的左焦点为F1，点P在双曲线左支下半支上(不含顶点)，则直线PF1的斜率为( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，0)∪(1＋∞)
C．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
[答案] B
[解析] 当直线的斜率k＝1时，直线与双曲线渐近线平行，与双曲线右支上半支相交，和左支下半支无交点，排除C，D.当直线倾斜角为钝角时，－∞12．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成角的大小为( )
A．60°
B．90°
C．105°
D．75°
[答案] B
[解析] 设＝a，＝b，＝c，且令BB1＝1，则〈a，b〉＝120°，＝a＋c，
＝b＋c，·＝(a＋c)(b＋c)＝a·b＋a·c＋b·c＋c2＝××cos120°＋1＝0，∴应选B.
二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角等于________．
[答案]
[解析] 因为底面对角线长为2，所以底面边长为2，从而利用体积得四棱锥的高为3，所以二面角的正切值为，所以侧面与底面所成二面角的大小为，本题也可用向量知识求解．
14．(2010·天津文，13)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________．
[答案] －＝1
[解析] 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质．
由抛物线y2＝16x的焦点坐标为(4,0)，得c＝4.
又∵双曲线的渐近线方程为y＝±x得＝?b＝a，
又∵c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝2.
15．设P是曲线y2＝4(x－1)上的一个动点，则点P到点A(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是________．
[答案]
[解析] 如右图，由定义可知，点P到y轴的距离等于点P到F(2,0)的距离，即点P到点A与到y轴的距离之和等于|PA|＋|PF|，又|PA|＋|PF|≥|AF|，即A，P，F三点共线时最小，即最小值为|AF|＝＝.
16．已知A(－，0)，B是圆F：(x－)2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．
[答案] x2＋y2＝1
[解析] 由已知，|AP|＋|PF|＝|BF|＝2，由椭圆定义知，P点轨迹为椭圆．设为＋＝1(a>0，b>0)则a＝1，c＝，∴b＝，故椭圆为x2＋＝1.
三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分)已知△ABC，A(－2,0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动，求△ABC的重心的轨迹方程．
[解析] 设△ABC重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x1，y1)由重心坐标公式得
∴
代入y1＝3x－1，得3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
∴y＝9x2＋12x＋3即为所求轨迹方程．
18．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}若命题A∩B≠?为真命题，求实数m的取值范围．
[解析] 设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}＝{m|m≤－1或m≥}，若方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1、x2均为非负，则
?m≥，
∵{m|m≥}关于U的补集为{m|m≤－1}，
∴实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
19．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，且PB＝4PM，PB与平面ABC成30°角．
(1)求证：CM∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
[解析] 如图所示，建立空间直角坐标系C－xyz.
(1)∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角，∠PBC＝30°.
∵|PC|＝2，∴|BC|＝2，|PB|＝4，得D(0,1,0)、B(2，0,0，)、A(2，4,0)、P(0,0,2)，又|PB|＝4|PM|，∴|PM|＝1，M(，0，)，
∴＝(，0，)，＝(0，－1,2)，＝(2，3,0)，设N为PA上一点，则存在x，y使＝x＋y(其中x，y∈R)，则＝x(0，－1,2)＋y(2，3,0)＝(2y,3y－x,2x)，由N在PA上得x＋y＝1①
又2y?＝2x?②
①，②联立解得x＝，y＝，此时，共线．
∴，，共面．
∵C?平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)作BE⊥PA于E，|PB|＝|AB|＝4，
∴E为PA的中点，
∴E(，2,1)，∴＝(－，2,1)．
∵·＝(－，2,1)·(2，3,0)＝0，·＝(－，2,1)·(0，－1,2)＝0，
∴BE⊥DA，又BE⊥DP，
∴BE⊥平面PAD，由于BE?平面PAB，则平面PAB⊥平面PAD.
20．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M(x0，y0)，F是抛物线的焦点，且|AF|，|MF|，|BF|成等差数列．
(1)求证线段AB的垂直平分线经过定点Q(x0＋p,0)；
(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O是坐标原点)，求此抛物线的方程．
[解析] (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|，|MF|，|BF|成等差数列，
∴2|MF|＝|AF|＋|BF|，
∴2(x0＋)＝x1＋＋x2＋，
即2x0＝x1＋x2，线段AB的垂直平分线的方程为
y－＝－(x－x0)，
即y＝－(x－x0－p)．
故线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p,0)．
(2)解：由|OQ|＝6，得x0＋p＝6，即x0＝6－p.又|MF|＝4，∴x1＋＋x2＋＝2|MF|＝8，
∴x1＋x2＝8－p，∴8－p＝2(6－p)，∴p＝4，
∴所求抛物线的方程为y2＝8x.
21．(本小题满分12分)如图所示，点A、B分别为椭圆＋＝1长轴的左右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
[解析] (1)由已知可得点A(－6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得，
则：2x2＋9y－18＝0得x＝或x＝－6，
由于y>0，只能x＝，于是y＝，
所以点P的坐标是(，)．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0
设点M的坐标是(m,0)，则M到直线AP的距离是
，于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2.
椭圆上的点(x，y)到点M的距离是
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝(x－)2＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时d取最小值.
22．(本小题满分14分)如图所示，已知动点P与双曲线－＝1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值是 －.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知点D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且＝λ，求实数λ的取值范围．
[解析] (1)由题意得c2＝5，设|PF1|＋|PF2|＝2a>2，由余弦定理得
cos∠F1PF2＝
＝－1，
又|PF1|·|PF2|≤()2＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1|·|PF2|取最大值．
此时cos∠F1PF2取得最小值为－1，
令－1＝－，
解得a2＝9，又∵c＝，∴b2＝4，
故所求P的轨迹方程为＋＝1.
(2)设N(s，t)，M(x，y)，则由＝λ，
可得(x，y－3)＝λ(s，t－3)，
故x＝λs，y＝3＋λ(t－3)，
∵M、N在动点P的轨迹上，
∴＋＝1，且＋＝1，
消去s可得
＝1－λ2，解得t＝.
又由|t|≤2，即－2≤≤2，
解得≤λ≤5，故实数λ的取值范围为[，5]．
