湘教版数学八年级下册 4.5 一次函数的应用 教案（表格式）

4．5　一次函数的应用
一次函数的应用
1．进一步训练学生的识图能力．2．能利用函数图象解决简单的实际问题．
重点一次函数图象的应用． 难点利用一次函数的知识解决实际问题．
一、创设情境，导入新课 “脚印专家”根据脚印的大小，能够推测出罪犯的身高，这是符合科学的．科学家们测量了许多人的身高和脚印长度之后，得出了从脚印长度推算身高的公式：身高(厘米)＝脚印长度(厘米)×6.876.在我们的生活中还有很多这样运用到一次函数模型的例子，今天我们将要学习一次函数模型在生活中的应用．二、合作交流，探究新知多媒体显示教材P133“动脑筋”，让学生分组讨论．学生分组展示讨论．说明：教师深入学生中间，根据学生的情况，可对应作提示：1．本题为分段函数的应用，电费与用电量相关．用电量x在0≤x≤160及x>160两个区间时，对应的电费收费标准不同(即所列函数解析式不同)．2．列出分段函数解析式，对应作出图象，由用电量的区间范围分别算出用电量为150 kW·h和200 kW·h时对应的电费，从而解决(3)的问题．例题点拨多媒体显示教材P134例1.说明：本例为两个一次函数在同一坐标系的应用．教师点拨：先让学生完成(1)问，再分别画出y1，y2的图象，根据图象提问：小红比小明晚出发2小时，在图象上怎样体现出来？【教学说明】培养学生观察图象、分析问题的能力，了解y＝kx＋b中，k和b在实际问题中的意义．安排学生自主学习例2，解决例2的问题，教师可适当点拨．三、运用新知，深化理解例1　我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费：月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b元(b>a)收费．设某户居民月用水x t，应收水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值，并求出该户居民上月用水8 t应收的水费；(2)求b的值，并写出当x>10时，y与x之间的函数表达式；(3)已知上月居民甲比居民乙多用4 t水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？【分析】(1)用水量不超过10 t时，设其函数表达式为y＝ax，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a的值；再将x＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10 t多还是比10 t少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解：(1)当0≤x≤10时，图象过原点，所以设y＝ax.把(10，15)代入，解得a＝1.5.所以y＝1.5x(0≤x≤10)．当x＝8时，y＝1.5×8＝12，即该户居民的水费为12元；(2)当x>10时，设y＝bx＋m(b≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得解得即超过10 t的部分按每吨2元收费，此时函数表达式为y＝2x－5(x>10)；(3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10 t多．设居民乙上月用水x t，则居民甲上月用水(x＋4) t．y甲＝2(x＋4)－5，y乙＝2x－5.由题意，得[2(x＋4)－5]＋(2x－5)＝46，解得x＝12.即居民甲用水16 t，居民乙用水12 t.【方法总结】本题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．例2　广安某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示： 进价(元/千克) 售价(元/千克)甲种 5 8乙种 9 13　　(1)若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？(2)若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？【分析】(1)根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果(140－x)千克，根据题意可得5x＋9(140－x)＝1000，解得x＝65，∴140－x＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W，由题意可得W＝3x＋4(140－x)＝－x＋560，故W随x的增大而减小，则x越小，W越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x≤3x，解得x≥35，∴当x＝35时，W最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千克、乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．【方法总结】利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．例3　为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行”活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，并且邮政车行驶速度是自行车队行驶速度的2.5倍，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y(km)与自行车队离开甲地时间x(h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答下列各题：(1)自行车队行驶的速度是____km/h；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？【分析】(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题，设邮政车出发a小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B的坐标和C的坐标，由自行车的速度就可以求出D的坐标，由待定系数法求出BC，ED的解析式，即可得出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24 km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a小时两车相遇，由题意得24(a＋1)＝60a，解得a＝.答：邮政车出发小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为＋2＋1＝(h)，∴B(，135)，C(7.5，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝＋0.5＝(h)，∴D(，135)，设BC的解析式为y1＝k1x＋b1，由题意得∴∴y1＝－60x＋450，设ED的解析式为y2＝k2x＋b2，由题意得解得∴y2＝24x－12.当y1＝y2时，－60x＋450＝24x－12，解得x＝5.5.y1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120 km.【方法总结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．例4　小明练习100米短跑，训练时间与100米短跑成绩记录如下：时间(月) 1 2 3 4成绩(秒) 15.6 15.4 15.2 15　　(1)请你为小明的100米短跑成绩y(秒)与训练时间x(月)的关系建立函数模型；(2)用所求出的函数解析式预测小明训练6个月的100米短跑成绩；(3)能用所求出的函数解析式预测小明训练3年后的100米短跑成绩吗？为什么？【分析】(1)由表格中的数据可知，每加1个月，成绩提高0.2秒，所以y与x之间是一次函数关系，可设y＝kx＋b，利用已知点的坐标，即可求解；(2)令(1)中的x＝6，求出相应y值即可；(3)不能，因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远如此快的提高．解：(1)设函数表达式为y＝kx＋b，依题意得解得∴y＝－0.2x＋15.8；(2)当x＝6时，y＝－0.2×6＋15.8＝14.6.答：小明训练6个月的100米短跑成绩为14.6秒；(3)不能，因为短跑的成绩在短时间内可能呈某种趋势，但在较长的时间内，受自身的发展极限的限制，不会永远如此快的提高．【方法总结】根据表格的分析可知函数是随着自变量均匀变化的，由此可知这个函数应是一次函数，利用待定系数法求解即可．在进行预测时要注意如果自变量的取值远离当前值，就不能将自变量代入求值，因为这个一次函数只能预测邻近的数据．四、课堂练习，巩固提高1．教材P134及137练习．2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1．会从函数图象中正确读取信息．2．用一次函数的知识解决有关实际问题．3．画图象时注意函数自变量的取值范围．4．利用一次函数等知识进行合理预测，预测时注意自变量取值要在已知数据邻近，这样预测结果才与事实更好地吻合．六、布置作业1．学生完成“课时作业”．2．教材P139～141第1～4及6～8题．
一次函数与一次方程
1．理解作函数图象的方法与代数方法各自的特点．2．掌握利用二元一次方程确定一次函数的表达式．3．进一步理解方程与函数的联系．
重点1．二元一次方程和一次函数的关系．2．能根据一次函数的图象求二元一次方程的近似解． 难点方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力．
一、创设情境，导入新课1．下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.2．下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？(1)3x＋2＞2；(2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.二、合作交流，探究新知问题：1．方程x＋y＝5的解有多少个？写出其中的几个解来．解：方程x＋y＝5的解有无数多个，如：2．在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y＝5－x的图象上吗？3．在一次函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x＋y＝5吗？4．以方程x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象相同吗？归纳：在上面直角坐标系中描出以x＋y＝5的解为坐标的点，我们很容易发现这些点都在一次函数y＝5－x的图象上．在函数y＝5－x的图象上任取一点，它的坐标一定适合方程x＋y＝5.以x＋y＝5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y＝5－x的图象是相同的．综上所述，二元一次方程和一次函数的图象有如下关系：(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上．(2)反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程．问：你能找出下面两个问题之间的联系吗？(1)解方程：3x－6＝0.(2)已知一次函数y＝3x－6，问x取何值时，y＝0 学生讨论后归纳：一般地，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标是一元一次方程kx＋b＝0的解．任何一个一元一次方程kx＋b＝0的解，就是一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标． 示例　已知一次函数y＝2x＋6，求这个函数的图象与x轴交点的横坐标． 解法一：令y＝0代入…… 解法二：画图(略)．讨论：在同一直角坐标系内分别作出一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组的解有什么关系？你能说明理由吗？解：一次函数y＝5－x和y＝2x－1的图象的交点为(2，3)，因此，就是方程组的解．用作图象的方法解方程组解：由x－2y＝－2可得y＝＋1，同理，由2x－y＝2可得y＝2x－2，在同坐标系中作出一次函数y＝＋1的图象和y＝2x－2的图象，观察图象，得两直线交于点(2，2)，所以方程组的解是同学们你从本题中感悟到什么？归纳：我们解二元一次方程组除了代入法和加减法外，还可以用图象法，那么用作图法来解方程组的步骤如下：1．把二元一次方程化成一次函数的形式；2．在直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并标出交点；3．交点坐标就是方程组的解．试一试1．有一组数同时适合方程x＋y＝2和x＋y＝5吗？2．一次函数y＝2－x，y＝5－x的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么吗？学生经过尝试很容易发现x＋y＝2和x＋y＝5是没有一组数同时适合这两个二元一次方程的．即这个二元一次方程组无解．对于一次函数y＝2－x，y＝5－x的图象，可以让学生作出它们的图象，观察可以发现它们的图象(直线)是互相平行的，即它们无公共点．【归纳总结】方程组的解与函数图象交点之间的关系：当函数的图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数的图象(直线)平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解．反之也成立．我们可以得到：二元一次方程组无解 一次函数的图象平行(无交点)．二元一次方程组有一解 一次函数的图象相交(有一个交点)．二元一次方程组有无数个解 一次函数的图象重合(有无数个交点)．三、运用新知，深化理解例1　一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解(　　)A．x＝－1 　　　　　B．x＝2C．x＝0 D．x＝3【分析】∵函数y＝kx＋b的图象经过点(2，3)(0，1)，∴解得∴一次函数解析式为y＝x＋1，由x＋1＝0，解得x＝－1，故选A.【方法总结】当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值：从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值．例2　直角坐标系中有两条直线：y＝x＋，y＝－x＋6，它们的交点为P，第一条直线交x轴于点A，第二条直线交x轴于点B.(1)求A，B两点的坐标；(2)用图象法解方程组(3)求△PAB的面积．【分析】(1)分别令y＝0，求出x的值即可得到点A，B的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：(1)令y＝0，则x＋＝0，解得x＝－3，所以点A的坐标为(－3，0)，令－x＋6＝0，解得x＝4，所以点B的坐标为(4，0)；(2)如图所示，方程组的解是(3)AB＝4－(－3)＝4＋3＝7，△PAB的面积为×7×3＝.【方法总结】本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．例3　某销售公司推销一种产品，设x(件)是推销产品的数量，y(元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：(1)求每种付酬方案y关于x的函数表达式；(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x的取值范围．【分析】(1)由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可知选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x的取值范围．解：(1)设方案一的解析式为y＝kx，把(40，1600)代入解析式，可得k＝40，解析式为y＝40x；设方案二的解析式为y＝ax＋b，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得解得解析式为y＝20x＋600.(2)根据两直线相交可得方程40x＝20x＋600，解得x＝30，当x＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．【方法总结】解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．四、课堂练习，巩固提高1．教材P139练习．2．教师指导学生完成《·高效课堂》“随堂演练”内容．五、反思小结，梳理新知1．二元一次方程的图象实际上就是一次函数的图象．2．用图象法不仅可以解二元一次方程组，也可以用几何的图象法来解代数问题．六、布置作业1．学生完成“课时作业”．2．教材P140习题4.5第5题．