沪科版九年级数学上册 第23章 解直角三角形 达标检测卷（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版九年级数学上册 第23章 解直角三角形 达标检测卷（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 284.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-01 14:15:35 | ||
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文档简介
沪科版九年级数学上册 第23章 达标检测卷
(限时: 120分钟 满分: 150分)
班级： 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是( )
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．cos A＝
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(第1题) (第2题) (第4题)
2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m C．50 m D. m
3．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则cos B等于( )
A. B. C. D.
4．如图，梯形护坡石坝的坡高BC为4 m，水平距离AC＝4 m，则斜坡AB的坡度是( )
A．1∶1 B．1∶ C．1∶2 D．1∶
5．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sin α＝，则tan α等于( )
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(第5题)
A. B.
C. D.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos A＝，则BC的长为( )
A．8 B．12 C．13 D．18
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(第6题) (第7题) (第8题)
7．如图，一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是( )
A．(480 ＋300)m B．(960 ＋300)m
C．780 m D．1 260 m
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是( )
A．10 B．8 C．4 D．2
9．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至点E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED等于( )
A. B. C. D.
INCLUDEPICTURE"卷+46.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+46.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"卷+47.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+47.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第9题) (第10题)
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是( )
A．1 B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在△ABC中，若＋(1－tan B)2＝0，则∠C＝______．
12．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为________m．(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
INCLUDEPICTURE"卷+48.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+48.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"卷+49.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+49.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE"卷+50.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+50.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第12题) (第13题) (第14题)
13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为________．
14．如图，反比例函数y＝的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，tan∠CAB＝2，则k＝________．
三、解答题(本大题共9小题，共90分)
15．(8分)计算：－2sin 45°＋＋.
16．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，tan A＝.求sin A，cos A的值．
INCLUDEPICTURE"卷+51.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+51.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第16题)
17．(8分)某品牌太阳能热水器的横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度(精确到1 cm，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)．
INCLUDEPICTURE"卷+52.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+52.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第17题)
18．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长．
INCLUDEPICTURE"卷+53.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+53.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第18题)
19．(10分)如图，海中有一个小岛A，它周围10 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．(参考数据：≈1.73)
INCLUDEPICTURE"卷+54.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+54.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第19题)
20．(10分)安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，琅琊阁的大门上悬挂着巨大的匾额，如图，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2 m，∠MBC＝34°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝56°，且DE＝4.4 m，求匾额悬挂的高度AB的长．(精确到0.1 m，参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
INCLUDEPICTURE"卷+55.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+55.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
21．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF)．
(1)求证：△ACE≌△AFE；
(2)求tan∠CAE的值．
INCLUDEPICTURE"卷+56.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+56.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第21题)
22．(12分)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，≈1.41)
INCLUDEPICTURE"卷+57.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\卷+57.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第22题)
23．(14分)把(sin α)2记作sin2α，根据图①和图②完成下列各题．
(1)sin2A1＋cos2A1＝________，sin2A2＋cos2A2＝________，sin2A3＋cos2A3＝________；
(2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A＋cos2A＝________；
(3)如图②，在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想；
(4)已知在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，且sin A＝，求cos A的值．
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(第23题)
答案
一、1.C 2.A 3.C 4.B 5.C
6．B 7.A 8.D 9.B
10．C 点拨：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°.∵tan∠ABF＝2，∴＝2，设BN＝x，则FN＝2x，AN＝4－x.∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4.
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE(SSS)，
∴∠D＝∠AFE＝90°.
∵AN2＋NF2＝AF2，∴(4－x)2＋(2x)2＝42，∴x1＝0(舍)，x2＝，
∴AN＝4－x＝4－＝，MF＝4－2x＝4－＝.∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴＝，即＝，
∴EF＝，∴DE＝.故选C.
二、11.75° 12.8.1 13.
14．－8 点拨：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，根据直线AB与反比例函数y＝的图象的对称性可知点A、B关于原点O对称，∴OA＝OB.
又∵AC＝BC，∴OC⊥AB.
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，
∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF.
∵∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴＝＝.
∵tan∠CAB＝＝2，
∴CF＝2AE，OF＝2OE.
∵AE·OE＝2，CF·OF＝|k|，
∴|k|＝2AE·2OE＝4AE·OE＝8.
∴k＝±8，∵点C在第二象限，
∴k＝－8.
INCLUDEPICTURE"答卷+17.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\9数HK安徽\\答卷+17.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\答卷+17.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\答卷+17.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第14题)
三、15.解：原式＝2 －1－2×＋4－2＝＋1.
16．解：∵tan A＝＝，AC＝9，
∴BC＝AC＝×9＝12，
∴AB＝＝＝15.
∴sin A＝＝＝，
cos A＝＝＝.
17．解：设OE＝OB＝2x cm，
∴OD＝DE＋OE＝(190＋2x)cm.
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝OD＝(95＋x)cm，
∴BC＝OC－OB＝95＋x－2x＝(95－x)cm.
∵tan∠BAD＝，
∴2.14≈，解得x≈9.4，
∴OB≈2×9.4＝18.8≈19(cm)．
18．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝，∴BC＝＝3.
∴AB＝＝6.
19．解：没有触礁的危险．理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝12 n mile.
在Rt△ANC中，
AN＝AC·sin 60°＝12×≈10.38(n mile)．
∵10.38>10，
∴没有触礁的危险．
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(第19题)
20．解：如图，过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为点N、F.
在Rt△BCN中，
CN＝BC·sin 34°≈2×0.56＝1.12(m)，BN＝BC·cos 34°≈2×0.83＝1.66(m)，
在Rt△ABE中，∵∠AEB＝56°，∴∠EBA＝34°.
∴AE＝AB·tan∠EBA＝AB·tan 34°≈0.67AB.∵∠ADC＝45°，∴CF＝DF，∴BN＋AB＝AD－AF＝AD－CN，即1.66＋AB≈0.67AB＋4.4－1.12，
解得AB≈4.9 m.
答：匾额悬挂的高度AB的长约为4.9 m.
INCLUDEPICTURE"答卷+19.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\方正转Word\\9数HK安徽\\答卷+19.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\答卷+19.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "F:\\22秋\\9数HK安徽\\文件\\答卷+19.TIF" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
21．(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE＝EF.在Rt△ACE和Rt△AFE中，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)．
(2)解：由(1)可知△ACE≌△AFE，
∴AC＝AF.
∵F是AB的一个三等分点，
∴AB＝3BF，AF＝2BF.
设BF＝m，则AC＝AF＝2m，AB＝3m.
∴BC＝＝＝m.
∴在Rt△ABC中，
tan B＝＝＝.
在Rt△EFB中，
EF＝BF·tan B＝m，
在Rt △ACE中，
tan∠CAE＝＝＝＝.
22．解：在Rt△ABC中，
∵AB＝600 m，∠ABC＝75°，
∴BC＝AB·cos 75°≈600×0.26＝156(m)．在Rt△BDF中，
∵∠DBF＝45°，BD＝600 m，
∴DF＝BD·sin 45°＝600×≈300×1.41＝423(m)．
易知四边形BCEF是矩形，
∴EF＝BC＝156 m，
∴DE＝DF＋EF＝423＋156＝579(m)．
答：DE的长为579 m.
23．(1)1；1；1 (2)1
(3)证明：在Rt△ABC中，
∵sin A＝，cos A＝，
且a2＋b2＝c2，∴sin2A＋cos2A＝＋＝＋＝＝＝1，即sin2A＋cos2A＝1.
(4)解：在△ABC中，
∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°.
∵sin2A＋cos2A＝1，
∴＋cos2A＝1，
解得cos A＝或cos A＝－(舍)，
∴cos A＝.
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(限时: 120分钟 满分: 150分)
班级： 姓名： 得分：
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是( )
A．sin A＝ B．cos A＝
C．tan A＝ D．cos A＝
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(第1题) (第2题) (第4题)
2．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )
A．100 m B．50 m C．50 m D. m
3．在△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则cos B等于( )
A. B. C. D.
4．如图，梯形护坡石坝的坡高BC为4 m，水平距离AC＝4 m，则斜坡AB的坡度是( )
A．1∶1 B．1∶ C．1∶2 D．1∶
5．如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sin α＝，则tan α等于( )
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(第5题)
A. B.
C. D.
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cos A＝，则BC的长为( )
A．8 B．12 C．13 D．18
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(第6题) (第7题) (第8题)
7．如图，一艘潜水艇在海面下300 m的点A处发现其正前方的海底C处有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960 m到点B处，测得黑匣子C的俯角为60°，则黑匣子所在的C处距离海面的深度是( )
A．(480 ＋300)m B．(960 ＋300)m
C．780 m D．1 260 m
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是( )
A．10 B．8 C．4 D．2
9．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至点E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED等于( )
A. B. C. D.
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(第9题) (第10题)
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是( )
A．1 B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．在△ABC中，若＋(1－tan B)2＝0，则∠C＝______．
12．如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为________m．(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)
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(第12题) (第13题) (第14题)
13．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为________．
14．如图，反比例函数y＝的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝的图象上运动，tan∠CAB＝2，则k＝________．
三、解答题(本大题共9小题，共90分)
15．(8分)计算：－2sin 45°＋＋.
16．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，tan A＝.求sin A，cos A的值．
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(第16题)
17．(8分)某品牌太阳能热水器的横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度(精确到1 cm，参考数据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)．
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(第17题)
18．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝，求AB的长．
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(第18题)
19．(10分)如图，海中有一个小岛A，它周围10 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．(参考数据：≈1.73)
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(第19题)
20．(10分)安徽滁州琅琊山会峰阁更名为琅琊阁，琅琊阁的大门上悬挂着巨大的匾额，如图，线段BC是悬挂在墙壁AM上的匾额的截面示意图．已知BC＝2 m，∠MBC＝34°，从水平地面点D处看点C，仰角∠ADC＝45°，从点E处看点B，仰角∠AEB＝56°，且DE＝4.4 m，求匾额悬挂的高度AB的长．(精确到0.1 m，参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
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(第20题)
21．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF)．
(1)求证：△ACE≌△AFE；
(2)求tan∠CAE的值．
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(第21题)
22．(12分)如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB＝BD＝600 m，α＝75°，β＝45°，求DE的长．(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，≈1.41)
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(第22题)
23．(14分)把(sin α)2记作sin2α，根据图①和图②完成下列各题．
(1)sin2A1＋cos2A1＝________，sin2A2＋cos2A2＝________，sin2A3＋cos2A3＝________；
(2)观察上述等式猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，总有sin2A＋cos2A＝________；
(3)如图②，在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想；
(4)已知在△ABC中，∠A＋∠B＝90°，且sin A＝，求cos A的值．
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(第23题)
答案
一、1.C 2.A 3.C 4.B 5.C
6．B 7.A 8.D 9.B
10．C 点拨：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，
∵AB∥CD，∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°.∵tan∠ABF＝2，∴＝2，设BN＝x，则FN＝2x，AN＝4－x.∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4.
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE(SSS)，
∴∠D＝∠AFE＝90°.
∵AN2＋NF2＝AF2，∴(4－x)2＋(2x)2＝42，∴x1＝0(舍)，x2＝，
∴AN＝4－x＝4－＝，MF＝4－2x＝4－＝.∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴＝，即＝，
∴EF＝，∴DE＝.故选C.
二、11.75° 12.8.1 13.
14．－8 点拨：如图，连接OC，过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，根据直线AB与反比例函数y＝的图象的对称性可知点A、B关于原点O对称，∴OA＝OB.
又∵AC＝BC，∴OC⊥AB.
∵∠AOE＋∠AOF＝90°，
∠AOF＋∠COF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF.
∵∠AEO＝∠CFO＝90°，
∴△AOE∽△COF，
∴＝＝.
∵tan∠CAB＝＝2，
∴CF＝2AE，OF＝2OE.
∵AE·OE＝2，CF·OF＝|k|，
∴|k|＝2AE·2OE＝4AE·OE＝8.
∴k＝±8，∵点C在第二象限，
∴k＝－8.
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(第14题)
三、15.解：原式＝2 －1－2×＋4－2＝＋1.
16．解：∵tan A＝＝，AC＝9，
∴BC＝AC＝×9＝12，
∴AB＝＝＝15.
∴sin A＝＝＝，
cos A＝＝＝.
17．解：设OE＝OB＝2x cm，
∴OD＝DE＋OE＝(190＋2x)cm.
∵∠ADE＝30°，
∴OC＝OD＝(95＋x)cm，
∴BC＝OC－OB＝95＋x－2x＝(95－x)cm.
∵tan∠BAD＝，
∴2.14≈，解得x≈9.4，
∴OB≈2×9.4＝18.8≈19(cm)．
18．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，∴∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°.
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD＝∠ABD＝30°.
又∵CD＝，∴BC＝＝3.
∴AB＝＝6.
19．解：没有触礁的危险．理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N，由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，
∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°，
∴BC＝AC＝12 n mile.
在Rt△ANC中，
AN＝AC·sin 60°＝12×≈10.38(n mile)．
∵10.38>10，
∴没有触礁的危险．
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(第19题)
20．解：如图，过点C作CN⊥AB，CF⊥AD，垂足分别为点N、F.
在Rt△BCN中，
CN＝BC·sin 34°≈2×0.56＝1.12(m)，BN＝BC·cos 34°≈2×0.83＝1.66(m)，
在Rt△ABE中，∵∠AEB＝56°，∴∠EBA＝34°.
∴AE＝AB·tan∠EBA＝AB·tan 34°≈0.67AB.∵∠ADC＝45°，∴CF＝DF，∴BN＋AB＝AD－AF＝AD－CN，即1.66＋AB≈0.67AB＋4.4－1.12，
解得AB≈4.9 m.
答：匾额悬挂的高度AB的长约为4.9 m.
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(第20题)
21．(1)证明：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE＝EF.在Rt△ACE和Rt△AFE中，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE(HL)．
(2)解：由(1)可知△ACE≌△AFE，
∴AC＝AF.
∵F是AB的一个三等分点，
∴AB＝3BF，AF＝2BF.
设BF＝m，则AC＝AF＝2m，AB＝3m.
∴BC＝＝＝m.
∴在Rt△ABC中，
tan B＝＝＝.
在Rt△EFB中，
EF＝BF·tan B＝m，
在Rt △ACE中，
tan∠CAE＝＝＝＝.
22．解：在Rt△ABC中，
∵AB＝600 m，∠ABC＝75°，
∴BC＝AB·cos 75°≈600×0.26＝156(m)．在Rt△BDF中，
∵∠DBF＝45°，BD＝600 m，
∴DF＝BD·sin 45°＝600×≈300×1.41＝423(m)．
易知四边形BCEF是矩形，
∴EF＝BC＝156 m，
∴DE＝DF＋EF＝423＋156＝579(m)．
答：DE的长为579 m.
23．(1)1；1；1 (2)1
(3)证明：在Rt△ABC中，
∵sin A＝，cos A＝，
且a2＋b2＝c2，∴sin2A＋cos2A＝＋＝＋＝＝＝1，即sin2A＋cos2A＝1.
(4)解：在△ABC中，
∵∠A＋∠B＝90°，∴∠C＝90°.
∵sin2A＋cos2A＝1，
∴＋cos2A＝1，
解得cos A＝或cos A＝－(舍)，
∴cos A＝.
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