苏科版七年级数学下册 第9章 数学活动 拼图·公式 教案

用“数形结合思想”再认识整式乘法与因式分解 教学设计与课后作业
班级： 姓名：
【教学目标】
理解用不同方法求同一个图形的面积可以得到或验证某些等式；
掌握画图与拼图的方法，通过画图与拼图活动理解图形面积与整式乘法、因式分解之间的内在联系，感受数与形的对应关系，会借助图形面积完成整式乘法或因式分解；
在知识的探索中，体验从特殊到一般的认识事物的方法，培养观察、归纳、概括的能力；
在知识的探索、运用和解决问题的过程中，体会数形结合的思想方法，发展几何直观；
感受数学文化美，学会和他人合作和交流，体会成功的快乐，提升学习数学的兴趣。
教学重点：准确并熟练地借助画图与拼图解决整式乘法与因式分解
教学难点：数形结合思想的渗透
教学准备：
A型纸片（边长为a的正方形）、B 型纸片（边长为b的正方形）、C型纸片（长为a、宽为b的长方形）各若干张.
教学过程：
板块一、回顾从图形面积到整式乘法
【问题1】
（独立思考）
设计意图：该问题选自学生练习中的常见错误，从易错点引入本课教学，激发学生对直观方式的渴求。
【问题2】如图，从整体上，正方形的面积可表示为 ，从部分上，它的面积可以表示为 ，于是可以得到整式乘法公式 。
（独立思考后同伴说说）
设计意图：回顾新课中用不同方法表示同一个图形的面积，可以得到（或验证）一些有用的等式、法则、公式，为后续探究做好准备。
【问题3】我们知道，代数式(a+b)2的代数意义是a与b和的平方，那么它的几何意义是什么？
（独立思考后同伴说说）
设计意图：明确代数式的几何意义是画图解决问题的前提，引导学生该代数式认识表示边长为a+b的正方形的面积，从而促进借助画图法求解计算结果的水到渠成。其中，教师可在此时板演画图方法：根据图形边长先画出外部整体轮廓，再勾勒纵横线条形成组成部分，最后根据各部分面积写出整式乘法结果。
【问题4】你能说出代数式(a+b+c)2的几何意义吗 再通过画图直接写出它的结果。
（独立完成后同伴互帮）
【问题5】你能说出代数式 (2a+b ) (a+b)的几何意义吗 再通过画图直接写出它的结果。
（独立完成后同伴互帮）
设计意图：这两个问题的设计是对问题3的延续，有巩固作用，更有层次递进关系，也体现从特殊到一般的研究过程。
【读一读】数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。——数学家华罗庚
设计意图：让学生体会数和形时数学研究的两大对象，以形助数、以数解形，可以将抽象的数学语言与直观的几何图形联系起来，体现数形结合思想，感受数学文化。
板块二、探究从拼图到因式分解
现有材料：A型纸片（边长为a的正方形）、B 型纸片（边长为b的正方形）、C型纸片（长为a、宽为b的长方形）各若干张，如图。
【问题】三种纸片有什么联系？它们的面积分别是多少？
（独立思考后同伴说说）
设计意图：明确三种纸片的联系有助于后续拼图方法的探究，而每个图形的面积也是后续运用拼图法进行因式分解的基础。
活动1、取1张A型纸片、1张B型纸片、2张C型纸片拼一个正方形。
（1）动手拼一拼，并思考拼法，然后画一画示意图；
（2）所拼图形可对哪个多项式因式分解？写出这个等式。 （独立完成后同伴交流）
设计意图：给定最少的张数拼一个特殊的图形——正方形，与上一板块衔接，降低了拼图的难度，从简单的拼图中探寻拼图的方法：一般先拼正方形，再拼长方形；相等的边拼在一起，不同的正方形对角拼。从而从形内（图形面积）转至形外（图形边长），然而引导学生发现数与形的对应即纸片的张数与多项式各项系数对应相等，进而对该多项式因式分解，感悟“以形助数”、“以数解形”的数形结合思想。
活动2、取1张A型纸片、3张B型纸片、4张C型纸片拼一个长方形。
（1）动手拼一拼，并思考拼法，然后画一画示意图；
（2）所拼图形可对哪个多项式因式分解？写出这个等式。（独立完成后同伴交流）
设计意图：增加B型和C型纸片，从拼正方形到拼长方形，感受从特殊到一般的认识事物的方法。同时，由于B型小正方形张数增加，学生主动发现拼图方法的补充：相同正方形并排拼。
活动3、选取A型纸片 张、B型纸片 张、C型纸片 张，可以拼成一个面积为2a2+5ab+3b2的长方形，画出图形并将2a2+5ab+3b2因式分解为 。（独立完成后同伴互帮）
设计意图：没有提供纸片的张数，引导学生发现多项式的各项系数就是对应纸片的张数，再次感悟数与形的对应关系。通过巡视发现两种典型拼法，引导学生通过试误主动调整得到正确拼法，并由此熟练掌握利用拼图法（画图法）分解因式，并加深对利用数形结合思想解决问题的理解。
活动4、选取A型纸片、B型纸片、C型纸片若干张拼成一个长方形，使其面积为2a2+nab+3b2，则n所有可能的整数值分别是 。 （独立完成后小组交流）
设计意图：活动4是对活动3的延伸，学生容易得出n的其中一个取值是5，并由此产生思维冲突——还可以怎样拼？经过动手操作与不断尝试调整，组内合作交流，发现相同正方形也可以分排拼，具体怎么拼受到中间项系数（即C型纸片的张数）的牵制。由此，可以结合班级学情，再从“数”的角度，用十字相乘法分解因式，对由“形”得出的结论加以验证。
板块四、课堂小结
【问题1】通过本节课的学习，你有哪些感悟？（独立思考后同伴交流）
设计意图：这里的感悟可以涉及知识与技能、过程与方法、情感态度价值观等各方面。
【问题2】利用你的感悟解决下列问题：
（1）二次三项式a2+5ab+4b2分解因式为 ；
（2）计算（2a+b）2= .
（3）选取A型纸片 张、B型纸片 张、C型纸片 张，可以拼成一个边长分别为2a+b、a+2b的长方形。 （独立完成后同伴交流）
设计意图：三个基础问题，既是对本课所学的巩固，又鼓励学生不同的解题方法，从而更加深刻地认识数形结合。数形结合思想博大精深，应用范围甚广，本节课只是借助整式乘法与因式分解打开了很小的口子，更广阔的世界值得去探索与发现。
【问题3】你能说出代数式的几何意义吗？尝试画一画，并根据图形写出它的结果。
（独立思考后小组讨论）
设计意图：从平面图形拓展到立体图形，从平面直观上升到空间想象，形成知识迁移，对学生来说是一次思维的飞跃与挑战。放在此处，一方面学生已对数与形及其之间的关系建立起了较深的认识，另一方面在合作交流中化解难度，达成共识。
【课后练习】
1.取4张C型纸片拼成一个如图所示的正方形。
（1）图中阴影部分的面积是 或 ；
（2）你能得到的等式是 ；
（3）利用（2）的结论解决问题：若x+y=7，xy=10，求（x-y）2的值。
2.如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），
（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在上面画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=_
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为 ．
①你画的图中需要C类卡片______张；
②a 2 +5ab+6b 2 分解因式为 【 画图】
3.我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2．请解答下列问题：
⑴ 写出图2中所表示的数学等式 ；
⑵ 利用⑴中的结论，解决问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，求a2＋b2＋c2的值；
⑶ 图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形（画出示意图），使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）．
4．现有若干张如图1的正方形硬纸片A、B和长方形硬纸片C．
⑴ 小明利用这些硬纸片拼成了如图2的一个新正方形，然后他用两种不同的方法计算新正方形的面积，由此，他得到了一个等式：a2+2ab+b2=（a+b）2____________________________．
⑵ 小明取其中的若干张（三种纸片都取到）拼成一个面积为长方形，则n可取的正整数值为_________，并请在图3位置画出拼成的图形．
⑶ 多项式可分解因式为：__________________________．
(
a
a
b
b
A
B
C
)
(
C
C
A
B
)
5.小聪将4块完全一样的三角板（如图1）拼成了一个非常工整的图形（如图2），请教老师以后得知：该图形是一个正方形，并且里面的四边形也是一个正方形．为了作进一步的探究，小明将三角板的三边长用为表示（如图3），将两个正方形分别用正方形ABCD和正方形EFGH表示，然后他用两种不同的方法计算了正方形ABCD的面积．
(
a
b
c
) (
a
b
c
a
b
c
c
c
a
a
b
b
)
图1 图2 图3 图4
⑴ 请你用两种不同的方法计算出正方形ABCD面积：
⑵ 根据⑴中计算结果，你能得到怎么样的结论？
⑶ 请用文字语言描述⑵中得到的结论.
6.课上我们已经知道。若，请你利用此规律求的值。
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