2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(四)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥3}，则集合 U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥2} B．{x|x≤3}
C．{x|2≤x≤3} D．{x|2
D A∪B＝{x|x≤2或x≥3}，
所以 U(A∪B)＝{x|2故选D.
2．设命题p： x∈Z，x2≥2x＋1，则p的否定为( )
A． x Z，x2<2x＋1 B． x∈Z，x2<2x＋1
C． x Z，x2<2x＋1 D． x∈Z，x2<2x
B 命题p： x∈Z，x2≥2x＋1，则p的否定为： x∈Z，x2<
2x＋1.
故选B.
3．复数z＝－i虚部为( )
A． B．－
C．i D．－i
B 由虚部定义可知，z＝－i虚部为－.
故选B.
4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)则3a＋b＝( )
A．(－2，6) B．(－2，6)
C．(2，6) D．(2，－6)
A 因为向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)，
所以3a＋b＝3(－1，2)＋(1，0)＝(－2，6)．
故选A.
5．已知<<0，给出下列四个不等式：①|a|>|b|；②ab3.其中正确的不等式个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C 因为<<0，所以b对于①：若b对于②：由<<0可得b对于③：a＋b<0，ab>0，所以a＋b≤ab，所以③正确；
对于④：y＝x3在R上单调递增，b所以③④正确，正确的有2个，
故选C.
6．从观测所得的数据中取出m个x1，n个x2，p个x3组成一个样本，那么这个样本的平均数是( )
A. B.
C. D.
D 样本中共有m＋n＋p个数据，
它的平均数是，
故选D.
7．下列函数在定义域上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝logx
C．y＝ D．y＝x3
D 对于A，y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，A错误；
对于B，y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，B错误；
对于C，y＝在R上单调递减，C错误；
对于D，y＝x3在R上单调递增，D正确．
故选D.
8．已知△ABC中，a＝1，b＝，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
D 由正弦定理可得＝，
所以sin B＝＝＝.
因为0所以∠B等于60°或120°.
故选D.
9．如图，在 ABCD中，点E是AB的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
B 由题意得＝＋＝＋＝a＋b.
故选B.
10．方程x3＋3x－3＝0的解在区间( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
B 令f(x)＝x3＋3x－3，
因为f(－1)＝－7<0，f(0)＝－3<0，f(1)＝1>0，f(2)＝11>0，f(3)＝33>0，
所以由零点存在定理可知：f(x)的零点所在区间为(0，1)，
方程x3＋3x－3＝0的解在区间(0，1)内．
故选B.
11．函数y＝在[－2，2]上的图象可能是( )
B f(x)＝＝excos x，
当x趋近于0时，函数值趋近于e0cos 0＝1，故排除A；
f(2)＝e2cos 2<0，故排除C、D，
故选B.
12．在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2 700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为( )
A．1 680 B．1 020
C．960 D．720
C 设该校高一年级学生人数为n人，
由题意，从该校高一年级抽取的学生人数为45－14－15＝16(人)，
可得＝，解得n＝960人，
即从该校高一年级学生的人数为960人．
故选C.
13．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12π，则该模型中球的体积为( )
A．8π B．4π
C.π D．π
D 由题意球的表面积为＝12π×＝8π，即4πr2＝8π，r＝，
所以体积为V＝πr3＝π×()3＝π.
故选D.
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数y＝f(x)－x3的零点个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B 由f(x＋2)＝f(－x)可得f(x)关于x＝1对称，
由函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)＝－[－f(x－2)]＝f(x－2)，
所以f(x)的周期为4，
函数y＝f(x)－x3的零点问题即y＝f(x)－x3＝0的解，
即函数y＝f(x)和y＝x3的图象交点问题，
根据f(x)的性质可得如图所得图形，结合y＝x3的图象，
由图象可得共有3个交点，故共有3个零点，
故选B.
15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示．则能够使得y＝2sin x变成函数f(x)的变换为( )
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移 B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍 D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
C 观察图象知A＝2，f(x)周期为T，则＝－＝，即T＝π，ω＝＝2，
又f ＝2，即2·＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，而|φ|<，则k＝0，φ＝，
所以f(x)＝2sin，
把y＝2sin x图象向左平移得y＝2sin图象，再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍即得f(x)．
故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．下表记录了某地区一年之内的月平均降水量．
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6
则25%分位数为__________．
解析：将月平均降水量按照从小到大的顺序排列，得：
4．6 4.8 5.1 5.3 5.3 5.6 5.6 5.6 5.8 6.4
6．6 7.1
又25%×12＝3，
所以25%分位数为＝5.2.
答案：5.2
17．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．
解析：由题意知，∠ACB＝120°，
所以由余弦定理得AB2＝3a2＋3a2－2a×a×cos120°＝9a2，
所以AB＝3a km.
答案：3a km
18．已知＝2，则tan＝________．
解析：＝＝2，
即＝2，可得4tan θ＝3，解得tan θ＝，
所以tan＝＝＝7.
答案：7
19．已知命题p： x0∈R，x＋ax0＋a<0是假命题，则实数a的取值范围是________．(用区间表示)
解析：因为命题p： x0∈R，x＋ax0＋a<0是假命题，
所以命题 x∈R，x2＋ax＋a≥0是真命题，
即不等式x2＋ax＋a≥0对任意x∈R恒成立，
所以只需Δ＝a2－4a≤0，解得0≤a≤4，
即实数a的取值范围是[0，4]．
答案：[0，4]
三、解答题：本大题共3小题，第20小题12分，第21题12分，第22题12分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3.
(1)求证：直线A1B∥平面ACD1；
(2)求三棱锥D1-BCD的体积．
(1)证明：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC∥A1D1，BC＝A1D1，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，A1B∥CD1，
又A1B 平面ACD1，CD1 平面ACD1，
所以直线A1B∥平面ACD1.
(2)解：由长方体ABCD-A1B1C1D1知，DD1⊥平面DBC，且AB＝BC＝2，
则S△DBC＝BC×DC＝×2×2＝2，
因为AA1＝DD1＝3，
所以V＝S△DBCDD1＝×2×3＝2，
所以所求三棱锥D1-BCD的体积为2.
21．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csin A.
(1)确定C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的周长为5＋，求△ABC的面积．
解：(1)因为a＝2csin A，由正弦定理得sin A＝2sin C·sin A，
因为sin A≠0，所以sin C＝.
所以C＝或C＝.
因为△ABC是锐角三角形，所以C＝.
(2)因为c＝，且△ABC的周长为5＋，所以a＋b＝5，①
由余弦定理得a2＋b2－2abcos ＝7，即a2＋b2－ab＝7，②
由②变形得(a＋b)2－3ab＝7，所以ab＝6，
由面积公式得S＝absin ＝.\
22.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b.
(1)若对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，求实数a的值；
(2)若f(x)在(－∞，1]内递减，求实数a的范围；
(3)若函数g(x)＝sin x·f(x)为奇函数，求实数a的值．
解：(1)由f(x)对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立可知，
二次函数的对称轴为x0＝＝1，
所以a＝－2.
(2)由(1)知二次函数的对称轴为x0＝＝1，
若f(x)在(－∞ ，1]内递减，
只要－≥1 a≤－2，
所以实数a的范围是a≤－2.
(3)由g(x)对任意的实数x都有g(－x)＝－g(x)，
所以sin(－x)·f(－x)＝－sin x·f(x)，
f(－x)＝f(x)
x∈R，ax＝0，
所以a＝0.
PAGE2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(四)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U＝R，A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥3}，则集合 U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥2} B．{x|x≤3}
C．{x|2≤x≤3} D．{x|22．设命题p： x∈Z，x2≥2x＋1，则p的否定为( )
A． x Z，x2<2x＋1 B． x∈Z，x2<2x＋1
C． x Z，x2<2x＋1 D． x∈Z，x2<2x
3．复数z＝－i虚部为( )
A． B．－
C．i D．－i
4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，0)则3a＋b＝( )
A．(－2，6) B．(－2，6)
C．(2，6) D．(2，－6)
5．已知<<0，给出下列四个不等式：①|a|>|b|；②ab3.其中正确的不等式个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
6．从观测所得的数据中取出m个x1，n个x2，p个x3组成一个样本，那么这个样本的平均数是( )
A. B.
C. D.
7．下列函数在定义域上单调递增的是( )
A．y＝ B．y＝logx
C．y＝ D．y＝x3
8．已知△ABC中，a＝1，b＝，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
9．如图，在 ABCD中，点E是AB的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a－b
10．方程x3＋3x－3＝0的解在区间( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
11．函数y＝在[－2，2]上的图象可能是( )
12．在中国共产党建党100周年之际，某外国语学校组织了“党史知识竞赛”活动，已知该外国语学校共有高中生2 700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽取了14人，高二年级抽取了15人，则该校高一年级学生人数为( )
A．1 680 B．1 020
C．960 D．720
13．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边(即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切)，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为12π，则该模型中球的体积为( )
A．8π B．4π
C.π D．π
14．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋2)＝f(－x)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数y＝f(x)－x3的零点个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
15．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如下图所示．则能够使得y＝2sin x变成函数f(x)的变换为( )
A．先横坐标变为原来的倍，再向左平移
B．先横坐标变为原来的2倍，再向左平移
C．先向左平移，再横坐标变为原来的倍
D．先向左平移，再横坐标变为原来的2倍
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．下表记录了某地区一年之内的月平均降水量．
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6
则25%分位数为__________．
17．如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．
18．已知＝2，则tan＝________．
19．已知命题p： x0∈R，x＋ax0＋a<0是假命题，则实数a的取值范围是________．(用区间表示)
三、解答题：本大题共3小题，第20小题12分，第21题12分，第22题12分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝3.
(1)求证：直线A1B∥平面ACD1；
(2)求三棱锥D1-BCD的体积．
21．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csin A.
(1)确定C的大小；
(2)若c＝，且△ABC的周长为5＋，求△ABC的面积．
22.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b.
(1)若对任意的实数x都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，求实数a的值；
(2)若f(x)在(－∞，1]内递减，求实数a的范围；
(3)若函数g(x)＝sin x·f(x)为奇函数，求实数a的值．
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