2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）模拟测试卷(五) （word原卷版+解析版）

2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(五)
(时间：90分钟　满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A＝{x|x是小于4的正整数}，B＝{2，3，4，5}，则如图阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2，3，4} B．{2，3}
C．{3} D．{2}
2．复数z＝i(1＋i)的实部为(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
3．已知幂函数y＝f(x)的图象过(4，2)点，则f ＝(　　)
A. B.
C. D.
4．某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少(　　)
A．2人 B．4人
C．5人 D．1人
5．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是(　　)
A. B.
C. D.
7．已知扇形OAB的周长为12，圆心角大小为2 rad，则该扇形的面积是________．(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
8．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
9．已知角α的终边与单位圆相交于点P，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
10．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是(　　)
A．若α∥β，l α，m β，则l∥m
B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥m
C．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m
D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m
11．根据下表数据，可以判定方程ln x－＝0的根所在的区间是(　　)
x 1 2 e 3 4
ln x 0 0.69 1 1.10 1.39
3 1.5 1.10 1 0.75
A．(3，4) B．(e，3)
C．(2，e) D．(1，2)
12．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E为BC的中点，则(　　)
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
13．已知偶函数y＝f(x)在区间(－∞，0)内单调递增，若a＝f ，b＝f(2－1.1)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
14．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝(　　)
A．30 m B．20 m
C．30 m D．20 m
15．规定从甲地到乙地通话t min的电话费由f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)(元)决定，其中t>0，[t]是大于或等于t的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为________元．(　　)
A．4.8 B．5.2
C．5.6 D．6
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．函数f(x)＝的定义域为________．
17．已知α、β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝________．
18．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为________．
19．若关于x的不等式x2－2ax－7a2<0的解集为(x0，x0＋16)，则实数a＝________．
三、解答题：本大题共3小题，第20小题10分，第21题12分，第22题14分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．已知f(θ)＝.
(1)若θ为第四象限角且tan θ＝－2，求f(θ)的值；
(2)令函数g(x)＝f(x)＋sin x，x∈，求函数g(x)的递增区间．
21．已知函数f(x)＝a－为奇函数．
(1)求a的值；
(2)探究f(x)在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
22.某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程)，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求续驶里程在[200，300]的车辆数；
(2)求续驶里程的平均数；
(3)若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[200，250]内的概率．
PAGE2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(五)
(时间：90分钟　满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合A＝{x|x是小于4的正整数}，B＝{2，3，4，5}，则如图阴影部分表示的集合为(　　)
A．{2，3，4} B．{2，3}
C．{3} D．{2}
B　依题意A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，阴影部分表示的集合为A∩B＝{2，3}．
故选B.
2．复数z＝i(1＋i)的实部为(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
B　因为z＝i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，，所以实部为－1，
故选B.
3．已知幂函数y＝f(x)的图象过(4，2)点，则f ＝(　　)
A. B.
C. D.
D　设函数式为f(x)＝xa，代入点(4，2)得4a＝2，所以a＝.所以f(x)＝x，所以f ＝.故选D.
4．某公司有员工49人，其中30岁以上的员工有14人，没超过30岁的员工有35人，为了解员工的健康情况，用分层抽样的方法抽一个容量为7的样本，其中30岁以上的员工应抽多少(　　)
A．2人 B．4人
C．5人 D．1人
A　由题意抽取比例为＝，所以30岁以上的员工应抽14×＝2(人)，故选A.
5．设x∈R，则“x＞1”是“x2＞1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A　由x>1可得x2>1成立，反之不成立，所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件．
6．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是(　　)
A. B.
C. D.
C　第二位有三种情况，第四位有三种情况，所以一共有3×3＝9(种)情况，所以一次输对的概率为.
7．已知扇形OAB的周长为12，圆心角大小为2 rad，则该扇形的面积是________．(　　)
A．2 B．3
C．6 D．9
D　设扇形OAB的半径r，弧长l，则周长2r＋l＝12，圆心角为＝2，
解得r＝3，l＝6，故扇形面积为lr＝×3×6＝9.
故选D.
8．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
D　由正弦定理得＝，所以＝，所以sin B＝，
所以b9．已知角α的终边与单位圆相交于点P，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
C　角α的终边与单位圆相交于点P，故x＝－，y＝，
所以sin α＝y＝，cos α＝x＝－，
故sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
故选C.
10．已知两条不同直线l，m，两个不同平面α，β，则下列命题正确的是(　　)
A．若α∥β，l α，m β，则l∥m
B．若α∥β，m∥α，l⊥β，则l⊥m
C．若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l∥m
D．若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m
B　对A，若α∥β，l α，m β，则l∥m或l，m异面，所以该选项错误；
对B，若α∥β，l⊥β，所以l⊥α，因为m∥α，则l⊥m，所以该选项正确；
对C，若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m，所以该选项错误；
对D，若α⊥β，l∥α，m∥β，则l⊥m或l∥m或l，m相交或l，m异面，所以该选项错误．
故选B.
11．根据下表数据，可以判定方程ln x－＝0的根所在的区间是(　　)
x 1 2 e 3 4
ln x 0 0.69 1 1.10 1.39
3 1.5 1.10 1 0.75
A．(3，4) B．(e，3)
C．(2，e) D．(1，2)
B　设函数f(x)＝ln x－，易见函数在(0，＋∞)上递增，
由表可知，f(e)＝1－1.1＝－0.1<0，f(3)＝1.1－1＝0.1>0，
故f(e)f(3)<0，由零点存在定理可知，方程的根即函数的零点在区间(e，3)上．
故选B.
12．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，E为BC的中点，则(　　)
A.＝＋ B.＝＋
C.＝＋ D.＝＋
A　如图所示：
在三角形ABE中，＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋＝＋.
故选A.
13．已知偶函数y＝f(x)在区间(－∞，0)内单调递增，若a＝f ，b＝f(2－1.1)，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
D　偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，由y＝f(x)在区间(－∞，0)内单调递增可知，y＝f(x)在区间(0，＋∞)内单调递减．
log2 ＝－log2 3，故a＝f ＝f(log2 3)，而log2 2>2－1.1，
由单调性知f ＝f(log2 3)c>a.
故选D.
14．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB＝(　　)
A．30 m B．20 m
C．30 m D．20 m
D　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，
由正弦定理＝，可得＝
，
可得CB＝20×＝20，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
所以塔高AB＝BC＝20 m.
故选D.
15．规定从甲地到乙地通话t min的电话费由f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)(元)决定，其中t>0，[t]是大于或等于t的最小整数，如[2]＝2，[2.7]＝3，[2.1]＝3，则从甲地到乙地通话时间为4.5 min的电话费为________元．(　　)
A．4.8 B．5.2
C．5.6 D．6
C　由[4.5]＝5，得f(t)＝1.6×(0.5×[t]＋1)＝1.6×(0.5×5＋1)＝5.6.
故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．函数f(x)＝的定义域为________．
解析：对于函数f(x)＝，有2－x>0，解得x<2.
因此，函数f(x)＝的定义域为(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
17．已知α、β为锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝________．
解析：因为α，β都是锐角，所以α＋β∈(0，π)，
又sin α＝，cos(α＋β)＝－，所以cos α＝，sin(α＋β)＝，
则cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.
答案：
18．柜子里有3双不同的鞋子，随机地取出2只，则取出的2只鞋子不成对的概率为________．
解析：因为取法总数有C＝15种，取出的鞋成对的种数有3种，
所以取出的鞋不成对的概率p＝1－＝.
答案：
19．若关于x的不等式x2－2ax－7a2<0的解集为(x0，x0＋16)，则实数a＝________．
解析：关于x的不等式x2－2ax－7a2<0的解集为(x0，x0＋16)，
则方程x2－2ax－7a2＝0的两根为x1＝x0，x2＝x0＋16，则
则由(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2，
得162＝(2a)2－4×(－7a2)，即a2＝8，
故a＝±2.
答案：±2
三、解答题：本大题共3小题，第20小题10分，第21题12分，第22题14分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．已知f(θ)＝.
(1)若θ为第四象限角且tan θ＝－2，求f(θ)的值；
(2)令函数g(x)＝f(x)＋sin x，x∈，求函数g(x)的递增区间．
解：(1)f(θ)＝＝＝cos θ，
由得cos θ＝±，
因为θ为第四象限象，所以f(θ)＝cos θ＝.
(2)由(1)知f(x)＝cos x，故g(x)＝f(x)＋sin x＝2＝2sin，
令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
又0所以函数g(x)的递增区间为.
21．已知函数f(x)＝a－为奇函数．
(1)求a的值；
(2)探究f(x)在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．
解：(1)由于f(x)是定义在R上的奇函数，
故f(0)＝a－＝0，解得a＝1.
经检验，f(x)＝1－＝是奇函数．
(2)f(x)是R上的增函数，证明如下：
任取x1f(x1)－f(x2)＝.
由于x10，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在R上为增函数．
22.某电动车售后服务调研小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程)，被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求续驶里程在[200，300]的车辆数；
(2)求续驶里程的平均数；
(3)若从续驶里程在[200，300]的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续驶里程在[200，250]内的概率．
解：由题意可知，0.002×50＋0.005×50＋0.008×50＋x×50＋0.002×50＝1，
所以x＝0.003，
故续驶里程在[200，300]的车辆数为：20×(0.003×50＋0.002×50)＝5.
(2)由直方图可得：
续航里程的平均数为：0.002×50×75＋0.005×50×125＋0.008×50×175＋0.003×50×225＋0.002×50×275＝170.
(3)由(2)及题意可知，续驶里程在[200，250)的车辆数为3，分别记为A，B，C
续驶里程在[250，300]的车辆数为2，分别记为a，b，
事件A＝“其中恰有一辆汽车的续驶里程为[200，250)”
从该5辆汽车中随机抽取2辆，所有的可能如下：
(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)共10种情况，
事件A包含的可能有共(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)6种情况，
则P(A)＝＝.
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