2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(二)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已如集合A＝{x|x<2}，B＝{x|y＝lg x}，则A∩B＝( )
A．(－∞，2) B．(0，2)
C．[0，2) D．(0，＋∞)
2．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则实数m的值为( )
A．－ B．
C．2 D．6
3．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0 B．2
C．5 D．1
4．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
C．c5．如果a>b，那么下列说法正确的是( )
A．ac>bc B．ac2C．ac＝bc D．b－a<0
6．为了让学生了解更多的“一带一路”倡议的信息，某中学举行了一次“丝绸之路知识竞赛”，全校学生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示，若60%的学生不能参加复赛，则可以参加复赛的成绩约为( )
A．72 B．73
C．74 D．75
7．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
8．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝2，则边c＝( )
A．2 B．
C． D．1
9．一个圆柱的轴截面是一个面积为36的正方形，则该圆柱的体积是( )
A．54π B．36π
C．16π D．8π
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和，例如：8＝3＋5，在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为( )
A. B.
C. D.
11．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin＋k，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．10 B．8
C．6 D．5
12．在△ABC中，“cos Asin B”的________条件．( )
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．非充分非必要
13．函数f(x)＝lg x＋x－2的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
14．△ABC中，AB＝2，BC＝2，AC＝4，点O为△ABC的外心，若＝m＋n，则实数的值为( )
A．7 B．
C．－ D．
15．已知函数f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．已知x>1，则x＋的最小值是________．
17．若tan α＝，则2sin2 α＋sin αcos α＝________．
18．已知平面向量a，b，c，满足|a|＝3，|b－a|＝，c∥b，a·c＝，则|c|的最大值为________．
19．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：
①对于任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0成立；
②存在x∈(－∞，－4)，使得f(x)·g(x)<0成立．
则m的取值范围是________．
三、解答题：本大题共3小题，第20小题12分，第21题12分，第22题12分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为，侧棱长为2，D在边BC上，BD＝2DC.求：
(1)该三棱柱的体积与表面积；
(2)三棱锥D-AB1C的体积．
21．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝－.求：
(1)c；
(2)cos 2B的值．
22．已知函数f(x)＝sin ωx·cos＋2sin2 ωx＋，直线y＝1－与f(x)的图象交点之间的最短距离为π.
(1)求f(x)的解析式及其图象的对称中心；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若∠A是锐角，且f ＝，c＝4，a＋b＝4，求△ABC的面积．
PAGE2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(二)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已如集合A＝{x|x<2}，B＝{x|y＝lg x}，则A∩B＝( )
A．(－∞，2) B．(0，2)
C．[0，2) D．(0，＋∞)
B 集合B表示对数函数y＝lg x的定义域，故而B＝{x|x>0}，又因为A＝{x|x<2}，可得A∩B＝(0，2)．
故选B.
2．若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则实数m的值为( )
A．－ B．
C．2 D．6
D 因为a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a⊥b，
所以a·b＝6－m＝0，解得m＝6，
故选D.
3．若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝( )
A．0 B．2
C．5 D．1
D 由(a－2)i＝b－i，得解得
所以a2＋b2＝1.
故选D.
4．设a＝50.3，b＝log0.30.5，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．cD 由a＝50.3>1>b＝log0.30.5>0>c＝log30.4，
所以c故选D.
5．如果a>b，那么下列说法正确的是( )
A．ac>bc B．ac2C．ac＝bc D．b－a<0
D 因为a>b，不等式两边同时减去a得0>b－a，D正确，
若c＝0，则A、B错误，若c≠0，C错误．
故选D.
6．为了让学生了解更多的“一带一路”倡议的信息，某中学举行了一次“丝绸之路知识竞赛”，全校学生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示，若60%的学生不能参加复赛，则可以参加复赛的成绩约为( )
A．72 B．73
C．74 D．75
D 因为[40，70)的频率为(0.010＋0.015＋0.020)×10＝0.45，
[70，80)的频率为0.030×10＝0.3，
因为60%的学生不能参加复赛，
所以可以参加复赛的成绩约为70＋×10＝75.
故选D.
7．已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α
D 对于A：m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m α，故A错误；
对于B：m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m α，故B错误；
对于C：m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m α，故C错误；
对于D：由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
故选D.
8．在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝2，则边c＝( )
A．2 B．
C． D．1
A 因为A＝105°，C＝30°，所以B＝45°，
则＝，即＝，解得c＝2，
故选A.
9．一个圆柱的轴截面是一个面积为36的正方形，则该圆柱的体积是( )
A．54π B．36π
C．16π D．8π
A 设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，该圆柱的轴截面面积为4r2＝36，解得r＝3，
因此，该圆柱的体积为V＝πr2×2r＝π×32×6＝54π.
故选A.
10．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和，例如：8＝3＋5，在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为( )
A. B.
C. D.
D 不超过14的质数有2，3，5，7，11，13共6个数，
在这6个数中随机选取两个不同的数，有以下15种情况：
2，3；2，5；2，7；2，11；2，13；
3，5；3，7；3，11；3，13；
5，7；5，11；5，13；
7，11；7，13；
11，13.
其和等于14的只有1种情况：3，11.
故在不超过14的质数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为.
故选D.
11．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin＋k，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．10 B．8
C．6 D．5
A 某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝4sin＋k，据此图象可知，这段时间水深最小值为－4＋k＝2，所以k＝6，
故这段时间水深的最大值为4＋6＝10，
故选A.
12．在△ABC中，“cos Asin B”的________条件．( )
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．非充分非必要
C 因为△ABC中，由正弦定理＝，
所以当sin A>sin B必有a>b，根据三角形中大边对大角知：A>B；
当cos AA>>B>0或>A>B>0成立，即A>B；
所以“cos Asin B”的充要条件．
故选C.
13．函数f(x)＝lg x＋x－2的零点所在区间为( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
B 因为f(1)＝lg 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝lg 2＋2－2＝lg 2>0，
根据零点存在定理可得，函数f(x)在区间(1，2)内有零点；
又函数f(x)＝lg x＋x－2显然单调递增，所以f(x)有唯一零点．
故选B.
14．△ABC中，AB＝2，BC＝2，AC＝4，点O为△ABC的外心，若＝m＋n，则实数的值为( )
A．7 B．
C．－ D．
A △ABC中，AB＝2，BC＝2，AC＝4，
则cos∠BAC＝＝＝－，
因为＝m＋n，
所以
又因为·＝||·||·cos∠OAB＝||·||＝2，
同理可得：·＝8，代入上式，
所以解得
所以＝7.
故选A.
15．已知函数f(x)＝是R上的减函数，那么a的取值范围是( )
A．(0，3) B．(0，3]
C．(0，2) D．(0，2]
D 因为函数f(x)＝是R上的减函数，
所以x≤1时，f(x)单调递减，即a－3<0，①
x>1时，f(x)单调递减，即a>0，②
且(a－3)×1＋5≥，③
联立①②③解得0故选D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．已知x>1，则x＋的最小值是________．
解析：因为x>1，所以x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3，
当且仅当x＝2时，等号成立，即x＋有最小值3.
答案：3
17．若tan α＝，则2sin2 α＋sin αcos α＝________．
解析：因为tan α＝，
所以2sin2 α＋sin αcos α＝＝＝.
答案：
18．已知平面向量a，b，c，满足|a|＝3，|b－a|＝，c∥b，a·c＝，则|c|的最大值为________．
解析：因为c∥b，所以b＝λc(λ≠0)，
所以|b－a|＝|λc－a|＝，即(λc－a)2＝，
所以λ2c2－2λa·c＋a2＝，λ2c2－27λ＋9＝，
整理得：c2＝－·＋27·＝－＋27，
所以当λ＝时，c2取得最大值为27，即|c|max＝3.
答案：3
19．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：
①对于任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0成立；
②存在x∈(－∞，－4)，使得f(x)·g(x)<0成立．
则m的取值范围是________．
解析：由g(x)＝2x－2<0，可得x<1.
对于①，对于任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0成立，
则当x≥1时，f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0恒成立，故m<0，且
解得－4对于②，存在x∈(－∞，－4)，使得f(x)·g(x)<0成立，
由于g(x)<0对任意的x∈(－∞，－4)恒成立，所以，存在x∈(－∞，－4)使得f(x)>0.
所以2m<－4或－m－3<－4，且2m≠－m－3，
解得m<－2或m>1.
综上所述，实数m的取值范围是(－4，－2)．
答案：(－4，－2)
三、解答题：本大题共3小题，第20小题12分，第21题12分，第22题12分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为，侧棱长为2，D在边BC上，BD＝2DC.求：
(1)该三棱柱的体积与表面积；
(2)三棱锥D-AB1C的体积．
解：(1)该三棱柱的体积V＝×()2×2＝；该三棱柱的表面积S＝2××()2＋3××2＝.
(2)因为BD＝2DC，所以三棱锥D-AB1C的体积
VD－AB1C＝VB1－ACD＝VB1－ABC＝×[××()2×2]＝.
21．已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝－.求：
(1)c；
(2)cos 2B的值．
解：(1)由余弦定理知，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即48＝36＋c2－2×6×c×，
整理得，c2＋4c－12＝0，
解得c＝2或－6(舍负)，
故c＝2.
(2)因为cos A＝－，且A∈(0，π)，
所以sin A＝＝，
由正弦定理知，＝，即＝，
所以sin B＝，
所以cos 2B＝1－2sin2 B＝－.
22．已知函数f(x)＝sin ωx·cos＋2sin2 ωx＋，直线y＝1－与f(x)的图象交点之间的最短距离为π.
(1)求f(x)的解析式及其图象的对称中心；
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若∠A是锐角，且f ＝，c＝4，a＋b＝4，求△ABC的面积．
解：(1)f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＋1＝sin＋1，
由题可知，T＝π，2ω＝ ω＝1，
所以f(x)＝sin＋1，
令2x－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.
所以对称中心为，k∈Z，
(2)因为f ＝，sin A＝，
所以sin A＝，又A∈，A＝，
因为c＝4，a＋b＝4，由余弦定理得，a2＝(4－b)2＝b2＋16－4b b＝2.
所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝4.
PAGE