18.2.1.2矩形的判定 课件 2021--2022学年下学期人教版八年级数学下册(共30张PPT)

(共30张PPT)
18.2.1.2 矩形的判定
1.使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.
2.通过矩形判定的教学渗透矛盾可以互相转化的唯物辩证法思想.
学习目标
重点：矩形判定方法的探究与运用.
难点：矩形的性质与判定的综合运用.
重难点
四边形
平行四边形
两组对
边平行
一个角
是直角
∟
矩形
平行四边形□
矩形
四边形
知识回顾
测量…？
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
你现在有办法帮他吗
情景导入
在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形？(　　)
A．另一组对边相等，对角线相等
B．另一组对边相等，对角线互相垂直
C．另一组对边平行，对角线相等
D．另一组对边平行，对角线互相垂直
C
预习检测
从矩形的定义出发
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
你还有其它的判定方法吗？
ABCD
∠A=90°
四边形ABCD是矩形
A
B
C
D
新知讲解
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有二个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
矩形的四个角是直角，那么四个角是直角的四边形是矩形吗？三个角是直角呢？两个角是直角呢？一个角是直角呢？
新知讲解
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
你能证明上述结论吗？
新知讲解
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
∟
∟
∟
证明：∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
新知讲解
判定定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形 .
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
几何语言：
A
B
C
D
∟
∟
∟
∴ 四边形ABCD是矩形
归纳总结
从“矩形的两条对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个对角线长度是4cm的矩形吗？这样的矩形有多少个？
想一想
过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，OB=OD=2cm. 连接AB, BC, CD, DA. 则四边形ABCD是矩形，且它的对角线长度为4cm，如图，这样的矩形有无数个.
你能说出这样画出矩形的道理吗？
A
B
C
D
O
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 .
新知讲解
已知：平行四边形ABCD，AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:
∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形.
∴ ∠ABC=∠DCB
A
B
C
D
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
新知讲解
对角线相等的平行四边形是矩形 .
判定定理2:
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
（或OA=OC=OB=OD）
A
B
C
D
O
归纳总结
测量…？
现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？
新知讲解
分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格.
测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格.
分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格
方案一
方案二
方案三
新知讲解
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形.）
有三个角是直角的四边形是矩形 .
方法1：
方法2：
方法3：
对角线相等的平行四边形是矩形.
归纳总结
等腰梯形
对角线相等的四边形是矩形吗？举例说明.
议一议
例2 如图，在 ABCD 中，它的两条对角线相交于点O.
（1）如果 ABCD是矩形，试问： △OBC是什么样的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中：OB=OC，那么 ABCD是矩形吗？
A
B
C
D
O
典型例题
解：(1)∵ ABCD是矩形，
∴AC与DB相等且互相平分
∴OB= AC=OC
∴ △OBC是等腰三角形.
(2)∵△OBC是等腰三角形，其中OB=OC
∴AC=2OC=2OB=BD
∴ ABCD是矩形
例2 如图，在 ABCD 中，它的两条对角线相交于点O.
（1）如果 ABCD是矩形，试问： △OBC是什么样的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中：OB=OC，那么 ABCD是矩形吗？
A
B
C
D
O
如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是( )
A . 菱形 B. 平行四边形
C. 矩形 D. 不能确定
C
练习
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．
四边形AMDN是矩形
MN=AD
AD的最小值
D1
AD的最小值=AD1=
=
=
典型例题
1. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )
A.测量对角线是否相互平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量一组对角是否为直角
D.测量四边形的其中三个角是否都为直角
D
随堂检测
2. 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )
A. AB=BC B. AC⊥BD C. AC=BD D.∠1=∠2
C
对角线相等的平行四边形是矩形 .
随堂检测
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF. 当∠ACB为__________度时，四边形ABFE为矩形.
60
四边形ABFE是平行四边形
AC=BC
四边形ABFE为矩形
随堂检测
4. 如图△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 .
2
中点
中点
DF为△ABC的中位线
DF∥BC
四边形BCDE为矩形
2
30°
4
2
随堂检测
5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC, BD交于点O，∠1=∠2. 求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠1=∠2，
∴BO=CO，即2BO=2CO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=OD.
∴AC=2CO，BD=2BO.
∴AC=BD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
随堂检测
∠A= ∠B= ∠C=90°
ABCD
AC = BD
ABCD
∠A=90°
ABCD
是矩形
四边形ABCD
是矩形
课堂小结
判定一个四边形是矩形的方法