山东省泰安市岱岳区黄前中学2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

山东省泰安市岱岳区黄前中学2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共12小题，共48分）
如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是
A.
B.
C.
D.
若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
如图，为的直径，，为上两点，若，则的大小为
A.
B.
C.
D.
如图，是的直径，点，在上，，交于点若，则的度数为
A.
B.
C.
D.
如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交的延长线于点，则的度数为
A.
B.
C.
D.
已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是
A. 图象的开口向下 B. 图象的顶点坐标是
C. 当时，随的增大而减少 D. 图象与轴有唯一交点
下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
下列各选项中，正确的是
A. 这个函数的图象开口向下
B. 这个函数的图象与轴无交点
C. 这个函数的最小值小于
D. 当时，的值随值的增大而增大
如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为米，则自动扶梯的长约为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移个单位长度，将轴向左平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为
A. B.
C. D.
二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A.
B.
C.
D.
如图，在边长为的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为
A.
B.
C.
D.
二次函数为常数，的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为，与轴的一个交点在点和点之间，有下列结论：
；
；
；
；
为任意实数．
其中正确的有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
将本艺术类、本文学类、本科技类的书籍混在一起若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的概率为______ ．
如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为，则的值为______．
如图，在中，，，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为______．
如图，海中有个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距海里，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为______海里．
如图，把一个圆锥沿母线剪开，展开后得到扇形，已知圆锥的高为，，则扇形中的长是______ 计算结果保留．
如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：；；的最大值为；方程有实数根其中正确的为______ 将所有正确结论的序号都填入．
三、解答题（本大题共7小题，共56分）
即将举行的年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上个吉祥物图案的卡片卡片的形状、大小、质地都相同背面朝上、洗匀．
若从中任意抽取张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是______ ．
若先从中任意抽取张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取张，求两次抽取的卡片图案相同的概率请用树状图或列表的方法求解
小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在处看到、处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在处测得在北偏西方向，在北偏东方向，他从处走了米到达处，又在处测得在北偏东方向．
求的度数；
求两颗银杏树、之间的距离结果保留根号．
如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．
分别求出两个函数的解析式；
连接，求的面积．
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点．
______ ， ______ ；
若点在该二次函数的图象上，且，求点的坐标；
若点是该二次函数图象上位于轴上方的一点，且，直接写出点的坐标．
已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
求的面积；
点在轴上，当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．
如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点．
求证：是的切线；
；
若点是劣弧的中点，且，试求阴影部分的面积．
如图，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴是直线，连接．
求该抛物线的表达式；
若过点的直线与抛物线相交于另一点，当时，求直线的表达式；
在的条件下，当点在轴下方时，连接，此时在轴左侧的抛物线上存在点，使请直接出所有符合条件的点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：．
俯视图是从上面看到的图形，据此判断即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
2.【答案】
【解析】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，，
点在第二象限，点，在第四象限，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
连接，先根据圆周角定理得出及的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：连接，
为的直径，
．
，
，
．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三角形外角性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．根据圆周角定理得到，，由得到，然后根据三角形外角性质计算的度数．
【解答】
解：是的直径，
，
，
，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质、圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握切线的性质是解题的关键．
连接、，由切线的性质得出，由圆内接四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，求出，由直角三角形的性质即可得出结果．
【解答】
解：如图所示：连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
；
故选A．
6.【答案】
【解析】解：，
抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
令，则，，
，
抛物线与轴有两个交点．
故选：．
先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程根的判断．也考查了二次函数的性质．
7.【答案】
【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题知，
解得，
二次函数的解析式为，
A.函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B.与轴的交点为和，故B选项不符合题意；
C.当时，函数有最小值为，故C选项符合题意；
D.函数对称轴为直线，根据图象可知当时，的值随值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：．
设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：在中，，米，
，
米，
故选：．
由锐角三角函数可以求得的长即可．
本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据题意知，将抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后所得抛物线解析式为：．
故选：．
此题可以转化为求将抛物线“向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
10.【答案】
【解析】解：因为二次函数的图象开口向上，得出，与轴交点在轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出，
所以一次函数经过一、二、三象限，反比例函数经过二、四象限，
故选：．
根据二次函数的图象开口向上，得出，与轴交点在轴的负半轴，得出，利用对称轴，得出，进而对照四个选项中的图象即可得出结论．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象，得出、、是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：假设与为直径的半圆切于点，
四边形为正方形，
，
与为直径的半圆相切，
，，
，，
在中，，即，
解得：，
，
阴影部分的面积，
故选：．
根据切线的性质得到，根据勾股定理列出方程求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理的应用、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的负半轴，
，，，
，故错误；
由图象可知，时，，
，故错误；
抛物线的顶点坐标为，
，，
，
，即，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，即，故正确．
抛物线的开口向下，顶点坐标为，
为任意实数，故正确．
故选：．
抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断；
根据时，，即可判断．
根据对称轴，即可判断．
根据抛物线与轴有两个交点，可知，即可判断．
根据抛物线的顶点坐标为，函数有最大值，由此即可判断．
本题考查二次函数与轴的交点、二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：一共有本书籍，其中文学类有本，
小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为，
故答案为：．
用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数事件可能出现的结果数．
14.【答案】
【解析】解：过点作轴于，则，
∽，
，
，的面积为，
，
，
的面积，
根据反比例函数的几何意义得，，
，
，
．
故答案为：．
过点作轴于，则∽，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．
本题主要考查了反比例函数的的几何意义的运用，相似三角形的性质与判定，共高的三角形面积的关系，关键是构造相似三角形．
15.【答案】
【解析】解：连接，作，．
，，点为的中点，
，四边形是正方形，．
则扇形的面积是：．
，，点为的中点，
平分，
又，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
则阴影部分的面积是：．
故答案为．
连接，作，，证明≌，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明≌，得到是关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
根据题意可知：
，，，
在中，，
在中，，
海里．
答：此时轮船与小岛的距离为海里．
故答案为：．
如图，过点作于点，根据题意可得，，，，再根据锐角三角函数即可求出轮船与小岛的距离．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
17.【答案】
【解析】解：圆锥的高为，，
圆锥的底面半径为，
圆锥的底面周长为，
扇形中的长是，
故答案为：．
根据的长就是圆锥的底面周长即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于展开扇形的弧长，难度不大．
18.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴，
，
抛物线与轴的交点在轴正半轴，
，
，故错误；
抛物线与轴的交点，对称轴为直线，
抛物线轴的另一个交点在，
当时，，即正确；
由图象无法判断的最大值，故错误；
方程，可看作二次函数与的交点个数，
由图象可知，必然有个交点，即方程有个不相等的实数根．
故正确．
故答案为：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定与的关系；当时，；然后由图象确定当时，的值有个．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右，简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
19.【答案】
把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、，
画树状图如图：
共有种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有种，
两次抽取的卡片图案相同的概率为．
【解析】解：从中任意抽取张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：；
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取的卡片图案相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】解：由题意得：，
且，
，
且，
；
过点作于．
，
，
在中，米，，
米，
在中，，
米，米，
，
米，
米，
答：两颗银杏树、之间的距离为 米．
【解析】根据平行线的性质得到，于是得到；
过点作于根据垂直的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到米，解直角三角形得到米，米，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决此题的关键是构建含特殊角的直角三角形．
21.【答案】解：由过点和可得：
，
解得：，
故，
又由过点和可得：
，
解得，
故．
由过点，可知，
故，
而点到轴的距离为，
．
【解析】将、代入反比例函数中即可求出、的值，代入一次函数中即可分别求出两个函数的解析式；
根据一次函数解析式求出点坐标即可根据三角形面积计算公式求出．
本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的基本特点以及能根据坐标系中点的位置，将数形相结合进行简单计算是解题的关键．
22.【答案】；
连接，由题意可得：
，，，，
，
，设点，
，即，
解得：或，代入，
可得：值都为，
或；
设，
点在抛物线位于轴上方的部分，
或，
当点在点左侧时，即，
可知点到的距离小于点到的距离，
，不成立；
当点在点右侧时，即，
和都以为底，若要面积相等，
则点和点到的距离相等，即，
设直线的解析式为，
则，解得：，
则设直线的解析式为，将点代入，
则，解得：，
则直线的解析式为，将代入，
即，
解得：或舍，
，
点的坐标为．
【解析】解：点和点在二次函数图像上，
则，解得：，
故答案为：，；
利用待定系数法求解即可；
先求出的面积，设点，再根据，得到方程求出值，即可求出点的坐标；
分点在点左侧和点在点右侧，结合平行线之间的距离，分别求解．
本题考查了二次函数综合，涉及到待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行线之间的距离，一次函数，解题的难点在于将同底的三角形面积转化为点到直线的距离．
23.【答案】解：反比例函数经过点，
，
点在反比例函数图象上，
．
，
把，的坐标代入，
则有，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
如图设直线交轴于，则，
．
由题意，
当时，可得，
当时，可得，，
当时，过点作轴于设，
在中，则有，
解得，
，
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【解析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
利用待定系数法求解即可．
如图设直线交轴于，则，根据求解即可．
分三种情形：，，分别求解即可．
24.【答案】解：连接，
是的平分线，，
，，
，
，而，
，
是的切线；
连接，
是的切线，，
，∽，
，
；
连接、，设圆的半径为，
点是劣弧的中点，是中垂线，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
，
、是等边三角形，
，
，
，而，
，
．
【解析】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的知识，相似三角形的判断与性质，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
证明，即可求解；证明∽，即可求解；
证明、是等边三角形，，即可求解．
25.【答案】解：抛物线的对称轴为，
，
，
点的坐标为，
，
抛物线的解析式为，
点在抛物线上，
，
，
，
抛物线的解析式为；
Ⅰ、当点在轴上方时，如图，
记与的交点为点，
，
，
直线垂直平分，
点在直线上，
点，，
直线的解析式为，
当时，，
点，
点点关于对称，
，
直线的解析式为，
即直线的解析式为；
Ⅱ、当点在轴下方时，如图，
，
，
由Ⅰ知，直线的解析式为，
直线的解析式为，
即直线的解析式为；
综上，直线的解析式为或；
由知，直线的解析式为，
抛物线的解析式为，
或，
，
，
，
，
点在轴左侧的抛物线上，
设，
过作轴的平行线交直线于，
，
，
，
或舍或或，
或或．
【解析】先根据对称轴得出，再由点的坐标求出，最后将点的坐标代入抛物线解析式求解，即可得出结论；
分两种情况，Ⅰ、当点在轴上方时，先判断出，进而得出点在直线上，再求出点的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式；Ⅱ、当点在轴下方时，判断出，即可得出结论；
先求出点的坐标，进而求出的面积，得出的面积，设，过作轴的平行线交直线于，得出，进而表示出，最后用面积建立方程求解，即可得出结论．
此题时二次函数综合题，主要考查了待定系数法，垂直平分线的性质，坐标系中求三角形面积的方法，求出点的坐标是解本题的关键．
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