浙江省金华市义乌市绣湖中学2021-2022学年八年级（下）开学数学试卷（Word版 含解析）

浙江省金华市义乌市绣湖中学2021-2022学年八年级（下）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30分）
下列长度的三条线段，能组成三角形的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
下列垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是
A. B. C. D.
如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最正确的是
A. 在距离学校米处
B. 在学校的北偏东方向
C. 在北偏东方向米处
D. 在学校北偏东方向米处
若函数的图象过点，则该图象必过点
A. B. C. D.
下列计算结果正确的是
A. B.
C. D.
已知点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.
对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是
A. ， B. ，
C. D. ，
已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则的取值范围是
A. B. C. D.
如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时米，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
在平面直角坐标系中，已知直线：交轴于点，若关于轴的对称直线为，直线有一个点，当点到直线的距离小于，则点的横坐标取值范围是
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
若点向左平移个单位后点的坐标为______．
命题“若，互为倒数，则”的逆命题是______．
若分式有意义，则的取值范围是______．
已知一次函数其中为常数且的图象不经过第二象限，则的取值范围是______．
如图，在一张直角三角形纸片中，，，，是边上的一动点，将沿着折叠至，交于点当为直角三角形时，则的长度为______．
如图，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，作点关于轴的对称点，是直线上的动点，连接，将绕点逆时针旋转至则点的坐标是______；的最小值是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
解下列一元二次方程：
；
．
如图，，，．
求证：．
已知点．
若点在轴上，求的值；
若点到轴的距离是到轴距离的倍，求点的坐标．
如图，在方格纸中，点，都在格点上，请按要求画出以为边的格点三角形．
在图中，画一个，使得为锐角．
在图中，画一个以为底边的等腰三角形．
在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
，
，
，，
，
，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
化简：．
若，求的值．
，两个医院分别有吨和吨抗疫物资，准备直接运送给甲、乙两个灾区医院，甲医院需吨，乙医院需吨，，两医院到甲、乙两医院的路程以及每吨每千米的运费如图所示．
若设医院运往甲医院物资吨，
完成下表：
运量吨 运费元
医院 医院 医院 医院
甲医院 ______ ______ ______ ______
乙医院 ______ ______ ______ ______
求总运费关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
当、两医院各运往甲、乙两医院多少吨物资时，总运费最省？最省运费是多少元？
对于平面直角坐标系中的线段和点，给出定义：若满足：，则称是线段的“对称点”，其中，当，称为线段的“劣对称点”；当时，则称为“优对称点”．
如图，点，的坐标分别为，，则在坐标，，中，是线段的“对称点”为：______；是线段的“劣对称点”为______．
如图，点的坐标为，点的坐标为，若为线段的“优对称点”，求出点的横坐标的取值范围．
在的条件下，点为轴上的动点不与重合，若为的“对称点”，当线段与的和最小时，直接写出关于直线的对称点的坐标．
如图所示，在平面直角坐标系中，直线：交轴于点，交轴于点，过点作轴的垂线，将直线绕点按逆时针方向旋转，旋转角为．
若直线经过点，求线段的长；直接写出旋转角的度数．
若直线在旋转过程中与轴交于点，当、、均为等腰三角形时，求出符合条件的旋转角的度数．
若直线在旋转过程中与直线交于点，连接，以为边作等边点、、按逆时针方向排列，连接请你探究线段，与之间的数量关系？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，不能组成三角形；
D、，不能组成三角形．
故选：．
根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析．
此题主要考查了三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
2.【答案】
【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】
【解析】解：由题意得：
，
小明家在学校北偏东方向米处，
故选：．
先求出的余角，然后根据方向角的定义即可解答．
本题考查了方向角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：一次函数的图象经过点，
，解得．
函数解析式为，
该图象必过点．
故选：．
直接把点代入一次函数，求出的值，再把，代入解析式可得答案．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项不符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项符合题意；
故选：．
根据二次根式加减法运算法则判断和，根据二次根式乘除法运算法则判断和．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式加减法，二次根式乘除法运算法则是解题关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意准确列出不等式组，求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据点在坐标系中位置得关于的不等式组，解不等式组求得的范围，即可判断．
【解答】
解：根据题意，得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
该不等式组的解集为：，
故选：．

7.【答案】
【解析】解：、满足条件，也满足结论，故A选项错误；
B、不满足条件，故B选项错误；
C、满足条件，不满足结论，故C选项正确；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误．
故选：．
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：把代入得，，
因为直线经过第一、二、三象限，
所以，，即，
所以的范围为，
因为，
所以的范围为．
故选：．
先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则的范围为，接着用表示，然后根据一次函数的性质求的范围．
本题考查了一次函数与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴；当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．解决本题的关键是用表示出．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，
米，米，米，
米．
在中，由勾股定理得到：米
故选：．
过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得：
：与轴交点，与轴交点；
关于轴的对称直线与轴交点，与轴交点；
可求出的函数解析式为：，，，
如图所示，作直线于，设点到直线的距离为，
，
，
，
，，
∽，
即，
，
设的坐标为，
，，
，
解得，
当点到直线的距离小于，则点的横坐标取值范围是，
故选：．
由题意：与轴交点，与轴交点；关于轴的对称直线与轴交点，与轴交点；可求出的函数解析式为：，，，作直线于，设点到直线的距离为，利用三角形面积公式求得，通过证明∽，求得，利用勾股定理即可求得的横坐标，观察图象即可求得的横坐标的取值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，三角形的面积，三角形相似的判断和性质，勾股定理的应用，求得的长度是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原来点的横坐标是，纵坐标是，向左平移个单位长度，得到新点的横坐标是，纵坐标不变．
得到的点的坐标是．
故答案为：．
根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加即可得解．
本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
12.【答案】若，则，互为倒数
【解析】解：“若，互为倒数，则”的逆命题是若，则，互为倒数．
故答案为：若，则，互为倒数．
先根据原命题中的题设与结论，写出其逆命题，
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】且
【解析】解：，，
且．
故答案为：且．
根据分式和二次根式有意义的条件即可得出答案．
本题考查了分式和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：一次函数其中为常数且的图象不经过第二象限，
则可能是经过一、三象限或一、三、四象限，
经过一、三象限时，且，此时，
经过一、三、四象限时，且此时
综上所述，的取值范围是：．
故答案为：．
根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
15.【答案】或
【解析】解：当时，
由折叠的性质可知，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
；
当时，
由折叠的性质可知，，
，，
，，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故A的长为或．
故答案为：或．
分两种情况画出图形，当，当，由折叠的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图所示，
当点的横坐标在、的横坐标之间时，过点作轴于，过点作轴于，
是直线与轴的交点，
点的坐标为，
点是点关于轴对称的点
点的坐标为．
，
．
由旋转的性质可得，，
．
．
≌．
，．
设点的坐标为，
，，点的坐标为．
，
．
要使最小，即最小．
又的值即为在轴上的一点到点和到点两点的距离之和．
的最小值即为．
的最小值为．
同理当点在其他位置时，也能求出此结果．
故答案为：；．
解：如图所示，当点的横坐标在、的横坐标之间时，过点作轴于，过点作轴于，先求出点的坐标，即可求出点的坐标；证明≌，得到，，设点的坐标为，则，，点的坐标为，然后根据两点距离公式求出的表达式，最后求出最小值．同理当点在其他位置时，也能求出此结果，由此即可得到答案．
本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化一轴对称，全等三角形的性质与判定，两点距离公式，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：方程整理得：，
即，
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
方程利用配方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
18.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】证明≌，即可得出结论．
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考基础题目．
19.【答案】解：点在轴上，
，
解得：；
点到轴的距离是到轴距离的倍，
，
或，
解得：或，
或．
【解析】直接利用轴上点的坐标特点得出，进而得出答案；
直接利用点到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案．
此题主要考查了点的坐标，正确掌握平面内点的坐标特点，能够正确分类讨论是解题的关键．
20.【答案】解：如图中，即为所求答案不唯一．
如图中，即为所求答案不唯一．
【解析】作等腰直角三角形即可．
作等腰直角三角形即可．
本题考查作图应用设计作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：；
，
，
，即，
，
，
则．
【解析】分子、分母都乘以，再进一步计算即可；
将的值的分子、分母都乘以得，据此先后求出、及、的值，代入计算可得答案．
本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
22.【答案】
【解析】解：医院运往甲医院物资吨，运费是元，医院物资有吨，
医院运往乙医院物资吨，运费是元，
甲医院需物资吨，
医院运往甲医院物资吨，运费是元，
医院运往乙医院物资为：吨，运费为元，
故答案为：，，，，，，，；
根据题意得：，
，
，
；
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最省运费元，
医院运往甲医院吨，运往乙医院吨，医院运往甲医院吨，运往乙医院吨．最省运费是元．
医院运往甲医院物资吨，则医院运往乙医院吨，医院运往甲医院物资吨，医院运往乙医院物资为：吨，再根据图中运费，即可得到答案．
费用每吨单价路程吨数，根据总运费各种运输方案的费用之和就可以表示出与的关系式；
由的解析式的性质就可以求出结论．
本题考查了一次函数的的运用，一次函数的性质，设计方案的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
23.【答案】、
【解析】解：到点和点的距离相等，即，且，故为线段的“优对称点”；到点和点的距离不相等，故不是线段的“对称点”；到到点和点的距离相等，即，且，故为线段的“劣对称点”；
故答案为、；；
如下图，做的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，点为线段的“优对称点”，则点必然在垂直平分线上，
做点和在直线上，连接和，并满足，时，即可得点在线段运动时，为线段的“优对称点”的取值范围；
，，垂直平分，
四边形是正方形，
，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
作垂直于轴交于点，作垂直于轴交于点，作垂直于轴交于点，易证≌，
，
是正方形对角线的交点，则为线段的中点，
点的坐标为，
垂直于轴交于点，垂直于轴交于点，垂直于轴交于点，
为直角梯形，易得，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，即，
令，则，可列方程：
，
解得或，
，，
，，，
，，
的坐标为，的坐标为
点在线段内运动时，为线段的“优对称点”，
点的横坐标的取值范围为；
关于直线的对称点的坐标为
如下图，在的基础上，
点的坐标为，点的坐标为，
直线的解析式为：，
，点的坐标为
的解析式为：，
当动点、与点共线，且垂直于轴时，出现最小值，此时，即可得的最小值，
在轴上，即，时，所以点的坐标为，
令的坐标为，
由，，，是关于直线的对称点，根据中点坐标有：，，
，，
关于直线的对称点的坐标为
根据点的特点，可知，是对称点，不是对称点；
如下图，根据图象，利用对称点的轴对称性，可作的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得，点必然在垂直平分线上，当，，即点在线段运动时，为线段的“优对称点”因为，，垂直平分，可得四边形是正方形，作垂直于轴交于点，作垂直于轴交于点，作垂直于轴交于点，易证≌，所以；因为是正方形对角线的交点，则为线段的中点，易得点的坐标为；显然，四边形为直角梯形，易得，，，，在中，根据勾股定理可以得到，即，从而把和求出来，进而得到和的值，即得点的横坐标的取值范围．
先求出直线解析式，如下图，在的基础上，可知点关于直线轴对称点为点，连接，，，得，所以；当动点、与点共线，且垂直于轴时，出现最小值，此时，即可得的最小值，从而得到点的坐标，再利用中点坐标，可求得点的坐标．
本题综合性比较强，考查了学生对平面直角坐标系和点的坐标的理解，要掌握正方形的性质，学会对动点在直线上运动进行几何模型构建，能充分利用数形结合思想解决实际问题．
24.【答案】解：对于直线与直线，
令得，
令得，
，，
，
；
如图，
直线轴，
直线，
，
，
，
，
；
垂直平分，
，
总是等腰三角形；
由图、图、图、图可知，当或或或时，、、均为等腰三角形．
如图中，当时，
，
，
，
，
，
，是等腰三角形，
垂直平分，
，
是等腰三角形．
当时，
，
，
，
、、均为等腰三角形．
当时，
，
，
、、均为等腰三角形．
当时，
，
，
是等边三角形，
，
、、均为等腰三角形．
综上所述：当或或或时，、、均为等腰三角形；
当在轴上方时，，理由如下：
在上取一点，使，
，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
；
同理：当在轴下方时，≌，
，
．
综上，或．
【解析】求出点的坐标，利用两点间距离公式即可求出的长；
如图中，由，推出，由，推出，由此即可解决问题；
由图、图、图、图可知，当或或或时，、、均为等腰三角形
分两种情况：当在轴上方时，，当在轴下方时，，根据等边三角形和全等三角形的性质即可得出结论．
本题考查一次函数综合题、两直线平行的条件、锐角三角函数、勾股定理、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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