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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空、 ( http: / / www.21cnjy.com )解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。
专题04 数形结合之完全平方公式在几何图形中的应用（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏·七年级月考）已知如图，图中最大的正方形的面积是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．a2 B．a2+b2 C．a2+2ab+b2 D．a2+ab+b2
【标准答案】C
【思路指引】
要求面积就要先求出边长，从图中即可看出边长．然后利用完全平方公式计算即可．
【详解详析】
解：图中的正方形的边长为a+b，
∴最大的正方形的面积等于=（a+b）2=a2+2ab+b2．
故选C．
2．（2021·江苏句容·七年级期中）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解详析】
解：中间部分的四边形是正方形，边长是，
则面积是．
故选：D．
【名师指路】
本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．
3．（2021·江苏·苏州文昌实验中学校七年级期中）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于的恒等式是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
用不同方法表示图中空白部分的面积即可得出等式．
【详解详析】
解：由题意可得，四张全等的矩形纸片拼成的整个图形是边长为（a+b）的正方形，
空白部分是边长为（a-b）的正方形，
于是空白部分的面积为：（a-b）2，也可以表示为（a+b）2-4ab，
因此有（a-b）2=（a+b）2-4ab，
故选：C．
【名师指路】
本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键．
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期中）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中：①；②；③；④；正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【标准答案】C
【思路指引】
根据大正方形的面积为64，中间 ( http: / / www.21cnjy.com )空缺的小正方形的面积为4，可得出矩形的长x与宽y之间的关系，再根据面积之间的关系可判断xy的值，再利用公式变形可得出x2+y2的值．
【详解详析】
解：∵大正方形的面积为64，
∴大正方形的边长为8，
即x+y=8，因此①正确；
又∵中间空缺的小正方形的面积为4，中间小正方形的边长为x-y，
∴（x-y）2=4，
∴x-y=2，因此②正确；
由拼图可知：4S长方形的面积=S大正方形-S小正方形，
∴4xy=64-4，
∴xy=15，因此③正确；
∵x+y=8，xy=15，
∴x2+y2=（x+y）2-2xy=82-2×15=64-30=34，因此④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，
故选C．
【名师指路】
本题考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观得出面积之间的关系是解决问题的关键．
5．（2021·江苏徐州·七年级期中）一个正方形的边长增加1 cm，它的面积就增加13cm2，这个正方形的边长是（ ）www.21-cn-jy.com
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
【标准答案】C
【思路指引】
利用已知条件找得到等量关系列出方程即可．
【详解详析】
解：设这个正方形的边长是xcm，由题意得：
（x+1）2﹣x2＝13．
解得：x＝6．
故选：C．
【名师指路】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正方形的面积公式．利用已知条件列出方程是解题的关键．
6．（2021·江苏淮安·七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）www-2-1-cnjy-com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
【标准答案】C
【思路指引】
中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．
【详解详析】
由题意可得，正方形的边长为，
故正方形的面积为．
又∵原矩形的面积为，
∴中间空的部分的面积为，
故选：C．
【名师指路】
本题考查了列代数式，根据图形面积关系列出代数式是解题的关键．
7．（2021·江苏·泰州中学附属 ( http: / / www.21cnjy.com )初中七年级月考）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，主卧与客卧的边长差为2米，则主卧与客卧面积之和比其余面积（阴影部分）多（ ）平方米
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．12米 B．10米 C．8米 D．4米
【标准答案】D
【思路指引】
设主卧的边长为a米，客卧边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为b米根据题意可列主卧与客卧面积之和和比其余面积（阴影部分）多（a2＋b2） [（a＋b）2 （a2＋b2）]，化简得到（a-b）2，代入a b＝2，即可求解．
【详解详析】
解：设主卧的边长为a米，客卧边长为b米
根据题意主卧与客卧面积之和比其余面积（阴影部分）多（a2＋b2） [（a＋b）2 （a2＋b2）]=（a-b）2＝22=4
故选：D．
【名师指路】
本题考查了完全平方公式的几何背景，关键是利用完全平方公式解决问题．
8．（2021·江苏·苏州市平江中学校七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
由图甲可知阴影部分的面积=大正方形的面积－两个长方形的面积＋两个长方形重合部分的面积，由图乙可知阴影部分是边长为的正方形，从而可知其面积为，从而得出结论．
【详解详析】
解：由图甲可知：阴影部分的面积为：，图乙中阴影部分的面积为：，
所以，
故选：C．
【名师指路】
此题考查的是完全平方公式的几何意义，掌握阴影部分面积的两种求法是解决此题的关键．
9．（2021·江苏工业园区· ( http: / / www.21cnjy.com )七年级期中）有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6 B．7 C．8 D．9
【标准答案】C
【思路指引】
设2为a，3为b，则根据5张边长为2的正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )纸片的面积是5a2，4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，6张边长为3的正方形纸片的面积是6a2，得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，再根据正方形的面积公式将a、b代入，即可得出答案．【版权所有：21教育】
【详解详析】
解：
设2为a，3为b，
则根据5张边长为2的正方形纸片的面积是5a2，
4张边长分别为2、3的矩形纸片的面积是4ab，
6张边长为3的正方形纸片的面积是6b2，
∵a2+4ab+4b2=（a+2b）2，（b＞a）
∴拼成的正方形的边长最长可以为a+2b=2+6=8，
故选C．
【名师指路】
此题考查了完全平方公式的几何背景，关键是根据题意得出a2+4ab+4b2=（a+2b）2，用到的知识点是完全平方公式．21教育名师原创作品
二、填空题
10．（2020·江苏·盐城市盐都区实验 ( http: / / www.21cnjy.com )初中七年级月考）如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的，通过用两种方法计算图中阴影正方形的面积，可以得到的乘法公式是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】
【思路指引】
通过大正方形的面积减去空白部分面积得到阴影部分面积的方法进行求解即可得解.
【详解详析】
根据题意，阴影部分的面积为，又阴影部分的面积为
则可以得到的乘法公式是，
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了利用几何图形面积推到乘法公式，熟练掌握阴影部分面积的求法是解决本题的关键.
11．（2020·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期中）如图，大正方形的边长为小正方形的边长为若用表示四个小长方形两边长(x>y)， 观察图案以下关系式正确的是______. (填序号)
( http: / / www.21cnjy.com / )
①；②③；④
【标准答案】①②③④
【思路指引】
由图得：x+y=m，x-y=n.根据题意对各式进行变形即可得出结论．
【详解详析】
解： 由图得：x+y=m，x-y=n．
∵m2-n2=4xy，
∴，故①正确；
由图得x+y=m，故②正确；
∵，
故③正确；
∵，
故④正确．
故答案为：①②③④
【名师指路】
本题考查了图形的面积计算，平方差公式，完全平方公式等知识，考查了学生的识图能力．能得到x+y=m，x-y=n并熟练掌握乘法公式是解题关键．【来源：21·世纪·教育·网】
12．（2021·江苏·七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级月考）如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是_____．
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【标准答案】2m＋3
【思路指引】
由于边长为（m＋3）的正方形纸片剪出一个边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么正方形剩余部分的面积可以求出，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
【详解详析】
解：依题意得，剩余部分面积为：（m＋3）2 m2＝m2＋6m＋9 m2＝6m＋9，
而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是（6m＋9）÷3＝2m＋3，
故答案为：2m＋3．
【名师指路】
本题主要考查了整式混合运算的实际应用，解题关键是熟悉完全平方公式．
13．（2021·江苏兴化·七年级期末）当一个正方形的边长增加时，它的面积增加，则原来正方形的边长是______．
【标准答案】6
【思路指引】
设这个正方形的边长为a，根据正方形面积公式有，继而利用乘法公式展开即可求得答案．
【详解详析】
解：设这个正方形的边长为a，依题意有
解得a=6
故答案为：6
【名师指路】
本题考查了整式混合运算的应用，掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键．
14．（2020·江苏常州·七年级期中）有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为_________．21教育网
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【标准答案】11
【思路指引】
设A的边长为a，B的边长为b，根据阴影面积得到关于a、b的方程组，求出方程组的解即可得到答案.
【详解详析】
设A的边长为a，B的边长为b，
由图甲得，即，
由图乙得，得2ab=10，
∴，
故答案为：11.
【名师指路】
此题考查完全平方公式的几何背景，正确理解图形的面积关系是解题的关键.
15．（2020·江苏江阴 ( http: / / www.21cnjy.com )·七年级期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为_____．21·cn·jy·com
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【标准答案】45
【思路指引】
依据AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，可得AM＝BM＝，再根据S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM，即可得到图中阴影部分的面积．21*cnjy*com
【详解详析】
解：∵AP＝a，BP＝b，点M是AB的中点，
∴AM＝BM＝，
∴S阴影＝S正方形APCD＋S正方形BEFP﹣S△ADM﹣S△BEM
＝a2＋b2
＝a2＋b2﹣（a＋b）2
＝（a＋b）2﹣2ab﹣（a＋b）2
＝100﹣30﹣25
＝45，
故答案为：45．
【名师指路】
本题主要考查了完全平方公式的 ( http: / / www.21cnjy.com )几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．【出处：21教育名师】
16．（2020·江苏江阴·七年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=20，ab=30，则阴影部分的面积为________．
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【标准答案】155
【思路指引】
先由图形得出阴影部分的面积等于两个正方形面 ( http: / / www.21cnjy.com )积之和减去两个三角形的面积，然后在化简计算过程中配成含有（a＋b）2和ab的式子，就能把a＋b＝20，ab＝30代入计算了．
【详解详析】
解：∵a＋b＝20，ab＝30，
∴S阴影＝a2＋b2 a2 b(a＋b)，
＝(a2＋b2 ab)，
＝[(a＋b)2 3ab]，
＝(400 90)，
＝155，
故答案为：155．
【名师指路】
本题考查整式乘法与几何图形的面积计算，熟练掌握完全平方公式在化简计算中的常见变形方法是解题的关键．
17．（2020·江苏邳州·七年级期中）有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】13
【思路指引】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．
【详解详析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由图甲得：a2 b2 2(a b)b=1，即：a2+b2 2ab=1，
由图乙得：(a+b)2 a2 b2=12，2ab=12，
∴a2+b2=13，
故答案为：13.
【名师指路】
本题主要考查几何图形的面积关系与整式的运算，掌握整式的加减乘除混合运算法则以及完全平方公式，是解题的关键．
18．（2020·江苏南 ( http: / / www.21cnjy.com )京·七年级期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
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【标准答案】3
【思路指引】
根据正方形的面积结合因式分解进行拼图即可解决问题．
【详解详析】
解：如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / ) ( http: / / www.21cnjy.com / )
共有3种不同的正方形．
故答案为3．
【名师指路】
本题主要考查因式分解的应用，关键是根据题意得出甲、乙、丙的面积，然后结合正方形的面积进行拼图即可．
19．（2021·江苏仪征·七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）如图，大长方形由2个完全一样的大正方形、2个完全一样的小正方形和5个完全一样的小长方形拼成．若这个大长方形的周长为48cm，四个正方形的面积之和为68cm2，则其中一个小长方形的面积是___cm2．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】15.
【思路指引】
设小长方形的长为xcm，宽为ycm，利用大长方形的边长与小正方形、小长方形的边长之间的关系，求出ab即可．
【详解详析】
解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，则大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm
由题意得，
化简① 得：③
（2×③2-②）得：
∴
即其中一个小长方形的面积为15cm2．
故答案为：15.
【名师指路】
本题考查完全平方公式的意义，表示大长方形的边长和面积是得出正确结论的前提．
三、解答题
20．（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期末）（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ；
②方法2：如果把图1看成是由2个大小不同的正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ．2·1·c·n·j·y
（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢
①方法1：一路往下数，不回头数．
以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；
以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；
以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；
以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；
则图中锐角的总个数是 ；
②方法2：每一条边都能和除它以外的 ( http: / / www.21cnjy.com )（n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ；
用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ．
（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．
①计算：19782＋20222；
②多边形中连接任意两个不相邻顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )的线段叫做对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线．
【标准答案】（1）①；②；=；（2）①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=；（3）①8000968；②119，n(n-3)
【思路指引】
（1）①根据边长为(a+b)的正方形面积公式求解即可；
②利用矩形和正方形的面积公式求解即可；
（2）①根据题中的数据求和即可；
②根据题意求解即可；
（3）①利用（1）的规律求解即可；
②根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为n(n-3)（n≥3，且n为整数）可得答案．21·世纪*教育网
【详解详析】
解：（1）①大正方形的面积为；
②由2个大小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形的面积为；
可以得到等式：=；
故答案为：①；②；=；
（2）①图中锐角的总个数是：（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；
②锐角的总个数是n（n－1）；
可以得到等式为（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；
故答案为：①（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1；②n（n－1）；（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋……＋1=n（n－1）；
（3）①19782＋20222＝[2000＋（－22）]2＋（2000＋22）2
＝20002＋（－22）2＋2×2000×（－22）＋20002＋222＋2×2000×22
＝2×（20002＋222）
＝2×[4000000＋（20＋2）2]
＝2×[4000000＋（202＋22＋2×20×2）]＝8000968；
②一个四边形共有2条对角线，即×4×(4-3)=2；
一个五边形共有5条对角线，即×5×(5-3)=5；
一个六边形共有9条对角线，即×6×(6-3)=9；
……，
一个十七边形共有×17×(17-3)=119条对角线；
一个n边形共有n(n-3)（n≥3，且n为整数）条对角线．
故答案为：119，n(n-3)．
【名师指路】
本题考查了图形的变化规律，完全平方公式，多边形的对角线，对于这种图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关键．21世纪教育网版权所有
21．（2021·江苏江阴·七年级期中）【阅读理解】
“若满足，求的值”．
解：设，，
则，，
．
【解决问题】
（1）若，求的值；
（2）若，求值；
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）5；（2）12；（3）4
【思路指引】
（1）仿照阅读理解中的方法进行解答即可；
（2）设，，∴，，然后根据题意方法计算即可；
（3）设，，由题意得：，，然后求出的值，运用三角形面积公式计算即可．
【详解详析】
（1）设，，
∴，，
∴．
所以原式；
（2）设，，
∴，，
∴，
所以原式．
（3）设，，
由题意得：，，
∴，
∴，
∴．
【名师指路】
本题主要考查了完全平方公式，整式的加减，以及多项式乘以多项式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．21cnjy.com
22．（2021·江苏·苏州市平江中学校七年级期中）阅读下列材料
若x满足(9-x)(x-4)=4，求(4-x)2+(x-9)2的值．
设9-x=a，x-4=b，则(9-x)(x-4)=ab=4，a+b=(9-x)+(x-4)=5，
∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若x满足(5-x)(x-2)=2，求(5-x)2+(x-2)2的值；
（2）已知正方形ABCD的 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF=______，DF=______；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【标准答案】（1）5；（2）①x-1；x-3；②28
【思路指引】
（1）设（5-x）=a，（x-2）=b，根据已知等式确定出所求即可；
（2）①由正方形ABCD边长为x，即可表示出MF与DF；
②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可．
【详解详析】
解：（1）设5-x=a，x-2=b，则（5-x）（x-2）=ab=2，a+b=（5-x）+（x-2）=3，
∴（5-x）2+（x-2）2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5；
（2）①MF=DE=x-1，DF=x-3，
故答案为：x-1；x-3；
②（x-1）（x-3）=48，
阴影部分的面积=FM2-DF2=（x-1）2-（x-3）2．
设x-1=a，x-3=b，则（x-1）（x-3）=ab=48，a-b=（x-1）-（x-3）=2，
∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=22+4×48=196，
∴a+b=±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b=14，
∴（x-1）2-（x-3）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=14×2=28．
即阴影部分的面积是28．
【名师指路】
本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
23．（2021·江苏·昆山市葛江中 ( http: / / www.21cnjy.com )学七年级月考）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2).
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（1）图2中的阴影部分面积为： ；（用a、b的代数式表示）
（2）观察图2，请你写出（a+b）2、 (a-b)2、 ab之间的等量关系是 ；
（3）利用(2）中的结论，若x+y=5 ，xy=，求(x-y)2的值 ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式 ；
（5）如图，点C是线段AB ( http: / / www.21cnjy.com )上的一点，分别以AC、 BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正 方形CBFG，连接EG、 BG、 BE，当BC=1时，△BEG的面积记为S1，当BC=2时，△BEG的面积记为S2，......，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020-S2019的值为 ．2-1-c-n-j-y
【标准答案】（1）；（2）；（3）16；（4）；（5）
【思路指引】
（1）首先根据图形分析得出阴影部分是个边长为的正方形，由此进一步计算即可；
（2）通过观察图形可以发现，大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，据此进一步分析求解即可；
（3）根据（2）中的结论进一步代入计算即可；
（4）通过观察图形可以发现该大矩形由三个边长为的正方形、四个边长分别为的矩形和一个边长为的正方形组成，由此进一步分析求解即可；
（5）首先连接EC，然后证明出EC∥BG，再利用△BEG的面积与△BGC的面积相等从而得出，据此进一步计算即可.
【详解详析】
（1）∵阴影部分是个边长为的正方形，
∴该阴影部分面积=，
故答案为：；
（2）∵大正方形是由四个矩形与中间的小正方形组成，
∴，
即：，
故答案为：；
（3）由（2）可得：，
∵，，
∴，
故答案为：16；
（4）∵该大矩形由三个边长为的正方形、四个边长分别为的矩形和一个边长为的正方形组成，
∴，
故答案为：；
（5）
( http: / / www.21cnjy.com / )
如图，连接EC，
∵四边形ACDE与四边形GCBF皆为正方形，EC、GB皆为对角线，
∴∠ECA=∠GBC=45°，
∴EC∥GB，
∴△BEG的边BG上的高与△BGC的边BG上的高相等，
∴△BEG的面积=△BGC的面积，
当BC=时，△BEG的面积记为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【名师指路】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，观察图形，找出相应的规律是解题关键.
24．（2021·江苏·昆山市第 ( http: / / www.21cnjy.com )二中学七年级期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）由图1可得乘法公式________；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________；
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（4）如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接，，若，，求图3中阴影部分的面积．
【标准答案】（1）（a+b2）= ( http: / / www.21cnjy.com )a2+2ab+b2；（2）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（3）65；（4）36
【思路指引】
（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用两种方法表示图中正方形面积即可．
（3）找到三个代数式的关系，整体代换求值．
（4）先表示阴影部分面积，再求值．
【详解详析】
解：（1）图1正方形的面积可以表示为：a2+2ab+b2．
又可以表示为：（a+b）2．
∴（a+b2）=a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b2）=a2+2ab+b2．
（2）图2中正方形的面积可以表示为：（a+b+c）2．
还可以表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）由（2）知：a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc
=169-2（ab+ac+bc）
=169-104
=65．
（4）
．
【名师指路】
本题考查用面积表示代数恒等式，用两种不同方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中苏科版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填 ( http: / / www.21cnjy.com )空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题04 数形结合之完全平方公式在几何图形中的应用（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·江苏·七年级月考）已知如图，图中最大的正方形的面积是（ ）
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A．a2 B．a2+b2 C．a2+2ab+b2 D．a2+ab+b2
2．（2021·江苏句容·七年级期中）图（1）是一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）21教育网
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A． B． C． D．
3．（2021·江苏·苏州文昌实验中学校七年级期中）如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于的恒等式是（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期中）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为64，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中：①；②；③；④；正确的有（ ）21·cn·jy·com
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2021·江苏徐州·七年级期中）一个正方形的边长增加1 cm，它的面积就增加13cm2，这个正方形的边长是（ ）www.21-cn-jy.com
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
6．（2021·江苏淮安·七 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期末）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2
7．（2021·江苏·泰州中学附 ( http: / / www.21cnjy.com )属初中七年级月考）如图为某正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都为正方形，主卧与客卧的边长差为2米，则主卧与客卧面积之和比其余面积（阴影部分）多（ ）平方米
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A．12米 B．10米 C．8米 D．4米
8．（2021·江苏·苏州市平江中学 ( http: / / www.21cnjy.com )校七年级期中）如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）【出处：21教育名师】
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A． B．
C． D．
9．（2021·江苏工业园区·七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为 （ ）
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A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题
10．（2020·江苏·盐城市盐都区 ( http: / / www.21cnjy.com )实验初中七年级月考）如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的，通过用两种方法计算图中阴影正方形的面积，可以得到的乘法公式是_______．
( http: / / www.21cnjy.com / )
11．（2020·江苏·苏州高新区实验初级中学七年级期中）如图，大正方形的边长为小正方形的边长为若用表示四个小长方形两边长(x>y)， 观察图案以下关系式正确的是______. (填序号)
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①；②③；④
12．（2021·江苏·七 ( http: / / www.21cnjy.com )年级月考）如图，边长为(m＋3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是_____．
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13．（2021·江苏兴化·七年级期末）当一个正方形的边长增加时，它的面积增加，则原来正方形的边长是______．21·世纪*教育网
14．（2020·江苏常州·七年级期中）有两 ( http: / / www.21cnjy.com )个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为_________．www-2-1-cnjy-com
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15．（2020·江苏江阴·七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期中）如图，点M是AB的中点，点P在MB上．分别以AP，PB为边，作正方形APCD和正方形PBEF，连结MD和ME．设AP＝a，BP＝b，且a+b＝10，ab＝15．则图中阴影部分的面积为_____．【版权所有：21教育】
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16．（2020·江苏江阴·七 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=20，ab=30，则阴影部分的面积为________．21*cnjy*com
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17．（2020·江苏邳州·七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为________．21*cnjy*com
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18．（2020·江苏南京·七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期中）如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b，长方形纸片乙的长和宽分别为a和b（a＞b）．现有这三种纸片各6张，取其中的若干张（三种图形都要取到）拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为_____．
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19．（2021·江苏仪征·七年级期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，大长方形由2个完全一样的大正方形、2个完全一样的小正方形和5个完全一样的小长方形拼成．若这个大长方形的周长为48cm，四个正方形的面积之和为68cm2，则其中一个小长方形的面积是___cm2．
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三、解答题
20．（2022·江苏·无锡市东林中学七年级期末）（1）【探究一】如图1，我们可以用不同的算法来计算图形的面积．
( http: / / www.21cnjy.com / )
①方法1：如果把图1看成一个大正方形，那么它的面积为 ；
②方法2：如果把图1看成是由2个大 ( http: / / www.21cnjy.com )小不同的正方形和2个大小相同的小长方形组成的图形，那么它的面积为 ；（写成关于a、b的两次三项式）用两种不同的算法计算同一个图形的面积，可以得到等式 ．21教育名师原创作品
（2）【探究二】如图2，从一个顶点处引n条射线，请你数一数共有多少个锐角呢
①方法1：一路往下数，不回头数．
以OA1为边的锐角有∠A1OA2、∠A1OA3、∠A1OA4、…、∠A1OAn，共有（n－1）个；
以OA2为边的锐角有∠A2OA3、∠A2OA4、…、∠A2OAn，共有（n－2）个；
以OA3为边的锐角有∠A3OA4、…、∠A3OAn，共有（n－3）个；
以OAn－1为边的锐角有∠An－1OAn，共有1个；
则图中锐角的总个数是 ；
②方法2：每一条边都能和除它以外的（ ( http: / / www.21cnjy.com )n－1）条边形成锐角，共有n条边，可形成n（n－1）个锐角，但所有锐角都数了两遍，所以锐角的总个数是 ；
用两种不同的方法数锐角个数，可以得到等式 ．
（3）【应用】分别利用【探究一】中得到的等式和【探究二】中运用的思想解决问题．
①计算：19782＋20222；
②多边形中连接任意两个不相邻顶点的线段叫做 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线，如五边形共有5条对角线，则十七边形共有 条对角线，n边形共有 条对角线．
21．（2021·江苏江阴·七年级期中）【阅读理解】
“若满足，求的值”．
解：设，，
则，，
．
【解决问题】
（1）若，求的值；
（2）若，求值；
（3）如图，点是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．2-1-c-n-j-y
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22．（2021·江苏·苏州市平江中学校七年级期中）阅读下列材料
若x满足(9-x)(x-4)=4，求(4-x)2+(x-9)2的值．
设9-x=a，x-4=b，则(9-x)(x-4)=ab=4，a+b=(9-x)+(x-4)=5，
∴(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
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（1）若x满足(5-x)(x-2)=2，求(5-x)2+(x-2)2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x， ( http: / / www.21cnjy.com )E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF=______，DF=______；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
23．（2021·江苏·昆山市葛江中学 ( http: / / www.21cnjy.com )七年级月考）如图是一个长为4a、宽为b的长方形，沿中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2).
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（1）图2中的阴影部分面积为： ；（用a、b的代数式表示）
（2）观察图2，请你写出（a+b）2、 (a-b)2、 ab之间的等量关系是 ；
（3）利用(2）中的结论，若x+y=5 ，xy=，求(x-y)2的值 ；
（4）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式 ；
（5）如图，点C是线段AB上的一点，分别 ( http: / / www.21cnjy.com )以AC、 BC为边在AB的同侧作正方形ACDE和正 方形CBFG，连接EG、 BG、 BE，当BC=1时，△BEG的面积记为S1，当BC=2时，△BEG的面积记为S2，......，以此类推，当BC=n时，△BEG的面积记为Sn，则S2020-S2019的值为 ．2·1·c·n·j·y
24．（2021·江苏·昆 ( http: / / www.21cnjy.com )山市第二中学七年级期中）用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
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（1）由图1可得乘法公式________；
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：
已知，，求的值；
（4）如图3，由两个边长分别为，的正方形拼在一起，点，，在同一直线上，连接，，若，，求图3中阴影部分的面积．
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