2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(三)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M＝{2，3，4}，N＝{3，4，5}，那么M∪N＝( )
A．{2，3，4，5} B．{2，3，4}
C．{3，4，5} D．{3，4}
2．下列命题中，是假命题的是( )
A． x∈R，log2x＝0 B． x∈R，cos x＝1
C． x∈R，x2＞1 D． x∈R，2x＞0
3．设i是虚数单位，则复数z＝2i(1－i)的虚部是( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
4．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到了60根棉花的纤维长度(单位：mm)，按从小到大排序结果如下：
25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233
236 238 255 260 263 264 265 293 293 294 296 301 302 303 305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357 358 360 370 380 383 385.
请你估算这批棉花的第75百分位数是( )
A．334 B．327
C．328 D．329
5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝3x上，则sin＝( )
A．± B．
C． D．±
6．已知e是自然对数的底数，设a＝lg e，b＝2－，c＝log0.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．c
C．b7．在四边形ABCD中，若＝＋，则( )
A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形
D 因为＝＋，＝＋，
8．若函数f(x)＝cos＋cos＋sin x＋m的最大值为1，则实数m＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
9．平面向量a，b，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A． B．－
C． D．－
10．△ABC中，sin B＝，cos C＝，则cos A＝( )
A．－ B．－
C． D．－或
11．sigmoid函数f(t)＝是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型f(t)＝，当f(t*)＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为(ln 9≈2.2)( )
A．90 B．83
C．74 D．63
12．函数f(x)＝x3＋3x－15的零点所在的区间为( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
13．已知0A．MN
C．M＝N D．M与N的大小关系不确定
14．设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A. B.
C. D.
15．《算术书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式，V＝l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈l2h中，相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．已知函数f(x)＝则f(－2)＝________．
17．农场种植的甲，乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如表：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年
甲/kg 800 820 800 750 810 820
乙/kg 790 860 850 750 760 790
水稻的产量比较稳定的是________(填“甲”或“乙”)．
18．若x>0，y>0，且x＋y＝1，则＋的最小值为________．
19．乒乓球比赛的11分制赛则规定：每局比赛先得11分的参赛者为胜方，若出现10平比分，则以先多得2分者为胜方；在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局出现10平比分后，若甲先发球，则甲以12∶10获胜的概率为________，甲以13∶11获胜的概率为________．
三、解答题：本大题共3小题，第20小题10分，第21题12分，第
22题14分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．在条件：①acos C＋asin C－b－c＝0，②(c－b)2＝a2－bc，③π＝(a，b)，n＝(cos A，sin B)，且π∥n；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若b＝2，c＝，________．求△ABC的面积．
21．一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开．
(1)使直线VB和VC平行于截面，在木块表面应该怎样画线(保留作图痕迹，简要说明)；
(2)若P是△VAC的重心，在条件(1)下求锯开的两个多面体的体积之比．
22.已知函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集；
(3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
PAGE2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(三)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M＝{2，3，4}，N＝{3，4，5}，那么M∪N＝( )
A．{2，3，4，5} B．{2，3，4}
C．{3，4，5} D．{3，4}
A 因为M＝{2，3，4}，N＝{3，4，5}，
所以M∪N＝{2，3，4，5}，
故选A.
2．下列命题中，是假命题的是( )
A． x∈R，log2x＝0 B． x∈R，cos x＝1
C． x∈R，x2＞1 D． x∈R，2x＞0
C 对于A，x＝1时，log2x＝0，所以选项A正确；
对于B，x＝0时，cos x＝0，所以选项B正确；
对于C，x＝0时，x2＝0＜1，所以选项C错误；
对于D，由指数函数的定义知， x∈R，2x＞0，选项D正确．故选C.
3．设i是虚数单位，则复数z＝2i(1－i)的虚部是( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
B z＝2i(1－i)＝2＋2i，其虚部为2，
故选B.
4．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽到了60根棉花的纤维长度(单位：mm)，按从小到大排序结果如下：
25 28 33 50 52 58 59 60 61 62 82 86 113 115 140 143 146 170 175 195 202 206 233
236 238 255 260 263 264 265 293 293 294 296 301 302 303 305 305 306 321 323 325 326 328 340 343 346 348 350 352 355 357 357 358 360 370 380 383 385.
请你估算这批棉花的第75百分位数是( )
A．334 B．327
C．328 D．329
A 因为60×0.75＝45，且第45个数据为328，第46个数据为340，所以第75百分位数为＝334.
故选A.
5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝3x上，则sin＝( )
A．± B．
C． D．±
A ①当α为第一象限时，由题意sin α＝，
cos α＝，
所以sin＝(sin α＋cos α)＝×＝.
②当α为第三象限时，由题意sin α＝－，cos α＝－，
所以sin＝(sin α＋cos α)＝－×＝－.
故选A.
6．已知e是自然对数的底数，设a＝lg e，b＝2－，c＝log0.2，则a，b，c的大小关系是( )
A．cC．bD 因为a＝lg elog＝1，所以a故选D.
7．在四边形ABCD中，若＝＋，则( )
A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形
D 因为＝＋，＝＋，
所以＝，所以AB綊DC，所以四边形ABCD是平行四边形．
故选D.
8．若函数f(x)＝cos＋cos＋sin x＋m的最大值为1，则实数m＝( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
B f(x)＝cos＋cos＋sin x＋m
＝cos x－sin x＋cos x＋sin x＋sin x＋m
＝cos x＋sin x＋m＝2sin＋m，
当x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
函数的最大值为2＋m＝1，解得m＝－1.
故选B.
9．平面向量a，b，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A． B．－
C． D．－
C 设b＝(x，y)，
因为a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，
所以b＝(－5，12)
所以cos θ＝＝.
故选C.
10．△ABC中，sin B＝，cos C＝，则cos A＝( )
A．－ B．－
C． D．－或
A 因为cos C＝，
又因为C∈(0，π)，
所以sin C＝＝＝，
因为sin C＞sin B，
所以B必为锐角，即B∈，
所以cos B＝＝＝，
所以cos A＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＝－×＋×＝－.
故选A.
11．sigmoid函数f(t)＝是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型．某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型f(t)＝，当f(t*)＝0.9K时，病毒增长达到最大，则t*约为(ln 9≈2.2)( )
A．90 B．83
C．74 D．63
C 由题意得f(t*)＝＝0.9K，整理得＝0.9，即e－0.2(t*－63)＝，
可得－0.2(t*－63)＝－ln 9≈－2.2，所以t*＝74.
故选C.
12．函数f(x)＝x3＋3x－15的零点所在的区间为( )
A．(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
D f(1)＝1＋3－15＝－11<0，f(2)＝23＋3×2－15＝－1<0，f(3)＝33＋3×3－15＝21>0，
所以零点在(2，3)上．
故选D.
13．已知0A．MN
C．M＝N D．M与N的大小关系不确定
B 因为M＝xy，N＝x＋y－1，
所以N－M＝x＋y－1－xy＝x(1－y)－(1－y)＝(1－y)(x－1)，
因为00，
所以(1－y)(x－1)<0，所以N－M<0，即M>N，
故选B.
14．设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如图，则f(x)的最小正周期为( )
A. B.
C. D.
C 由图象可得最小正周期小于π－＝，大于2×＝，排除A，D；
由图象可得f＝cos＝0，
即为－ω＋＝kπ＋，k∈Z，(*)
若选B，即有ω＝＝，由－×＋＝2kπ＋，可得k不为整数，排除B；
若选C，即有ω＝＝，由－×＋＝kπ＋，可得k＝－1，成立．
故选C.
15．《算术书》竹简于上世纪八十年代湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式，V＝l2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V≈l2h中，相当于将圆锥体积公式中的π近似取( )
A. B.
C. D.
C 设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长l＝2πr，
所以r＝，
所以V＝πr2h＝π××h＝.
令≈l2h，
解得π≈.
故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．已知函数f(x)＝则f(－2)＝________．
解析：因为f(x)＝
所以f(－2)＝22＋3＝7.
答案：7
17．农场种植的甲，乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如表：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年
甲/kg 800 820 800 750 810 820
乙/kg 790 860 850 750 760 790
水稻的产量比较稳定的是________(填“甲”或“乙”)．
解析：由表中的数据，可得甲的平均产量甲＝＝800，
甲的方差s＝[(800－800)2＋(820－800)2＋…＋(820－800)2]≈566.67，
乙的平均产量乙＝＝800，
乙的方差s＝[(790－800)2＋(860－800)2＋…＋(790－800)2]≈1 733.33，
甲、乙的平均产量相等，甲的方差比乙的小，根据方差的定义，甲的产量波动小，甲稳定．
答案：甲
18．若x>0，y>0，且x＋y＝1，则＋的最小值为________．
解析：由题设知，＋＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当x＝y＝时等号成立．
故答案为4.
答案：4
19．乒乓球比赛的11分制赛则规定：每局比赛先得11分的参赛者为胜方，若出现10平比分，则以先多得2分者为胜方；在10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．甲乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时乙得分的概率为，各球的结果相互独立．在某局出现10平比分后，若甲先发球，则甲以12∶10获胜的概率为________，甲以13∶11获胜的概率为________．
解析：依题意，当甲以12∶10获胜时，所求事件的概率为P＝×＝；
当甲以13∶11获胜时，还需进行四场比赛，发球方分别是甲、乙、甲、乙，
获胜的可能情况有①第一场甲输，第二场甲赢，第三场甲赢，第四场甲赢；
②第一场甲赢，第二场甲输，第三场甲赢，第四场甲赢，此时，所求事件的概率为P＝×××＋×××＝.
答案：
三、解答题：本大题共3小题，第20小题10分，第21题12分，第22题14分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．在条件：①acos C＋asin C－b－c＝0，②(c－b)2＝a2－bc，③π＝(a，b)，n＝(cos A，sin B)，且π∥n；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中：△ABC中，内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若b＝2，c＝，________．求△ABC的面积．
解：选择条件①：
由正弦定理知，＝＝，
因为acos C＋asin C－b－c＝0，
所以sin Acos C＋sin Asin C－sin B－sin C＝0，
因为sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Acos C＋sin Asin C－sin C＝sin Acos C＋cos Asin C，
化简得，sin Asin C－sin C＝cos Asin C，
因为sin C≠0，所以sin A－1＝cos A，
即2sin＝1，
因为A∈(0，π)，所以A－＝，即A＝，
所以sin A＝，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2××＝.
选择条件②：
因为(c－b)2＝a2－bc，所以b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理知，cos A＝＝＝，
因为A∈(0，π)，所以sin A＝，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2××＝.
选择条件③：
因为π∥n，所以asin B＝bcos A，
由正弦定理知，＝，
所以sin Asin B＝sin Bcos A，
因为sin B≠0，所以sin A＝cos A，即tan A＝＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，sin A＝，
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2××＝.
21．一木块如图所示，点P在平面VAC内，过点P将木块锯开．
(1)使直线VB和VC平行于截面，在木块表面应该怎样画线(保留作图痕迹，简要说明)；
(2)若P是△VAC的重心，在条件(1)下求锯开的两个多面体的体积之比．
解：(1)过平面VAC内一点P作直线DE∥VC，交VA于D，交AC于E；
过平面VBA内一点D作直线DF∥VB，交AB于F，
则DE，DF所确定的截面DEF为所求，如图所示：
(2)若P是△VAC的重心，则△DEF与△VCB的相似比为，
所以三棱锥ADEF与三棱锥A-VCB的体积比为＝，
所以锯开的两个多面体的体积之比∶＝8∶19.
22.已知函数f(x)＝且点(4，2)在函数f(x)的图象上．
(1)求函数f(x)的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；
(2)求不等式f(x)<1的解集；
(3)若方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
解：(1)由f(x)的图象经过点(4，2)，
可得loga4＝2，即a2＝4，解得a＝2，
则f(x)＝
函数f(x)的图象如下图：
(2)f(x)<1即为或，
即x<－3或0则f(x)<1的解集为(－∞，－3)∪(0，2)．
(3)f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根，
即有y＝f(x)的图象和直线y＝2m有两个交点，
由图象可得2m≤4，即m≤2，
可得m的取值范围是(－∞，2]．
PAGE