2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(一)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是( )
A．A B B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1，2，3，4，5} D．A∩( UB)＝{1}
D A显然错误；A∩B＝{2，3}，B错；A∪B＝{1，2，3，4}，C错．故选D.
2．已知复数＝i(2＋i)(i是虚数单位)，则z的虚部为( )
A．2 B．－2
C．－1 D．1
B 因为＝i(2＋i)＝－1＋2i，
所以z＝－1－2i，
所以z的虚部为－2.
故选B.
3．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
D ①当空间三点共线时不能确定一个平面；②点在直线上时不能确定一个平面；③两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面；④三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面．故以上4个条件都不能确定一个平面．故选D.
4．已知甲为：m2(b－a)＞0，乙为：b＞a，则甲是乙的什么条件( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B 由甲为：m2(b－a)＞0，可得m2＞0，所以b＞a.可得乙成立．
反之不成立，m＝0时，由乙推不出甲．
则甲是乙的充分不必要条件．
故选B.
5．为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数为( )
A．8 B．9
C．8.5 D．9.5
C 因为数据10，8，a，8，7，9，6，8的平均数为8，
则有a＝8×8－(10＋8＋8＋7＋9＋6＋8)＝8，
将得分按照从小到大的顺序排列为：
6，7，8，8，8，8，9，10，
因为8×75%＝6为整数，
所以这组数据的第75百分位数为＝8.5.
故选C.
6．已知cos＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为( )
A． B．－
C．± D．
B 因为cos＝sin α＝－，且α是第四象限角，
所以cos α＝.所以cos(－3π＋α)＝－cos α＝－.故选B.
7．根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为( )
A．67% B．85%
C．48% D．15%
A 因为O型血与A型血的人能为A型血的人输血，且任选一人，“得到O型血”与“A型血”的人是互斥的，故所求概率为52%＋15%＝67%.故选A.
8．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )
A．4，2 B．5，3
C．5，2 D．6，2
C f(x)＝4x5－x2＋2＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，所以需要做5次乘法运算和2次加减运算．故选C.
9．下列命题中正确的是( )
A.－＝ B.＋＝0 C．0·＝0 D.＋－＝
D A错，－＝；B错，＋＝0；C错，0·＝0；D正确，＋－＝＋＋＝.故选D.
10．下列函数中，与函数y＝x－1相等的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝t－1 D．y＝－
C A项y＝＝|x－1|，与y＝x－1的对应关系不同；B项，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，与函数y＝x－1的定义域不同；D项，y＝－＝－|x－1|，与y＝x－1的对应关系不同，不是相等函数．故选C.
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
B 设圆锥的底面半径为r，则×2πr＝8，又取圆周率约为3，
解得r＝，故米堆的体积V＝×πr2×5＝(立方尺)，
因为1斛米的体积约为1.6立方尺，故堆放的米为×≈22(斛)．
故选B.
12．若0A．2 B．
C．1 D．
C 因为x(2－x)≤＝1，当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立，
所以x(2－x)的最大值是1，
故选C.
13．从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
A 从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，采用有放回简单随机抽样抽到的两球都是白球的概率是×＝；从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，采用不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率是×＝.
故选A.
14．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数之和是( )
A．25 B．26
C．25.5 D．24.5
B 由频率分布直方图可知，第1组的频率为0.04×5＝0.2，
第2组的频率为0.1×5＝0.5，
第3组的频率为1－0.2－0.5＝0.3，
估计总体平均数为7.5×0.2＋12.5×0.5＋17.5×0.3＝13，
由题意可知，中位数在第2组内，
设中位数为10＋x，则0.1x＝0.3，解得x＝3，
所以中位数为13，
则估计总体的平均数与中位数之和是26.
故选B.
15．已知f(x)是R上的奇函数，且满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2，则f(2 021)等于( )
A．－2 B．2
C．－98 D．98
B 因为f(x)是R上的奇函数，且满足f(2－x)＝f(x)，
所以f(2－x)＝f(x)＝－f(x－2)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，
则f(2 021)＝f(2 020＋1)＝f(1)＝2，
故选B.
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．函数y＝－x(x≥2)的值域为________．
解析：令t＝，则x＝t2＋1，由x≥2，知t≥1，于是y＝－t2＋t－1＝－－(t≥1)，当t＝1时，ymax＝－1，故函数y＝－x(x≥2)的值域为(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
17．已知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间内有最小值，无最大值，则ω＝______．
解析：由题意知x＝＝为函数的一条对称轴，且ω·＋＝2kπ－(k∈Z)，得ω＝8k－(k∈Z)．①
又－≤(ω>0)，所以0<ω≤12.②
由①②得k＝1，ω＝.
答案：
18．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
解析：由题意知x≠－1且x≠.因为函数f(x)为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，故x≠1，即＝1，a＝2.
答案：2
19．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝1，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值是________．
解析：因为＝λ＋，⊥，
所以·＝(λ＋)·＝λ·＋2＝λ×2×1×cos 60°＋1＝λ＋1＝0，
所以λ＝－1.
答案：－1
三、解答题：本大题共3小题，第20小题10分，第21题12分，第22题14分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：
(1)平面AB1D1//平面C1BD；
(2)AO1⊥BD.
解：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥BB1，且DD1＝BB1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，则B1D1∥BD，同理AD1∥BC1.
BD 平面C1BD，B1D 平面C1BD，所以B1D1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且B1D1∩AD1＝D1，所以平面AB1D1//平面C1BD；
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD1＝AB1，O1为B1D1的中点，所以AO1⊥B1D1，又B1D1∥BD，所以AO1⊥BD.
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
2cos Csin(A＋B)＝sin C.
故2sin Ccos C＝sin C，由0(2)由已知，absin C＝，又C＝，所以ab＝6，
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.
故a＋b＝13，从而(a＋b)2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
22.画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －5 0 3 4 3 0 －5 …
描点，连线，得函数图象如图．
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1，4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
PAGE2022年广东高中学业水平合格性考试（数学）
模拟测试卷(一)
(时间：90分钟 满分：150分)
一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是( )
A．A B B．A∩B＝{2}
C．A∪B＝{1，2，3，4，5} D．A∩( UB)＝{1}
2．已知复数＝i(2＋i)(i是虚数单位)，则z的虚部为( )
A．2 B．－2
C．－1 D．1
3．下面给出了四个条件：①空间三个点；②一条直线和一个点；③和直线a相交的两条直线；④两两相交的三条直线．
其中，能确定一个平面的条件有( )
A．3个 B．2个
C．1个 D．0个
4．已知甲为：m2(b－a)＞0，乙为：b＞a，则甲是乙的什么条件( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．为了弘扬体育精神，学校组织秋季运动会，在一项比赛中，学生甲进行了8组投篮，得分分别为10，8，a，8，7，9，6，8，如果学生甲的平均得分为8分，那么这组数据的第75百分位数为( )
A．8 B．9
C．8.5 D．9.5
6．已知cos＝－，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为( )
A． B．－
C．± D．
7．根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为( )
A．67% B．85%
C．48% D．15%
8．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为( )
A．4，2 B．5，3
C．5，2 D．6，2
9．下列命题中正确的是( )
A.－＝ B.＋＝0
C．0·＝0 D.＋－＝
10．下列函数中，与函数y＝x－1相等的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝t－1 D．y＝－
11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A．14斛 B．22斛
C．36斛 D．66斛
12．若0A．2 B．
C．1 D．
13．从三个白球和一个黑球中任意抽取两球，分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样，抽到的两球都是白球的概率分别是( )
A.， B.，
C.， D.，
14．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数之和是( )
A．25 B．26
C．25.5 D．24.5
15．已知f(x)是R上的奇函数，且满足f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x2，则f(2 021)等于( )
A．－2 B．2
C．－98 D．98
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．
16．函数y＝－x(x≥2)的值域为________．
17．已知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间内有最小值，无最大值，则ω＝______．
18．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．
19．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝1，若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值是________．
三、解答题：本大题共3小题，第20小题10分，第21题12分，第22题14分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
20．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证：
(1)平面AB1D1//平面C1BD；
(2)AO1⊥BD.
21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
22.画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
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