小升初必考专题：加乘原理（讲义）2020-2021学年数学六年级下册（含答案）全国通用

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加乘原理
)

(
知识要点
)
一、乘法原理：
　　　　 一般地，如果完成一件事需要n个步骤(缺一不可)，
　　第1步有m1种不同的方法，
　　第2步有m2种不同的方法，
　　第3步有m3种不同的方法，……，
　　第n步有mn种不同的方法，
　　则完成这件事一共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
二、加法原理：
一般地，如果完成一件事有n类方法(每一类中的任何一种方法都能独立完成这件事情)，
　　第1类有m1种不同的方法，
　　第2类有m2种不同的方法，
　　第3类有m3种不同的方法，……，
　　第n类有mn种不同的方法，
　　则完成这件事一共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同的方法。
八字要诀：“加法分类，类类独立”。
“乘法分步，步步相关”。
培养目标：
综合运用乘法原理和加法原理。
　　在分步分析中结合分类讨论，在分类讨论中结合分步分析；明确哪些是分步，哪些是分类。
了解与加、乘原理的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合。
(
例
1
一辆肇事车辆撞人后逃离现场，警察到现场调查取证，目击者只能记得车牌号是由
1
，
4
，
6
，
7
，
8
五个数字组成，却把它们的排列顺序忘记了。如果在电脑中随机的输入一个由这五个数字构成的车牌号，那么，输入的车牌号正好是肇事车辆车牌号的可能性是
( )(
填几分之一
)
。
)
(
例
2
袋中有
3
个红球，
4
个黄球和
5
个白球，小明从中任意拿出
6
个球，他拿出球的情况共有
_____
种可能。
)
(
例
3
一个七位数，其数码只能是
2
或
3
，且没有两个
3
是相邻的。请问这样的七位数共有多少个？
)
(
例
4
用
0
～
5
这六个数字可组成
_____
个没有重复数字的四位偶数。
) (
例
5
如图所示，地图上有
A
、
B
、
C
、
D
四个国家，现有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种不同的染色方法？
)
(
例
6
玩具厂生产一种玩具棒，共
4
节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家厂可生产种颜色不同的玩具棒。
)
(
例
7
小明的妈妈给了小明
9
块一样的糖，让他在接下来的
4
天正好吃完，每天至少吃一块，则小明有多少种不同的吃糖方案？
)
测试题
1．大林和小林共有小人书不超过9本，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况？
2．有三个不完全一样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6。将三个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为奇数的有多少种情形？
3．用1、2、3、4、5五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？
4．用数码1，2，3，4,组成的没有重复数字的四位数中能被11整除的数有( )个。
5．有一批规格相同的圆棒，每根划分成长度相同的
五节，每节用红、黄、蓝三种颜色来涂。问：可以得到多少种颜色不同的圆棒？
6．某工作需要钳工2人和电工2人共同完成，现有钳工A、B、C，电工D、E、F，另有G钳工、电工都会。从这7个人中挑选若干人去完成这项工作，共有_____不同选法。
7．学校广播台要在四年级6个班中招收8名广播员，每个班至少1名，共有_____种不同的招收方法。
答案
1．【分析】
按大林和小林共有小人书的本书分10类：
第1类：大林和小林共有9本的话，有10种可能；
第2类：大林和小林共有8本的话，有9种可能；
第3类：大林和小林共有7本的话，有8种可能；
第4类：大林和小林共有6本的话，有7种可能；
第5类：大林和小林共有5本的话，有6种可能；
第6类：大林和小林共有4本的话，有5种可能；
第7类：大林和小林共有3本的话，有4种可能；
第8类：大林和小林共有2本的话，有3种可能；
第9类：大林和小林共有1本的话，有2种可能；
第10类：大林和小林共有0本的话，有1种可能；
由加法原理，大林和小林各自有小人书的数目有10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55种可能的情
况。
2．【分析】
因为奇数＋奇数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＋偶数＝偶数、
奇数＋偶数＋偶数＝奇数、偶数＋偶数＋偶数＝偶数；
要使3个数字之和为奇数，则这3个数字为三个奇数或一奇两偶，
由于放三个正方体可认为是一个一个地放分2类考虑：
第1类，3个数字同为奇数，出现奇数为1、3、5，有3种可能；放第1、2、3个正方体时，各有3
种可能；
由乘法原理，3个数字同为奇数，共有3×3×3＝27种不同的情形。
第2类，3个数字为一奇两偶，出现奇数为1、3、5，有3种可能；出现偶数为2、4、6，有3种可
能；放第1、2、3个正方体时，各有3种可能；出现奇数的正方体的顺序有3种情况；
由乘法原理，3个数字为一奇两偶，共有(3×3×3)×3＝81种不同的情形。
由加法原理，3个正方体向上的一面数字之和为奇数的共有27＋81＝108种不同的情形。
3．【分析】
按照位数分5类考虑：
第1类，一位数为3、有1个；
第2类，两位数的数码为1、2或1、5或2、4或4、5，共4组，由乘法原理，每一组可以组成
2×1＝2种情况，共有2×4＝8个不同的两位数；
第3类，三位数的数码为1、2、3或1、3、5或2、3、4或3、4、5，共4组，由乘法原理，每一
组可以组成3×2×1＝6种情况，共可以组成6×4＝24个不同的三位数；
第4类，四位数的数码为1、2、4、5，由乘法原理，有4×3×2×1＝24个不同的四位数；
第5类，五位数的数码为1、2、3、4、5，由乘法原理，有5×4×3×2×1＝120个不同的五位数；
由加法原理，用1、2、3、4、5五个数字，不许重复，位数不限，能写出1＋8＋24＋24＋120＝177
个3的倍数。
4．【分析】
略
5．【分析】
每节有3种颜色可选，由乘法原理有3×3×3×3×3＝35＝243种涂法；
其中有些圆棒顺着看和倒着看颜色不一样，却被计算了2次；
有些圆棒顺着看与倒着看颜色一样，这种情况的玩具棒没有被重复计算，
这样的圆棒关于中心对称，有 3×3×3＝27种涂法；
可以得到(243－27)÷2＋27＝135或(243＋27)÷2＝135种颜色不同的圆棒。
6．【分析】
对G进行分类讨论：
当选G当钳工时，从A、B、C中再选出1个钳工，有3种选法；
从D、E、F中选出2个电工，考虑谁没有被选上，有3种选法；
由乘法原理有3×3＝9种；
当选G当电工时，从A、B、C中选出2个钳工，考虑谁没有被选上，有3种选法；
从D、E、F中再选出1个电工，有3种选法；
由乘法原理有3×3＝9种；
当不选G时，有3×3＝9种；
从A、B、C中选出2个钳工，考虑谁没有被选上，有3种选法；
从D、E、F中选出2个电工，考虑谁没有被选上，有3种选法；
由乘法原理有3×3＝9种；
由加法原理，从这7个人中挑选若干人去完成这项工作，共有9＋9＋9＝27种。
7．【分析】
插板法：8名广播员有7个间隔，要分成6份，需要5个间隔，即有两个间隔不需要插板。
所以有7×6÷2＝21种方案。