小升初必考专题：容斥原理（讲义）-2020-2021学年数学六年级下册（含答案）全国通用

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容斥原理
)

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知识要点
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容斥原理属于杯赛中常考的内容。在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： A∪B＝A＋B－A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思。)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如下：
A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
1．先包含——A＋B
重叠部分A∩B计算了2次，多加了1次；
2．再排除——A＋B －A∩B
把多加了1次的重叠部分A∩B减去。
A类、B类与C元素个数的总和＝A类元素的个数＋B类元素个数＋C类元素个数－既是A类又是B类的元素个数－既是B类又是C类的元素个数－既是A类又是C类的元素个数＋同时是A类、B类、C类的元素个数。
用符号表示为：
A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－B∩C－A∩C＋A∩B∩C …
(
例
1
四年级同学参加学校举行的运动会，参加了百米跑、跳高、跳远这三个项目。参加百米跑的有
24
人，参加跳高的有
28
人，参加跳远的有
26
人；既参加百米跑又参加跳高的有
12
人，既参加跳高又参加跳远的有
9
人，既参加百米跑又参加跳远的有
14
人；三项都参加的有
5
人。四年级同学参加运动会比赛的共有
( )
人。
)
(
例
2
某次考试，通过语文考试的有
53
人，通过数学考试的有
41
人，通过语文考试但没有通过数学考试的有
34
人，那么通过数学考试但没有通过语文考试的有
( )
人。
)
(
例
3
某班有学生
54
人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有
25
人，参加排球队的有
22
人，参加游泳队的有
34
人，足球、排球都参加的有
12
人，足球、游泳都参加的有
18
人，排球、游泳都参加的有
14
人，问：三项都参加的有多少人？
)
(
例
4
50
名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按
1
、
2
、
2
…
49
、
50
依次报数；再让报数是
4
的倍数的同学向后转，接着又让报数是
6
的倍数的同学向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？
) (
例
5
如图，已知甲乙丙三个圆的面积都是
30
，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为
6
，
8
，
5
，三个圆覆盖
的总面积为
73
，求空白部分的面积。
)
(
例
6
有
2000
盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序标号为
1
、
2
、
3
…
2000
，然后将编号为
2
的倍数的灯线拉一下，再将编号为
3
的倍数的灯线拉一下，最后将编号为
5
的倍数的灯线拉一下，
3
次拉完后亮着的灯有多少盏？
)
(
例
7
(
第六届“中环杯”五年级初赛
)
甲、乙、丙三人浇花，甲浇了
68
盆，乙浇了
62
盆，丙浇了
56
盆。已知共有花
90
盆，则三人都浇了的花至少有多少盆？
)
测试题
1．希望小学四年级有50名学生，有26人参加乒乓比赛，21人参加篮球比赛，两项比赛都不参加的有17人。两项比赛都参加的有( )人。
2．某大学某班学生总数为人，在第一次考试中有人及格，在第二次考试中有人及格，若两次
考试中，都没有及格的有人，那么两次考试都及格的人数是( )。
3．有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语，有人懂英语，人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？
4．有一根长厘米的绳子，从左端开始每隔厘米做一个记号，每隔厘米也做一个记号，然后将标有记号的地方剪断，问绳子共被剪成多少段？
5．二年级一班共名同学，其中少先队员人。这个班男生人，女生中有人不是少先队员，男生中有多少人是少先队员？
6．有三个面积各为平方厘米的圆纸片放在桌面上。三个纸片共同重叠的面积是平方厘米，三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分的面积之和是多少？
7．五年级班有名学生参加三项课外活动，其中人参加了绘画小组，人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的倍，又是三项活动都参加人数的倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有人，求参加朗诵小组的人数。
8．甲、乙、丙三人同时在读同样的故事书，书中有个故事，每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读，已知甲读了个故事，乙读了个故事，丙读了个故事，那么甲、乙、丙人共同读过的故事最少有多少个？
答案
1．【分析】
【法二】：将参加乒乓球的人看成A类元素，参加篮球的人作为B类元素，那么参赛总人数为
接下来根据公式，可以知道
人。
【法二】：根据韦恩图，设所求部分人数为人，那么整体就分为四块，人数分别为17人，
。那么，所以人。
2．【分析】设第一次考试中及格的人()，第二次考试中及格的人()
　　 显然，；，
则根据公式
那么两次考试都及格的人数是人。
3．【分析】
(法)在人中懂英语或俄语的有：(人)。
又因为有人懂英语，所以只懂俄语的有：(人)。
从位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的人就是既懂英语又懂俄语的旅
客。
(法)在人中懂英语或俄语的有：(人)学会把公式进行适当得变换，由包含与排除
原理，得：(人)
4．【分析】
每隔厘米做一个记号，记号有(个)，每隔厘米做一个记号，记号有
(个)，因为，所以其中重合的记号有(个)，
绳子上共有(个)记号，绳子被剪成(段)。
5．【分析】
二年级一班共名同学，这个班男生人，这个班女生人，女生中有人不是少先队
员，女生中有人是少先队员，男生中有人是少先队员。
6．【分析】
设阴影部分为，则，解得。或者平方厘米
7．【分析】
三项都参加的人数为，参加朗诵小组的为，既参加绘画小组又参加朗诵小组的人数为，
既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数也为。
根据公式列出方程，解得，所以参加朗诵小组的人数为
人。
8．【分析】
先考虑甲、乙两个人，甲、乙都读过的故事至少有(个)，甲单独看的故事是
(个)，乙单独看的故事有(个)，要使三人共同读过的故事最少，则丙应该尽
量读甲或乙单独看的故事，所以三人共同看过的故事最少有(个)。