17.2勾股定理的逆定理知识点分类训练2021-2022学年人教版八年级数学下册（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 17.2勾股定理的逆定理知识点分类训练2021-2022学年人教版八年级数学下册（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 307.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-04-02 09:29:59 | ||
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文档简介
2021-2022学年人教版八年级数学下册《17-2勾股定理的逆定理》知识点分类训练（附答案）
一．勾股定理的逆定理
1．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．5，3，4 D．1，，
2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（ ）
A．3﹣ B． C．3+ D．2
3．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠B﹣∠C
C．b2＝（a+c）（a﹣c） D．a：b：c＝5：12：13
4．如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
5．以下四组代数式作为△ABC的三边，能使△ABC为直角三角形的有（ ）
①3n，4n，5n（n为正整数）；
②n，n+1，n+2（n为正整数）；
③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；
④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝4，，，②a2：b2：c2＝1：3：2，③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，④∠A＝2∠B＝2∠C，其中能判断△ABC是直角三角形的有 ．（请填序号）
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
二．勾股数
8．下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．9，12，15 D．，，
三．勾股定理的应用
9．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（ ）
A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里
10．为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得AC＝5米，在点C正上方找一点D（即DC⊥BC），测得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，则景观池的长AB为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．10米
11．在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
12．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
13．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
14．如图所示，有一块长方形场地ABCD，长AB＝20m、宽AD＝10m，中间有一堵墙，高MN＝2m，一只蚂蚁要从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20m B．24m C．25m D．26m
15．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，它至少要飞行（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．14米
16．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣9＝（20﹣x）2 B．x2﹣92＝（20﹣x）2
C．x2+9＝（20﹣x）2 D．x2+92＝（20﹣x）2
17．一辆装满货物，宽为2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的高必须低于（ ）
A．4.1m B．4.0m C．3.9m D．3.8m
18．将一根长为30cm的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和24cm的长方体有盖盒子中，在M处是盒子的开口处，设细木棒露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是 ．
19．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米．
20．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 m．
21．一棵大树被风刮断后折倒在地面上，如图，如果量得AC＝6m，CB＝8m．则树在刮断之前有 高．
22．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 米．
23．数学活动课上，同学们利用升旗的绳子测量旗杆的高度．如图，将绳子紧靠旗杆拉直，测得绳子比旗杆多0.5m；将绳子拉直到底端恰好接触地面时，测得底端距离旗杆3.5m，若设旗杆高为xm，则x满足的方程为 ．
24．一架方梯AB长25米（如图），斜靠在一面墙上，梯子底端离墙OB为7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
25．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝400+400千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）
26．如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．
27．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
28．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
29．小亮用11块高度都是2cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD木板，截面如图所示．两木墙高分别为AE与CF，点B在EF上，求正方形ABCD木板的面积．
30．如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．
参考答案
一．勾股定理的逆定理
1．解：A．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵12+12＝1+1＝2，（）2＝2，
∴12+12＝（）2，
∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以5，3，4为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DEF的面积＝△ABC的面积＝＝6，DF＝AC＝3，
∵图中阴影部分面积为4，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
即平移的距离是CF＝AC﹣DC＝3﹣，
故选：A．
3．解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠B＝∠A+∠C，∴∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵b2＝a2﹣c2，∴b2+c2＝a2，故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵52+122＝132，故能判定△ABC是直角三角形；
故选：A．
4．解：连接AB，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AM2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，BM2＝12+32＝10，
∴AM＝AB，AM2+AB2＝BM2，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴∠AMB＝45°，
故选：C．
5．解：①3n，4n，5n（n为正整数），（3n）2+（4n）2＝（5n）2，能构成直角三角形；
②n，n+1，n+2（n为正整数），n2+（n+1）2≠（n+2）2，不能构成直角三角形；
③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数），（n2﹣1）2+（n2+1）2＝（2n）2，能构成直角三角形；
④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数），（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，能构成直角三角形．
故选：C．
6．解：①∵a＝4，，，
∴a2+b2＝16+＝，c2＝，
∴a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形；
②∵a2：b2：c2＝1：3：2，
∴a2+c2＝b2，即△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，即△ABC不是直角三角形；
④∵∠A＝2∠B＝2∠C，
∴∠C＝A，∠B＝A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+A+A＝180°，
解得：∠A＝90°，即△ABC是直角三角形；
故答案为：①②④．
7．解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
∴t＝，
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣3t），
∴t＝．
∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．
二．勾股数
8．解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、92+162≠252，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、92+122＝152，三边是整数，同时能构成直角三角形，符合题意；
D、，，都不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
三．勾股定理的应用
9．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2＝32海里，12×2＝24海里，
根据勾股定理得：＝40（海里）．
故选：A．
10．解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，
∴CD＝AC＝5（米），
∵∠CDB＝60°，
∴BC＝DC＝（米），
∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），
故选：D．
11．解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），
又∵AB＝30海里，
∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2
∴∠AOB＝90°，
∵∠DOA＝50°，
∴∠BOD＝40°，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西40°，
故选：C．
12．解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
13．解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝14尺，所以B'C＝7尺
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2
∴72+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝25，
∴这根芦苇长25尺，
∴水的深度是25﹣1＝24（尺），
故选：B．
14．解：如图所示，将图展开，图形长度增加2个MN的长度，
即原图长度增加4米，
∴AB＝20+4＝24（米），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24米，宽AD＝10米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝26（米），
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26米的路程．
故选：D．
15．解：两棵树的高度差为10﹣4＝6m，间距为8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝＝10m．
故选：C．
16．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．
故选：D．
17．解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
18．解：由题意知：盒子底面对角长为＝10（cm），
盒子的对角线长：＝26（cm），
细木棒长30cm，
故细木棒露在盒外面的最短长度是：30﹣26＝4（cm）．
所以细木棒露在外面的最短长度是4厘米．
当细木棒竖直放置时，细木棒露在盒外面的最长长度是30﹣24＝6（cm），
所以细木棒露在外面的最长长度是6厘米．
所以h的取值范围是4≤h≤6，
故答案为：4≤h≤6．
19．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，
由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
20．解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴（m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝8（m），
∴AD＝（m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．
故答案为：（12﹣）．
21．解：∵AC＝6m，CB＝8m，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10（m），
∴AC+AB＝6+10＝16（m），
即树在刮断之前有16m高，
故答案为：16m．
22．解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，
由题意得：∠ACB＝90°，AB＝10米，AC＝6米，
由勾股定理得BC＝＝＝8（米），
则AC+BC＝14（米），
故答案为：14．
23．解：设旗杆高度为xm，可得x2+3.52＝（x+0.5）2，
故答案为：x2+3.52＝（x+0.5）2．
24．解：（1）由题意得：BO＝7米，AB＝25米，
根据勾股定理可得：AO＝＝24（米）；
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：AA′＝4米，则A′O＝24﹣4＝20米，
在Rt△A′OB′中：OB′＝＝15（米），
∴BB′＝B′O﹣BO＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
25．解：（1）海港C受台风影响，
理由：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵∠DBC＝30°，
∴BD＝CD，
∵AB＝（400+400）千米，
∴AB＝AD+BD＝CD+CD＝400+400，
∴CD＝400千米，
∵以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝600km，FC＝600km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝200（km），
∴EF＝400km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴400÷20≈45（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间大约为45小时．
26．解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
答：水池里水的深度是15尺．
27．解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
28．解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴600×800＝1000×CD，
∴CD＝480（km），
∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝140（km），
∴EF＝280km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴280÷28＝10（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为10小时．
29．解：∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°．
∴∠EAB＝∠CBF，
∵AB＝BC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF＝2×5＝10（cm），
∵CF＝2×6＝12（cm）．
在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2＝102+122＝244，
∴S正方形ABCD＝BC2＝244cm2，
即正方形ABCD木板的面积为244cm2．
30．解：设BE＝xkm，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4．
所以，EB的长是4km．
一．勾股定理的逆定理
1．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．5，3，4 D．1，，
2．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（ ）
A．3﹣ B． C．3+ D．2
3．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A＝∠B﹣∠C
C．b2＝（a+c）（a﹣c） D．a：b：c＝5：12：13
4．如图，在2×3的正方形网格中，∠AMB的度数是（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
5．以下四组代数式作为△ABC的三边，能使△ABC为直角三角形的有（ ）
①3n，4n，5n（n为正整数）；
②n，n+1，n+2（n为正整数）；
③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；
④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数）．
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
6．已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝4，，，②a2：b2：c2＝1：3：2，③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，④∠A＝2∠B＝2∠C，其中能判断△ABC是直角三角形的有 ．（请填序号）
7．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4cm，AC＝12cm．动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CA边以3cm/s的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为ts（0＜t＜4），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在PQ的垂直平分线上？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
二．勾股数
8．下列各组数据中是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．9，12，15 D．，，
三．勾股定理的应用
9．如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距（ ）
A．40海里 B．35海里 C．30海里 D．25海里
10．为了测量学校的景观池的长AB，在BA的延长线上取一点C，使得AC＝5米，在点C正上方找一点D（即DC⊥BC），测得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，则景观池的长AB为（ ）
A．5米 B．6米 C．8米 D．10米
11．在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（ ）
A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°
12．在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（ ）尺．
A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55
13．如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（ ）
A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺
14．如图所示，有一块长方形场地ABCD，长AB＝20m、宽AD＝10m，中间有一堵墙，高MN＝2m，一只蚂蚁要从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20m B．24m C．25m D．26m
15．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，它至少要飞行（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．14米
16．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2﹣9＝（20﹣x）2 B．x2﹣92＝（20﹣x）2
C．x2+9＝（20﹣x）2 D．x2+92＝（20﹣x）2
17．一辆装满货物，宽为2.4m的卡车，欲通过如图所示的隧道，则卡车的高必须低于（ ）
A．4.1m B．4.0m C．3.9m D．3.8m
18．将一根长为30cm的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和24cm的长方体有盖盒子中，在M处是盒子的开口处，设细木棒露在杯子外面的长度是为hcm，则h的取值范围是 ．
19．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 米．
20．如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．
（1）开始时，船距岸A的距离是 m；
（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动 m．
21．一棵大树被风刮断后折倒在地面上，如图，如果量得AC＝6m，CB＝8m．则树在刮断之前有 高．
22．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 米．
23．数学活动课上，同学们利用升旗的绳子测量旗杆的高度．如图，将绳子紧靠旗杆拉直，测得绳子比旗杆多0.5m；将绳子拉直到底端恰好接触地面时，测得底端距离旗杆3.5m，若设旗杆高为xm，则x满足的方程为 ．
24．一架方梯AB长25米（如图），斜靠在一面墙上，梯子底端离墙OB为7米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
25．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45°方向上，在B处测得C港在北偏西60°方向上，且AB＝400+400千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域．
（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
（结果保留整数，参考数据≈1.41，≈1.73，≈2.24）
26．如图，有一个水池，水面是一个边长为16尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是多少尺？请你用所学知识解答这个问题．
27．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
28．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
29．小亮用11块高度都是2cm的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形ABCD木板，截面如图所示．两木墙高分别为AE与CF，点B在EF上，求正方形ABCD木板的面积．
30．如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．
参考答案
一．勾股定理的逆定理
1．解：A．∵42+52＝16+25＝41，62＝36，
∴42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵12+12＝1+1＝2，（）2＝2，
∴12+12＝（）2，
∴以1，1，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，
∴32+42＝52，
∴以5，3，4为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3，
∴12+（）2＝（）2，
∴以1，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DEF的面积＝△ABC的面积＝＝6，DF＝AC＝3，
∵图中阴影部分面积为4，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
即平移的距离是CF＝AC﹣DC＝3﹣，
故选：A．
3．解：A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故不能判定△ABC是直角三角形；
B、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠B＝∠A+∠C，∴∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵b2＝a2﹣c2，∴b2+c2＝a2，故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵52+122＝132，故能判定△ABC是直角三角形；
故选：A．
4．解：连接AB，设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AM2＝12+22＝5，AB2＝12+22＝5，BM2＝12+32＝10，
∴AM＝AB，AM2+AB2＝BM2，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴∠AMB＝45°，
故选：C．
5．解：①3n，4n，5n（n为正整数），（3n）2+（4n）2＝（5n）2，能构成直角三角形；
②n，n+1，n+2（n为正整数），n2+（n+1）2≠（n+2）2，不能构成直角三角形；
③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数），（n2﹣1）2+（n2+1）2＝（2n）2，能构成直角三角形；
④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数），（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，能构成直角三角形．
故选：C．
6．解：①∵a＝4，，，
∴a2+b2＝16+＝，c2＝，
∴a2+b2＝c2，即△ABC是直角三角形；
②∵a2：b2：c2＝1：3：2，
∴a2+c2＝b2，即△ABC是直角三角形；
③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴最大角∠C＝×180°＝75°，即△ABC不是直角三角形；
④∵∠A＝2∠B＝2∠C，
∴∠C＝A，∠B＝A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+A+A＝180°，
解得：∠A＝90°，即△ABC是直角三角形；
故答案为：①②④．
7．解：（1）若点A在线段PQ的垂直平分线上，则AP＝AQ，
∵AP＝t，AQ＝12﹣3t，
∴t＝12﹣3t，
解得：t＝3，
答：当t＝3时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）①若∠APQ＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP，
∴12﹣3t＝2t，
∴t＝，
②若∠AQP＝90°，
则△APQ是直角三角形，
∵∠A＝60°，
∴∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
∴t＝2（12﹣3t），
∴t＝．
∴当t＝或时，△APQ是直角三角形．
二．勾股数
8．解：A、0.3，0.4，0.5都不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、92+162≠252，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、92+122＝152，三边是整数，同时能构成直角三角形，符合题意；
D、，，都不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
三．勾股定理的应用
9．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2＝32海里，12×2＝24海里，
根据勾股定理得：＝40（海里）．
故选：A．
10．解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，
∴CD＝AC＝5（米），
∵∠CDB＝60°，
∴BC＝DC＝（米），
∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），
故选：D．
11．解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），
又∵AB＝30海里，
∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2
∴∠AOB＝90°，
∵∠DOA＝50°，
∴∠BOD＝40°，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏西40°，
故选：C．
12．解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，
设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
即折断处离地面4.55尺．
故选：D．
13．解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为B'E＝14尺，所以B'C＝7尺
在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2
∴72+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝25，
∴这根芦苇长25尺，
∴水的深度是25﹣1＝24（尺），
故选：B．
14．解：如图所示，将图展开，图形长度增加2个MN的长度，
即原图长度增加4米，
∴AB＝20+4＝24（米），
连接AC，
∵四边形ABCD是长方形，AB＝24米，宽AD＝10米，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝＝＝26（米），
∴蚂蚁从A点爬到C点，它至少要走26米的路程．
故选：D．
15．解：两棵树的高度差为10﹣4＝6m，间距为8m，
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝＝10m．
故选：C．
16．解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB＝（20﹣x）尺，BC＝9尺，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即x2+92＝（20﹣x）2．
故选：D．
17．解：∵车宽2.4米，
∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝1.6（m），
CH＝CD+DH＝1.6+2.5＝4.1米，
∴卡车的外形高必须低于4.1米．
故选：A．
18．解：由题意知：盒子底面对角长为＝10（cm），
盒子的对角线长：＝26（cm），
细木棒长30cm，
故细木棒露在盒外面的最短长度是：30﹣26＝4（cm）．
所以细木棒露在外面的最短长度是4厘米．
当细木棒竖直放置时，细木棒露在盒外面的最长长度是30﹣24＝6（cm），
所以细木棒露在外面的最长长度是6厘米．
所以h的取值范围是4≤h≤6，
故答案为：4≤h≤6．
19．解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，
由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
20．解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴（m），
故答案为：12；
（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，
∴CD＝8（m），
∴AD＝（m），
∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．
故答案为：（12﹣）．
21．解：∵AC＝6m，CB＝8m，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10（m），
∴AC+AB＝6+10＝16（m），
即树在刮断之前有16m高，
故答案为：16m．
22．解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，
由题意得：∠ACB＝90°，AB＝10米，AC＝6米，
由勾股定理得BC＝＝＝8（米），
则AC+BC＝14（米），
故答案为：14．
23．解：设旗杆高度为xm，可得x2+3.52＝（x+0.5）2，
故答案为：x2+3.52＝（x+0.5）2．
24．解：（1）由题意得：BO＝7米，AB＝25米，
根据勾股定理可得：AO＝＝24（米）；
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：AA′＝4米，则A′O＝24﹣4＝20米，
在Rt△A′OB′中：OB′＝＝15（米），
∴BB′＝B′O﹣BO＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
25．解：（1）海港C受台风影响，
理由：过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴AD＝CD，
∵∠DBC＝30°，
∴BD＝CD，
∵AB＝（400+400）千米，
∴AB＝AD+BD＝CD+CD＝400+400，
∴CD＝400千米，
∵以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）当EC＝600km，FC＝600km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝200（km），
∴EF＝400km，
∵台风的速度为20千米/小时，
∴400÷20≈45（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间大约为45小时．
26．解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，x2+82＝（x+2）2，
解得：x＝15，
答：水池里水的深度是15尺．
27．解：在Rt△ACB中，
AC2+BC2＝AB2，
设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣1）m，
故x2＝42+（x﹣1）2，
解得：x＝8.5，
答：绳索AD的长度是8.5m．
28．解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴600×800＝1000×CD，
∴CD＝480（km），
∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，
∵ED＝＝140（km），
∴EF＝280km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴280÷28＝10（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为10小时．
29．解：∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEB＝∠BFC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝90°．
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°．
∴∠EAB＝∠CBF，
∵AB＝BC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE＝BF＝2×5＝10（cm），
∵CF＝2×6＝12（cm）．
在Rt△BCF中，BC2＝BF2+CF2＝102+122＝244，
∴S正方形ABCD＝BC2＝244cm2，
即正方形ABCD木板的面积为244cm2．
30．解：设BE＝xkm，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4．
所以，EB的长是4km．