2021-2022学年鲁教版(五四制）七年级数学下册8.5平行线的性质定理 训练（word版含解析）

2021-2022学年鲁教版七年级数学下册《8-5平行线的性质定理》优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1＝55°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．35° C．55° D．125°
2．如图AB∥CD，则∠1＝（　　）
A．75° B．80° C．85° D．145°
3．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（　　）
A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°
B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°
C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°
D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°
4．如图，下列判断中错误的是（　　）
A．由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD
B．由AB∥CD得到∠ABC+∠C＝180°
C．由∠1＝∠2得到AD∥BC
D．由AD∥BC得到∠3＝∠4
5．如图，已知AB∥CD，CE平分∠ACD，且∠A＝120°，则∠1＝（　　）
A．45° B．60° C．40° D．30°
6．如图所示，l1∥l2，三角板ABC如图放置，其中∠B＝90°，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．30°
7．AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠BAC＝70°，则∠1的度数为（　　）
A．175° B．35° C．55° D．70°
8．如图所示，直线a、b、c、d的位置如图所示，若∠1＝125°，∠2＝125°，∠3＝135°，则∠4的度数为（　　）
A．45° B．55° C．60° D．65°
二．填空题
9．如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD，∠2＝130°，则∠1＝　 　．
10．平面内∠A和∠B的两边互相平行，且∠A＝40°，则∠B＝　 　．
11．如图，若AB∥CD，∠1＝30°，则∠2＝　 　°．
三．解答题
12．【引入】如图1，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q，求证：∠1＝∠2．
【变式】如图2，AB∥CD，∠1＝∠2，求证：∠F＝∠M
13．已知如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
（1）判断BD与CE是否平行，并说明理由；
（2）说明∠A＝∠F的理由．
14．如图，∠1＝∠ABC，∠2＝∠3，FG⊥AC于F，判断BE与AC有怎样的位置关系，并说明理由．
15．已知：如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠1＝∠2，∠A＝∠F．
求证：∠C＝∠D．
16．如图1，已知AB∥CD，BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC．
（1）∠BPD＝　 　°；
（2）如图2，将BD改为折线BED，BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，其余条件不变，若∠BED＝140°，求∠BPD的度数；
（3）如图3，若∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，BP、DP分别平分∠ABE、∠CDF，其余条件不变，那么∠BPD＝　 　°．
17．如图，已知AB∥EF，∠BCD＝90°，求∠B+∠D﹣∠E的度数．
18．如图，CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D、F，∠1＝∠2，若∠A＝65°，∠B＝45°，求∠AGD的度数．
19．已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1＝∠2．求证：DE⊥AC．
20．已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝　 　；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　 　．
21．已知：∠MON＝80°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则：
①∠ABO的度数是　 　；
②如图2，当∠BAD＝∠ABD时，试求x的值（要说明理由）；
（2）如图3，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，直接写出x的值；若不存在，说明理由．（自己画图）
参考答案
一．选择题
1．解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵∠3+∠2+90°＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠2＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
2．解：延长BE交CD于点F．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠BFD＝180°，
∴∠BFD＝180°﹣∠B＝180°﹣120°＝60°，
∴∠1＝∠ECD+∠BFD＝25°+60°＝85°．
故选：C．
3．解：A、如图1：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴AB与CD不平行；
故本选项错误；
B、如图2：∵∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠1＝∠2，
∴AB与CD平行；
故本选项正确；
C、如图3：∵∠1＝40°，∠2＝140°，
∴∠1≠∠2，
∴AB不平行CD；
故本选项错误；
D、如图4：∠1＝40°，∠2＝40°，
∴∠3＝140°，
∴∠1≠∠3，
∴AB与CD不平行；
故本选项错误．
故选：B．
4．解：A、由∠A+∠ADC＝180°得到AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
B、由AB∥CD得到∠ABC+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补），正确；
C、由∠1＝∠2得到AD∥BC（内错角相等，两直线平行），正确；
D、由AD∥BC得到∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），所以此选项错误．
故选：D．
5．解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠DCE，∠A+∠ACD＝180°，
又∵∠A＝120°，
∴∠ACD＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝30°，
∴∠1＝30°，
故选：D．
6．解：作BD∥l1，如图所示：
∵BD∥l1，∠1＝40°，
∴∠1＝∠ABD＝40°，
又∵l1∥l2，
∴BD∥l2，
∴∠CBD＝∠2，
又∵∠CBA＝∠CBD+∠ABD＝90°，
∴∠CBD＝50°，
∴∠2＝50°．
故选：B．
7．解：∵∠BAC＝70°，AF平分∠BAC，
∴∠FAC＝∠BAC＝35°，
∵DF∥AC，
∴∠1＝∠FAC＝35°，
故选：B．
8．解：如图所示，∵∠1＝125°，∠2＝125°，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5，
又∵∠3＝135°，
∴∠5＝45°，
∴∠4＝45°，
故选：A．
二．填空题
9．解：如图：
∵∠2＝130°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝50°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝50°．
故答案为：50°．
10．解：如图1所示，
∵∠A和∠B的两边互相平行，
∴∠A＝∠1，∠1＝∠B．
∴∠B＝∠A＝40°；
如图2所示，
∵∠A和∠B的两边互相平行，
∴∠A＝∠1，∠1+∠B＝180°．
∴∠B＝140°；
故答案为：40°或140°．
11．解：如图，∵AB∥CD，
∴∠1＝∠3＝30°，
又∵∠2+∠3＝180°，
∴∠2＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：150．
三．解答题
12．【引入】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥DE，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠P＝∠Q，
∴PB∥CQ，
∴∠PBC＝∠BCQ，
∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ，
∴∠1＝∠2．
【变式】证明：延长EF交CD于G，如图：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EGD
∵∠1＝∠2，
∴∠EGD＝∠2
∴EF∥MN，
∴∠EFM＝∠M．
13．解：（1）BD∥CE，理由如下：
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴BD∥CE；
（2）理由如下：∵BD∥CE，
∴∠C＝∠4．
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
14．解：BE⊥AC．
理由：
∵∠1＝∠ABC，
∴DE∥BC，
∴∠2＝∠EBC而∠2＝∠3，
∴∠3＝∠EBC，
∴FG∥BE又FG⊥AC，
∴BE⊥AC．
15．证明：∵∠ANC＝∠2，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠ANC，
∴DB∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC，
∴∠D＝∠ABD，
∴∠C＝∠D．
16．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC＝∠180°，
∵BP、DP分别平分∠ABD、∠BDC，
∴∠PBD+∠PDB＝90°，
∴∠BPD＝180°﹣90°＝90°．
（2）连接BD，
∵∠BED＝140°，
∴∠EBD+∠EDB＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵BP、DP分别平分∠ABE、∠EDC，
∴∠PBE＝∠ABE，∠PDE＝∠CDE，
∴∠PBE+∠PDE＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠BPD＝180°﹣∠PBE﹣PDE﹣∠EBD﹣∠EDB＝70°．
（3）连接BD，
∵∠BEF＝152°，∠EFD＝136°，
∴∠EBD+∠FDB＝360°﹣（152°+136°）＝72°，
∵BP、DP分别平分∠ABE、∠FDC，
∴∠PBE＝∠ABE，∠PDF＝∠CDF，
∴∠PBE+∠PDF＝×（180°﹣72°）＝54°，
∴∠BPD＝180°﹣（∠EBD+∠FDB）﹣（∠PBE+∠PDF）＝54°．
故答案为：90；54°．
17．解：过点C作直线CM∥AB，过点D作直线DN∥EF，给各角表示序号，如图所示．
∵AB∥EF，CM∥AB，DN∥EF，
∴CM∥DN，
∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠E，
∴∠CDE﹣∠E＝∠3+∠4﹣∠E＝∠3＝∠2，
∴∠B+∠CDE﹣∠E＝∠B+∠2＝∠1+∠2＝∠BCD＝90°．
18．解：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CDF＝∠EFB＝90°，
∴CD∥EF，
∴∠DCB＝∠1．
∵∠1＝∠2，
∴∠DCB＝∠2，
∴DG∥BC，
∴∠ADG＝∠B＝45°．
又∵在△ADG中，∠A＝65°，∠ADG＝45°，
∴∠AGD＝180°﹣∠A﹣∠ADG＝70°．
19．证明：∵CD∥FG，
∴∠2＝∠DCB，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCB，
∴DE∥BC，
∵AC⊥BC，
∴DE⊥AC．
20．
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．
21．解：（1）①∵∠MON＝80°，OE平分∠MON．
∴∠AOB＝∠BON＝40°，
∵AB∥ON，
∴∠ABO＝40°．
故答案是：40°；
②如答图1，∵∠MON＝80°，且OE平分∠MON，
∴∠1＝∠2＝40°，
又∵AB∥ON，
∴∠3＝∠1＝40°，
∵∠BAD＝∠ABD，
∴∠BAD＝40°
∴∠4＝80°，
∴∠OAC＝60°，即x＝60．
（2）存在这样的x，
①如答图2，当点D在线段OB上时，
若∠BAD＝∠ABD，则x＝40；
若∠BAD＝∠BDA，则x＝25；
若∠ADB＝∠ABD，则x＝10．
②如答图3，当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝130°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝115，C不在ON上，舍去；
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x＝10、25、40．