苏科版八年级数学下册 第11章 反比例函数的不变性探究 教案

小结与思考 反比例函数的不变性探究 （苏教版八年级下册）
课时 作者 时间
教学目标： 1．掌握并理解反比函数的不变性； 2．通过对反比例函数的不变性的研究作进一步的拓展延伸； 3．通过图形的特征去感受理解“线”的关系，学会通过从“角”、“线”、“形”三个视角去研究几何问题．
教学重点： 1.掌握并理解反比函数的不变性； 2.对反比例函数的不变性的研究作进一步的拓展延伸；
教学难点： 通过图形的特征去感受理解“线”的关系，学会通过从“角”、“线”、“形”三个视角去研究几何问题．
教学过程（教师） 学生活动 设计意图
一、复习回顾 前面呢我们对“反比例函数及其图象”已经做了一些研究；今天我们将对“反比例函数及其图象”作进一步的拓展延伸。 首先请大家回忆一下 师：什么样的函数叫做反比例函数？ 师：这个式子反映了与之间的关系，这个关系式还可以表示成什么样的形式？ 师：在这些式子中我们知道与是变化的，称为？呢？ 师：通过这个式子（），我们知道在反比函数关系式中，两个变量的乘积是一个 ？ 师：常数换个词理解一下，是指？ 师：非常好，这就是反比例函数的不变性. 不变性：两个变量的乘积是一个定值.（在黑板上板书） 生：形如（为常数，） 生：或 生：变量；常数 生：常数 生：定值 给学生一个愉快轻松的开始，调整好心态为后续更好的进入状态做好铺垫． 通过对反比例函数的表达式进行复习再次明确反比例函数的不变性 点出本节课的课题的同时介绍本节课的重点
过渡语：反比例函数的不变性有哪些表现呢？这一节课我们就来一起研究一下. （板书课题：反比例函数的不变性）
不变性的表现 探究（一）矩形面积的不变性 师：如图，P(x,y)是双曲线在第一象限上的一个动点，过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，四边形OMPN是什么图形？面积是多少？ 师：怎么算的？ 师： 指什么？ 指什么？ 师：的面积表示为？ （几何画板展示P点运动情况） 师：当点P运动到在这里，形成的矩形的面积？ 换个位置继续运动，当点P运动到在这里，形成的矩形的面积？ （总结：当点P在第一象限图像上运动时，所得的矩形的面积不变.） 师：当点P运动到第三象限，形成的矩形的面积？ 师：怎么算的？ 启发追问： 矩形的长是什么？矩形的宽是什么？ 还是x吗？还是y吗？ 师：当为负值-10时矩形的面积为？ （总结：由此，我们发现无论点P在哪个象限图像上运动，只要点P在函数图象上，形成的矩形的面积都不变.） 师：如果我们将换成反比例函数表达式的一般形式，按照同样的方式形成的矩形的面积是多少？ 师：这就是反比例函数的不变性第一个表现。 生：矩形 生：10. 生1： 指矩形的长； 指矩形的宽； 生： 生：10 生：10 生：10 生： =10 生：10 生： 在不经意间将学生带入一个探究环节；简单入手、起点低小坡度，增强学生的信心．
探究（二）三角形面积的不变性 师：如果将矩形的对角线MN连起来，得到的两个三角形的面积是多少？ 师：怎么算呢，例如？ 启发追问： 想要求三角形的面积我们需要什么？的底与高是什么？如何表示它的面积？ 师：当点P在函数图像上运动时，三角形的面积为？ 师：如果我们将换成反比例函数表达式的一般形式，按照同样的方式形成的三角形的面积是多少？ 师：如果连接“对角线OP”，形成的这两个三角形的面积又是多少？ （总结：无论点P在哪个象限里，连接矩形的对角线之后，所得的三角形的面积都是不变的.） 师：这就是反比例函数的不变性的第二个表现. 深入探究 师：如果在y轴上取一个M’，连接M’N、M’P得到的△M’NP的面积是多少？ 师：怎么算呢，例如？ 启发追问： 想要求三角形的面积我们需要什么？ 的底与高是什么？ 如何表示它的面积？ 是多少？PN是多少？ 师：当在y轴上运动时，？ （总结：当在y轴上运动时，都是不变的.） 生：5 （不同的见解） 生1：矩形面积的一半，从图像上可以观察出来。 生2： =5 生：不变 生：不变 生：5 生：5 （不同的见解） 生1：矩形面积的一半，从图像上可以观察出来。 过点作┴PN，PN是底，是高 生2： =5 生：不变
问题思考 师：这两个三角形的面积有什么关系？ 师：面积是多少呢？怎么算呢？ 下去指导，启发学生5min 师：请一位同学来说说你是如何算这两个三角形的面积？ 生：（猜想）相等 小组讨论 生1：（推理）都等于矩形面积的一半. 生2：
探究（三）一组平行关系的不变性 过渡语：之前我们研究的是点P在图像上的情况，那么，现在点P在图像外会有什么情况？ 师：如图，P(x,y)是双曲线在第一象限外的一个动点，过点P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，分别交双曲线于点G、H，连接MN、MH、GN，得到的这两个三角形的面积有什么关系？ 师：等于多少呢？互相讨论一下 师：当点P运动时，拖动点P，这两个三角形的面积？ 师：我们来观察一下这两个三角形，除了面积相同之外，还有什么相同，这时候你有什么发现？ 师：过点G作GC┴MN，HD┴MN，如果将GH连起来，GH与MN有怎样的位置关系？ 师：为什么？ 师：当点P运动时，GH与MN的位置关系会有怎样的变化？ 师：就是我们得到的反比例函数的不变性的第三个表现. 生：（猜想）相等 小组讨论 生1：（推理）都等于矩形面积的一半. 生2： 生：不变 生：底相同 生：平行 生： 生：始终平行 绘画艺术中讲究留白，数学课堂中运用留白让学生去“脑补”发展学生的直观想象和猜想的能力。 这种方式其实是高中的解析几何，拓展学生的思维
探究（四）一组线段相等的不变性 师：刚才我们是从“线”的位置关系去研究，对于“线”除了研究它的位置关系，我们也经常会研究它的什么关系？ 师：这里面有线段相等吗？ 师：为什么？ 师：这些线段相等之后，进而能得到什么结论？为什么？ 师：当点P运动时，这些线段的数量关系会有怎样的变化？ 师：就是我们得到的反比例函数的不变性的第四个表现. 生：“数量关系” 生：AM=HN MG=NB AH=MN=GBAG=HB 生：四边形AMNH为平行四边形；四边形MGBN为平行四边形； 生：△AMG≌△HNB 生：不变 看似无出口，吊胃口扣中至；面积不变性引发学生思考激发兴趣调动学生探究欲望。
板书设计 反比例函数的不变性 （三）一组平行关系的不变性 分析： 解： （四）一组线段相等的不变性 AM=HN MG=NB AH=MN=GBAG=HB
表达式： 不变性：两个变量的乘积是一个定值 表现： （一）矩形面积的不变性 （二）三角形面积的不变性 =
教学反思： 本节课主要讲了“反比例函数的不变性”的四种表现：1.矩形面积的不变性；2.三角形面积的不变性；3.一组平行关系的不变性；4.线段关系的不变性。本节课更多地关注的是一种经验的积累，培养学生思考力产生的视角。