六年级下册数学讲义-小升初追及问题专题训练 (教师版) 全国通用

追及问题
1、追及问题也是行程的一种类型，指两个物体同时从不同地点向同一方向或不同时间从同一地点向同一方向运动，慢在前，快在后，两者距离越来越近，在某一时刻追上。
追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间
＝速度差×追及时间.
一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即
解答追及问题的基本条件是“追及路程”和“速度差”。
例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为和，那么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米
例题讲解
题型一：甲、乙同向不同地
解题关键：两地间的距离＝追者走的路程－慢者走的路程。
例题:甲、乙二人都要从北京去天津，甲行驶10千米后乙才开始出发，甲每小时行驶15千米，乙每小时行驶10千米，问：乙经过多长时间能追上甲？
【解析】出发时甲、乙二人相距10千米，以后两人的距离每小时都缩短15-10＝5（千米），
即两人的速度的差（简称速度差），
所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上.
10÷（15-10）＝10÷5＝2（小时），还需要2个小时。
变式练习： 甲乙二人分别从相距48千米的两地同时向西而行，甲车每小时行36千米，乙每小时行20千米，几小时后甲追上乙
分析：先求出二人速度差(36-20)千米，再用路程差，也就是两地相距的路程除以速度差求出追上时间：48÷(36—20)＝3(小时)。
题型二：甲、乙同向同地不同时
解题关键：追者走的路程＝慢者走的路程。
例题：六年级同学从学校出发到公园春游，每分钟走米，分钟以后，学校有急事要通知学生，派李老师骑自行车从学校出发分钟追上同学们，李老师每分钟要行多少米才可以准时追上同学们？
【解析】同学们15分钟走（米），即路程差．
然后根据速度差＝路程差÷追及时间，
可以求出李老师和同学们的速度差，
又知道同学们的速度是每分钟米，
就可以得出李老师的速度．即（米）．
变式练习：两辆汽车都从甲地开往乙地，第一辆车以每小时30千米的速度从甲地开出，第二辆车晚开12分钟，以每小时40千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达乙地。求甲乙两地的路程？
分析：从题意可知两车从同一地出发，第二辆车晚开12分钟，也就是第一辆车出发12分钟后，第二辆车才出发，那么追及的路程是第一辆12分钟所行的路程，即 30×12/60＝6 (千米)。两车同时到达乙地，也就是第二辆车刚好追上第一辆车，追及的时间就是第二辆车从甲地到乙地行驶的时间。即6÷(40－30)＝0.6(小时)，已知速度和时间，甲乙两地的距离：40×0.6＝24 ( 千米)。　　
题型三：甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发
解题关键：快的必须多跑一圈才能追上慢的。
例题：甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终点还有12米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？
【解析】甲、乙两人的运动时间相同，所以，
甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以，
乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍
由图可知，甲跑(米)，乙跑(米)，
所以当乙跑(米)时，甲跑：(米)，
即当乙跑到终点时，甲离终点还有(米)
变式练习：甲、乙两沿运动场的跑道跑步，甲每分钟跑290米，乙每分钟跑270米，跑道一圈长400米。如果两人同时从起跑线上同方向跑，那么甲经过多长时间才能第一次追上乙？
分析与解答：这是一道封闭线路上的追及问题。甲和乙同时同地起跑，方向一致。因此，当甲第一次追上乙时，比乙多跑了一圈，也就是甲与乙的路程差是400米。根据“路程差÷速度差=追及时间”即可求出甲追上乙所需的时间：400÷（290－270）=20分钟。
题型四：隐含着的追及问题
例题：甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米。途中甲车出故障停车修理了小时，结果甲车比乙车迟到小时到达B地。A、B两地间的路程是多少？
分析：由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，说明行这段路程甲车比乙车少用2小时。可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，所以也可以用追及问题的数量关系来解答。
行这段路程甲车比乙车少用的时间是：3－1＝2(小时)，乙车2小时行的路程是：40×2＝80（千米)，
甲车每小时比乙车多行的路程是：50－40＝10（千米)，甲车所需的时间是：80÷10＝8（小时)，
两地间的路程是：50×8＝400(千米)。
变式练习：甲、乙两车同时从地向地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回地；到达地后又立即向地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达地，求、两地的路程．
【解析】根据题意画出线段图：
从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，
那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，
而追及时间正好是甲车从地到地所用的时间，由此可以求出、两地的路程,
追及路程为：(千米),
追及时间为：(小时),
、两地的路程为：(千米).
题型五：稍复杂的追及问题
例题：王芳和李华放学后，一起步行去体校参加排球训练，王芳每分钟走110米，李华每分钟走米，出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，在学校又耽误了2分钟，然后追赶李华．求多少分钟后追上李华？
分析：已知二人出发5分钟后，王芳返回学校取运动服，这样用去了5分钟，在学校又耽误了2分钟，
　　王芳一共耽误了5×2＋2=12（分钟）。李华在这段时间比王芳多走：70×12=840（米），
速度差为：110-70=40（米/秒)，王芳追上李华的时间是：840÷40=21分钟)。
变式练习：甲、乙两车同时从A地向B地开出，甲每小时行38千米，乙每小时行34千米，开出1小时后，甲车因有紧急任务返回A地；到达A地后又立即向B地开出追乙车，当甲车追上乙车时，两车正好都到达B地，求A、B两地的路程．
分析：根据题意画出线段图：
从图中可以看出，当甲开始追乙的时候两车的路程差正好是乙车已经行驶的2小时的路程，那么根据追及路程和速度差可以求出追及时间，而追及时间正好是甲车从A地到B地所用的时间，由此可以求出A、B两地的路程。追及路程为：34×2=68(千米),追及时间为：68÷（38-34）=17(小时),
B两地的路程为：38×17=646(千米)。
基础练习
1.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一个方向前进，摩托车在前，每小时行28千米，汽车在后，每小时行65千米，经过4小时汽车追上摩托车，甲乙两地相距多少千米？
方法一：根据题意，画出线段示意图：
【解析】从图中可知，甲、乙两地间的距离就是汽车与摩托车所行的路程差．
先求出汽车追上摩托车时，两车分别行驶的路程，再求出两地的路程，
即(千米)
2.甲、乙二人练习跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒钟可追上乙；若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒钟就能追上乙．问：甲、乙二人的速度各是多少？
【解析】若甲让乙先跑10米，则10米就是甲、乙二人的路程差，5秒就是追及时间，
据此可求出他们的速度差为(米/秒)；
若甲让乙先跑2秒，则甲跑4秒可追上乙，在这个过程中，追及时间为4秒，
因此路程差就等于(米)，也即乙在2秒内跑了8米，
所以可求出乙的速度，也可求出甲的速度．
综合列式计算如下：
乙的速度为：(米/秒)，
甲的速度为：(米/秒)
3.甲、乙二人沿着同一条100米的跑道赛跑，甲由起跑线上起跑，乙在甲后8米处起跑，当甲离终点还有12米时，乙追上甲，那么当乙跑到终点时，甲离终点还有多少米？
【解析】甲、乙两人的运动时间相同，所以，
甲的路程甲的速度乙的路程乙的速度，而甲、乙的速度都不变，所以，
乙的路程变为原来的几倍，甲的路程也变为原来的几倍
由图可知，甲跑(米)，乙跑(米)，
所以当乙跑(米)时，甲跑：(米)，
即当乙跑到终点时，甲离终点还有(米)
4.小叶子上学时骑车，回家时步行，路上共用50分钟，如果往返都步行，则全程需要70分钟，求往返都骑车所需的时间是多少？
【解析】一个单程步行比骑车多用70-50=20（分钟），
骑车单程（50-20）÷2=15（分钟），
往返骑车的时间15×2=30（分钟）．
5.八戒和悟空两家相距255千米，两人同时骑车，从家出发相对而行，悟空每小时行45千米，八戒每小时行40千米．两人相遇时，悟空和八戒各行了多少千米？
【解析】要求他们各行了多少千米，那么就必须知道他们行驶的时间： 255÷（45+40）=3（小时）．
悟空：（千米），八戒：（千米）．
6.一辆慢车从甲地开往乙地，每小时行40千米，开出5小时后，一辆快车以每小时90千米的速度也从甲地开往乙地。在甲乙两地的中点处快车追上慢车，甲乙两地相距多少千米？
分析：慢车先行的路程是：(千米)40×5=200（千米），
快车每小时追上慢车的千米数是：(千米)90-40=50（千米），
追及的时间是：200÷50=4（小时），
快车行至中点所行的路程是：90×4=360（千米），
甲乙两地间的路程是：360×2=720（千米）．
答：甲乙两地间的路程是：360×2=720（千米）．
7.甲骑自行车行12分钟后，乙骑摩托车去追他，在距出发点9千米处追上了甲。乙立即返回出发点拿东西，后又立即返回去追甲，再追上甲时恰好离出发点18千米。求甲、乙的速度？
分析：甲行9千米，乙则行了9＋18＝27 (千米)，即 乙的速度是甲的27÷9＝3 (倍)
那么，从乙出发到第一次追上甲时，乙行9千米，甲应只行9÷3＝3 (千米)，可求出甲先行12分钟的路程应是 9－3＝6 (千米)，从而可求出甲速度是 6÷12＝0.5 (千米)，由此可求出乙速度：0.5×3＝1.5 (千米)。
8.两列卡车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车是离甲地多远？
分析：大、小卡车同地同向出发，速度差为：48－36＝12（千米/时）。“2小时后”小卡车才出发，两车之间路程差：36×2＝72（千米）。求卡车行驶路程必须先求追及时间，路程差÷速度差＝追及时间
追及时间为：36×2÷（48－36）＝72÷12＝6（小时），小卡车所行路程为：48×6＝288（千米）。
9.兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？
分析：要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，
那么，二人从家出走到相遇所用时间为180×2÷（90－60）＝12（分钟），家离学校的距离为90×12－180＝900（米）。
能力提升
1. 小明和小亮两人练习跑步，如果小明让小亮先跑10米，那么，小明跑5秒钟就可以追上小亮．以同样的速度，如果小明让小亮先跑2秒钟，那么，小明跑4秒钟就能追上小亮．问小明每秒钟跑多少米？
分析：根据题意，由如果小明让小亮先跑10米，那么，小明跑5秒钟就可以追上小亮，可以求出追及速度（即小明、小亮每秒的速度差）；如果让小亮先跑2秒钟，那么小明跑4秒钟可追上小亮，根据追及速度就可以求出小亮的速度；再求小明的速度。
5秒追10米，速度差为：10÷5=2（米/秒）；小亮跑2秒，小明需要追4秒，也就是追了8米；
说明小亮速度为：8÷2=4（米/秒）；则小明速为4＋2=6（米/秒）。
2. 在400米长的环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑步，甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，两人起跑后的第一次相遇点在起跑线前多少米？
分析：甲每秒跑5米，乙每秒跑3米，则甲每秒比乙多跑5-3米，又甲、乙二人同时同地同向跑步，所以两人起跑后的第一次相遇时，甲正好比乙多跑一周即400米，所以两人相遇所用时间是400÷（5-3）秒，此时乙跑了400÷（5-3）×3米，则此时正好在起跑线前400÷（5-3）×3-400米．
解：400÷（5-3）×3-400
=400÷2×3-400
=600-400
=200（米）
答：此时正好在起跑线前200米．
3．甲、乙、丙三人每分钟的速度分别为30米、40米、50米，甲、乙在A地同时同向出发，丙从B地同时出发去追赶甲、乙，丙追上甲以后又经过10分钟才追上乙。求A、B两地的距离．
分析：根据题意，若求出丙追上甲所用的时间，即可求出A、B两地的距离。
丙追上乙时，甲乙之间的距离为（50-30）×10=200（米），这时，甲乙两人出发的时间为 200÷（40-30）=20（分钟），丙追甲用的时间为20-10=10（分钟），A、B两地相距50×10-30×10=200（米）；
4. 行军队伍全长1 00米，前进速度是每分钟80米。行进中排尾一同学把一封信以每分钟1 60米的速度交给排头，他以每分钟1 20米的速度返回排尾。他从排尾出发到回到排尾共要多少时间？
分析：这是一道追及和相遇的混合题。首先送信的同学要追上排头，路程差是队伍的长度；然后，他又要和排尾作相向运动，相遇总路程也是队伍的长度。
追及时间：l00÷(160 - 80)=1.25（分钟）
相遇时间：l0O÷(120+80) =0.5（分钟）
总时间：1.25+0.5=1.75（分钟）
答：叫到排尾要1. 75分钟。
5. 我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？
分析：敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－16）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知追及时间＝［10×（22－16）＋60］÷（30－10）＝6（小时）。