1.5 二次函数的应用
第1课时 建立二次函数模型解决抛物线型问题
1.学会建立适当坐标系,解决拱桥类问题.
2.准确把握条件,解决抛物线型运动问题.
列出函数解析式,找准点的坐标代入求解.
仔细分析题目条件,选择较为简单的方法解决问题.
旧知回顾：
1.y＝2x2－4x＋1化为顶点式为__y＝2(x－1)2－1__,其顶点为(1,－1),对称轴为直线x＝1,当x＝__1__时,有最小值__－1__.
2.一条抛物线,顶点坐标为(4,－2),且形状与抛物线y＝x2＋2相同,则它的函数表达式是__y＝x2－8x＋14__.
3.抛物线y＝－x2＋bx＋c的部分图象如右图所示,若y>0,则x的取值范围是__－3阅读教材P29～P30,完成下列问题：
解决抛物线型问题的基本方法是什么？
答：解决抛物线型问题的基本方法是：利用数形结合思想和函数思想,建立适当直角坐标系,根据已知数据,求出二次函数表达式,再由二次函数性质分析解决.
【例1】 某涵洞是抛物线型,它的截面如图所示,现测得水面宽度AB＝1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,那么在如图所示的直角坐标系中,涵洞所在抛物线的函数表达式是__y＝－x2__.
【变例1】 如图,小明家门前有一座抛物线形拱桥,当水面在L时,拱顶高出水面2m,水面宽4m,水面下降1m时,水面宽度增长__(2－4)__m.
,(变例1图)) ,(变例2图))
【变例2】 如图,四边形ABCD是矩形,A,B两点在x轴的正半轴上,C,D两点在抛物线y＝－x2＋6x上,设OA的长为m(0【变例3】 有一个抛物线型的桥拱,这个桥拱的最大高度为16m,跨度为40m,现把它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶,则这根铁柱的长为__15__m.
,(变例3图))
【例2】 竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数表达式为h＝at2＋bt.若小球在发射后第2s与第6s时的高度相等,则下列时刻中小球的高度最高的是( C )
A.第3s B.第3.5s
C.第4.2s D.第6.5s
【变例1】 某幢建筑物,从10m高的窗口A用水管向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛物线所在平面与墙面垂直)(如图),如果抛物线的最高点M离墙1m,离地面m,则水流下落点B到墙的距离OB是__3__m.
【变例2】 某菜农搭建一个横截面为抛物线的大棚,有关尺寸如图所示,若菜农身高为1.6m,则他在不弯腰的情况下在大棚内活动的范围是____m.
【变例3】 小明在某次投篮中,球的运动线路是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是( B )
A.3.5m B.4m C.4.5m D.4.6m
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：___________________________________________第2课时 建立二次函数模型解决最大面积或最大利润问题
1.分析题目条件,列出解析式,并根据自变量取值范围求最大面积.
2.理解销售利润类二次函数解析式列法,并求出最大利润.
根据题目条件求出自变量取值范围,并求最大面积或最大利润.
根据条件求最大、最小值.
情景导入：
1.小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形,设一边长__x__cm,则另一边为__(4－x)__cm,面积为__x(4－x)__cm2,所围矩形最大面积为__4__cm2.
2.如图,已知平行四边形ABCD的周长为8cm,∠B＝30°.若设边长AB＝xcm.
(1) ABCD的面积y(cm2)与x(cm)的函数关系式为__y＝－x2＋2x__,自变量x的取值范围为__0(2)当x取__2__时,y的值最大,最大值为__2__.
阅读教材P30～P31,完成下列问题：
1.如何利用二次函数求最大面积？
答：(1)分析题中的数量关系；
(2)找出等量关系,根据面积公式建立函数模型；
(3)结合函数图象及性质,考虑实际问题中自变量取值范围,求出面积的最大或最小值.
2.(包头中考)将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是__12.5__cm2.
【例1】 如图,利用一面墙(墙长不超过45m),用80m长的篱笆围一个矩形场地,当AD＝__20__m时,矩形场地面积最大,最大值是__800__m2.
【变例1】 如图所示,是用9m长的塑钢制作的窗户的窗框,设窗宽为xm,窗的面积为ym2,用x表示y的函数关系式为__y＝－x2＋x__,要使制作的窗户面积最大,那么窗户的宽是____m,窗户的最大面积是____m2.
【变例2】 (聊城中考)已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长；
(2)当BC多长时,△ABC的面积最大？最大面积是多少？
解：(1)y＝－x2＋10x,解方程48＝－x2＋10x,得x1＝12,x2＝8.∴△ABC的面积为48时,BC的长为12或8；
(2)将y＝－x2＋10x配方变形为y＝－(x－10)2＋50,∴当BC＝10时,△ABC的面积最大,最大面积为50.
求最大利润问题常用公式是什么？
答：利润＝销售总金额－总成本＝(售价－进价)×销售量－其他支出.
【例2】 某单位商品利润y元与变化的单价x之间的关系式为：y＝－5x2＋10x,当0.5≤x≤2时,最大利润是__5元__.
【变例1】 某产品每件的成本是120元,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的月销售量y(件)满足当x＝130时,y＝70；当x＝150时,y＝50,且y是x的一次函数,为获得最大销售利润,每件产品的售价应定为__160元__.
【变例2】 大学生王强积极响应“自主创业”的号召,准备投资销售一种进价为每件40元的小家电,通过试营销发现,当销售单价在40元至90元之间(含40元和90元)时,每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数,其图象如图所示.
(1)则y与x的函数关系式为__y＝－4x＋360(40≤x≤90)__；
(2)设王强每月获得的利润为P(元),求P与x之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的利润,那么销售单价应定为多少元？
解：P＝(x－40)(－4x＋360)＝－4x2＋520x－14400(40≤x≤90),当P＝2400时,－4x2＋520x－14400＝2400,解得x1＝60,x2＝70,
∴销售单价应定为60元或70元.
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：_______________________________________________
