2.5.4 三角形的内切圆
1.理解三角形内切圆的定义,会求较特殊的三角形内切圆半径.
2.能用尺规作三角形内切圆.
三角形内切圆的定义及有关计算.
作三角形的内切圆及有关计算.
旧知回顾：
1.切线长定理内容是什么？
答：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
2.在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板,应当怎样剪？
答：为了使圆形纸板面积最大,这个圆应当与三角形三边相切.
阅读教材P72～P73,完成下列问题：
1.什么是三角形的内切圆？什么是三角形内心？
答：与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆,内切圆的圆心叫作三角形的内心,这个三角形叫作圆的外切三角形.
2.如何作三角形的内切圆？
答：以三角形任意两内角角平分线交点为圆心,以这点到各边距离为半径作圆即得三角形内切圆.
【例1】 如图,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F,连接OE,OF,DE,DF,若∠A＝70°,∠EDF等于( B )
A.45° B.55°
C.65° D.70°
【变例1】 关于三角形的内心：①到三边的距离相等；②到三顶点的距离相等；③是三边垂直平分线的交点；④是三内角平分线的交点.其中正确的说法有( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变例2】 若三角形的内心和外心重合,那么这个三角形是( D )
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
【例2】 等边三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为__1__.
【变例1】 如图,在△ABC中,∠ABC＝50°,∠ACB＝80°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数是( B )
A.105° B.115° C.120° D.130°
(变例1图) (变例2图)
【变例2】 (泸州中考)如图,已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆,则⊙O的面积为____.
【例3】 △ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB＝18cm,BC＝28cm,CA＝26cm,则AF＝__8__cm,BD＝__10__cm,CE＝__18__cm.
【变例1】 (日照中考)如图,已知AC⊥BC于点C,BC＝a,CA＝b,AB＝c,下列选项中⊙O的半径为的是( C )
,A) ,B) ,C) ,D)
【变例2】 在Rt△ABC中,AC＝6,BC＝8,∠C＝90°,内切圆心为I,外接圆心为O,则OI＝____.
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：_______________________________________2.5 直线与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆相交、相切、相离的概念.
2.会根据圆心到直线的距离与半径的大小关系,判断直线与圆的位置关系.
判断直线与圆的位置关系.
理解圆心到直线的距离.
旧知回顾：
1.点和圆的位置关系有哪几种？如何判断？
答：有三种：点在圆内；点在圆上；点在圆外.
设圆O的半径为r,点P到圆心O的距离为d.若点P在⊙O内 d
r.
2.取笔芯作直线,钥匙环作圆,在平面内移动直线与圆相交,以交点个数判断直线与圆位置关系,你认为有几种位置关系？
答：有三种,有两个交点,相交；唯一交点,相切；无交点,相离.
阅读教材P64～P65,完成下列问题：
直线与圆有几种位置关系？如何判定？
答：直线与圆的位置关系有三种情况.设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则：当dr时,直线与圆没有公共点,这时称直线与圆相离.
【例1】 如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,∠B＝30°,BC＝4cm,以点C为圆心,以2cm为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是( B )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
【变例1】 (益阳中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3,0),将⊙P沿x轴正方向平移,使⊙P与y轴相切,则平移的距离为( B )
A.1
B.1或5
C.3
D.5
【变例2】 圆的直径为12cm,圆心到一条直线的距离是5cm,则直线与圆的公共点个数是( C )
A.0个 B.1个
C.2个 D.1个或2个
【例2】 已知⊙O半径为4,直线l与⊙O不相交,则圆心到直线l 的距离d一定满足( C )
A.d>4 B.d＝4
C.d≥4 D.d≤4
【变例1】 如图,在矩形ABCD中,AB＝6,BC＝4,⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是__相离__.
【变例2】 ⊙O的半径长为4,一条弦AB长为4,以点O为圆心,2为半径的圆与AB的位置关系是( B )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法确定
【变例3】 如图,以点O为圆心的两个同心圆,半径分别为5和3,若大圆的弦AB与小圆相交,则弦长AB的取值范围是( C )
A.8≤AB≤10
B.AB≥8
C.8＜AB≤10
D.81.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：____________________________________________2.5.2 圆的切线
第1课时 切线的判定
1.理解并掌握圆的切线判定定理,能初步运用它解决有关问题.
2.通过对圆的切线判定定理和判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力.
圆的切线的判定定理.
圆的切线的判定定理的应用.
旧知回顾：
1.直线与圆有哪几种位置关系？如何判定？
解：有三种,设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,
(1)直线l与⊙O相交 d(2)直线l与⊙O相切 d＝r,直线与圆有唯一公共点；
(3)直线l与⊙O相离 d>r,直线与圆没有公共点.
2.什么是圆的切线？
答：直线与圆只有一个公共点,这时称直线与圆相切.这条直线叫作圆的切线,这个公共点叫切点.
阅读教材P66～P67,完成下列问题：
切线的判定是什么？
答：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,这也是过圆上一点作圆的切线的方法.
【例1】 下列四个命题：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中真命题有( C )
A.①与② B.②与③
C.③与④ D.①与④
【变例1】 如图,点A,B,D在⊙O上,OD的延长线交直线BC于点C,且∠A＝25°,∠OCB＝40°,则∠DOB＝__50°__,所以∠OBC＝__90°__,所以直线BC与⊙O的位置关系为__相切__.
【变例2】 ⊙O的圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为R,若d,R是方程x2－4x＋m＝0的根,则直线l与⊙O相切时,m的值为__4__.
【变例3】 (遵义中考)如图,△OAC中,以O为圆心,OA为半径作⊙O,作OB⊥OC交⊙O于点B,连接AB交OC于点D,∠CAD＝∠CDA.
(1)判断AC与⊙O的位置关系,并证明你的结论；
(2)若OA＝5,OD＝1,求线段AC的长.
解：(1)AC在⊙O相切.证明：∵点A,B在⊙O上,∴OB＝OA,∴∠OBA＝∠OAB,∵∠CAD＝∠CDA＝∠BDO,∴∠CAD＋∠OAB＝∠BDO＋∠OBA.∵BO⊥OC,∴∠CAD＋∠OAB＝90°,∴∠OAC＝90°,∴AC与⊙O相切；
(2)设AC＝x,∵∠CAD＝∠CDA,∴CD＝AC＝x.∵∠OAC＝90°,∴在Rt△OAC中,OA2＋AC2＝OC2,即52＋x2＝(1＋x)2,解得x＝12,即线段AC的长为12.
【例2】 在平面直角坐标系中,过点A(4,0),B(0,3)的直线与以坐标原点O为圆心,3为半径的⊙O的位置关系是( A )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不能确定
【变例1】 如图,在△ABC中,AB＝AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作DE⊥AC于点E,求证：DE是⊙O的切线.
证明：连接OD,
∵AB＝AC,OB＝OD,
∴∠B＝∠C,∠B＝∠BDO,
∴∠BDO＝∠C,
∴OD∥AC, ∴∠ODE＝∠DEC.
∵DE⊥AC,∠DEC＝90°,
∴∠ODE＝90°,
∴DE是⊙O的切线.
【变例2】 如图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A,BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED＝EA.
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)当OA＝3,AE＝4时,求BC的长度.
(1)证明：连接OD,∵OD＝OA,DE＝AE,OE＝OE,
∴△ODE≌△OAE.∴∠ODE＝∠OAE.
又AC⊥AB,∴∠ODE＝∠OAE＝90°.∴ED是⊙O的切线；
(2)解：∵AB为直径,∴∠ADC＝∠ADB＝90°.∴∠DAE＋∠C＝90°.又AE＝DE,∴∠DAE＝∠ADE.
又∠ADE＋∠EDC＝90°,∴∠C＝∠EDC.
∴ED＝EC＝AE.即E为AC中点.
∴OE为△ABC的中位线,∴BC＝2OE.
又OA＝3,AE＝4,∴OE＝5.
∴BC＝2OE＝10.
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：________________________________________________*2.5.3 切线长定理
1.了解什么是切线长,掌握切线长定理及其运用.
2.通过对圆的切线长及切线长定理的学习,培养学生分析、归纳及解决问题的能力.
切线长定理的推导及应用.
利用轴对称图形性质理解切线长定理.
旧知回顾：
1.圆的切线性质是什么？
答：圆的切线垂直于经过切点的半径.
2.如何过⊙O上一点A作圆的切线？
答：连接OA,过点A作OA的垂线是⊙O的切线,过圆上一点作⊙O的切线有且只有一条.
3.如何过⊙O外一点P作⊙O的切线呢？
答：连接OP,以OP为直径作圆交⊙O于点A,B两点,连接PA, PB即得⊙O两条切线,过圆外一点作圆的切线有两条.
阅读教材P70～P71,完成下列问题：
什么是切线长？切线长定理内容是什么？
答：(1)经过圆外一点作圆的切线,这点和__切点__之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
(2)从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长__相等__,这一点和圆心的连线__平分__两条切线的夹角.
【例1】 如图,P是⊙O外一点,PA,PB分别和⊙O相切于点A,B,C是上任意一点,过点C作⊙O的切线,分别交PA,PB于点D,E,若△PDE的周长为12,则PA的长为__6__；若∠P＝40°,则∠DOE＝__70°__.
【变例1】 如图,PA,PB分别是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,已知∠BAC＝35°,∠P的度数为( D )
A.35° B.45° C.60° D.70°
,(变例1图)) ,(变例2图))
【变例2】 如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和⊙O相切,且AB＝8cm,CD＝5cm,则AD＋BC＝__13__cm.
【变例3】 直线PA,PB是⊙O的切线,A,B分别为切点,且∠APB＝120°,⊙O的半径为4cm,则切线长PA为____cm.
【例2】 已知P为⊙O外一点,PA,PB为⊙O的切线,A,B为切点,∠P＝70°,C为⊙O上一个动点,且不与A,B重合,则∠BCA的度数为( C )
A.35°或145° B.110°或70°
C.55°或125° D.110°
【变例1】 如图,EB,EC是⊙O的两条切线,B,C是切点,A,D是⊙O上两点,如果∠E＝46°,∠DCF＝32°,则∠A的度数是__99°__.
,(变例1图)) ,(变例2图))
【变例2】 如图,⊙O与△ABC中,AB,AC的延长线及BC边与⊙O相切,且∠ACB＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边长依次为3,4,5,则⊙O的半径是__2__.
【变例3】 如图,四边形ABCD是正方形,以BC边为直径在正方形内作半圆O,再过顶点A作半圆O的切线(切点为F)交CD边于E,则sin∠DAE＝____.
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：______________________________________________第2课时 切线的性质
1.理解并掌握圆的切线的性质定理,能初步运用它解决有关问题.
2.通过对圆的切线性质定理及其应用的学习,培养学生分析、归纳问题的能力.
圆的切线的性质定理及应用.
圆的切线的性质定理,判定定理的综合应用.
旧知回顾：
切线的判定方法有哪些？
答：和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.
阅读教材P68～P69,完成下列问题：
1.圆的切线性质是什么？如何证明？
答：圆的切线垂直于经过切点的半径.
2.用反证法证明：如图,直线l是⊙O的切线,A为切点.求证：切线l⊥OA.
证明：假设直线l与半径OA不垂直,过圆心O作OB⊥l于点B.由于垂线段最短,可得OB【例1】 (重庆中考)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AE是⊙O的切线,A为切点,连接BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°,则∠ADB的度数为( B )
A.40° B.50° C.60° D.20°
【变例1】 如图,△ABC中,AB＝1,∠A＝30°,点O在AB的延长线上,⊙O切AC于点C,则⊙O的半径为__1__.
(变例1图) (变例2图)
【变例2】 (内江中考)如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB是直径,∠BCD＝120°,过D点的切线PD与直线AB交于点P,则∠ADP的度数为( C )
A.40° B.35° C.30° D.45°
【例2】 (济宁中考)如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交AB,AC于点E,D,DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G.若AF的长为2,则FG的长为( B )
A.4 B.3
C.6 D.2
【变例1】 (河南中考)如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是( C )
A.AG＝BG B.AB∥EF
C.AD∥BC D.∠ABC＝∠ADC
【变例2】 如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,C为切点,若两圆的半径分别为3cm和5cm,则AB的长为__8cm__.
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：_____________________________________________