第3课时 y＝a(x－h)2(a≠0)的图象与性质
1.能够画出y＝a(x－h)2的图象,并能够理解它与y＝ax2的图象的关系,理解a,h对二次函数图象的影响.
2.能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
掌握y＝a(x－h)2的图象及性质.
理解y＝a(x－h)2与y＝ax2图象之间的位置关系,理解a,h对二次函数图象的影响.
旧知回顾：
1.二次函数y＝ax2的图象是怎样的？
答：二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称,抛物线与它的对称轴的交点(0,0)叫作抛物线的顶点.
2.填写下表：
性质 \ 函数 开口方向 顶点 对称轴 最大、最小值 当x>0时
y＝ax2(a>0) 向上 (0,0) y轴 小 y随x增大而增大
y＝ax2(a<0) 向下 (0,0) y轴 大 y随x增大而减小
阅读教材P11～P12,完成下列问题：
二次函数y＝a(x－h)2图象是怎样的？它与y＝ax2有何关系？
答：(1)二次函数y＝a(x－h)2的图象是抛物线,它与抛物线y＝ax2的形状相同,只是位置不同；它的对称轴为直线x＝h,顶点坐标为(h,0)；
(2)二次函数y＝a(x－h)2的图象可由抛物线y＝ax2平移得到.当h>0时,抛物线y＝ax2向右平移h个单位得y＝a(x－h)2；当h<0时,抛物线y＝ax2向左平移|h|个单位得y＝a(x－h)2.
【例1】 抛物线y＝(x－1)2的开口向__上__,对称轴是__直线x＝1__,顶点坐标是(1,0),它向__左__平移__1__个单位可得到抛物线y＝x2.
【变例1】 对函数y＝－(x＋1)2,当x__>－1__时,函数值y随x的增大而减小.当x__＝－1__,函数取得最__大__值,最__大__值为__0__.
【变例2】 对于抛物线y＝(x＋4)2,下列结论：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x＝4；③顶点坐标为(－4,0)；④x>－4时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变例3】 抛物线y＝－3(x－1)2的开口向__下__,对称轴是直线__x＝1__,顶点坐标是__(1,0)__.
【例2】 某一抛物线和y＝－3x2的图象形状相同,对称轴平行于y轴,并且顶点坐标是(－1,0),则此抛物线的解析式是__y＝－3(x＋1)2__.
【变例1】 已知A(－4,y1),B(－3,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y＝－2(x＋2)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为__y3【变例2】 若函数y＝a(x＋m)2的图象是由函数y＝5x2的图象向左平移个单位得到的,则a＝__5__,m＝____.
【变例3】 一座大桥的桥拱为抛物线形,跨度AB＝50m,拱高(即顶点C到AB的距离)为20m,建立如图所示的直角坐标系,顶点C在x轴上,点A在y轴上,且AB∥x轴,求桥拱所在抛物线的表达式.
解：由题意得,顶点C(25,0),
∴可设抛物线为y＝a(x－25)2,又∵A(0,－20)在抛物线上,
∴625a＝－20,∴a＝－.
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x－25)2(0≤x≤50).
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：____________________________第5课时 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与性质
1.会用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.
2.能通过配方求出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.
用配方法求y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标；会用描点法画y＝ax2＋bx＋c的图象并能说出图象的性质.
能利用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式解决一些问题,能通过对称性画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象.
旧知回顾：
1.填表：
解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最大或最小值
y＝－5x2 向下 y轴 (0,0) 有最大值0
y＝x2＋5 向上 y轴 (0,5) 有最小值5
y＝－3(x＋4)2 向下 直线x＝－4 (－4,0) 有最大值0
y＝4(x＋2)2－7 向上 直线x＝－2 (－2,－7) 最小值－7
2.把抛物线y＝x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线的表达式为__y＝(x－2)2＋1__.
阅读教材P15～P17,完成下列问题：
二次函数y＝ax2＋bx＋c配成顶点式是什么？顶点坐标是什么？对称轴是什么？
答：y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋；顶点坐标；对称轴是直线x＝－.
【例1】 二次函数y＝2x2＋4x－1化成y＝a(x－h)2＋k的形式为__y＝2(x＋1)2－3__,由此可知二次函数y＝2x2＋4x－1的对称轴为直线__x＝－1__,顶点坐标为__(－1,－3)__.
【变例】 将y＝2x2－12x－12变为y＝a(x－m)2＋n的形式,则mn＝__－90__.
知识探究二 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
【例2】 已知抛物线y＝－x2＋2x－3,下列结论中不正确的是( B )
A.抛物线的最大值是－2
B.x<1时,y随x的增大而减小
C.图象的对称轴是直线x＝1
D.图象与y轴的交点在x轴的下方
【变例1】 在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是( A )
A.x<1 B.x>1
C.x<－1 D.x>－1
【变例2】 把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位再向下平移2个单位,所得图象的表达式为y＝x2＋3x＋5,则( C )
A.b＝3,c＝7 B.b＝6,c＝3
C.b＝9,c＝25 D.b＝－9,c＝21
【变例3】 把抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象先向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的表达式是y＝x2－3x－5,则a＋b＋c＝__1__.
知识探究三 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数关系
【例3】 (贵港中考)如图所示,抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝,小亮通过观察得出了下面四条信息：①c<0；②abc<0；③a－b＋c>0；④2a－3b＝0.你认为其中正确的有( B )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【变例1】 (龙岩中考)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示,则下列选项正确的是( C )
A.a>0 B.c>0
C.ac>0 D.bc<0
【变例2】 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(－1,0),(3,0).对于下列命题：①b－2a＝0；②abc<0；③a－2b＋4c<0；④8a＋c>0.其中正确的有__③④__.(填序号)
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：_____________________________________1.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y＝ax2(a＞0)的图象与性质
1.会用描点法画函数y＝ax2(a>0)的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质.
2.体会数形结合的转化,能用y＝ax2(a>0)的图象和性质解决简单的实际问题.
理解并掌握图象的性质,会画y＝ax2(a>0)的图象.
二次函数图象及性质的探究过程和方法的体会教学过程.
旧知回顾：
1.什么是二次函数？
答：二次函数的定义：如果函数的表达式是自变量的二次多项式,那么,这样的函数称为二次函数,它的一般形式是y＝ax2＋bx＋c(a,b,c是常数,a≠0).
2.描点法画函数图象一般步骤是什么？
答：列表,描点,连线.
阅读教材P5～P7,完成下列问题：
二次函数y＝ax2(a>0)的图象是怎样的？
答：二次函数y＝ax2(a>0)的图象是一条抛物线,它的开口向上,对称轴是y轴,对称轴与图象的交点是原点.
【例1】 函数y＝ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是( C )
A.对称轴 B.顶点坐标
C.开口方向 D.开口大小
【变例1】 如图,函数y＝2x2的图象大致为( C )
【变例2】 若二次函数y＝ax2的图象过点P(－2,4),则该图象必经过点( A )
A.(2,4) B.(－2,－4)
C.(－4,2) D.(4,－2)
【变例3】 (柳州中考)抛物线①y＝3x2；②y＝x2；③y＝x2的开口大小的次序应为( C )
A.①>②>③ B.①>③>②
C.②>③>① D.②>①>③
二次函数y＝ax2(a＞0)的图象的性质有哪些？
答：二次函数y＝ax2(a>0)的图象的性质：二次函数y＝ax2(a>0)的图象在对称轴右边的部分,函数值随自变量取值的增大而增大,简称为“右升”；图象在对称轴左边的部分,函数值随自变量取值的增大而减小,简称为“左降”；当x＝0时,函数值有最小值,值为0.
【例2】 已知原点是二次函数y＝(m－3)x2的图象上的最低点,则m的取值范围是( A )
A.m>3 B.m>－3
C.m<3 D.m<0
【变例1】 已知点A(－3,y1),B(－1,y2),C(2,y3)在二次函数y＝2x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( D )
A.y1C.y1【变例2】 下列函数中,当x>0时,y值随x值的增大而减小的是( C )
A.y＝x B.y＝2x－1
C.y＝ D.y＝x2
【变例3】 二次函数y＝ax2与直线y＝2x－3交于点P(b,1).
(1)求a,b的值；
(2)写出二次函数的表达式,并指出x取何值时,该函数y随x的增大而增大.
解：(1)a＝,b＝2；
(2)y＝x2,x>0.
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：_________________________________第4课时 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象与性质
1.会用描点法画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象,掌握y＝a(x－h)2＋k的图象和性质.
2.掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的图象的位置关系.
3.理解y＝a(x－h)2＋k,y＝a(x－h)2,y＝ax2＋k及y＝ax2的图象之间的平移转化.
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质.
分辨几种函数平移关系,识记它们的对称轴和顶点坐标的变化.
旧知回顾：
1.二次函数y＝a(x－h)2的图象是怎样的？
答：二次函数y＝a(x－h)2的图象是抛物线,它的对称轴是直线x＝h,它的顶点坐标是(h,0),当a>0时,图象开口向上；当a<0时,图象开口向下.
2.二次函数y＝－2(x＋4)2开口向__下__,顶点(－4,0),当x＝－4时,y有最大值0,当__x>－4__时,y随x的增大而__减小__；当__x<－4__时,y随x的增大而__增大__,它由y＝－2x2向__左__平移__4__个单位得到.
阅读教材P13～P14,完成下列问题：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与y＝ax2的图象有何关系？
答：二次函数y＝a(x－h)2＋k(a,h,k是常数,a≠0)的图象与二次函数y＝ax2(a≠0)的图象形状相同,位置不同.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可由二次函数y＝ax2的图象先向左或向右平移|h|个单位,再向上或向下平移|k|个单位得到.
【例1】 由y＝2(x－3)2向__下__平移__5__个单位可以得到y＝2(x－3)2－5,把y＝2(x－3)2－5向__左__平移__3__个单位,再向__上__平移__5__个单位,可以得到y＝2x2.
【变例1】 抛物线y＝－3(x＋2)2－3可由抛物线y＝－3x2平移得到,则下列平移过程正确的是( B )
A.先向左平移3个单位,再向上平移2个单位
B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位
C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位
D.先向右平移3个单位,再向上平移2个单位
【变例2】 抛物线y＝－(x－1)2＋3的开口向__下__,顶点__(1,3)__,对称轴是__直线x＝1__,它可由抛物线y＝－x2向__右__平移__1__个单位,再向__上__平移__3__个单位得到.
【例2】 已知二次函数y＝a(x＋1)2－b(a≠0)有最小值1,则a,b的大小关系为( A )
A.a>b B.aC.a＝b D.不能确定
【变例1】 抛物线y＝(x＋3)2－2的顶点坐标是__(－3,－2)__.二次函数y＝－3(x－)2＋5的对称轴是__直线x＝__.
【变例2】 如果抛物线y＝(x＋3)2＋经过点A(1,y1)和点B(3,y2),那么y1与y2的大小关系是y1__<__y2(选填“>”“<”或“＝”).
【变例3】 (包头中考)函数y＝与y＝－kx2＋k(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是( B )
【变例4】 如图,把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移个单位长度后,其顶点在直线上的A处,则平移后抛物线的解析式是( C )
A.y＝(x＋1)2－1
B.y＝(x＋1)2＋1
C.y＝(x－1)2＋1
D.y＝(x－1)2－1
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：___________________________________第2课时 y＝ax2(a<0)的图象与性质
1.会用描点法画函数y＝ax2(a<0)的图象,并根据图象认识、理解和掌握其性质.
2.经历探索二次函数y＝ax2(a<0)图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数的经验.
类比y＝ax2(a>0)的图象性质,理解、掌握y＝ax2(a<0)的图象性质.
二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.
旧知回顾：
二次函数y＝ax2(a>0)的图象性质是怎样的？
答：(1)函数图象开口向上,并且有最低点(0,0)；
(2)对称轴为y轴；
(3)在对称轴的左侧,y随x的增大而减小；在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,简记为“左降右升”；
(4)当x＝0时,函数有最小值,其最小值为0.
阅读教材P8～P9,完成下列问题：
二次函数y＝ax2(a<0)的图象是怎样的？
答：二次函数y＝ax2(a<0)的图象是一条曲线,像这样的曲线叫作抛物线,它的开口向下,对称轴是y轴,对称轴与图象的交点坐标是(0,0),又叫作抛物线的顶点.
【例1】 若把函数y＝4x2沿x轴翻折,则所得函数对应的解析式是( D )
A.y＝－x2 B.y＝x2
C.y＝4x2 D.y＝－4x2
【变例1】 下列各点：(－1,2),(－1,－2),(－2,－4),(－2,4),其中在二次函数y＝－2x2的图象上的是__(－1,－2)__.
【变例2】 已知抛物线y＝(a－4)x2的图象有最高点,则a的取值范围是__a<4__.
1.二次函数y＝ax2(a<0)的图象性质是怎样的？
答：二次函数y＝ax2(a<0)的图象的性质：二次函数y＝ax2(a<0)的图象在对称轴左边的部分,函数值随自变量取值的增大而增大,简称为“左升”；图象在对称轴右边的部分,函数值随自变量取值的增大而减小,简称为“右降”；当x＝0时,函数有最大值,值为0.
2.二次函数y＝ax2与y＝－ax2(a>0)有何关系？
答：(1)抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于x轴对称；(2)抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于原点中心对称；(3)|a|越大,抛物线的开口反而越小.
【例2】 已知点(－1,y1),(2,y2),(－3,y3)都在y＝－3x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为__y1>y2>y3__.
【变例1】 已知a≠0,在同一直角坐标系中,函数y＝ax与y＝ax2的图象可能是( C )
【变例2】 已知y＝nxn2－2是二次函数,且有最大值,则n的值为( B )
A.2 B.－2 C.±2 D.n≠0
【变例3】 下列四个函数：①y＝x2；②y＝－2x2；③y＝x2；④y＝3x2.其中抛物线开口从大到小的排列顺序是__③①②④__.
【变例4】 抛物线y＝－7x2开口__向下__,当x＝__0__时,y有最__大__值,是__0__.当x__>0__时,y随x的增大而减小.
1.将阅读教材时“生成的问题”和通过“合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上,并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论”展示在黑板上,通过交流“生成新知”.
学生试述：这节课你学到了什么？
见《智慧学堂》学生用书.
1.收获：________________________________________________________________________
2.存在困惑：__________________________________________________________________
