9．1分式及其基本性质（1）
学习目标
1．知道分式的概念，能用分式表示现实情境中的数量关系，明确分式与整式的区别；
2．通过对分式的概念的学习及用分式表示现实情境中的数量关系，进一步发展符号感，认识事物之间的相对独立与必然联系；
3．经历与分数类比学习的过程，养成缜密的思维习惯，形成类比思想，体验数学的价值；
4．通过类比思考，揭示分式有意义的条件，在实际操练中掌握分式有意义的条件，体验解题成功带来的快乐；
5．重点：分式、有理式的概念，分式有意义的条件．
预习导学——不看不讲
知识点一、分式的概念
学一学：阅读教材P89例1上方部分，解决下面问题：
1．在问题1中，第一块hm水稻田共收水稻kg，第二块hm水稻田共收水稻kg，两块水稻田共收水稻kg，故平均每公顷收水稻kg．
2．在问题2中，售价、成本、利润、利润率之间的关系为：售价=成本+利润，售价=成本×（1+利润率），该商品的每件成本为元．
3．仔细观察代数式等，它们有什么共同的特征？它们是我们以前学过的整式吗？
它们看着像分数，但又不是分数，它们的分母中含有未知数，它们既不是单项式也不是多项式，所以它们不是整式．
4．一般地，如果用表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，其中叫做分式的分子，叫做分式的分母．
5．整式和分式统称为有理式，即．
想一想：分式概念中的取值可以是0吗？
不可以，因为0不能作分母，如问题1中式子，若，问题1便没有实际意义了
选一选：有理式中，分式有（ C ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点二、分式有意义有条件
学一学：阅读教材P89“例1”解决下面问题：
1．在例1（1）中由于零作分母无意义，要使分式有意义，只要满足即可．
2．分式有意义的条件是分母不为零．
3．通过例1（2），你发现当分式满足什么条件时，分式的值为零？
当分式的分子为零而分母不为零时，分式的值为零．
议一议：你能用符号表示分式什么情况下有意义，什么情况下无意义，什么情况下值为零吗？
分式中，当时，分式无意义；当时，分式有意义；当时，分式值为零．
填一填：当时，分式的值为零；当时，分式没有意义．
合作探究———不议不讲
互动探究一：当时，在下列各分式中，有意义的有（ B ）．
①； ②； ③； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
互动探究二：若分式的值为0，则．
【方法归纳交流】形如这样的式子，当时，．
互动探究三：见教材P88练习“第1题” ．
解 整式有：；分式有：．
互动探究四：甲、乙两人同时同地同向而行，甲每小时走km，乙每小时走km，如果从起点到终点的距离为km，甲的速度比乙快，则甲比乙提前几小时到达终点（用分式表示）？
解 所以甲比乙提前小时到达终点．
互动探究五：公交车恰好路过王惠同学家门口，早上，王惠同学通常乘公交车来上学，有一天，王惠乘车出发20分钟后，王惠的妈妈发现女儿忘带数学课本了，便乘出租车给她送来．若王惠乘的公交车速度为每分钟千米，她妈妈乘的出租车速度为每分钟千米，问：在同一条公路上妈妈追上女儿需要多少时间？若，所得到的分式有意义吗？它所表示的实际意义是什么？
解 妈妈追上女儿需要分钟，若，所得的分式无意义，它表示的实际意义是妈妈追不上女儿，因为速度相同，会始终保持原有的距离．
互动探究六：当取何值时，分式值为零？
解 当时，，此时，所以当时，分式值为零．
变式演练1：当取何值时，分式值为零？
解 当时，，当当，所以，即当时，分式的值为零．
变式演练2：若使分式的值为0，且满足，求的值．
解 因为分式的值为0，所以，当时，，
所以．所以的值为—30或20．
学习笔记
【知识链接】
“0”的使用
大约1500年前，欧洲的数学家们是不知道用“0”的，他们使用罗马数字．在当时，罗马帝国有一位学者从印度记数法里发现了“0”这个符号．他发现，有了“0”，进行数学运算方便极了，他非常高兴，还把印度人使用“0”的方法向大家做了介绍．过了一段时间，这件事被当时的罗马教皇知道了，教皇非常脑怒，他斥责说，神圣的数是上帝创造的，在上帝创造的数里没有“0”这个怪物，如今谁要把它引进来，谁就是亵渎上帝！于是，教皇就下令，把这位学者抓了起来，并对他施加了酷刑，用夹子把他的十个手指头紧紧夹住，使他两手残废，让他再也不能握笔写字．就这样，“0”被那个愚昧、残忍的罗马教皇明令禁止了．
虽然“0”被禁止使用，然而罗马的数学家们还是不管禁令，在数学的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出了很多数学上的贡献．后来“0”终于在欧洲被广泛使用，而罗马数字却逐渐被淘汰了
【学法指导】
1．分式的意义可以与分数的意义类比来学习．
2．判断一个式子是不是分式，与分子没有关系，只要看分母中有没有未知数即可．
【教学建议】
1．分式概念的教学，应强调以下三点：（1）分式是两个整式相除的商，基中分母是除式，分子是被除式，分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母；（3）明确分母不为零是分式概念的组成部分，分母不为0分式才有意义．
2．有理式的概念也可与有理数类比，重点让学生弄清分式的概念，明确分式与整式的区别．
【备选问题】
1．形如这样的式子，是不是分式？
是分式，由分式的概念可知，是不是分式与分子无关，只需看分母中是否含有未知数．
2．构造一个分式，使它同时符合下列条件：
（1）含有字母；（2）无论取何值，分式都有意义；（3）它的值是负数．
解 答案不唯一：如或等．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列各式属于分式的是（ A ）．
A． B．
C． D．
2．使分式有意义的值是（ B ）．
A． B．
C． D．
3．若分式的值为整数，则整数的值为（ B ）．
A．—1 B．0
C．1 D．任意实数
4．某牧场储存饲料吨，计划每天消耗吨，现增加牛的数量，每天多消耗饲料吨，则现在每天消耗饲料吨，储存的饲料现在可用吨，前面两个式子中是分式的是．
5．当时，分式无意义，当时，分式有意义；当时，分式值为零．
6．（1）当取何值时有意义；
（2）当取何值时，分式值为零．
解（1）由于，所以取任何值时，分式均有意义；
（2）当时，分式值为零．
能力题——挑战自我
7．使分式的值为正数的条件是（ A ）．
A． B．
C． D．
8．在分式中，如果，则下列结论中正确的是（ C ）．
A．分式无意义 B．分式值为零
C．若，分式值为零
D．若，分式值为零
9．写出一个含有字母的分式（要求不论取任何实数，该分式都有意义，且分式的值为负）．
10．见教材P90~91习题9．1“第1题” ．
解 （1）m；（2）m；
（3）箱； （4）．
11．当为何值时分式的值为零？
解 当时，，当时，，所以当时，分式
值为零．
拓展题——勇攀高峰
12．若对于分式，不论取何实数，分式总有意义，试判断的取值范围．
解 因为，所以只要可变形为，就可以说明一定在于0．所以当时，不论为何值，分式总有意义．
9．1分式及其基本性质（2）
学习目标
1．知道分式的基本性质，会用分式的基本性质将分式进行简单的恒等变形；
2．通过分数与分式的比较，培养良好的类比联想思维习惯；
3．通过对分式基本性质的探究，使观察能力、审美能力以及语言表达能力得到一定的锻炼；
4．重点：分式的基本性质．
预习导学——不看不讲
知识点一、分式的基本性质
学一学：阅读教材P91：例2上面部分，解决下面问题：
1．；．
2．上述变形的依据是什么？其内容是什么？
分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以或同除以同一个不为零的数，分数的值不变．
3．下面的变形成立吗？你能用图形的面积做出说明吗？
将面积为2的，长为的矩形沿长的中间部分均分为两部分，得面积为1的矩形，如图，它们的宽与原矩形的宽相等，即．
4．若将3中的2替换成“3，4，5，…，”还成立吗？
成立，只需在原来的基础上拼接或等分即可．
5．你发现了什么规律，你能字母表示你发现的规律吗？
分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，用字母表示为：（其中都是整式，）．
填一填：；．
知识点二、分式的基本性质有应用
学一学：阅读教材P91“例2”，解决下面问题：
1．；．
2．通过例2可以发现分式的分子、分母、分式本身的符号，只要任意改变其中的两个，分式的值不变．
3．问题：见教材P94习题“第4题” ．
（1）对于第一个分式要想把系数全变为整数，根据分式的基本性质，分子、分母同乘以10，即．
（2）对于第二个分式，由于系数都是分数，且2、3、4的最小公倍数为 12 ，所以根据分式的基本性质，分子、分母同乘以12，即．
填一填：不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号
（1）；（2）
合作探究———不议不讲
互动探究一：如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（ B ）．
A扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小6倍
互动探究二：根据分式的基本性质，在括号里填上适当的代数式，使下列等式成立．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
互动探究三：见教材P89练习“第2题” ．
解 （1）分子、分母同乘以；
（2）分子、分母同除以．
互动探究四：不改变分式的值，把下列分式的分子、分母中各项系数化为整数．
（1）； （2）．
解（1）原式=； （2）原式=．
互动探究五：不改变分式的值，使下列分式中的分子、分母均不含“-”号．
（1）； （2）； （3）．
解 （1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
【方法归纳交流】；．
互动探究六：不改变分式的值，使下列分式的分子、分母中的最高次项的系数为正数．
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
变式演练1：不改变分式的值，把下面分式的分子、分母按字母的降幂排列，并使最高次项的系数是正数．
解 原式=．
变式演练2：对于变式1，按满足上面要求外，再要求把分子、分母的系数化为整数呢？
解原式=．
学习笔记
【知识链接】
“掉进分式里”
在数的历史上，分数几乎和自然然同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关分数的记载．7世纪时，有个数学家算了一个8个分数相关的习题，竟被认为干了一件了不起的大事．直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的数学老师去讲授分数知识，以致到现在，德国人形容某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语说他“掉进分数里去了” ．这些知识我国在2000年前就都已经知道了，在汉代初期里一本数学著作《算经书》就对分数作入深入的研究，并将数扩展到式上，就有了我们今天学习的分式．现在让我们一齐迈入分式的神圣殿堂，去探寻分式的奥秘，但你千万不要“掉进分式里去了” ．
【学法指导】
1．分式基本性质的记忆可以与分数的基本性质类比记忆．
2．分式的分子、分母、分式本身三者符号任意改变两个分式值不变．
【教学建议】
1．对于分式基本性质，教学时要注意：（1）分式基本性质表述中，要抓住“都”和“同”两字；（2）字母表达式中要明确、、都表示整式，且，当然还存在隐含条件．
2．分式的基本性质在本节课主要是围绕利用它达到分式“整化”、“正化”的目的，下一节课主要要达到利用分式基本性质达到“简化”的目的．
【备选问题】
1．你能说出多少个与的值相等的分式．
答案不唯一：如，，，等．
2．已知分式，当取何值时，分式的值是正值．
解 由题意，得或，解得．所以当时，分式的值是正值．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列等式从左到右的变形正确的是（ C ）．
A． B．
C． D．
2．若将分式（均不为0）中的字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值为（ B ）．
A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的
C．不变 D缩小为原来的
3．与分式相等的是（ B ）．
A． B．
C． D．
4．当满足关系时，．
5．在下列横线上填“=”，“”
（1）；
（2）．
6．根据分式的基本性质，在括号内填上适当的代数式，使下列等式成立．
（1）；
（2）；
（3）．
能力题——挑战自我
7．下列各式中，符合分式的基本性质的等式是（ C ）．
A． B．
C．D．
8．下列各式与相等的是（ C ）．
A． B．
C． D．
9．不改变分式的值，将分式的分子、分母的最高次项的系数化为整数，则所得的结果为．
10．不改变分式的值，将下列各分式的分子与分母的系数都化为整数．
（1）；（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
11．不改变分式的值，把下面分式的分子、分母按字母的降幂排列，并使最高次项的系数是正数．
（1）；（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
拓展题——勇攀高峰
12．已知分式的值是，若用的相反数分别代替原分式中的，所得新分式的值是，请判断与的关系，并说明理由．
解 因为若用的相反数代替原分式中的得，所以与互为相反数．
9．1分式及其基本性质（3）
学习目标
1．能利用分式的基本性质对分式进行约分；
2．经历利用分式基本性质，将分式化简的过程，体会分式约分与分数约分的联系与区别，进一步体会用字母表示数的意义；
3．通过对分式基本性质的探究，培养学生的观察能力、审美能力以及语言表达能力；
4．重点：利用分式的基本性质将分式化简．
预习导学——不看不讲
知识点、约分
学一学：阅读教材P92“练习至例3”上面部分，回答下列问题：
1．分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
2．化简的值为，像这样，利用分数的基本性质，把分数的分子、公母中的最大公约数约去，这种变形称之这分数的约分．
3．分式中分子、分母的公因式是，根据分式的基本性质分子、分母同除以得．
4．分式的约分同分数的约分类似，根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．由此可以看出，约分的关键是找出分子、分母的公因式．
5．，通过此题可以发现，若分式的分子、分母中出现“—”号，一般要根据符号法则，将负号移到分数线的前面
6．一个分式约分的结果应为最简分式（分子和分母中没有公因式）或者整式．
想一想：当分式的分子、分母是多项式时，如何找出分子、分母的公因式？
需要将分子、分母进行因式分解，然后再根据公因式的确定方法确定公因式．
议一议：如何化简分式？
先将分式的分子、分母的各项系数化为整数，然后因式分解，最后约去分子、分母的公因式，具体为：．
选一选：化简下列各分式，正确的是（ B ）．
A B． C． D．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列化简正确的是（ D ）．
A． B． C． D．
互动探究二：若分式的值为0，则．
互动探究三：下列各题的约分对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解（1）不对，约分结果应为； （2）不对，约分结果应为；
（3）不对，约分结果应为； （4）不对，约分结果应为．
互动探究四：约分．
（1）； （2）．
解（1）；
（2）．
互动探究五：先化简，再求值．
，其中．
解 因为，
所以当，原式=．
【方法归纳交流】当分子与分母都是多项式时，如要约分，可先分别把分式的分子与分母分解因式，再约去公因式．
互动探究六：已知，求的值．
解 因为，所以的值为3．
变式演练：对于探究六，若条件不变，请求．
解 由已知得，所以原式=．
变式拓展：已知，试求的值．
解 由已知得，所以原式=．
学习笔记
【知识链接】
苏步青妙解趣题
有一次，我国著名的数学家苏步青在德国访问，一位有名的德国数学家在电车上给他出了一道题：“甲、乙两个相向而行，距离为50km，甲每小时走3km，乙每小时走2km，甲带一只狗，狗每小时跑5km，狗跑得比人走得快，与甲一齐出发，碰到乙后又往甲的方向跑，碰到甲后又住乙的方向跑，这样继续下去，直到甲、乙两人相遇为止，这只狗一共跑了多少千米？”
下电车后，苏步青把答案告诉了这位高斯故乡的同行，这位数学家满意地笑了，苏步青的答案很简单：（km）狗跑了10h，跑了50km，你知道苏步青是怎么想的吗？
【学法指导】
1．分式的约分于分数的约分类似，只不过一个约去最大公约数，一个约去公因式．
2．可采用分式的基本性质检验约分的正误
【教学建议】
1．分式的约分与分数的约分类似，对于约分的最后结果的形式，可通过具体的题目讲解加以说明．
2．对于探究六的两个变式，教学时可引导学生利用“整体代换”的方法求值
【备选问题】
1．当取哪些整数时，分式的值为正整数．
解 当或2时，即或5时，分式的值为正整数．
2．当取哪些正整数时，分式的值是负数．
解 原式=，所以当时，即为1、2时，分式的值是负数．
知识链接答案：因为狗在一直不停的跑，狗跑的时间与两人两遇时所有的时间相同，所以用狗的速乘以两人相遇的时间即是狗跑的路程．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列各式约分运算正确的是（ B ）．
A． B．
C． D．
2．化简分式的结果为（ A ）．
A． B．
C． D．
3．不改变分式的值，分式可变形为（ B ）．
A． B．
C． D．
4．将下列分式约分：
（1）；
（2）．
5．见教材P90练习“第3题” ．
解（1）错，结果应为；（2）对；
（3）错，结果应为．
6．约分
（1）；（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．化简的结果是（ B ）．
A． B．
C． D．
8．已知，且，那么代数式的值是（ C ）．
A．-12 B．0
C．8 D．8或-12
9．如果，且，那么．
10．把下列分式化为最简分式
（1）；（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
11．若，化简求值：
．
解 原式=；当时，原式=．
拓展题——勇攀高峰
12．有这样的一道题：分式和是否是同一分式？为什么？
小明、小青是这样回答的：
小明说：因为
，
所以和是同一分式；
小青说：因为
，
所以和是同一分式.
你同意他们的说法吗？若不同意，请说出你的理由.
解 不同意，因为两分式字母的取值范围不同，分式中的取值范围是；分式中的取值范围为，所以分式和不是同一分式．
9．2分式的运算（1）
学习目标
1．知道分式的乘除法法则，会进行简单的分式的乘除运算；
2．知道分式乘方的法则，并能用之进行分式的乘方运算以及分式的乘除、乘方混合运算；
3．经历探索分式乘除运算法则的过程，体验类比、转化、化归的数学思想方法；
4．进一步熟悉“数、式通性”的数学思想方法，在学知识的同时学到方法，受到思维训练；
5．重点：分式乘除法及乘方法则．
预习导学——不看不讲
知识点一、分式的乘除法法则
学一学：阅读教材P96“思考”部分，解决下面问题：
1．；；；．
2．根据上面的计算：猜一猜： 与同伴交流．
3．你能用文字表达出你的猜想吗？分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母；分式除以分式，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
4．你的猜想与分数的乘除法法则有什么异同？
本质相同，只是把具体的数用整式取代，原来的表达式中的字母表示的是具体的数，而分式的乘除法则更具有一般性
填一填：（1）；（2）．
知识点二、分式乘除法法则的应用
学一学：阅读教材P96-97“例1，例2”，解决下面问题：
1．例1（1）除了可以利用书上的方法外，还可采用什么方法？
书上是先乘后约分，还可先约分后乘，如 原式=．
2．例2与例1相比有什么区别？能不能直接约分？不能直接约分怎么办？如何化为积的形式？例2的分子、分母出现多项式；约分是约去分子、分母的公因式，而本题看不出有公因式，所以不能直接约分；类比单项式的约分，把式子化成积的形式就能约分了；需要对分子分母中多项式分解因式．
议一议：如何求出？先把除法转化为乘法，再利用乘法法则，具体如原式=．
选一选：计算的值等于（ C ）．
A． B． C． D．
知识点三、分式的乘方
学一学：阅读教材P97“思考”，解决下面问题：
1．；；．
2．你能仿照上面求出的值是多少吗？
3．分式的乘方法则：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，用符号表示为：是正整数）．
想一想：你能从积的乘方角度得出分式的乘方法则吗？
合作探究———不议不讲
互动探究一：计算下面分式：
①；②；③；④，结果是分式的是（ A ）．
A．①④ B．①③ C．②④ D．③④
互动探究二：．
互动探究三：计算：
（1）； （2）．
解（1）原式=；（2）原式=．
【方法归纳交流】分式的乘除混合运算可以先把除法转换成乘法，并把分式的分子与分母分别分解因式，然后约分，求出结果．
互动探究四：计算：
（1）； （2）．
解（1）原式=；
（2）原则=．
【方法归纳交流】分式的乘除、乘方运算的顺序是怎样的？
分式的乘除、乘方混合运算与有理数的混合运算相同，先算乘方，后错乘除．
互动探究五：已知m布料能做件上衣，m由料能做条裤子，则一件上衣用的布料是一条裤子用的布料的多少倍？
解 ，所以一件上衣用的布料是一条裤子用的布料的倍．
互动探究六：当时，求分式的值．
解 原式=，当时，原式=．
变式演练1：有这样一道题：“计算的值，其中”，李玲同学把“”错抄成“”，但她计算结果也正确，这是怎么回事？
解 因为原式，故而，不论将抄成什么，结果都一样．
变式演练2：高老师给大家出了这样一道题：“当时，分别求代数式的值，小明一看，“太复杂了，怎么算呢？”你能帮小明解决这个问题吗？请你写出详细过程．
解因为原式，所以不论为何值，原式都等于．
学习笔记
【知识链接】
鲁班造锯
有一次，鲁班上山砍树，不小心，手被一片小草割破了，他发现小草的叶子边缘布满了密集的小齿，于是便关生联想，根据小草的结构发明了锯子．鲁班在这里就用了“类比”的思想方法，“类比”是数学学习中一种重要的思想方法，你能利用这种方法，还能得出分式的哪些知识呢？
【学法指导】
1．分式的乘除法及乘方法则可以类比分数的相知知识记忆．
2．分式的乘除混合运算一般都是首先统一转化成乘法运算，再利用约分进行．
【教学建议】
1．分式的乘除法运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分，教学时，应向学生指出：（1）把分子、分母中含有同一字母的多项式按降幂（或升幂）排列后，容易看出分子、分母的公因式或因式分解；（2）在分式除法运算中，除式（或被除式）是整式时，应看作是分母为1的分式
2．对于分式的乘、除、乘方的混合运算，教学时一方面让学生明确相应的运算法则，另一方面也要明确运算的顺序，一般地，应该先算乘方，再算乘除．
【备选问题】
1．你认为吗？为什么？
不对，因为当只含有乘除运算时，应从左至右依次运算，正确答案应为：．
2．已知，求的值．
解 设，因为原式=，所以原式．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列分式运算结果正确的是（ A ）．
A． B．
C． D．
2．计算等于（ C ）．
A． B．
C． D．
3．化简的结果是（ C ）．
A．1 B
C． D．
4．计算．
5．计算
6．计算：
（1）； （2）．
解（1）原式=
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．如果个人天可以做个零件（假设每个人的速度都一样），那么个人用同样的速度做个零件所需的天数是（ A ）．
A． B．
C． D．
8．计算的结果为（ B ）．
A． B．
C． D．以上结果都不对
9．计算．
10．计算：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=
．
11．化简求值
，其中．
解原式=，当时，原式=．
拓展题——勇攀高峰
12．设，先化简，然后确定当取什么整数时，能使的值是正整数．
解 ，因为的值是正整数，所以或-2，所以．
9．2分式的运算（2）
学习目标
1．知道通分的概念，能把几个异分母分式进行通分；
2．能熟练地确定几个异分母分式的最简公分母；
3．经历类比分数的通分探索分式的通分的过程，理解通分的原理及通分的意义；
4．通过大胆猜想、积级探究的学习态度，进一步提高观察、类比、分析、交流等能力；
5．重点：分式的通分．
预习导学——不看不讲
知识点一、通分的概念
学一学：阅读教材P99“例3”上面部分，解决下面问题：
1．；
2．由上式你能完成下面的计算吗？
；．
3．要求出的值，可以利用分数的通分，首先化为异分母的分数化为同分母的分数，具体为=．
4．分数的通分关键是什么？关键是确定最简公分母
5．观察下列两组分式：（1）与；（2）与，请你根据数学的“审美标准”，审视每一组的欠美之外，怎样让它们变美？
每一组分式都已经是最简分式，如果把每一组分式进行通分，变为同分母分式，就符合数学的整齐和谐之美了．
6．与分数类似，利用分式的基本性质，把异分母分式化为同分母分式，这种变形的过程称之为分式的通分．
议一议：你能通过分式的通分，完成下面的填空吗？
；．
知识点二、通分的应用
学一学：阅读教材P99“例3”，解决下面问题：
1．在例3（1）中，由于中系数的最小公倍数为 12 ，字母的最高次幂为 2 ，字母的最高次幂为 2 ，故公分母为 ．
2．在例3（2）中，由于各分母是多项式，所以需要把各分母分解因式，公分母为．
3．异分母通分时，关键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
4．现在你能确定出知识点一中的5所出现的两组分式的最简公分母吗？
（1）中的最简公母是；（2）中的最简公分母为．
5．反思前面的通分过程，试归纳出求最简公分母的一般思路程．
（1）分母是多项式的先进行因式分解；（2）字系数，若各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）取相同字母的最高次幂，不同因式则连同其指数直接作为公分母的因式．
填一填：分式的最简公分母是．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列说法中，正确的是（ C ）．
A．是与的公分母 B．是与的公分母
C．是与的公分母 D．是与的公分母
互动探究二：计算等于（ A ）．
A． B． C． D．
互动探究三：，通分后的结果为．
互动探究四：通分
（1）； （2）．
解（1）最简公分母为，所以通分后分别为：，，；
（2）最简公分母为，所以通分后分别为：，．
互动探究五：通分
（1）与； （2）与．
解（1）因为，故最简公分母为
通分后分别为：，．
（2）因为，故最简公分母为．
通分后分别为，．
【方法归纳交流】如何检验通分的正确与否？
因为通分和约分是相反的过程，可以利用约分来检验通分是否正确．
互动探究六：通分．
解 最简公分母为，通分后的结果为，．
变式演练1：对于探究六，你能求出两个分式的和吗？
解 ．
变式演练2：对于探究六，若，你能求出两个分式和的具体值吗？
解 因为，所以由变式1得．
学习笔记
【知识链接】
急先锋救主
为了对付猛虎王对通源之城的进攻，机战王要求急先锋从相距离千米的日光之城准时赶到能源之城，急先锋若以每小时千米的速度行驶，可按时到达，若每小时多行驶千米，则急先锋可以提前多长时间赶到能源之城帮助机战王呢？
【学法指导】
1．异分母分式的通分关键是找最简公分母．
2．通分与约分是相反的过程，可以利用约分检验通分的正确与否．
3．若分式的的分母是多项式，在确定最简公分母时，首先需要把多项式分解因式．
【教学建议】
1．本节课在课前应当帮助学生复习小学分数通分的意义、依据和法则等，并让学生通过类比得出分式通分的意义和基本方法．
2．对于最简公分母的教学，可以在回顾复习小学学过的分数的最简公分母、各个分母的最小公倍数的基础上，直接借用，不必作过多说明．
【备选问题】
1．如何对同分母分式相加减？
与分数类似，分母不变，分子相加减
2．若，求的值．
解，由已知得，即．
因为，所以
知识链接答案：可提前小时到达．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．分式的最简公分母为（ D ）．
A． B．
C． D．
2．计算的结果为（ C ）．
A．0 B．
C． D．
3．计算的结果是（ B ）．
A． B．
C． D．
4．分式，的最简公分母是．
5．计算：．
6．通分
（1）；（2）与．
解 （1）最简公分母为，通分后分别为：；．
（2）最简公分母为，通分后分别为：
；．
能力题——挑战自我
7．计算的结果为（ A ）．
A．1 B．
C． D．
8．分式的最简公分母为．
9．如果，，则．
10．通分
见教材P97练习“第2题” ．
解（1）最简公分母为，通分后分别为，，．
（2）最简公分母为，通分后分别为，，．
11．已知，求的值．
解
．
拓展题——勇攀高峰
12．已知，求分式的值．
解 由已知，得，所以
．
9．2分式的运算（3）
学习目标
1．知道分式的加减法则，能熟练地进行分式的加减运算；
2．知道分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算；
3．经历类比分数加减运算探索分式加减运算法则的过程，理解分式加减法运算的算理；
4．经历分式加、减、乘、除混合运算的过程，发展有条理的思考能力和代数表达能力；
5．重点：分式的混合运算．
预习导学——不看不讲
知识点一、分式的加减法法则及应用
学一学：阅读教材P101“例4、例5”，解决下面问题：
1．；．
2．类比同分母分数的加减并结合上面的运算你认为同分母分式如何加减？
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减
3．=；．
4．异分母分式相加减与异分母分数相加减类似，先通分，变成同分母的分式后再加减
5．例4（2）中分母与互为相反数，即，根据分式的符号法则，改变分式、分子、分母中任意两种符号，分式的值不变，所以可化为或．
6．通分后得，最后的结果化成最简分式得．
填一填：；．
知识点二、分式的混合运算
学一学：阅读教材P103“例6”，解决下面问题：
1．分数的加、减、乘、除、乘方混合运算的运算顺序是怎样的？
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的
2．类比分数的基本性质，你认为分式的加、减、乘、除、乘方的运算顺序是怎样的？
分式的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序与分数的混合运算顺序完全相同
3．你认为在完成例6时，要注意些什么？
要注意运算顺序和各种运算法则的运用，特别是分母是多项式时先分解因式再确定最简公分母
想一想：分式的运算最后的结果要是什么样的形式？
是分式的最简形式或整式的形式
选一选：化简等于（ A ）．
A． B C D
合作探究———不议不讲
互动探究一：化简的结果是（ A ）．
A． B． C． D．
互动探究二：如果，那么的值是 1 ．
【方法归纳交流】对于含有绝对值的分式的四则混合运算，应先根据字母的取值范围，去掉绝对值后，再进行运算．
互动探究三：计算
（1）； （2）．
解（1）原式=；
（2）原式．
【方法归纳交流】对于形如的式子，可以把看作成的形式后，进行通分后，再加减．
互动探究四：计算
（1）； （2）．
解（1）原式=
；
（2）原式=．
互动探究五：化简求值
，其中．
解 原式=，当时，
原式=．
互动探究六：计算．
解 原式=．
变式演练1：对于探究六，若，求的值．
解 由探究六可知原式=，由已知得，
所以原式=
变式演练2：对于探究六，若，比较与的大小
解 因为，所以，即，又由探究六可知与作差的结果为，所以，
即．
学习笔记
【知识链接】
龟兔赛跑
“龟兔赛跑”的故事已经家喻户晓了，兔子不服输，于是想出了一个花样，要与猫比一比，看谁跑得快，比赛项目是100米跑，结果，当兔子跑到100米终点后，猫落后了整整10米，猫说：“我跑不过你，但是下次再比，我一定能和你同时到达终点，不过要把你的起跑线后移10米” ．于是根据猫提出的条件，兔子和猫又比了一次，同学们，你们知道比赛的结果会怎样呢？
【学法指导】
1．可类比分数的运算学习分式的计算，注意两个转化：（1）异分母分式转化为同分母分式；（2）分式除法转化为分式的乘法．
2．分式四则运算的关键是明确运算顺序．
3．分式运算的结果要化成整式或最简分式，追求数学简洁之美．
【教学建议】
1．分子相加减时，要让学生明确要将每一个分子看成一个整体而加上括号．
2．在进行分式的混合运算时除了要注意运算顺序及各种运算法则外，还要随时注意分子、分母可进行因式分解的分式，以备约分或通分时用，可有避繁就简之效．
【备选问题】
1．你能用多少种方法计算：．
方法一：按运算顺序，先计算括号里的算式，同时把除法转化为乘法；方法二：转化为乘法后，利用乘法分配律；方法三：直接借用“多项式除以单项式”的法则进行．
2．已知，求A、B的值
解因为，所以，解得．
知识链接答案：仍然是兔子会赢得比赛．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．计算的值为（ B ）．
A．1 B．—1
C． D．
2．分式化简后的结果是（ A ）．
A． B．
C． D．
3．计算的结果为（ A ）
A．1 B．
C． D．
4．计算的结果是
1 ．
5．=．
6．计算
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．正确的运算结果是（ C ）．
A． B．
C． D．
8．化简：等于（ A ）．
A． B．
C． D．
9．已知，则．
10．计算
（1）；
（2）
解（1）原式=；
（2）原式=
．
11．阅读下面的计算过程，然后回答后面的问题．
（1）上面计算错在第 一 步；
（2）把错误部分改正为：
（3）错误的原因是把后两项看成一个整体时，添括号，前面是负号，括号里每一项都应改变符号
拓展题——勇攀高峰
12．观察下列各式：
,…
（1）由此可推导出 ；
（2）请猜想出能表示上面特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来（m表示整数）；
（3）请直接用（2）中的规律计算：
的结果；
（4）你能用上面的规律计算出
的结果吗？
解（1）；
（2）（表示整数）；
（3）
（4）
9．3分式方程（1）
学习目标
1．能判断一个方程是否是分式方程，会解可化为一元一次方程的分式方程；
2．明确分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性；
3．经历“实际问题列分式方程解分式方程”的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，提高分析问题、解决问题的能力，增强应用意识；
4．通过实际问题抽象、概括为分式方程这一“数学化”的思想，养成善于思考，积极进取的学习态度，体会数学的应用价值；
5．重点：解可化为一元一次方程的分式方程．
预习导学——不看不讲
知识点一、分式方程的概念
学一学：阅读教材P105“思考”上方部分，解决下面问题：
1．什么样的数的2倍与3的差的倒数等于这个数倒数的3倍？
设这个数为，根据题意得，然后求出它的解就是所求的数．
2．像这样的方程我们以前学过吗？以前我们学过怎样的方程？试举例说明．
没学过，以前学过一元一次方程和二元一次方程，如等．
3．像的方程与以前学过的方程有什么不同？你能尝试给它一个名字吗？并说一说命名的原因
以前学过的都是整式方程，里面没有分式，可以命名为分式方程，因为里面含有分式．
4．方程是不是分式方程？为什么？你能归纳出分式方程的概念吗？
不是，因为它不含有分式，分母中没有未知数，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
试一试：你能根据自己的理解，写出一个分式方程吗？答案不唯一，如．
知识点二、分式方程的解法
学一学：阅读教材P105-106“思考、探究、例1”，解决下面问题：
1．分式方程的两边乘以最简公分母得，解得
2．如何检验你求的未知数是原方程的根呢？
可以把求得的未知数值代入原方程看方程左右两边是否相等，如把代入上述分式检验：左边=右边，所以是该分式方程的解．
3．通过上述方程的解法，你认为如何解分式方程？
方程两边同乘以分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程．
4．对于分式方程，若两边同乘以，得，解得，若移项通分后得，分简得，即1=0，所以原方程无解
5．以上两种方法为何会产生不同的结果？
显然第一种方法有问题了，因为时，原分式方程中的分式根本就没有意义．
6．同样是方式方程，为什么去分母后得到的整式方程是原方程的解，而去分母后所得的整式方程的根却不是原分式方程的根呢？
因为在去分母时，方程两边同乘以了一个含未知数的整式，整式是否为零是不知道的，第二个分式方程化为整式方程时两边同乘以的整式值为零，这样就扩大了未知数的范围，以致出现分母为零的现象．
7．像这样的根，我们称之为增根，由于分式方程有可能有增根，所以解分式方程必须检验是否有增根
想一想：解分式方程如何检验？
方法一：和整式方程的检验一样，将去分母后获得的整式方程的解代入原方程的左右两端，看它们是否相等；方法二：将整式方程的解代入最简公式分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原方程的解．
议一议：解分式方程的一般步骤是什么？
（1）将分式化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）检验整式方程的解是否为原分式方程的根．
选一选：方程有增根，则增根是（ A ）．
A．1 B．—1 C． D．0
合作探究———不议不讲
互动探究一：解关于的方程产生增根，则常数的值等于（ A ）．
A．—2 B．—1 C．1 D．2
互动探究二：如果方程的解是，则．
互动探究三：解下列方程
（1）； （2）．
解（1）； （2）无解．
互动探究四：设，当为何值时，A与B的值相等．
解 由题意，得，解这个方程，得，经检验是原方程的根，所以当时，A与B的值相等`．
互动探究五：若分式方程的根为，求的平方根．
解 把代入原方程得，解得，所以．
互动探究六：关于的方程有增根，求．
解原方程可变形为，化简为，因为原方程有增根，所以，当时，分式无意义；当时，．故方程有增根时，值为0．
变式演练：如果关于的分式方程有增根，求的值．
解 原方程可变形为，由于原方程有增根，所以，当时，，所以．
【方法归纳交流】当含有字母的分式方程有增根时，如何确定字母的值？
首先把分式方程化为整式方程，再把增根代入整式方程即可求出字母的值．
变式拓展：对于变式1，若原方程无解时，如何求的值
解 由于原方程无解，所以一种情况可以是方程有增根，另一种情况方程不成立．当方程不成立时，，所以．当方程有增根时，由变式1可知，所以当时，原分式方程无解．
学习笔记
【知识链接】
李白打酒
李白好酒，人称酒仙，有一次李白提壶去打酒，见店加一倍，见花喝一斗，三次遇见店和花，喝尽壶中酒，你知道李白壶中原有多少酒吗？
【学法指导】
1．解分式方程的基本思想是“转化”，即去分母，化分式方程为整式方程．
2．增根是根，只是分式方程化为整式方程后的整式方程的根，而不是原分式方程的根，所以解分式方程一定要验根．
【教学建议】
1．书中例1需重点讲解，一方面给学生板书规范的解分式方程的过程；另一方面要结合交流，帮助学生总结解分式方程的一般步骤．
2．关于增根的教学，建议让学生按常规解法求解，并引导他们通过自己的观察、分析、发现本题解方程得到的使原方程分母为零这一现象，进而引导学生发现产生这种现象的原因，理解解分式方程验根的心要性．关要增根的原因，只要求学生能初步了解，不必作过多的引申
【备选问题】
1．解分式方程会产生增根的原因是什么？
在去分母时，把方程两边同时乘以一个含有未知数的整式，而这个整式可能等于零，这样得到的整式方程的解就使原分式方程中的分式没有意义了．
2．解方程：
解 原方程可变为，两边通分得，所以，解得．
知识链接答案：李白壶中原有酒斗．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列式子中，是分式方程的是（ D ）．
A． B．
C． D
2．满足等式的的值是（ C ）．
A．1 B．2
C．0 D．不存在
3．解分式方程时出现了增根，则增根是（ C ）．
A． B．
C． D．
4．当时，分式与分式的值相等
5．将分式方程化为整式方程是．
6．解下列方程
（1）；
（2）．
解（1）；
（2）无解．
能力题——挑战自我
7．分式方程的解为（ C ）．
A． B．
C． D．无解
8．如果关于的方程无解，则的值为（ A ）．
A． B．
C． D．无解
9．若关于的方程有增根，则的值为 —1 ．
10．为何值时，关于的方程的解为零．
解把代入原方程得
，解这个方程，得．
所以当时，原方程的解为零．
11．当为何值时，关于的方程会产生增根？
解原方程可变形为，
因为原方程有增根，所以，当时，；当时，，
所以当为—4或6时，原分式方程会产生增根．
拓展题——勇攀高峰
12．阅读并完成下列问题：
通过观察，发现方程：
的解是；
的解是；
的解是；
……
（1）观察上式方程的解，猜想关于的方程的解是．
（2）请利用上述结论解关于的方程
解 原方程可变形为：
所以或
所以．
9．3分式方程（2）
学习目标
1．会解简单的含有字母系数的分式方程；
2．会列分式方程解决比较简单的实际问题并能检验根的合理性；
3．经历运用分式方程解决数学问题或其它问题的过程，发展分析问题和解决问题的能力；
4．经历“实际问题情境——建立分式方程模型——求解——解释解的合理性”这种探索的过程，进一步提高学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，增强学数学、用数学的意识；
5．重点：实际生活中分式方程应用题的分析应用及如何建立数学模型．
预习导学——不看不讲
知识点一、含字母系数的分式方程
学一学：阅读教材P107“例2”解决下面问题：
1．对于分式方程是常数且都大于零）与分式方程有何不同？
第一个方程含有多个字母，每二个方程只含有一个字母，字母就是所求的未知数．
2．在例2中已知，相当于是常数，是未知数．
3．例2的解决过程中，为什么要强调？由此你想到了什么？
因为若，则等式两边就除以0了，而0是不能做除数的；想到：将方程两边同除以含字母已知数的代数式时，这个代数式必须不等于零．
4．为什么解例2的过程没有验根环节？
因为电阻一般是正数，变分式方程为整式方程时，两边同乘以的公分母不会为零，故不需检验，一般情况下公式变形均不需要检验．
选一选：若，则等于（ C ）．
A． B． C． D．
知识点二、分式方程的应用
学一学：阅读教材P108“例3”，解决下面问题：
1．例3的相等关系是 甲班植树时间=乙班植树时间 ．
2．设乙班每天植树棵，那么甲班每天植树棵，甲班植树时间为天，乙班植树时间为天，由此可列方程为：．
3．若设甲班每天植树棵，则可列方程：．
议一议：列分式方程解应用题的一般步骤是什么？
（1）审：分析题意，找出相等关系；（2）设：选择恰当的示知数，注意单位；（3）列：根据等量关系正确列出方程；（4）解：解方程；（5）验：检验；（6）答：写出问题的答案．，
填一填：为改善生态环境，防止水土流失，某村拟在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20棵树，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？若设原计划每天种植棵树，则可列方程为：．
合作探究———不议不讲
互动探究一：某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出的土及时运走且不窝工．解决此问题，可设派人挖土，其他人运土，列方程为①；②；③；④．上述所列方程，正确的有（ C ）
A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个
互动探究二：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距，像距和凸透镜的焦距满足关系式：，若cm，cm，则物距cm．
互动探究三：在公式中，已知，且，求．
解 去分母得，整理得，
因为，所以方程两边同除以得．
互动探究四：见教材P109“第5题” ．
解 设采用新工艺前每时加工个零件，由题意，得．
解得．
经检验是原方程的根．所以．
答：采用新工艺前、后每小时加工40个、60个零件．
互动探究五：某人往返甲、乙两地，去时先步行2km，再乘汽车行10km；回来时骑自行车，来去时间一样．已知汽车每小时比步行多行16km，骑自行车比步行每小时多行8km，求这个人的步行速度．
解 设步行速度为km/h，由题意，得
解得，经检验是原方程的根．
答：这个人步行速度为4km/h．
互动探究六：若，怎样比较与的大小呢？
解由差值法
因为，所以，即，所以．
变式演练1：对于探究六，若，结果又怎样呢？
解由探究六可知，当时；
当时，，即；
当时，，即．
变式演练2：甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克；乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
（2）谁的购货方式更合算？
解（1）设两次购买的饲料单价分别为元/千克和元/千克，那么甲两次购买饲料的平均单价为（元/千克）；乙两次购买饲料平均单价为（元/千克）；（2）因，又由都是正数，且，所以，所以乙的购买方式更合算．
【方法归纳交流】比较两个代数式的大小，最常用的方法是差值法，即时，；当时，；当时，．
学习笔记
【知识链接】
谁吃亏
某商店有一架不准确的天平（其臂不等长）及1千克的砝码，某顾客要购两千克瓜子，售货员将1千克砝码放于左盘，置瓜子于右盘使之平衡后给顾客，然后又将1千克砝码放于右盘，另置瓜子于左盘，平衡后再给顾客，这样做对双方公平吗？
【学法指导】
1．含字母系数的分式方程的解法与一般分式方程的解法一样．
2．列分式方程解决实际问题与列一元一次方程解决实际的步骤基本相同．
3．比较两个代数式的大小最常用的方法就是差值法
【教学建议】
1．对于例2是应有解分式方程的方法进行物理学公式的变形问题，教学时，不必讲明物理意义，只要能够根据要求对其进行变形即可
2．对于列分式方程解决实际问题，可补充一点贴进学生生活实际的问题，让学生通过练习巩固列方程解应用题的方法与步骤．
【备选问题】
1．请你结合生活实际，自编一道应用题，可以用方程求解，并解出结果．
答案不唯一，只要符合题意即可．
2．华联商厦进货员在苏州发现一种衬衫，预计能畅销，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍的这种衬衫，经人介绍又在上海用176000元购进所需的这咱衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，问这笔生意商厦盈利多少元？
解设从苏州购进件衬衫，这笔生意商厦盈利元，则
解得，故这笔生意盈利元．
知识链接答案：商店吃亏，因为设天平左臂长为，右臂长为()，两次称得的瓜子重分别为、，根据杠杆平衡原理得：，所以，由知.
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．轮船顺水速为km/h，逆水速度为km/h（），那么水流速为（ C ）．
A．km/h B．km/h
C．km/h D．km/h
2．一件工程，由甲单独完成需小时，乙单独完成需小时，若设两人合做需小时，则依题意列出的正确方程为（ D ）
A． B．
C． D．
3．若均不为零），则等于（ D ）．
A． B．
C． D．
4．某车间要造个零件，原计划每天造个，需要天才能完成，若每天多造个，则可提前天完成．
5．在公式中，已知，则．
6．见教材P105练习“第3题” ．
解 设乙每小时生产个零件，由题意得，解得，经检验是原方程的根．
答 甲、乙两人每时各生产56个、48个零件．
能力题——挑战自我
7．往100克浓度为25%的盐水中加入克的水，则盐水的浓度变为（ B ）．
A． B．
C． D．
8．甲、乙两地相距150km，一艘轮船从甲地逆水航行至乙地，然后又从乙地顺水返回甲地，已知水流的速度为3km/h，顺水行驶时所用的时间是逆水时所用的时间的，则轮船在静水中的速度是（ B ）．
A．18km/h B．21km/h
C．36km/h D．42km/h
9．为了适应我国经济发展的需要，现将火车行驶的速度每小时比原来提高30千米，因此，现在火车行驶200千米所需的时间与原来行驶150千米所需的时间相等，则火车原来的行驶速度为 90 km/h
10．学校准备搞一次科技小制作活动，自制一批教具，A、B两班合作可以12天完成，如果单独做，要完成这项任务，A班需要的天数是B班需要天数的1.5倍，求A、B两班单独完成各需要几天？
解 设B班单独完成需要的天数为天，则
，解得，
经检验是原方程的根
（天）
答A、B两班单独完成任务各需要的天数为20天、30天．
11．小颖和几位同学去文具店购买练习本，该文具店规定：如果购买达到一定的数量，则可按批发价购买，于是他们凑了60元钱以批发价购买，这样购买得到的练习本数量比用零售价购得的练习本数量多30本，若每本练习本的批发价是零售价的，问每本练习本的零售价是多少元？
解 设每本练习本的零售价为元，则
，解得．
经检验是原方程的根．
答 每本练习本的售价为元．
拓展题——勇攀高峰
12．某工程，甲工程队单独完成需要40天，若乙工程队先做30天后，甲、乙两队一起合作20天就恰好完成任务，请问：
（1）乙队单独做需要多少天才能完成任务？
（2）现将该工程分成两部分，甲队做其中的一部分工程用了天，乙队做另一部分工程用了天，若都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到70天，那么两队实际各做了多少天？
解（1）设乙队单独做需要天才能完成任务，则
，解得．
经检验是原方程的根．
所以乙队单独做需要100天才能完成任务．
（2）因为，解得．因为是正整数，且，所以，甲、乙两队实际各做了14天、65天．
第9章复习课
复习目标
1．构建本章知识结构图，形成这一章的完整知识体系；
2．经历对本章内容的学习，提高观察、归纳、猜想、尝试等方法的应用能力，理解类比的数学方法；
3．通过生活实际的情境，增强交流意识和探索精神，及分析问题、解决问题的能力，体会知识的内在价值；
4． 重点：分式的四则运算和运用分式方程解决实际问题．
预习导学——不看不讲
你能根据本章所学知识完成下面的知识结构图吗？
知识点一、分式的概念及基本性质
1．形如的式子叫做分式，分式和整式统称为有理式．
2．有分母的就一定是分式吗？判断一个式子为分式的依据是什么？
不一定；分式的定义．
3．（1）分式有意义的条件是什么？（2）无意义的条件是什么？（3）分式的值为零的条件是什么？
（1）分母不为零；（2）分母值为零；（3）分子为零且分母不为零．
4．不改变分式的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（ D ）．
A． B C． D．
5．解答上题的依据是什么？用符号如何表示？
分式的基本性质，用符号表示为：．
6．根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母中的公因式约去叫做约分，约分的关键是找出分子、分母的公因式；若分子、分母是多项式，要先因式分解，然后将公因式约去．
7．你认为在通分时，应该注意些什么？
（1）分母是多项式，将各分式分母因式分解；（2）寻找最简公分母；（3）把各分式的分子、分母同乘以同一个不等于零的整式，化异分母分式为同分母分式．
知识点二、分式的运算
1．分式的乘除法则：；．
2．分式的加减法法则用符号如何表示？
同分母分式加减法法则：；异分母分式加减法法则．
3．分式的乘方等于分式的分子、分母分别乘方，用符号表示为．
4．分式的加、减、乘、除、乘方混合运算应遵循怎样的运算顺序？
先乘方，再乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序进行，有括号时，先算括号内的．
5．分式化简的结果一定是分式吗？如何判断一个分式是否为最简分式？
不一定，也有可能是整式；当分子、分母中没有公因式时该分式是最简分式．
知识点三、分式方程
1．解分式方程的基本思想是把它转化为整式方程，在分式方程求解过程中有可能产生增根，所以解分式方程必须检验．
2．解分式方程为什么必须检验？
因为我们在去分母的变形过程中，需要乘以一个含未知数的整式（最简公分母），这样分式方程将转化为整式方程，如此一来，分式方程中分母不为零的这一限制被取消了，使得未知数的范围扩大，若不检验，就会导致解题的错误．
3．解分式方程一般需要经过哪个步骤？
（1）确定最简公分母；（2）去分母，即方程两边同乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（3）解这个整式方程；（4）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是增根，应舍去，使最简公分母不为零的根才是原方程的根．
4．列分式方程解应用题的检验有什么特别之处？
要检验两次，一方面要看是不是原方程的根，另一方面看是否具有实际意义．
合作探究———不议不讲
专题一：分式的求值技巧
1．若，则．（整体代入）
2．已知，求的值．（倒数求值法）
解 因为所以，所以，即，所以，所以．
3．已知，求的值．（活用公式变形求值）
解 由，得，由此得．
所以．
4．已知：，求的值．（设参数法）
解 设，则，
所以，即，
所以．代入到，所以原式．所以原式=．
【方法归纳交流】对于分式的求值问题要根据分式的结构特点灵活选用不同的方法，切忌死搬硬套．
专题二：分式的运算技巧
5．化简的值．（拆项法）
解 原式=．
变式演练：计算．
解 原式=
=．
6．计算：（巧用公式法）
解原式=．
变式演练：计算：．
解 原式=
=
．
7．计算（局部通分法）
解 原式=．
专题三：分式方程及应用
8．解方程．
解 方程两边同乘以，约去分母得，解得．
检验：把代入中得，所以是原方程的解．
9．解关于的方程．
解 原方程化为，
方程两边同乘，得，解得．
因为，所以．
10．小兰的妈妈在友好大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比友好大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买酸奶的瓶数比第一次买的瓶数多，问她第一次在友好大厦买了几瓶酸奶？
解 设她第一次在友好商厦买了瓶酸奶，则
，解得，经检验，是原方程的根，且符合题意
所以她第一次在友好大厦买了5瓶酸奶．
【方法归纳交流】解分式方程的基本思路就是通过方程两边同乘以最简公分母，化分式方程为整式方程，注意解分式方程一定要验根．
专题四：数学思想
类比思想
11．已知关于的方程的两根为，那么关于的方程的根是多少？
解 将方程变形为，类比第一个方程，得，所以
转化思想
12．计算：（1）；（2）．
解（1）；
（2）．
13．化简
解 原式=．
学习笔记
【知识链接】
星期天，一组学生去春游，预计共需要费用120元，后来又有2人参加，总费用保持不变，于是每人可少摊3元，那么你知道原来这组学生有多少人吗？如果我们设这组学生人数为人，那么根据题意我们可列方程，这个方程是什么方程呢？如何求出它的解？解此类方程的一般思路又是什么呢？
【学法指导】
1．分式的学习要与分数的知识相类比进行．
2．专题一、二是分式运算中的各种特殊技巧，一定要熟练掌握．
【教学建议】
1．对于本章的知识回顾，一定要留给学生一定的时间让学生总结、交流，加深对本章内容的理解和掌握．
2．类比是一种重要的数学思想方法，从分式的概念、性质、和运算法则，都是通过和分数的有关知识类比得到的，教学时，应让学生举出以前学过的哪些知识也是这种思想方法得到的．
【备选问题】
1．解分式方程与解一元一次方程有何联系与区别？
解分式方程与解一元一次方程的步骤基本相同，但分式方程去分母时，有可能会取消分母不为零这一限制条件，产生增根，所以解分式方程比解一元一次方程多一个步骤是检验求出的根是否是原方程的根．
2．若，则．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列代数式中，是分式的有（ C ）．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2．若分式无意义，则（ B ）．
A． B．
C． D．
3．下列约分正确的是（ C ）
A． B．
C． D．
4．化简代数式的结果为（ C ）
A． B．
C． D．
5．计算等于（ D ）．
A． B．
C． D．
6．甲、乙两地相距千米，某人先以千米/时的速度骑车从甲地到乙地；然后又以千米/时的速度从乙地乘车返回甲地，则往返往过程的平均速度为（ D ）．
A． B．
C． D．
7．当时，分式的值为0．
8．方程的解是．
9．化简的结果为．
10．在某文化旅游节期间，部分同学包租一辆车前去游览，包车的租价为180元，又增加了两名同学，结果每个同学比原来少分摊了3元车费，若设原来的学生共有人，则所列方程为．
11．计算：
（1）；
（2）．
解（1）原式=
；
（2）原式=
．
12．解方程：．
解 去分母，得
解得．
经检验是原方程的根．
能力题——挑战自我
13．若，则分式的值为（ A ）．
A． B．
C．1 D．—1
14．，那么的值是（ D）．
A． B．
C．—1 D．1
15．如果为整数，那么使分式的值为整数的的值有（ C ）．
A．2个 B．3个
C．4个 D5个
16．在实数范围内定义一种运算*，其规则为，根据这个规则，方程的解为（ D ）．
A． B．
C． D．
17．已知，则．
18．如果关于的方程有增根，则的值为 3 ．
19．先化简,再求值: ,其中．
解原式=
= =．
把代入得 原式=1-=．
20．已知，求的值．
解由已知，得
．
所以原式=
．
21．某车间有甲、乙两个小组，甲组的工作效率比乙组高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟，求甲、乙两组每小时各加工多少个零件？
解 设乙每小时可加工零件个，则
，解得．
经检验是原方程的根．
所以甲、乙两组每小时各加工零件500个、400个．
拓展题——勇攀高峰
22．有一市政工程，若由甲、乙两工程队合做，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合做，还需9个月才能完成．
（1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？
（2）已知甲队每月施工费用为5万元，乙队每月施工费用为3万元，要使该工程总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？
解（1）设甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要个月，依题意，得
，解得．
经检验它们都是原方程组的解，且符合题意．所以甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要20、30个月．
（2）设甲、乙两工程队分别做个月，该工程总费用不超过95万元，则有
，解得，
所以该工程施工总费用不超过95万元，甲工程队至多施工10个月．
