6．1平方根、立方根（1）
学习目标：
1．知道平方根、算术平方根的概念，会用符号表示一个数的平方根及算术平方根；
2．知道平方运算与开平方运算互为逆运算，会有开平方运算求正数和零的平方根；
3．会用计算器求一个非负数的算术平方根；
4．探索平方根概念的过程中，在大量举例的基础上，归纳出定义，感受由具体到抽象、由特殊到一般的数学思想；
5．通过对开平方和平方互为逆运算关系的学习，体会事物之间对立又统一的辩证关系，激发探索数学的兴趣；
6．重点：平方根、算术平方根的概念和求法，会用计算器求一个正数的算术平方根．
预习导学——不看不讲
知识点一、平方根的概念
学一学：阅读教材P2“交流上方的部分”解决下面问题：
1．如果设地砖的边长为m，由题意可列方程：，这个实际问题所对应的数学问题就是：已知一个数的平方，求这个数．
2．一般地，如果一个平方等于，那么这个数叫做的平方根，也叫做二次方根．
3.由于的平方等于，所以的平方根为，因为边长不能以负值，所以地砖的边长为．
填一填：因为= 49 ，= 49 ，所以49的平方根是．
知识点二、平方根的性质
学一学：阅读教材P2“交流”，回答下列问题：
1．因为，所以的平方根是；的平方根是，它的关系是互为相反数．
2．、是正数，它们的平方根有两个，它们互为相反数．
3．0的平方根什么？—9有没有平方根？为什么？由于只有0的平方等于0，所以0的平方根仍是0，任何数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根
4．归一归：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0，负数没有平方根．
5．正数的平方根可以表示为，读作：正负根号，其中表示正的平方根，表示负的平方根．其中是被开方数．
选一选：下列各数没有平方根的是（ B ）．
A． B． C．0 D．5
知识点三、算术平方根的概念及性质
学一学：阅读教材P2“最后一段”解决下面问题：
1．正数的正的平方根可以表示为，读作根号或二次根号，我们把 叫做的算术平方根．
2．正数，0、负数的算术平方根分别有几个？
正数的算术平方根有1个，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
议一议：（）一定表示非负数吗 由于表示的算术平方根，正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，故（）一定表示非负数．
知识点四、开平方运算
学一学：阅读教材P3：“第二段至例2”之间部分，解决下面问题：
1．求一个数的平方根的运算叫做开平方．
2．想一想：加法与减法、乘法与除法互为逆运算，观察图6-2，从图中发现了数的平方运算与开平方运算有什么关系？
这说明了平方运算与开平方运算也互为逆运算．
3．因为，所以的平方根是，用符号表示为：．
填一填：= =
知识点五、用计算器求一个数的算术平方根
学一学：阅读教材P3、P4“例2，例3”解决下面问题：
1．利用计算器求一个数的算术平方根一般是按照从外到内的顺序依次按键，如求的值，在计算器中依次键入 显示的结果便是的近似值，但要注意，一般按要求取它的近似值．
2．当被开方数是分数时，按过根号后，应按括号把被开方数括起来．
3．对于例3，运动员下落的高度是4.2m，运动员完成动作时间最多与下落到水面所需时间相同．
试一试：所有计算器的使用方法都相同吗？
不一定相同，不同品牌的计算器使用方法或操作程序可能是不同的．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列说法中正确的是（ D ）．
A．的平方根是9 B．1的平方根是1
C．的平方根是 D．2是的算术平方根
互动探究二：256的算术平方根是16 ；的平方根是；的平方根是．
互动探究三：见教材P6练习“第4题” ．
解 （1），；（2），；（3），；
（4），．
互动探究四：求满足下列各式的未知数．
（1）；（2）；（3）．
解 （1）；（2）；（3）．
互动探究五：小华用121个相同的小正方形拼接成一个面积为25的正方形，求小正方形的边长．解 设小正方形的边长为，则．解得，所以小正方形的边长为．
互动探究六：一个数正数的平方根是与，求的值．
解 由题意，得，解，得，所以的值为2．
变式训练1：如果一个数的平方根是5与，求的值．
解 由题意，得，所以的值为25．
变式训练2：若与是同一个数的平方根，求的值．
解 由题意，得或=，解得或，所以的值为2或—8．
学习笔记
【知识链接】
羊村准备将一块边长为10米的正方形草地改建成一个面积与原正方形面积相等的圆形草地，软绵绵村长不知如何算出圆的半径R，村长让喜羊羊想办法，这下可愁坏了喜羊羊，同学们，你能利用所学的知识帮助喜羊羊吗？
【学法指导】
1．对于知识点一中平方根概念的表述，除了书本上的表述外，还应该习惯如下形式的表述：如果，那么叫做的平方根．
2．在研究平方根的性质时，运用了分情况讨论的思想，在研究有关数的问题中，经常把数分成正数、零、负数三种情况去考虑．
【教学建议】
1．一个正数平方根有两个，它们互为相反数；一个负数没有平方根；0的平方根、算术平方根是0等，这些知识点学生应该让学生自己思考、交流后得出．
2．对于知识点四的学习，可先复习已学过的加、减、乘、除、乘方等5种运算，强调加法与减法，乘法与除法互为逆运算，在此基础上通过具体问题引出开平方运算，并通过图6-2的对比，指出开平方与平方运算互为逆运算．
3．对于计算器的用法，教学中，应鼓励学生自己探索并逐渐掌握计算器的用法．
【备选问题】
1．平方根与算术平方根有什么区别与联系？
平方根与算术平方根是既有联系又有区别，区别在于一个正数的平方根有2个，而算术平方根只有1个；联系在于一个正数的负的平方根是它的算术平方根的相反数，用表示非负数的算术平方根，这样就有唯一确定的意义，且的负平方根、平方根都可用它表示．
2．已知与互为相反数，求的平方根．
解 由题意，得，所以，所以，即的平方根为．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列说法中正确的是（ D ）．
A．因为7的平方为49，所以49的平方根是7
B．因为—7的平方为49，所以49的平方根是—7
C．因为底数是—4，所以没有平方根
D．因为—7<0，所以—7没有平方根
2．的平方根是（ D ）．
A．—2 B．2
C． D．
3．的算术平方根是 0.9 ，平方根是．
4．平方根是它本身的数是 0 ，算术平方根是它本身的数是 0 ．
5．一个数的平方是0.49，则这个数是．
6．求下列各数的平方根及算术平方根．
（1）0.0004；（2）；（3）0．
解 （1）；
（2）；
（3）0的平方根与算术平方根均为0．
能力题——挑战自我
7．的值是（ B ）．
A．—5 B．5
C D．
8．当时，表示（ B ）．
A．的平方根 B．的算术平方根
C．一个正数 D．一个有理数
9．已知，则的值为18 ．
10．的算术平方根为 4 ．
11．解下列方程
（1）；（2）．
解 （1），
，所以或—4；
（2），，
，所以或．
12．如果一个非负数的平方根是和，求这个非负数．
解 由题意，得，解得，所以这个非负数为：．
拓展题——勇攀高峰
13．，那么等于（ A ）．
A．48.58 B．485.8
C．4858 D．4.858
14． 若，求的算术平方根．
解 由题意，得，所以，所以的算术平方根为．
15．已知与都是正数的平方根，求的值．
解由题意，得或．所以或4．
当=18时，；
当时，．
所以的值为441或49．
6．1平方根、立方根
学习目标：
1．知道立方根的概念，会用符号表示一个数的立方根；
2．会用立方运算与开立方运算的互逆关系求某些数的立方根，会用计算器求立方根；
3．通过类比平方根的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想；
4．通过对开立方与立方运算互为逆运算关系的学习，体验事物之间对立又统一的辩证关系，通过立方根符号的引入体验数学的简洁美；
5．重点：立方根的概念及性质．
预习导学——不看不讲
知识点一、立方根的的概念
学一学：阅读教材P6“问题2”解决下面问题：
1．如果设棱长为dm，则，这个实际问题所对应的数学问题是：已知一个数的立方，求这个数．
2．若，则叫做的平方根，即，类似的，若，则叫做的立方根，也叫三次方根．
3．同学们能不能根据平方根的写法来类比立方根的记法呢？
记作，读作“三次根号”，其中叫被开方数，3叫根指数．
想一想：立方根符号中的根指数3能省略吗？为什么？
不能，因为省略后就变成了，立方根就变为了的算术平方根．
知识点二、立方根的的性质
1．议一议：（1）2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是？
2的立方等于8，不存在其它的数，立方也是．
（2）—3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是？
—3的立方等于—27，没有其它的数立方也是．
（3）0的立方等于多少？0有几个立方根？0的立方根是0，0只有1个立方根是0．
2．从上面的结论中，同学们总结一下，正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？你试着多举几个例子．
正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
想一想：立方根等于它本身数有哪些？
立方根等于它本身的数有1，0．
知识点三、求一个数的立方根
学一学：阅读教材P6-7“立方根的概念下面及例5、例6”解决下面问题：
1．请大家回忆开平方的定义，再类比推出开立方的定义，开立方与立方运算又有什么关系？请举例说明．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数立方根的运算叫开立方．正如开平方与平方运算互为逆运算一样，开立方与立方运算也互为逆运算，如，则125的立方根是5，即．
2．求一个数立方根的方法有哪几种？
求一个数立方根的方法有两种，第一种利用开立方与立方运算互为逆运算求一些数的立方根；第二种利用计算器求一个数的立方根或它的近似值．
3．因为，所以—216的立方根为 —6 ，即．
4．用计算器求一个数的立方根，除了与求一个数的平方根一样按相应的键外，还需先按．
填一填：（1）= 3 ，=； （2）的立方根是．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列式子正确的是（ A ）．
A． B．
C． D．
互动探究二：—27的立方根与的平方根之和是 0或—6 ．
互动探究三：见教材P10第9题．
解：（1）；（2）；（3）；（4）．
互动探究四：求下列各式中的的值．
（1）； （2）．
解 （1） （2）
互动探究五：把一块体积为729的橡皮泥做成8个同样大小的立方体小块，求每个立方体小块的表面积．
解 设立方体小块的棱长为cm，则．，所以．
所以每个立方体小块的表面积为：．
互动探究六：若互为相反数，、互为倒数，则的值为多少？
解 因为互为相反数，、互为倒数，所以，，故
．
变式训练1：对于探究六，若条件不变，求的值．
解 因为互为相反数，互为倒数，所以，．所以
，即的值为1．
变式训练2：若与互为相反数，求的立方根
解：由题意，得+=0，由立方根的性质，得，解得，所以的立方根为2．
学习笔记
【知识链接】
笔算开平方
求一个数的平方根除了用数学用表及利用计算器外，还可使用笔算法，我国古代数学的成就灿烂辉煌，早在公元前1世纪问世的我国经典数学著作《九章算术》里，就在世界史上第一次介绍了笔算开平方法．据史料记载，国外直到公元5世纪才有对于开平方法的介绍．这表明我国古代对于开平方的研究在世界上是遥遥领先的．
【学法指导】
1．立方根的概念、表示、性质等要与平方根类比来学习．
2．对于知识点二立方根的性质的得出，应通过大量的实例总结得出规律．
3．立方根的求法，类比平方根的解题方法与步骤，应可能独立完成．
【教学建议】
1．对于问题2，在教学时在提出问题后，可以放手让学生列出等式，并尝试求出答案．
2．对于求一个数的立方根，一开始接触，应按照书本上的语言叙述和符号表示相互补充的方法，在学生熟练掌握一些常见立方数以后可以简化解题过程的书写．
【备选问题】
1．举例说明等式成立吗？
成立，如，，，所以．
2．计算：．
解 ．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列说法正确的是（ B ）．
A．—2是—4的平方根
B．2是的算术平方根
C．的平方根是2
D．8的立方根是2
2．下列各组数中，互为相反数的是（ D ）．
A．—2与4的平方根 B．3与
C．3与 D．4与
3．如果，那么的值是（ A ）．
A．4 B．—4
C． D．
4．—27的立方根是 —3 ．
5．= —2 ，= —2 ．
6．求下列各数的立方根：
（1）343000；（2）0.216；（3）．
解 （1）；（2）；
（3）．
能力题——挑战自我
7．如果一个数的平方根与立方根相同，则这个数为（ A ）．
A．0 B．1
C．0或1 D．0或
8．已知的平方根是，则的立方根是（ D ）．
A． B．
C．2 D．4
9．计算的结果是（ A ）．
A．3 B．7
C．—3 D．—7
10．如果的立方根是，且，则 0 ．
11．—27的立方根与64的平方根的和是 5或—11．
12．若，则 —0.8 ；若，则 —0.8或—1.2 ．
13．求下列各式的值：
（1）；（2）．
解 （1）；
（2）．
拓展题——勇攀高峰
14．若，求的值．
解 由题意，得，所以
，即的值为—5．
15．填表
0.001
1
1000
1000000
0.1
1
10
100
（1）观察上表，说明当已知数的小数点向右（或向左）每移动三位，它的立方根的小数点的移动规律是怎样的？
已知数的小数点向右（或向左）每移动三位，它的立方根的小数点就向相同的方向移动一位．
（2）根据（1）中结论，完成下列填空
已知：，，则0.03777，如果，则 0.0539．
6．2实数（1）
学习目标：
1．知道无理数、实数的概念；
2．会对实数按照一定的标准时行分类；
3．通过无限逼近的方法确定的近似值的过程，感知无理数的存在，经历数系从有理数扩充到实数的过程；
4．体验数系的扩充源于实际，又服务于实际的辩证关系；
5．重点：无理数、实数的概念及实数的分类．
预习导学——不看不讲
试一试：把下列各有理数写成小数的形式．
2，—5，，，，
解：；；；；；．
想一想：通过上面的变形，你有什么发现？
有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
知识点一、格点正方形的画法
学一学：阅读教材P9“思考”部分，解决下面问题：
1．什么是格点正边形？四个顶点都在网格格点上的正方形
2．有面积分别是1、4、9的格点正方形吗？如有，分别有几个？
有，面积为1、4、9的格点正方形分别有12个、6个、2个
3．有面积是2、5的格点正方形吗？把它画出来，并分别说出能画几个？
有，如图所示，面积为2、5的格点正方形分别有6个、2个
4．你能求出面积为2的格点正方形的边长吗？
设边长为，则，因为，所以
知识点一、无理数、实数的概念
学一学：阅读教材P10~11“探究”部分，解决下面问题：
1．是整数吗？如果不是，它处在哪两个整数之间呢？
不是整数，它处在1~2之间，因为，，所以
2．是有限小数吗？为什么？
是无限小数，因为利用无限逼近的方法可以发现
3．是无限循环小数吗？不是，是有限不循环小数
4．是有理数吗？为什么？不是有理数，因为有理数都可以化为有限小数或无限循环小数
5．有限小数或无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，有理数和无理数统称为实数．
试一试：你能尝试着找出几个无理数吗？．如、、、等
选一选：下列实数中，无理数的个数有（ B ）．
，，，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三、实数的分类
学一学：阅读教材P11“实数分类”部分，完成下面填空：
1．由于有理数和无理数统称为实数，所以实数可以按如下标准分类：
2．有理数、无理数都有正负之分，实数也可以作如下分类：
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列说法中正确的是（ C ）．
A．带根号的数都是无理数 B．无限小数是无理数
C．无限不循环小数是无理数 D．有理数只包括无限循环小数
互动探究二：下列各数：，，，，，中，无理数为，．
互动探究三：已知为两个连续整数，且，则= 5 ．
变式训练1：已知是一个无理数，那么在哪两个整数之间（ A ）．
A．1与2 B．2 与3
C．3与4 D．4与5
变式训练2：设的整数部分是，小数部分是，求的值．
解：由题意，得，，所以，所以的值为．
互动探究四：P14练习“第1题” ．
解：有理数有：，1，3，—1，—2，，，，，，，．
无理数有：，，，，．
互动探究五：面积为15的正方形边长是多少？
解：设边长为，则，因为，所以．即正方形的边长为
互动探究六：设半径为1的圆从原点开始沿数轴上向左滚动一周，圆上的一点由原点到达点A，则点A所表示的数是多少？．
解：因为圆的周长为：，又由于圆是从原点向左滚动的，所以点A所表示的数是．
学习笔记
【知识链接】
几千年来，人们为了寻求圆周率的精密的近似值付出了巨大的心血，我国南北朝时期伟大的数学家神祖冲之，第一个将圆周率精确到小数点后的第七位，这一记录保持了近一千年，进入电脑时代，圆周率的计算突飞猛进，1999年，日本学者金田安政及其它作者在一台日立SR—800计算机上算得值竟准确到了小数点后2061亿多位．现在的近似值已成为测试计算机运行速度的一个重要指标．
【学法指导】
1．对于用无限逼近的方法确定不是有理数，一定要实际动手操作，对是无限不循环小数有个实际的感受
2．对于知识点一面积是2或5的格点正方形，学生要实际画一画，通过求边长体会到，这些无理数是客观存在的．
3．按正负数对实数进行分类时，不要遗漏0，0既不是正实数，也不是负实数，0是有理数不是无理数．
【教学建议】
1．对于知识点一中面积为2的格点正方形的画法，由于需要重新分割才能得到，有一定的难度，教学时教师应该让学生充分地交流思考，必要时作适当引导．
2．关于实数的分类，书本上给出了两种形式，一种是按化成小数的类型进行分类；另一种是按大小关系进行分类．教学时要特别提醒学生：分类的方法可以不同，但是一定要坚持分类的标准统一，做到不重复、不遗漏．
【备选问题】
1．无理数常见形式有哪些？
常见无理数一般有三类：（1）带根号且开方形不尽的数；（2）与有关又不能把化去的数；（3）无限不循环小数，特别是具有规律但不循环，如：0.202002000200002…．
2．在，，，…，中，有理数的个数为（ C ）．
A．42 B．43 C．44 D．45
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．在，，，，（每两个1之间增加一个0），，，这些实数中，无理数有（ A ）．
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
2．下列说法中不正确的是（ D ）．
A．正实数、零、负实数统称为实数
B．平方根与算术平方根相等的实数是0
C．无理数是无限小数
D．有理数是有限小数
3．无理数是（ B ）．
A．无限循环小数 B．无限不循环小数
C．有限小数 D．不循环小数
4．在4与5之间的无理数是（ B ）．
A． B．
C． D．
5．有理数和无理数统称为实数．
6．把下列各数填在相应的大括号内：
0，，，，，—2，，，，1.212121…,0.1010010001…．
自然数集合{0， …}；
有理数集合{0，，，—2，，1.212121… … }；
正数集合{，，，，，1.212121…,0.1010010001… …}；
整数集合{0，，—2 …}；
无理数集合{，，，，0.1010010001… …}．
能力题——挑战自我
7．下列关于的说法中，错误的是（ D）．
A．是无理数
B．
C．是12的算术平方根
D．不能再化简
8．代数式，，，，中，一定是正数是有（ D ）．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
9．估算的值（ C ）．
A．5和6之间 B．6与7之间
C．7与8之间 D．8与9之间
10．写出一个—6与—5之间的无理数：．
11．表示值最小时是 0 ，这时 2 ．
拓展题——勇攀高峰
12．按下列要求写出一个介于2与3之间的无理数．
（1）小数形式；（2）带根号
解 （1）如：2.3030030003…；(2)如：
13.例：因为，所以的整数部分为3，小数部分为，你能仿照上述过程确定的整数部分和小数部分吗？
解 因为，所以，故的整数部分为6，小数部分为．
6．2 实数（2）
学习目标：
1．知道实数与数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示无理数；
2．会求一个实数的相反数、倒数、绝对值；
3．知道在有理数范围内的运算法则、运算律，运算公式、运算顺序在实数范围内仍然适用，并会进行实数的一些运算；
4．能通过类比有理数的大小关系及通过估算比较两个有理数的大小；
5．通过与有理数的相关知识的类比学习过程，进一步体会类比的数学思想方法，体会数学学习中中探求知识的乐趣，树立起数学学习的信心；
5．重点：实数与数轴上的点一一对应的关系及无理数的大小比较．
预习导学——不看不讲
知识点一、实数与数轴上的点的关系
学一学：阅读教材P13“思考”部分，解决下面问题：
1．回忆上节课的格点正方形，其中边长为1的正方形的对角线长是．
2．直径为1的圆的周长是．
3．由1、2的结论，你能在数轴上描出表示和的点吗？
在数轴上以1个单位长度为边作一个正方形，再以原点为圆心，这个正方形对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点为，与数轴负半轴的交点为；在数轴上直径为1个单位长度的圆从原点开始滚动一周，其终点坐标就是．如下图：
4．数轴上的点都表示有理数吗？它还能表示一些什么数？
数轴上的点并不是都表示有理数，它还能表示无理数．
归一归：数轴上的点些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点是一一对应关系，即每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
知识点二、相反数、倒数、绝对值的意义及实数的运算
学一学：阅读教材P15“第四段”P15“例1”上方，内容，完成下面的问题：
1．在实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
2．的相反数是，倒数是，绝对值是；的相反数是，倒数是，绝对值是．
3．在有理数运算中规定：除法运算中除数不能为0，而且只有正数和零可以开平方运算，任意一个实数都可以开立方运算．
4．有理数的运算律有：加法交换律；加法结合律；乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律．
5．在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算律适用吗？
在进行实数运算时，有理数的运算法则和运算律同样适用
想一想：在实数运算中，如果遇到无理数，并且需求出结果的近似值时怎么办？
可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数，再进行计算
填一填：计算（1）=；（2）= （保留3个有效数字）．
知识点三、实数的大小比较
学一学：阅读教材P15“练习上面部分”解决下面问题：
1．在数轴上表法的数，右边的数总比左边的数大，这个结论在实数范围内也成立吗？为什么？仍然成立，因为实数与数轴上的点一一对应
2．正实数大于零，负实数小于零，正实数大于负实数；两个正实数，绝对值大的数较大，两个负实数，绝对值大的反而小．
3．对于与的大小比较关键是什么？关键是比较与1的大小
4．除了书本上的两种方法以外，你还有其它的方法吗？
可采用如下方法：因为—=，又因为，所以，所以<．
合作探究———不议不讲
互动探究一：对于任意实数，下列各式一定成立的是（ A ）．
A． B． C． D．
互动探究二：写出一个无理数，使它与的积是有理数：．
互动探究三：P17习题“第2题” ．
解：相反数依次为：；
绝对值依次为：．
互动探究四：计算（1）；（2）
解：（1）原式；
（2）原式=．
互动探究五：计算（1）（精确到0.01）；
（2）（保留2个有效数字）
解：（1）原式；
（2）原式=．
互动探究六：不用计算器比较与的大小．
解：因为，，又，所以>．
变式训练1：不用计算器比较与的大小．
解：因为，所以<．
变式训练2:不用计算器比较与的大小．
解：因为，又因，所以，即>．
学习笔记
【知识链接】
在数学史上，毕达哥拉斯可以说是大名鼎鼎的人物，他的一个伟大发现就是提示了直角三角形的三边关系，我们国家把这个结论叫“勾股定理”，而西方人一直到现在都仍然称“勾股定理”为“毕达哥拉斯定理” ．当勾股定理发现以后不久，有人根据勾股定理发现，边长为1的正方形，其对角线的长并不是人们所熟悉的有理数．当这个发现公布以后，毕达哥拉斯大吃一惊，原来世界上真有“另类数”的存在．
【学法指导】
1．实数的相反数、绝对值、倒数的意义以及实数的运算要类比有理数的知识进行学习．
2．对于知识点三中的“交流”中比较两个数的大小关键是于比较分子的大小，可采用求差法，根据差的符号来确定两个数的大小．
【教学建议】
1．实数和数轴上的点一一对应，教学时，可以先引导学生复习有理数用数轴上的点的表示方法，再提出问题“无理数能否用数轴上的点表示”，进而通过具体的无理数在数轴上的表示认识无理数的存在．
2．对于例1的教学，要紧扣运算法则与运算律同时，应注意恰当要求，不要出现合并同类二次根式、分母有理化等与现阶段教学内容不吻合的问题．
【备选问题】
1．举例说明无理数的和、差、积、商是否仍是无理数．不一定，如当两个无理数相等时，差是0，商是1，类似地，两个无理数的和，积也有可能是有理数．
2．已知与的小数部分分别是和，求与的值．
解：由题意，得，，所以
．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．绝对值最小的实数是（ D ）．
A．正数中最小的数 B．有理数中最小的数
C．整数中最小的数 D．自然数中最小的数
2．的绝对值是（ B）．
A． B．
C． D．
3．比较2.5,—3，的大小，正确的是（A）．
A． B．
C． D．
4．满足大于0且小于的整数有 3个．
5．计算：（1）；
（2）（精确到0.01）．
解（1）原式=；
（2）原式．
能力题——挑战自我
6．如图，数轴上表示1、的对应点分别为A、B，点B与点C的距离相等，则C点所对应的数是（ C ）．
A． B．
C． D．
7．绝对值小于3的所有实数的积为（ B ）．
A．12 B．0
C．6 D．—6
8．为实数，在数轴上的位置如图所示，则的值为（ C ）．
A． B．
C． D．
9．在数轴上与原点距离等于的点表示的数是．
10．若都是无理数，且，则值可以是（填一组即可）．
11．若，求的值．
解 由题意，得，所以．
拓展题——勇攀高峰
12．数的整数部分是，小数部分是，求的值．
解 由题意，得，，所以．
13．已知实数，若互为相反数，互为倒数，的绝对值是2，求的平方根．
解 由题意，得，所以，即的平方根为．
第6章复习课
复习目标：
1．建立起本章知识的框架图，形成这一章的完整知识体系；
2．提高归纳和概括能力，形成反思自己学习过程的意识；
3．利用例题与巩固练习，增加分析问题、解决问题的实践能力；
重点：平方根、立方根、无理数的概念与有关性质．
预习导学——不看不讲
画一画：你能通过本章所学知识完成下面的知识结构图吗？
知识点一、平方根与算术平方根
1．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，其中正的平方根也叫做的算术平方根，求一个数的平方根的运算叫开平方．
2．平方根与算术平方根有怎样的区别与联系？
区别：（1）从定义上看是两个不同的概念；（2）从个数上看不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个；（3）表示方法不同：正数的平方根为，正数的算术平方根为；（4）取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数，而正数的平方根则是一正一负，两数互为相反数．
3．的平方根是；的算术平方根是 3 ．
知识点二、立方根
1．如果，则叫做的立方根，记作，求一个数立方根的运算叫开立方．
2．立方根有什么性质？
正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0．
3．= —4 ，= —4 ，这说明=．
4．0的平方根是0 ，0的立方根是0 ，所以平方根与立方根相等的数是 0 ；类似的算术平方根与立方根相等的数是 0或1 ．
知识点三、无理数及实数概念
1．下列各数，哪些是有理数，哪些是无理数？
，，，，0，，18，，，，，．
有理数有：，，0，，18，，，；
无理数有：，，，．
2．通过上题可以发现无理数的常见形式有哪些？
无理数的常见形式有三类：（1）带根号且开方开不尽的数；（2）与有关又不能把化去的数；（3）无限不循环小数，特别是具有特殊规律但不循环的小数，如．
3．有限小数或无限循环小数叫有理数，无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称为实数．
4．数轴上的每一个点都表示实数，每一个实数都可以用数轴上的点来表示，所以实数与数轴上的点是一一对应的关系．
知识点四、实数的运算
1．的相反数是，倒数是，绝对值是．
2．通过上题说明在实数范围内相反数，倒数，绝对值的意义与在有理数范围内的相反数、倒数绝对值的意义完全一样．
3．=，这里运用了分配律，其实实数的代数运算具有与有理数相同的运算法则和运算律．
4．如果,且，则 > ．
合作探究———不议不讲
专题一：算术平方根的非负性
1．设，求代数式的值．
解 由题意，得，所以．
专题二：利用无理数的近似值求解
2．估计与的大小关系是（填“>”或“=”或“<”）
专题三：实数的运算
3．计算：（1）；（2）．
解 （1）原式=．
（2）原式=．
4．化简．
解 因为，，所以．
变式训练1：若，化简．
解 因为，所以．
所以．
变式训练2：数在数轴上的位置如图所示，化简．
解 观察数轴可得，，所以，，，
所以
．
专题四：数学思想——数形结合及转化思想
5．数轴上表示到原点的距离为的点所表示的数是．
6．为实数，且互为相反数，求的值．
解 由题意得，所以，解得，所以．
学习笔记
【知识链接】
为什么说不是有理数
公元前6世纪古希腊的毕达哥拉期学派有一种观点，即“万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比（分数）来表示．后来，当这一学派中的希帕索斯发现边长为1的正方形的对角线的长度不能用整数或整数之比表示，即不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，由此，引了第一次数学危机．希帕索斯成了学派的“叛逆者”，被投入了大海．随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认不是有理数，并给出了证明．
【学法指导】
1．要把零散于大脑的知识，在教师指导下纳入各自的识知结构中，通过知识网络图，内化为自己的东西．
2．要注意类比的学习方法，如平方根与立方根的类比，有理数的运算与实数的运算等．
【教学建议】
实数的分类情况应该让学生自己总结，然后师生共同评价，允许学生有各种不同的分类方法．
2.本节课的复习应该由学生自己通过自主整理、交流讨论与相互评价来完成，促进学生养成善于整理知识，适时归纳总结的学习习惯．
【备选问题】
1．化简的结果为多少？
当时，，当时，．
2．若与都是有理数，求的值．
解 因为是有理数，设，则为有理数．所以．
所以为有理数，因此，所以 达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．与数轴上的点一一对应的是（ A ）．
A．实数 B．有理数
C．无理数 D．整数
2．下列说法中正确的是（ C ）．
A．有理数与无理数之积一定是无理数
B．无理数与无理数之和一定是无理数
C．有理数与无理数之和一定是无理数
D．无理数与无理数之积一定是无理数
3．在数，，，中无理数的个数有（ A ）．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
4．的算术平方根是，144的平方根是．
5．的相反数是，绝对值是．
6．计算：（1）；
（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．如果，那么的值为（ C ）．
A．4 B．12
C．100 D．196
8．若式子是一个实数，则满足这个条件的有（ B ）个．
A．0个 B．1个
C．5个 D．无数个
9．绝对值最小的实数是 0 ，绝对值小于的整数有 5 个．
10．代数式的最大值为 10 ，这时与的关系是 互为相反数．
11．如图，大长方形内有两个相邻的正方形（图中空白部分），面积分别为4和2，求阴影部分的面积．
解
答阴影部分的面积为．
12．已知的整数部分为，小数部分为，求的值．
解 因为，所以．
拓展题——勇攀高峰
13．已知实数满足，求的值．
解 由题意，得且，所以，，所以．
14．规定一种新的运算：，如，请比较与的大小．
解 因为
，
又因，所以
>．
