10．1相交线（1）
学习目标
1．知道对顶角、邻补角的概念，能找出图形中的一个角的对顶角及邻补角；
2．能运用“对顶角相等”的性质进行简单的运算以及解决一些相关的实际问题；
3．经过观察、动手操作、推断、交流等数学活动，进一步发展空间观念，培养识图能力、推理能力和有理表达能力；
4．激发学习数学的好奇心和求知欲，初步体会数学与生活实际的联系；
5．重点：对顶角的概念、对顶角的性质及应用
预习导学——不看不讲
找一找：我们生活的空间，蕴藏着大量的相交直线和平行直线，你能举出生活中一些相交直线和平行直线的实例吗？找到后与同桌交流
楼梯扶手和立柱、X型晾衣架、教室内黑板面相邻的两条边等可看成是相交直线，黑板面相对的两条边、操场上的双杠、横格线上的横线等等给人以平行直线的形角．
想一想：平时用的剪刀可抽象成什么图形？相交直线
知识点一、对顶角、邻补角的概念
学一学：阅读教材P116“观察”，解决下面问题：
1．剪刀剪东西的过程中，两个把手之间的角发生了怎样的变化？剪刀刀刃张开的口又怎样变化？
握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刀刃之间的角则相应变小，如果改变用力方向，随着两个把手之间的角逐渐变大，剪刀刀刃之间的角也相应变大．
2．既然张开的剪刀可看作两条直交直线，那请同学们画出一组相交线，并利用几何语言描述你画的图形．
如图，直线AB、CD相交于点O
3．观察图中和，在位置上两个角有什么特点？试着给出命名
对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，那么这样的两个角叫对顶角．
4．图中除了和是对顶角外，还有其它的对顶角吗？还有与
5．与两角有一公共边，另外两边互为反向延长线，这样的一组角叫做邻补角．
想一想：与互为邻补角的有哪几个角？和都是的邻补角
选一选：如图，与是对顶角的是 （ C ）．
知识点二、对顶角的性质
学一学：阅读教材P116“探究”部分，解决下面问题：
1．在如图所示的图形中，你能发现哪些正确的结论？
（1）；
（2）；
（3）．
2．分别说出上问得出结论的依据
发现（1）的依据为四个角构成的是周角；发现（2）的依据根据邻补的定义；发现（3）的依据是根据同角的补角相等，即，可得，同理还可得到．
3．通过上面发现（3）的结论你想到了什么？
对顶角性质：对顶角相等
想一想：你能举出生活中应用对顶角相等的例子吗？
答案不唯一，如推拉式防盗门等
选一选：下列说法中正确的是（ C ）
A有公共顶点的角是对顶角 B．相等的角是对顶角
C．对顶角必相等 D．不是对顶角的角不相等
合作探究———不议不讲
互动探究一：如图，含有对顶角的图形是（ A ）．
【方法归纳交流】判定对顶角的条件：一是有公共顶点；二是角的两边互为反向延长线．
互动探究二：已知与互为邻补角，且与的比为2：3，则=，=.
互动探究三：如图所示，三条直线相交于点O，则.
互动探究四：见教材P118习题“第2题” .
解 由对顶角相等，得，又因，
所以.
互动探究五：如图，直线AB、CD、EF相交于点O，，求的度数.
解 因为，所以.
所以.又因，
所以.
变式演练：对于探究五，若其余条件不变，，求的度数.
解 由探究五可得，又因，，所以.
互动探究六：如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分，且，求的度数.
解 因为OE平分，所以，又因，所以，所以.又因，所以.
变式演练：对于探究六，若其余条件不变，，求的度数.
解 因为，，所以，又因OE平分，所以，所以.
学习笔记
【知识链接】
巧测角的度数
星期天，小刚和爸爸一起去河边钓鱼，河对岸有两棵树（A，B），河边有一棵树（C），如图，结合平时的学习，小刚想出了一个问题“如何测量的大小？”你能解答这个问题吗？
【学法指导】
1．对顶角的性质可以经过观察、测量、推理获得，能确定两个角的位置关系是对顶角，就可得到两角的数量关系相等.
2．判断两个角是否为对顶角的关键，一看是否有公共端点；二是两个角的两边是否互为反向延长线.
3．对于探究五、六类型的问题，求一个角的大小一般需要综合运用互补、互余的概念及性质以及对顶角相等的性质等.
【教学建议】
1．在教学中，教师给学生提供充分的探索对顶角的概念以及性质的素材，给学生充分的合作交流、自主学习的空间，让学生在充分感知对顶角的概念及性质的形成过程.
2．对顶角概念在直观基础上给出，不必让学生硬记，为了让学生正确认识对顶角，可利用练习中第1题相关图形加以巩固.
【备选问题】
1．同一平面内有条直线相交于同一点，则可构成多少对对顶角？
可构成对对顶角.
2．同一平面内的五条不同的直线相交，最多可构成 20 对顶角（不含平角）？
知识链接答案：延长AC、BC，测量∠ACB的对顶角度数，再利用对顶角相等便可确定∠ACB的度数．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列说法不正确的是（ C ）．
A．若直线AB与CD只有一个公共点，则称直线AB与CD相交
B．平面内的两直线没有公共点则称这两直线不相交
C．相交的两直线可能有两个交点
D．平面内的两条直线或射线不相交，但是它们所在的直线可能相交
2．互为邻补角的两个角可能（ D ）．
A．都是锐角 B．都是钝角 C．一个是锐角，一个是直角
D．两个直角或一个钝角和一个锐角
3．与是对顶角，的邻补角等于，则的度数为（ C ）．
A． B．
C． D．
4．两条直线相交，所形成的四个角中如果有一个角为，那么另三个角分别为．
5．如图，三条直线PQ、MN、GH相交于点A，那么
.
6．如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．
解 因为∠COE：∠EOD=4：5，所以，又因OA平分∠COE，所以，所以．
能力题——挑战自我
7．如图所示，直线AB、CD相交于O，OB平分( EOD，图中成对顶角的是（ B ）．
A．( AOC与(BOE B．(BOC = ( AOD
C．(COE与(BOD D．(AOE与(DOE
8．平面内三条直线交点个数是（ D ）．
A．1个或3个 B．2个或3个
C．1个或2个或3个
D．0个，1个，2个或3个
9．如图，直线AB和CD相交于点O，OE平分，若等于，则= 104 度.
10．如图所示，三条直线AB、CD、EF相交于点O，，，求的度数．
解因为，，所以．所以．
11．如图，直线AB、CD相交于O点，，，OD平分，求的度数 ．
因为，
所以
因为，
所以．
又因OD平分，
所以．
．
拓展题——勇攀高峰
12．观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）
（1）如图（1）图中共有 2 对对顶角；
（2）如图（2）图中共有 6 对对顶角；
（3）如图（3）图中共有 12 对对顶角；
（4）研究前面直线条数与对顶角对数的关系，若有条直线相交相交于一点，则可形成对对顶角；
（5）若有180条直线直交于一点，则可形成 32220对对顶角．
10．1相交线（2）
学习目标
1．知道垂直概念，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；
2．知道垂线的性质“过一点有且只有一条直线垂直于已知直线”；
3．理解垂线段的概念，知道垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离；
4．经历观察、操作、想象、归纳概括、交流等活动过程，培养学生画图能力，进一步发展空间观念以及用几何语言准确表达的能力；
5．通过相交线、垂线体现出的一般与特殊的关系，培养辩证唯物主义思想及不断探索发现新知识的精神；
6．重点：两条直线互相垂直的概念、两个性质和画法，点到直线的距离的概念及其简单应用．
预习导学——不看不讲
知识点一、垂线的概念
学一学：阅读教材P117“思考”部分，解决下面问题：
1．如图，两条直线AB、CD相交于点O，可得哪些角相等？
2．如图，固定木条，逆时针转动木条，当的位置变化时，所成的角是如何变化的？其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，所成的四个角有什么特殊关系？在转动木条的过程中，这种特殊情况的位置有几个？
当的位置变化时，角从锐角变为直角再变为钝角，其中是直角时是特殊情况，其特殊之处还在于：当是直角时，它相邻的角，对顶角都是直角，即所成的四个角都是直角，都相等，并且在转动木条的过程中，这种特殊情况的位置只有1个，两线相交的这种特殊情况我们数学上称之为两条直线互相垂直．
3．根据前面的观察、演示等活动，你能说出什么样的两条直线互相垂直吗？
两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．
4．垂直用符号“ ⊥ ”来表示，“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”就可记为 AB⊥CD，垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号
试一试：谁能借助图形将垂直的定义用符号表示出来？试试看！
如图，若直线AB、CD相交于点O，，则AB⊥CD，垂足为O．
断一断：判断以下两条直线是否垂直
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个是直角．（ 是 ）
（2）两条直线相交所成的四个角相等．（ 是 ）
（3）两条直线相交，有三个角为直角．（ 是 ）
（4）两条直线相交，对顶角互补．（ 是 ）
知识点二、垂线的画线及性质
学一学：阅读教材P118-120“操作、观察、交流”，解决下面问题：
1．如图，用折纸的方法过A点，你能折出几条与直线垂直的直线
若A点不在直线上呢？
过A点只能折出一条与直线垂直的直线，当A点不在直线上时，也只能折出一条．
2．过一点用三角尺画垂线的方法可以简单概括为：一靠（线）、二过（点）、三画（线）
3．能过以上操作，你能得出什么结论？经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．在“观察（1）”中，用叠合法或度量法可得PA、PB、PC、PO等线段中，线段 PO 最短
５．在“观察（２）”中通过标记点Ｏ的位置，你有什么发现？除一开始外，其余Ｏ点都在都在直线外，这说明了点Ｐ与直线上所有点的连线中，PO最短．
6．以上发现中集中体现了一个事实，谁能表述出来？
在连接直线外一点到直线上各点的线段中，垂线段最短，也就是常说的“垂线段最短” ．
想一想：垂线与垂线段有什么区别与联系？
垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分．
议一议：在“交流”中如何测量这位同学的跳远成绩？通过这个问题，你能给出点到直线的距离的概念吗？只要测量点P到起跳线的垂线段的长度即可；直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
填一填：线段AB=5cm，点C为任意一点，当点C位于线段AB上时，AC+BC最短，依据是两点之间，线段最短；在△ABC中，，则AC < AB(填“< ”或“=”或“>”)，依据是垂线段最短．
合作探究———不议不讲
互动探究一: 直线上有A、B、C三点，直线外有一点P，若PA=5cm，PB=4cm，PC=3cm，那么P点到直线的距离 （ C ）．
A．等于3cm B．小于3cm
C．不大于3cm D．大于3cm而小于4cm
互动探究二: 如图，直线AB⊥CD，垂足为点O，射线OP在的内部，且，则与的度数比为 3：2
互动探究三: 见教材P118习题“第4题” ．
解 角平分线上的点到角的两边距离相等．
互动探究四: 如图，CO⊥AB，垂足为O，过点O作，EO与FO是否垂直？并说明理由.
解 垂直 因为CO⊥AB，所以，即．因为，所以，即EO⊥FO.
变式演练：对于探究四，若条件不变，吗？
解 由探究四可知EO⊥FO，又因为CO⊥AB，所以由同角的余角相等可得．
互动探究五:下面题目，三名同学有不同做法，请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法．
题目：如图所示，说明如何量出点C到线段AB的距离.
甲同学：只要量出线段BC的长度即可；乙同学：过点C无法向线段AB作垂线，所以无法量出点C到线段AB的距离；丙同学：过点C作线段AB的垂线，垂线和线段AB不相交，所以不能量出点C到线段AB的距离．
解 以上三位同学的做法都不正确，正确的做法是过C点向线段AB作垂线，交线段AB延长线于D点，垂线段CD的长度就是点C到线段AB的距离．
【方法归纳交流】如何确定线段外一点到线段的距离？
通过线段外一点向线段所在的直线作垂线段，点到垂足之间的垂线段的长度就是点到线段的距离．
互动探究六: 如图，P、Q分别是在公路两旁的两个村庄，现要在公路上建一个购物中心.
要使P村的人购物方便，购物中心该建在何处？画图表示，并说明理由；
解如图，过P点作PE垂直于公路，交公路于点E，由垂线段最短可得，点E就是购物中心的位置．
变式演练：对于探究六，其余条件不变，若要使P、Q两村人到购物中心都方便，这个购物中心到两村的距离之和最短，则应建在何处？
解 如图，连接PQ交直线于F点，则F点就是购物中心的位置．
学习笔记
【知识链接】
七桥问题
“七巧问题”是著名古典数学问题之一，内容是在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)，问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明了上述走法是不可能的．
【学法指导】
1．画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的直线的垂线．
2．在解答有关垂直的计算题时，要充分利用对顶角的性质，垂直的定义，角平分线的性质以及互余、互补的其他特殊关系进行解答．
3．“有且只有”表示存在性和唯一性，“有”表示存在性，“只有”表示唯一性．
【教学建议】
1．对于垂线的两个性质可以通过学生的操作感知获得的，对于性质1先让学生以不同方式画垂线，让学生有充分的感知，更易于理解接受垂线性质1；对于性质2，先让学生操作，由“远”而“近”，由表及里，让学生顺利理解并接受垂线性质2．
2．点到直线的距离的测量方法：（1）找出点到直线的垂线段；（2）量出这条线段的长度．让学生明确点到直线的距离其实就是点到点的距离，即已知点到垂足的距离．
【备选问题】
1．见教材P118“数学乐园” ．
解 方法1节省材料，根据垂线段最短的性质可知，
所以 ．
2．如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C．图中线段的长能表示点到直线（或线段）距离的线段有 5 条
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．OA是一条射线，P为射线外一点，过点P向OA作垂线，垂足在 （ D ）.
A．射线OA上 B．射线的端点O上
C．射线的反向延长线上 D．以上都有可能
2．点到直线的距离是指（ B ）．
A．直线外一点到该直线的垂线的长度 B．直线外一点到该直线的垂线段的长度
C．直线外一点与该直线上一点间的距离 D．从直线外一点向该直线所画的垂线段
3．如图1，点S到直线AB的距离是（ B ）.
A．线段OE的长度 B．线段SO的长度
C．线段SF的长度 D．线段SE的长度
4．如图2，在直角三角形ABC中，，，理由是 垂线段最短 ；，理由是 两点之间线段最短.
5．如图3，CD⊥AB，垂足为C，，则= 40 度.
6．如图4，直线AB与直线CD相交于点O，EO⊥AB，∠EOD=25°，则∠BOD=，
∠AOC=，∠BOC=.
7．见教材P118习题“第3题” ．
解 ；
．
能力题——挑战自我
8．如图5，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段（C ）的长
A．PO B．RO
C．OQ D．PQ
9．如图6，已知 ，，垂足分别是、，那么以下线段大小的比较必定成立的是 （ C ）．
A. B.
C. D.
10．要判断图7中的面积是面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是 2 次．
11．如图8，在时钟上请你画出时针和分针，使时针和分针恰好垂直，并且此时表示的时间恰好是整点．
（1）画出的表示时间是几点？想一想，还有其他情况吗？
（2）一天24,时针与分针互相垂直多少次
解（1）图略表示的时间是3点或9点；
（2）因为每天时针与分针重合22次，每重合一次时针与分针垂直2次，因此，一天24小时内时针与分针互相垂直22×2=44(次) ．
拓展题——勇攀高峰
12. 如图9所示，据气象部门观测，现有一台风中心沿直线AB由西向东移动，C、D分别是位于直线AB两侧的两个城市
（1）设台风中心移动到AB上点M的位置时，距离城市C最近，移动点N的位置时，距离城市D最近，请在图中分别画出点M和点N的位置；
（2）当台风中心从A向B移动时，在AB的哪一段上离城市C、D越来越近？在哪一段上离城市D越来越近，而离城市C越来越远？（分别用文字表达你的结论，不必说明理由）
解（1）过点C作CM⊥AB，垂足为点M，过点D作DN⊥AB，垂足为点N，则点M、N即为所求；
（2）当台风中心从A向B移动时，在AM段上，离两个城市越来越近；在MN段上时，离城市C越来越远，离城市D越来越近．
10．2平行线的判定（1）
学习目标
1．知道平行线的概念及平行线的基本性质，会用三角尺或直尺过直线外一点画这条直线的平行线；
2．知道同位角、内错角、同旁内角的概念，结合图形识别同位角、内错角、同旁内角；
3．经历观察教具模式的演示和通过画图等操作、交流、归纳等活动的过程，进一步发展空间观念；
4．从复杂图形分解为基本图形的过程中，渗透化繁为简，化难为易的化归思想；
5．重点：平行线的基本性质、识别同位角、内错角、同旁内角．
预习导学——不看不讲
知识点一、平行线的概念及性质
学一学：阅读教材P123-124“操作、观察”部分，解答下面问题：
1平行线在生活中处处可见，用途广泛，谁能结合生活中的实例，说说什么样的线是平行线呢？
在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．
2．你能画一组平行线吗？并标注直线名称．
如图，两条直线AB、CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD” ．
3．在同一平面内，不重合的两条直线有哪几种位置关系？
相交与平行两种
4．如图，把三根教具木条想象成三条无限延伸的直线，在逆时针转动教具木条的过程中，有几个位置能使与平行？
直线绕直线外一点B逆时针转动过程中，只有一个位置使与平行．
5．如何用直尺和三角尺画平行线？
（1）三角尺的一边落在已知直线上；（2）用直尺紧靠三角尺的另一边；（3）沿直尺移动三角尺，直至落在已知直线上的三角尺的一边经过已知点；（4）沿三角尺过已知点的边画直线．
6．如图，已知直线，点B，点C
（1）过点B画直线的平行线，能画几条？（2）过点C画直线的平行线，能画几条？
画图（略），都只能画一条．
7．通过教具演示，画图观察，你能发现过直线外一点作平行线的事实吗？
经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线．
议一议：平行线的基本性质与垂线的第一条性质有什么相同点和不同点？
相同点：都是“有且只有一条直线”，这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的；不能点：平行线的基本性质中所过的“一点”要在已知直线外，而垂线的性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可以直线外．
选一选：已知，P是平面上任意一点，过点P作一条直线与OA平行，那么这样的直线（ D ）．
A．有且只有一条 B．有两条 C．不存在 D．有一条或不存在
知识点一、同位角、内错角、同旁内角概念
学一学：阅读教材P124部分，解决下面问题：
1观察图中的与，它们的截线及两条被截直线在位置上有什么特点？你能给它们起个名字吗？
这两个角：（1）分别在被截直线AB、CD的上方；（2）都在被截直线EF的右侧，它们相对于截线和被截线的位置都是相同的，因此可称它们为同位角．
2．上图中还有其它的同位角吗，并说出它们相对于截线和被截线的位置？
∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8
∠2与∠6分别在直线AB、CD的上方，并且都在直线EF的左侧；∠3与∠7分别在直线AB、CD的下方，并且都在直线EF的左侧；（3）∠4与∠8分别在直线AB、CD的下方，并且都在直线EF的右侧．
3．观察上图中的∠3与∠5，它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？你能给它起个名字吗？图中还有其他的同类角吗？
∠3与∠5这两个角：（1）都在被截线AB、CD之间；（2）分别在截线EF的两侧，称之为内错角，图在的∠4与∠6也是内错角．
4．观察上图中的∠4与∠5，它们与截线及两条被截直线在位置上有什么特点？你能给它们起个名字吗？图中还有其他的同类角吗？
∠4与∠5这两个角：（1）都在被截直线AB、CD之间；（2）都在截线EF的同旁，称之为同旁内角，图中的∠3与∠6也是同旁内角．
议一议：上图中的同位角、内错角、同旁内角的图形有什么共同特征？都像哪一个字母？
同位角图形形如字母“F”，内错角图形形如字母“Z”，同旁内角图形形如字母“U” ．
填一填：如图，∠1与 ∠3 是同位角，∠1与 ∠5 是内错角，∠1与 ∠2 是同旁内角．
合作探究———不议不讲
互动探究一：如图，三角形ABC的两边AB、AC被直线MN所截，下列判断错误的是（ B ）．
A．∠2与∠3是内错角 B．∠3与∠4同位角
C．∠1与∠4是内错角 D．∠1与∠2是同旁内角
互动探究二：直线的同侧有A、B、C三点，如果A、B两点确定的直线与B、C两点确定的直线都与平行，则A、B、C三点的位置关系是在同一条直线上 ，其理论依据是经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
互动探究三：如图：（1）∠1与∠3是同位角，它是直线 AB 和 AC 被直线 DE 所截成的；（2）∠2和∠6是 同旁内角 ，这是直线 BC 和 DE 被直线 AB 所截而成的；（3）∠4和∠5是内错角，它是直线 DE和 BC 被直线 AC 所截而成的；（4）∠5和∠7是同旁内角，它是直线 AB 和 BC 被直线 AC 所截而成的．
互动探究四：读句画图：
（1）M是直线AB外一点，过点M的直线MN与AB交于点N，过点M画直线CD，使CD∥AB；
（2）点P是∠ABC的边AB上的一点，直线EF经过点P，且与直线BC平行．
解 图形如图所示：
互动探究五：如图，∠1与∠2是同位角吗？∠2与∠3呢？
解 ∠1与∠2不是同位角，与∠3也不是同位角，因为它们都不具备两条直线被第三条直线所截这一基本条件．
【方法归纳交流】同位角、内错角、同旁内角都是由两条直线被第三条直线所截而形成的，其形状可分别用英文字母“F、Z、U”来表示．
互动探究六：如图，直线DE截AB、AC，构成的8个角，指出所有的同位角、内错角、同旁内角．
解 同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8， 6与∠3；
内错角：∠4与∠5，∠3与∠8；同旁内角：∠3与∠5，∠4与∠8．
变式演练1：对于探究六，∠A与∠8是哪两条直线被哪条直线所截形成的角？它们是什么关系的角？∠A与∠5呢？∠A与∠6呢？
解∠A与∠8是由直线AC、DE被直线AB所截而形成的同位角；∠A与∠5是由直线AC、DE被直线AB所截而形成的同旁内角；∠A与∠6是直线AC、DE被直线AB所截而形成的内错角．
变式演练2：找出如图所示中的所有的同位角、内错角、同旁内角．
解 同位角：∠EAD与∠ABC；内错角：∠DAC与∠ACB；
同旁内角：∠CAB与∠ABC，∠CAB与∠ACB，∠ABC与∠ACB．
学习笔记
【知识链接】
“三线八角”这一家子
话说相交线先生娶了两个平行线小姐当老婆，一共生了三对兄弟，有两对兄弟长得很像，他们是同位角兄弟和内错角兄弟，还有一对兄弟有时一样，有时又不一样，他们是同旁内角兄弟．
【学法指导】
1．用三角尺、直尺画平行线的步骤可简记为：一“落”；二“靠”；三“移”；四“画” ．
2．在识别同位角、内错角、同旁内角时，在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的不同旁找内错角，因此在“三线八角”的图形中的主线是截线（基准线），抓住了截线，再利用图形结构特征判断．
【教学建议】
1．教学中要以实例让学生感知两直线存在不相交的情形，再给出平行线的定义、记法、语言表述等，以于平行线的基本性质，要通过学生动手、动脑的过程，切实发现过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
2．对于同位角、内错角、同旁内角的识别，教学时可提供大量的变式图形，让学生在变化中将三线八角分辨清楚，形成三个字母的模型，为学生应付复杂环境中的三线八角提供思路．
【备选问题】
1．三角形中任意两个内角是什么位置关系的角？
三角形中任意两个内角都是同旁内角
2．两条平行直线可以把平面分成几部分？三条平行线呢？条平行线呢？
解 两条平行直线可以把平面分成三部分；三条平行线可将平面分成四部分；条直线可将平面分成部分．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．同一平面内两条直线的位置关系有（ B ）．
A．平行或垂直 B．平行或相交
C．垂直或相交 D．平行、垂直或相交
2．一条直线与另外两条平行线的关系是（ D ）．
A．一定与两条平行线平行
B．一定与两条平行线相交
C．可能与两条平行线的一条平行，一条相交
D．与两条平行线都平行或都相交
3．如图1，能与构成同位角的角有（ B ）．
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
4．在同一平面内有三条直线，其中有且只有两条直线平行，它们有 2 个交点．
5．如图2，与∠1成同位角的是∠B ；与∠2成内错角的是∠A ；与∠B成同旁内角的是 ∠BAC、∠ACB、∠BCD．
6．如图3所示，P是∠AOB外一点
（1）过点P画直线PC∥OA，并且与OB相交于点C；
（2）过点P画直线PD∥OB，并且与OA的反向延长线相交于点D．
解 图略
能力题——挑战自我
7．平面内三条直线的交点个数可能有（ D ）．
A．1个或3个
B．1个或2个或3个
C．2个或3个
D．0个或1个或2个或3个
8．已知∥，∥，则的位置关系是（ B ）．
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
9．如图4，∠1与∠3是直线 AB 和 CD 被直线 BD 所截而形成的内错角；∠2与∠4是直线AD 和 BC 被直线 BD 所截而形成的内错角；∠ADC与∠DAB是直线 AB 和CD 被直线 AD 所截而形成的同旁内角．
10．如图5，直线DE、BC被直线AB所截，若∠1与∠3互补，则∠1与∠4是否相等？∠1与∠2呢？为什么？
解∠1与∠4、∠1与∠2相等，因为∠1与∠3互补，而∠2与∠3也互补，所以∠1=∠2，又同∠2=∠4，所以∠1=∠4．
11．如图6，标有∠1，∠2，∠3，∠4的各角中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截形成的角？
解∠1和∠1是内错角，它们是直线AD、BC被BE所截形成的角；∠2和∠4是直线BE、DF被BC所截形成的同位角，∠2和∠3是直线BE、DF被BC所截形成的同旁内角．
拓展题——勇攀高峰
12．平面上有5条直线，无任何三条交于一点，欲使它们出现7个交点，怎样安排才能办到？
解如图所示两条不平行的直线分别与三条平行直线相交即可．
10．2平行线的判定（1）
学习目标
1．知道平行线的判定方法——同位角相等，两直线平行，并会运用它解决一些有关问题；
2．明白用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线的原理；
3．经历观察、操作、思考、交流、推理等过程，进一步发展空间观念的有条理的思考、表达能力；
4．通过多样化的数学活动，进一步发展空间观念和几何直觉，培养推理意识和语言表达能力；
5．重点：会根据“同位角相等，两直线平行”判定两直线平行．
预习导学——不看不讲
知识点一、平行线的判定方法一
学一学：阅读教材P125“观察”部分，解决下面问题：
1．小红要在房间墙上订一根挂衣架（如图所示），衣架AB与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使衣架AB与墙底边CD平行呢？
当衣架AB与墙壁边缘垂直时，才能使衣架AB平行墙底边CD．
2．制作如图所示的教具并进行下面的操作：三根木条相交成∠1，∠2，固定木条、，转动木条，在操作的过程中观察∠2的变化以及它与∠1的关系，你发现木条与木条的位置关系发生了什么变化？木条何时与木条平行？改变∠1的大小再试一试，与同学交流你的发现．
当图中的∠2满足与∠1相等时，木条与木条平行
3．我们知道∠2与∠1是两条直线被第三条直线所截获得的？它们被称之为什么？
同位角
4．根据前面的观察、认识，你发现了什么？
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，简单地说：同位角相等，两直线平行
5．同学们，你们能把平行线的判定方法1借助图形并用符号语言的形式表达出来吗？
如图，因为∠1=∠2，（已知） 所以∥．(同位角相等，两直线平行)
议一议：上节课利用直尺、三角尺画平行线的方法，现在你知道它的原理了吗？
利用直尺、三角尺画平行线的过程中始终保持同位角是相等的，所以画出的直线才能与已知直线平行．
填一填：如图，直线被直线所截，若∠1=∠2，则∥，根据是 同位角相等，两直线平行．
知识点一、平行线的判定方法一的应用
阅读下面例题，回答问题：
例：如图，，直线与平行吗？与平行吗？
1．要想得到∥，需证明；要得到∥，需证明．
2．因为（已知），所以．（互补的定义）
又因，（已知） 所以．（等量代换）
所以∥，∥．（同位角相等，两直线平行）．
合作探究———不议不讲
互动探究一:如图，，则下列结论正确的是（ B ）．
A．AD∥BC B．BE∥GF
C．AD∥CE D．GF∥BC
互动探究二:如图，，A、B、E三点在同一条直线上，且，那么直线 AD ∥ BC ，根据 同位角相等，两直线平行 ．
互动探究三:见教材P121练习“第1题”
解 因为，所以由同位角相等，两直线平行可得，CD∥EF．
互动探究四:如图，已知，，试说明AB∥CD．
解 因为，（平角的定义），．（已知）
所以．又，所以．（等理代换）
所以AB∥CD．（同位角相等，两直线平行）
【方法归纳交流】要证明AB∥CD，可通过证明∠1=∠4或∠2=∠3
互动探究五:如图，根据下列条件，可以判断哪两条直线平行；并说明判断的根据是什么？
（1） （2）
解 （1）由，可得AB∥DE，依据是同位角相等，两直线平行；
（2）由，可得AC∥DF，依据是同位角相等，两直线平行．
变式演练1： 对于探究五的图形若是由两块相同的三角板拼成的一个如图所示的图形，你能从图形上找到几组平行线？
解 能找到2组平行线：AC∥DF，AB∥DE，因为是两块相同的三角板，所以，由同位角相等，两直线平行可得上述结论．
变式演练2:如图，是由两块相同的直角三角尺拼成的，（1）请写出图中相等的角；（2）请写出图中平行的线段，并说明理由．
解 （1），；（2）EC∥DF，因为，根据“同位角相等，两直线平行”可得．
互动探究六:如图，，AB平行CD吗？AC平行于BD吗？为什么？
解 AB∥CD，，因为，所以，因为根据同位角相等，两直线平行，所以AB∥CD；因为，所以，根据同位角相等，两直线平行，所以AC∥BD．
学习笔记
【知识链接】
眼见未必为实
人们常说眼见为实，耳听为虚，这恐怕也未必，同学们仔细观察下面图形，第一幅图中的横线平行吗？第二三两幅图中的四边形对边分别平行吗？用推三角尺的方法验证一下，看一下你看到的是事实吗？
【学法指导】
1．解决线平行，关键是找到同位角，“以角代线” ．
2．对于探究五及其变式要抓住“相同的三角板”这一关键，借助这一条件，由角相等得线平行．
【教学建议】
1．平行线的判定方法一，可通过学生的实际操作并结合观察直观得出，不需要证明．
2．本课时要尽可能给学生多一些表现自己的机会，提供多一些独立思考的时间，多一些活动的余地，多一些体验成功的喜悦．
【备选问题】
1．如图，，直线与平行吗？由此你想到了什么？
直线与平行，由此想到了：内错角相等，两直线平行
2．你能用一张不规则的四边形纸折出两条平行的直线吗？
解 可采用分别折出两条与纸的某边缘垂直的线
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．如图1，直线，被所截，下列说理过程不正确的是（ D ）．
A．因为=，所以
B．如果，那么∥
C．如果，那么∥
D．如果，那么∥．
2．如图2，，则直线DE与BC的关系是（ D ）．
A．相交 B．垂直
C．重合 D．平行
3．如图3，，当时，就能使BE∥CD．
4．如图4，若，则 AB ∥；若，则BC∥，理由是同位角相等，两直线平行．
5．如图5，为了加强房屋，要在屋架上加一根栋梁DE，使DE∥BC，如果，那么．
6．如图6，若，则∥．
7．见教材P121练习“第2题” ．
解 油轮A与油轮B没有相撞的危险，由于同位角相等，油轮A与油轮B的航线互相平行．
8．如图7，请补充一个合适的条件，使得DE∥BC．
解 答案不唯一，如
等．
能力题——挑战自我
9．读下列语句，并作图：
（1）如图8，过A点画AF∥CE交BC于F，过A点画AM⊥BC交BC于M点；
（2）如图9过点C画CE∥AD交BA延长线于E，过B作直线AD的垂线，垂足为N．
解 （略）
10．如图10，如果，，，可以判定哪些直线平行？请说出所用的判定方法．
解可以判定AB∥EF，
DE∥BC，所用的判定方法为：同位角相等，两直线平行．
拓展题——勇攀高峰
11．如图11，已知DE平分，AF平分，且，试证明DF∥AC．
证明：因为DE平分，AF平分，所以，又因为，所以，
所以DF∥AC．
10．2平行线的判定（2）
学习目标
1．会“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的推导以及会用这两个方法判定两条直线平行；
2．初步学会有条理地表达的能力；
3．经历探索“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”的过程，发展学生观察、思考、推理能力和应用知识的能力；
4．培养积极进取、主动思考，与人交流的意识，体会数学知识的实际应用价值；
5．重点：平行线的判定方法．
预习导学——不看不讲
知识点一、平行线的判定方法二、三
学一学：阅读教材P126“思考”，解决下面问题：
1．如图，直线被直线所截，如果内错角，能得到直线∥吗？
根据，以及的对顶角与相等，可以得出，利用判定方法一，可以判断出∥．
2．你能把上面的发现用文字表述吗？
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，简单地说，内错角相等，两直线平行．
3．请同学们试着把平行线的判定方法二用符号语言表述出来．
如上图，因为，（已知） 所以∥．（内错角相等，两直线平行）．
4．上图，请同学们继续观察，看有没有什么新发现？
图中除了同位角、内错角，还有同旁内角，若，则直线与平行．
5．你能说明为什么吗？
已知，又结合平定的定义，根据同角的补角相等，可以得出，利用判定方法二，可以得出∥．
6．请同学们试着把上面的发现用文字语言表述．
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，好么这两条直线平行，简单地说，同旁内角互补，两直线平行．
7．请同学们试着把平行线的判定三用符号语言表述出来？
如上图，因为，（已知） 所以∥．（同旁内角互补，两直线平行）
想一想：小明有一块画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于他在两个边缘之间画了一条线段AB（如图所示），小明身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎么做的吗？
他是通过测量上下两个边缘与截线AB所形成的一对内错角是否相等，或一对同旁内角是否互补来确定的
知识点二、平行线的判定方法的应用
阅读下面例题，回答问题：
例：如图，四边形ABCD中，若，能判定哪两条直线平行？若，那么哪两条直线平行？为什么？
1．与是由直线 AB 和 CD 被直线 AC 所截而形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，得 AB ∥ CD ．
2与是由直线 AD 和 BC 被直线 AB 所截而形的同旁内角，根据同旁内角互补，可得 AD ∥ BC ．
议一议：通过上面例题可以发现，在相对复杂一点的图形中，由角的相等或互补确定两直线位置关系的关键是什么？
找出哪两条直线被第三条直线所截而形成的同位角、内错角、同旁内角，从而准确地判定哪两条直线平行．
选一选：如图，下列条件中，不能判定直线∥的是（ B ）．
A． B．
C． D．
合作探究———不议不讲
互动探究一：如图，对于给出的条件：①；②；③；④；⑤；⑥，能判定∥的条件有（ A ）．
A．2个 B．3个
C．5个 D．6个
【方法归纳交流】判断两直线平行，可以从同位角相等、内错角相等、同旁内角互补三个方面去考虑．
互动探究二：如图，因为（已知），所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；因为（已知），所以AD∥ BC （内错角相等，两直线平行）．
互动探究三：见教材P123习题“第2题”
解（1）AD，BC，内错角相等，两直线平行；（2）DC，AB，内错角相等，两直线平行；
（3）AD，BC，同位角相等，两直线平行；（4），同旁内角互补，两直线平行；
（5）或，同旁内角互补，两直线平行．
互动探究四：如图，与互余，CF⊥DF，AB与CD平行吗？为什么？
解 因为CF⊥DF，所以，又，所以，又，所以，根据内错角相等，两直线平行，所以AB∥CD．
互动探究五：如图所示
因为（已知），所以（等量代换）．
所以 DE ∥ BC （同位角相等，两直线平行）．
因为AB、DE相交，所以（对顶角相等）．所以（等量代换）．
因为（已知），所以．
所以 AB ∥ DF （同旁内角互补，两直线平行）．
互动探究六：如图，CD⊥AD，AB⊥AD，，那么直线AE与DF平行吗？请说明理由．
解AE与DF平行，理由：
因为CD⊥AD，AB⊥AD（已知），所以（垂直定义）．
因为（已知），所以，即．
所以AE∥DF（内错角相等，两直线平行）．
变式演练1：对于探究六，若其余条件不变，这个条件变为DF、AE分别平分，则AE与DF平行吗？
解AE与DF平行，理由与探究六类似，只利用角平分线性质求出得证．
变式演练2：如上图，若DF、AE分别平分且，AB与CD平行吗？
解 AB与CD平行，理由：因为DF、AE分别平分，所以，又因，所以，所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
学习笔记
【知识链接】
另一个几何世界
罗马切夫斯基是俄罗斯著名的数学家，他是非欧几何的早期发现人之一，可以说非欧几何是在欧几里得向何之外又外的另一个几何世界，就是它否定了欧几里得平行公理的“唯一性”，又得出了一条新的平行公理：经过直线外一点，至少有两条直线与已知直线不相交．非欧几里得几何学是罗马切夫斯基最先提出的，因此人们之称它为罗马切夫斯基几何学．
不过非欧几何学并没有得到当时数这家的认同，而且还遭到众人的嘲讽，甚至有人说，他的新几何学是“对有学问的数学家的讽刺”．更可恶的是，当时强大的宗教势力，更是仇恨他的新几何学．然而罗马切夫斯基是坚强的，经过一生的战斗，虽在有生之年没有得到认可，但历史是公正的，他所作出的贡献是有目公睹的．
【学法指导】
1平行线判定的本质就是同位角、内错角、同旁内角的识别，因此正确认识这三种角是不习平行线的判定的关键．
2．解决有关平行线的问题时，关键是找有关的同位角、内错角、和同旁内角，“以角带线” ．
【教学建议】
1．平行线3个判定方法的教学中要让学生体会知识获取的不同途径：实践与正确推理．
2．对于推理的形式化书写要求，教学时可适当地要求学生，训练学生有条理的表达，但不要要求太高．
【备选问题】
1．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线的位置关系怎样？
互相平行
2．A、B为直线外不同的两点，直线过点A，，直线过点B，，则、的关系是（ D ）．
A．相交 B．平行 C．重合 D．平行或重合
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．如图1，由可得结论是（ B ）．
A．FG∥BC B．FG∥CE
C．AD∥CE D．AD∥BC
2．如图2，下列条件中，能判断AD∥BC的是（ B ）
A． B．
C． D．
3．如图3，依据下列条件不能得出∥的是（ C ）．
A． B．
C． D．
4．如图4，如果，那么AD与BC的关系是 平行 ，理由是同旁内角互补，两直线平行．
5．如图5，请在括号内填上正确的理由：因为（已知），所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
6．如图5，要得到AD∥BC，可从得出，判定的方法是同旁内角互补，两直线平行．
7．如图6，若，，，可得到AM∥EF，AB∥CD，完成下列空白：
因为，，
所以．
所以 MA ∥ EF （同位角相等，两直线平行）
又因为（对顶角相等），
所以，所以．所以 AB ∥ CD ．（同旁内角互补，两直线平行）．
能力题——挑战自我
8．一辆车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（ B ）．
A．第一次向右拐，第二次向左拐
B．第一次向左拐，第二次向右拐
C．第一次向左拐，第二次向左拐
D．第一次向右拐，第二次向右拐
9如图，给出下面的推理：
①因为∠B=∠BEF，所以EF；②因为∠B=∠CDE，所以AB∥CD；③因为，所以AB∥EF；④因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF．其中正确的推理是（ B ）．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
10．如图8，已知，试问ED与CF平行吗？为什么？
解 ED与CF平行 理由：
因为，
所以DE∥AB（内错角相等，两直线平行），
CF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
所以EDCF（在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行）
11．如图9，已知，，，那么AB∥DE吗？为什么？
解，理由：
因为，所以，又因，所以，因，所以．所以AB∥DE．
拓展题——勇攀高峰
12．如图10，已知直线被直线所截，且，可以判定∥吗？请用尽可能多的方法说明．
提示：可使用平行线的判定的三种方法中的任意一种方法均可．
10．3平行线的性质
学习目标
1．探索并知道平行线的性质，理解它们的图形语言、文字语言、符号语言以及它们之间的切换；
2．会用平行线的性质进行简单的计算、说理；
3．知道平行线的性质与判定的区别；
4．通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，经历探索直线平行的性质的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力；
5．在性质的学习中，锻炼观察能力、尝试与他人合作开展讨论、研究，并表达自己的见解；在课堂练习中，体验几何与实际生活的密切联系，感受数学的真正价值；
6．重点：能利平行线的性质进行简单的推理和计算．
预习导学——不看不讲
知识点一、平行线的性质一
学一学：阅读教材P129“观察”，解决下面问题：
1．如图在探究（1）中，∠1的同位角是 ∠5 ，通过度量这两个角的度数，可以发现它们的大小关系是 相等 ．
2．在探究（2）中，∠2的同位角是 ∠6 ，若用剪刀剪下一个角，叠到另一个角上，发现它们能完全重合．
3．能过探究，你可以得到怎样的猜想？
两直线平行，同位角相等
4．再任意画一条截线，同样度量并计算各个角的度数，检验你的猜想是否还成立？
猜想仍然是成立的
5．如果探究中的直线AB、CD不平行，你的猜想还成立吗？
不成立，AB与CD平行是猜想成立的先决条件
6．性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单地说，两直线平行，同位角相等．
7．请同学们试着把平行线的性质1用符号语言表述出来
如上图，因为AB∥CD（已知），所以∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）
填一填：如图，已知∥，，则．
知识点二、平行线的性质二、三
学一学：阅读教材P129“思考”部分，解决下面问题：
1．上图中的内错角∠3与∠5的大小有什么关系，能说出理由吗？
∠3与∠5相等，因为AB∥CD，所以∠1=∠5（两直线平行，同位角相等），又因为∠3=∠1（对顶角相等），所以∠3=∠5（等量代换）．
2．∠4与∠6的大小如何，由此你想到了什么？
∠4与∠6相等，平行线的性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单地说两直线平行，内错角相等．
3．上图中的同旁内角∠4与∠5的大小有什么关系，能说出理由吗？
∠4与∠5互补，因为AB∥CD，所以∠1=∠5（两直线平行，同位角相等），又因为（平角定义），所以（等量代换）．
4．通过上面的探索，你发现两直线平行，同旁内角之间有什么关系？
平行线性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单地说两直线平行，同旁内角互补
议一议：怎样正确区分平行线的判定与性质
从因果关系上看，平行线的判定与平行线的性质正好相反，平行线的判定是由某些角的数量关系，决定这两条直线的位置关系；而平行线的性质是由两条直线的位置关系，决定了某些角的数量关系．
选一选：如图，下列结论正确的是（ D ）．
A．已知EF∥GH，则 B．已知AB∥CD，则
C．已知EF∥GH，则 D．已知AB∥CD，则
知识点三、平行线的性质的应用
学一学；阅读教材P125“例题”，解决下面问题：
1．因为DE∥BC，所以（两直线平行，同位角相等）．
2．因为，所以 EF ∥ AB （内错角相等，两直线平行）．
填一填：如图，因为AB∥EF，所以（两直线平行，内错角相等）．
又因，所以，所以BC∥DE（同旁内角互补，两直线平行）．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列图形中，由，能得到的是（ B ）．
互动探究二：如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是( C ) ．
A.∠A+∠P+∠C=90° B.∠A+∠P+∠C=180°
C.∠A+∠P+∠C=360° D.∠P+∠C=∠A
变式演练1：对于探究二，如图，AB∥CD，那么∠A，∠APC，∠C的数量关系为.
变式演练2：在变式2中，若AB∥CD，且∠BAP=，∠APC=，∠PCD=，则的值为.
【方法归纳交流】对于探究二及变式，都需要填加一条辅助线，填加辅助线的方法如连接AC、过P点作AB的平行线或延长AP等.
互动探究三：如图，把一张长方形纸条沿折叠，使落在处，若，，则．
互动探究四：见教材P125练习“第1题” ．
解 （1）；两直线平行，同位角相等；（2）；两直线平行，内错角相等；（3）；两直线平行，同旁内角互补；（4）；两直线平行，内错角相等；（5）；两直线平行，同位角相等．
互动探究五：如图：已知∠B＝∠BGD，∠DGF＝∠F，求证：∠B ＋ ∠F ＝180°.
请你认真完成下面的填空。
证明：因为∠B＝∠BGD， （ 已知 ）
所以AB∥CD． （ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠B+∠BGC=180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠DGF＝∠F，（ 已知 ） ∠DGF=∠BGC （ 对顶角相等 ）
所以∠B+∠F=180． （ 等量代换 ）所以AB∥EF ， （ 同旁内角互补，两直线平行）
所以∠B ＋ ∠F ＝180°．（ 两直线平行，同旁内角互补）
互动探究六：已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为点D、G，且∠1=∠2，猜想∠BDE与∠C有怎样的大小关系？试说明理由.
解 因为AD⊥BC，FG⊥BC（已知），所以（垂直定义）．所以AD∥BC（两直线平行，同位角相等）．所以（两直线平行，同位角相等）．因为（已知），所以（等量代换）．所以DE∥AC（两错角相等，两直线平行）．所以（两直线平行，同位角相等）．
学习笔记
【知识链接】
猕猴的小屋
某自然保护区有许多猕猴，冬天来了，为了不让猕猴冻伤，保护区的工作人员为猕猴搭建了小木屋，其侧面如图所示，弟弟看见了也想回家给小狗欢欢做个一样的小木屋，他用量角器测出，，由于弟弟个子太小，屋顶的的度数测不到，哥哥看到后说，不用测量我也能知道的度数，你知道哥哥是如何知道的吗？
【学法指导】
1．学习平行线的性质要始终对比平行线的判定，并在此基础上时行和谐统一，综合应用．
2．解决有关平行线的问题时，找与相交线有关的同位角、内错角、同旁内角是关键，往往利用平行线的判定与性质把“角”与“线”联系起来．
3．在本节中用到了“添加辅助线”解决问题，“辅助线”是把已知与所求联系起来的桥梁，在解题时要灵活添加辅助线
【教学建议】
1．教学平行线的性质后学生容易发生提到同位角（内错角）就认为相等，提到同旁内角就认为互补这样的错觉，要强调它的前提条件是“两直线平行” ．
2．对于“探究”的解决，在教学时，让学生多作同条截线，量量它们的同位角，使学生信服这个结论，同时对于“思考”部分也要留给学生足够的时间，引导学生自己的思考表达出来．
【备选问题】
1．两条平行线被第三条直线所截，则相应的同位角、内错角、同旁内角的角平分线有怎样的位置关系？
相应同位角、内错角的角平分线互相平行，同旁内角的平分线互相垂直
2．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角的个数为 5 个．
知识链接答案：
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．如图1，由AB∥CD，可得（ B ）．
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4
C．∠1+∠4=∠2+∠3 D．
2如图2，∥∥，则与∠1互补的角有（ D ）．
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
3．∠1、∠2是直线、被直线所截而形成的同位角，那么∠1和∠2的大小关系是（ D ）．
A．∠1=∠2 B．∠1>∠2
C．∠1<∠2 D．无法确定
4．如图3，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)如果AB∥EF，那么∠2＝∠5 ．理由是（两直线平行，内错角相等 ）；
(2)如果AB∥DC，那么∠3＝∠1 ．理由是（两平线平行，同位角相等 ）；
(3)如果AF∥BE，那么∠1＋∠2＝．理由是（两直线平行，同旁内角互补）；
(4)如果AF∥BE，∠4＝120°，那么∠5=．理由是（两直线平行，同位角相等 ）．
5．如图4，四边形ABCD中，∠3=∠4，∠D=72°，则∠BCD=.
6．如图5，已知AD∥BC,∠1=∠2,要证∠3+∠4=180°,请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
因为AD∥BC(已知)，∴∠1=∠3(两直线平行，内错角相等)；
因为∠1=∠2(已知)，∴∠2=∠3(等量代换)；所以_BE_∥_DF (同位角相等，两直线平行)；所以∠3+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补) ．
能力题——挑战自我
7．如图6，已知AB∥CD，AD∥BC，∠B=，∠EDA=，则∠CDO等于（ C ）．
A． B．
C． D．
8．如图7，已知AB∥CD，则图中、、之间的关系是（ C ）．
A．
B．
C．
D．
9．如图8，甲、乙两地之间要修一条公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，如果甲、乙两地同时开工，那么在乙地公路按的方向施工，才能使公路准确连通．
10．还记得我们在小学学过三角形的内角和是吗？如图9，已知三角形ABC，延长三角形ABC的边BC到点D，过C点作CE∥AB．你能根据图9说明∠A＋∠B＋∠ACB＝180°吗．
解因为CE∥AB（已知），所以（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）．又因（平角定义），所以（等量代换）．即．
拓展题——勇攀高峰
11．如图10，已知．
（1）猜想，，之间的关系；
（2）证明你的猜想．
解（1）；（2）方法不唯一，如延长BA交CE于F点或延长EA交CD于G点，或过E点作AB、CD的平行线等．
10．4平移
学习目标
1．通过具体实例认识平移，理解平移的性质；
2．能按要求作出简单图形平移后的图形，能用平移变换进行简单的图案设计；
3．经历操作、控索、归纳，总结图形平移基本特征的过程，发展学生的抽象概括能力；
4．认识和欣赏平移在现实生活中的应用，增强审美意识，感受数学活动充满了探索性与创造性，激发学生乐于探究的热情；
5．重点：平移的基本性质，按要求作出简单图形平移后的图形．
预习导学——不看不讲
看一看：大家去过商厦吗？商厦物电梯送顾客上下楼时，你注意到电梯怎样运动了吗？平时开关抽屉时，抽屉是怎样运动的呢？教室很热需要通风，同学们把教室推拉窗的窗扇推开，窗扇做怎样的运动？
以上物体在运动过程中都是在进行平行移动
想一想：在前面借助直尺用推三角尺的方法画平行线，三角尺发生了什么变化？
位置发生了变化，三角尺进行了平行移动，三角尺本身没有变化．
做一做：按下面步骤操作：
（1）在一张硬纸上剪下一个任意四边形；（2）用剪下的四边形在纸上画一个和它一样的四边形ABCD；（3）用直尺靠在边DC上，压住直尺，将四边形ABCD沿直尺移动到另一位置，画出纸片移动后的四边形．
知识点一、平移的概念
学一学：阅读教材P133“操作、思考”，解决下面问题：
1．对于“操作”所得图形，连接，，，，这些线段的位置、大小有怎样的关系？
这些线段要么平行，要么在一条直线上，它们的长度都相等
2．①传送带上物体的运动；②高层建筑的电梯的运动；③时钟的秒针的运动；④开关抽屉的运动；⑤旋转木马；⑥荡秋千；⑦吊车上的物体随着吊车的运动被上下移动．以上运动方式相同吗？
①②④⑦与③⑤⑥的运动方式不同，①②④⑦都是沿着直线运动，而③⑤⑥都是绕着一点运动，但是①②③④⑤⑥⑦的运动都有一个共同点是：运动过程中，物体的形状和大小没有改变．，像①②④⑦这样的运动叫平移，③⑤⑥这样的运动叫旋转
3．根据前面的观察、作图、你能说明什么是图形的平移吗？
在平面内，一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移．
4．你能举出生活中的平移现象吗？
平移现象无处不在，如：打气筒打气时，活塞的运动；圆柱形水桶的水面下降；急刹车的汽车在地面上的运动；笔直铁路上火车车厢的运动等．
想一想：平移变换取决于哪些因素？
平移的方向、平移的距离
选一选：向日葵被风吹动，下列说法正确的是（ B ）．
A．向日葵是平移 B．向日葵不是平移
C．部分向日葵是平移 D．不能确定
知识点二、平移的性质
学一学：阅读教材P135—136“信息技术应用”，解决下面问题：
1．打开《几何画板》软件，任意画一个图形并选中，然后按课本P113中的步骤时行电脑操作，观察度量的结果和线段，，的位置关系，你发现了什么？
∥∥且==
2．由平移的定义，原图形上的一点A平移后成为点，这样的两点叫做对应点，如上述B与，C与．
3．平移的性质：（1）平移后的图形与原图形上的对应点连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等；（2）平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．
填一填：如图所示，平移到，图中相等的线段 AB=DE、AC=DF、BE=CF、BC=EF；相等的角 ∠A=∠D、∠ABC=∠DEF、∠ACB=∠DFE；平行的线段有 AB∥DE、AC∥DF．
合作探究———不议不讲
互动探究一：如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是（ D ）．
A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格
C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格
互动探究二：如图(甲)可以看作是图(乙)中圆的位置固定不变，将三角形沿水平方向向右移动到某一时刻的情形．那么，三角形在移动过程中，如果与圆有交点(公共点)，那么交点(公共点)最少是 1 个，最多是 6 个．
互动探究三：蚌埠会展中心重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价100元，主楼梯道宽2米，其侧面如图4所示，则购买地毯至少需要___1680_元．
互动探究四：将字母“T”沿指定方向平移，使点A平移到，画出图形．
解 平移的图形如右图
变式演练：如右图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移到点E．作出平移后的四边形EFGH．
解 平移后的图形为下右图
【方法归纳交流】如何作出平移后的图形？
首先找到图形的关键点及一对对应点，通过对应点确定平移的距离和方向，由平移的性质作出其它关键点的对应点，再分别连接各对应点即可.
互动探究五：如图，将图中的三角形向右平移8格，梯形向上平移4格能够得到什么图案？
解：如图，把三角形三个顶点分别向右平移8格，得到三个对应点，分别连接各点，得到平移后的三角形.用同样的方法将梯形的四个顶点分别向上平移四格并连接，得到平移后的梯形，最后可得到一个小船的图案．
变式演练：如图，经过平移，小船上的点A移动到了点B，试作出平移后的小船
互动探究六：如图下左图，10根火柴棒可以拼成向下飞的蝙蝠形状，你能只平移3根火柴棒就使它向上尺吗？
解 可以，如上右图所示
学习笔记
【知识链接】
利用平移设计图案
观察下面美丽的图案,我们发现他们都有一个局部和其他部分重复,如果给你一个局部,你能复制他们吗?
【学法指导】
1．加强数学与生活实际的联系，结合生活中的实例，认真观察、仔细分析平移物体在数量关系和位置关系是否变化．
2．学习中抓住两点：一是平移的决定因素是距离和方向；二是平移的特征．
3．在解决问题中要学会抓住关键，善于发现规律，运用技巧．
【教学建议】
1．本节主要感知、探究图形的平移变换，生活中很多图案都可作由其中一部分沿着上下或左右若干次得到的，教学时应尽力利用图案让学生体会，同时让学生体会平移的价值，感受数学美
2．充分利用教科书中“操作”“思考”等栏目为学生提供探究和交流的空间，让学生的操作、思考与他人交流等数学活动习贯穿于教学中．
【备选问题】
1．平移作图的基本方法及步骤是什么？
平移作图的基本方法是“先确定关键点平移后的对应点，再按同样顺序连接”，这种方法的思想是以局部带整体，称为“定点连线”法.具体步骤如下：
（1）找出构成图形的关键点；（2）明确平移的方向和距离；（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关键点；（4）顺次链接各关键点.
2．如图，你能设法将下图左边的平行四边形变成右边的矩形吗？说说你的做法.
解 过平行四边形的一个顶点作高，沿高线剪下一个三角形，平移到的另一侧，与平行四边形剩下的部分拼接成一个矩形.
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．一个人骑一辆电动车，在一平直的路上行驶了100m，则下列先项中不是平移的是（ C ）．
A．人 B．行李箱
C．轮子 D．车把
2．汉字“王、人、水、口、立、木”中能通过平移得到另一个字的有（ D ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．将图形平移，下列结论错误的是 （ C ）．
A．对应线段相等 B．对应角相等
C．对应点所连的线段互相平分
D．对应点所连的线段相等
4．平移不改变图形的形状和大小．
5．将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG，如果∠ABC=52°，则∠EFG= 52 °，BF=
10 cm．
6．如图和，其中一个三角形经过平移后成为另一个三角形，则图中A的对应点是 D ，线段BC的对应线段是 EF ，的对应角是．
7．如图，四边形EFGH是由四边形ABCD经平移后得到的，如果，AB=12cm,，四边形ABCD的面积为80cm2．
（1）求∠E，∠F的度数；
（2）求EF的长；
（3）求四边形EFGH的面积．
解（1）；
（2）EF=AB=12cm；
（3）．
能力题——挑战自我
8．如图，△ABC和△DEF中，一个三角形经过平移可得到另一个三角形，则下列说法中不正确的是（ D ）．
A.AB∥FD，AB＝FD B.∠ACB＝∠FED
C.BD＝CE D.平移距离为线段CD的长度
9．如图，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动（ B ）.
Ａ．格 Ｂ．格
Ｃ．格 Ｄ．格
10．如图，将沿边BC所在的直线平移一段距离后得到，则移动的距离等于线段的长.
11．如图，平移所给图形，使点A移动到点A1，先画出平移后的新图形，再把它们画成立体图形.
解 画立体图形时注意虚线部分
拓展题——勇攀高峰
12．如图，要给一块长9m，宽6m的空地铺上草坪，中间留一条宽2m的小路，需要购买多少平方米的草坪？
解 因为(m2)
至少需购买42平方米的草坪．
第10章复习课
复习目标
1．经历对本章所学知识回顾与思考的过程，将本章内容条理化、系统化，梳理并构建本章的知识结构；
2．通过对知识的梳理，进一步加深对所学概念的理解，进一步熟悉和掌握几何语言，能用符号语言、文字语言说明几何图形；
3．使学生认识平面内两条直线的位置关系，在研究平行线时，能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质，理解平移的性质，能利用平移设计简单的图案；
4．重点：平面内两条直线相交和平行的位置关系，以及它们的综合应用．
预习导学——不看不讲
你能根据本章所学知识完成下面的知识结构图吗？
知识点一、相交线
1．两条直线相交，构成哪种特殊位置关系的角？指出如图所示的图中具有这种位置关系的角，并说明它们数量上的关系．
构成对顶角，对顶角∠AOD与∠BOC，∠AOC与∠BOD，且∠AOD=∠BOC，
∠AOC=∠BOD．
2．如上图，若∠AOD=，那么直线AB、CD的位置关系如何？
两条直线互相垂直
3．什么样的两条直线互相垂直？
如果两条直线的夹角是，那么这两条直线就互相垂直．
4．如图，AB⊥，BC⊥，B为垂足，那么A、B、C三点在同一条直线上吗？为什么？
在同一条直线上，由垂线的“唯一性”可得．
5．垂线的性质：
（1）过一点有且只有 一 条直线垂直于已知直线；（2）在连接直线外一点与直线上各点的线段中， 垂线段 最短．
6．已知直线，过直线上一点A作AB⊥，交于点B，过B作BC⊥，交于点C，且AB=4cm，AC=3cm，BC=5cm，如图，则点C到AB的距离为 3cm ,点C到的距离为 5cm ．
7．解答上题用到了哪个知识点？
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度．
知识点二、平行线
1．如图，找出∠1、∠2、∠3中哪两个角是同位角、内错角、同旁内角．
∠1与∠3是同位角，∠2与∠3是内错角，∠1与∠2是同旁内角．
2．平行线的判定方法：
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
此外，如果两条直线平行于同一条直线，或两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
3．平行线的性质：
（1）经过直线外一点，有且只有 一 条直线平行于这条直线；
（2）如果两直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
填一填．如图，请在括号中填写理由：
（1）因为∠B=∠3，所以AB∥CE．（同位角相等，两直线平行）
（2）因为AB∥CE，所以∠A=∠2．（两直线平行，内错角相等）
（3）因为AB∥CE，所以∠B+∠BCE=．（两直线平行，同旁内角互补）
（4）因为∠A=∠2，所以AB∥CE．（内错角相等，两直线平行）
知识点三、平移
1．确定平移的要素是：（1） 方向 ；（2） 距离 ．
2．经过平移得到的图形的形状和大小与原图形相同，一个图形和它经过平移后所得的图形中，两组对应点连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等．
合作探究———不议不讲
专题一：利用垂直和对顶角相等求角的度数
1．如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=，则∠COE的度数是（ B ）．
A．125° B．135°
C．145° D．155°
2．如图，直线l1与l2相交于点O，，若，则等于（ B ）．
A． B． C． D．
3．如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，∠2与∠A有什么关系？请说明理由．
解 ∠2=∠A 因为AC⊥BC，CD⊥AB，所以，即，，由同角的余角相等，可得∠2=∠A．
4．如图所示，直线BC，DE交于O点，OA、OF为射线，AO⊥OB，OF平分∠COE，∠COF+∠BOD=，求∠AOD的度数．
解 因为OF平分∠COE，所以．因为∠BOD=∠COE，所以．因为∠COF+∠BOD=，所以，所以．因为AO⊥OB，所以∠AOB=．因为，所以．
专题二：平行线的判定及角的度数求法
5．如图，已知，，则的度数为（ B ）．
A． B．
C． D．
6．如图所示, 已知∠1 =∠2 =∠3 = 62°，则118°．
7．如图所示，直线、被、所截，且，
则 70 ．
变式演练：如图所示，AD∥BC，已知，求∠3、∠4的度数．
解 因为AD∥BC，所以∠3=∠B．因为，所以，所以AD∥EF，所以．
8．如图，点E在线段DF上，点B在线段AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D，试判断∠A与∠F的关系，并说明理由．
解∠A=∠F，理由：
因为∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF，所以∠DGF=∠EHF，所以BD∥CE．所以∠C=∠ABD，又∠C=∠D，所以∠D=∠ABD，所以DF∥AC，所以∠A=∠F．
专题三：利用平移知识解决有关问题
9．如图所示，张大爷打算在院落里种上蔬菜，已知院落为东西长32m，南北宽20m的长方形，为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青椒、菜豆、黄瓜等蔬菜，要使蔬菜种植总面积为558m2，道路的宽应为多少？（只需列方程即可）
解 设把阴影部分平移后的图形如右图，不难发现左图与右图空白部分面积相等，右图的空白长方形面积为558m2，设道路宽为m，则可列方程为．
专题四：数学思想
1．分类讨论思想
10．平面内有A、B、C、D四点，过其中的每两点画直线，一共可以画几条直线？
解 （1）当四点共线时，只能画一条直线，如图（1）；
（2）有三点共线时，只能画四条直线，如图（2）；
（3）四点有任意三点不共线时，可以画六条直线，如图（3）．
变式演练．如图所示，M、N分别是位于两条平行线段AB、CD上的两点，点E位于两平行线段之间，试问：∠AME与∠CNE和∠MEN之间有何关系？
解 点E位于两平行线段之间，但其具体位置不确定，从而题设中的三个角的大小就有不同的取值，因此必须对点E的不同位置加以讨论，连接MN，则可分以下三种情况：
（1）点E在MN上，如图（1）所示，∠MEN=，∠AME+∠CNE=，从而说明∠MEN=∠AME+∠CNE；
（2）点E在MN左侧，如图（2）所示，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，故∠MEF=∠AME，∠FEN=∠CNE，所以∠MEF+∠FEN=∠AME+∠CNE，即∠AME+∠CNE=∠MEN；
（3）点E在MN右侧，如图（3）所示，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，易知∠AME+∠CNE+∠MEN=．
综上所述，当点E在MN上或MN左侧时，∠AME+∠CNE=∠MEN；当点E在MN右侧时，∠AME+∠CNE+∠MEN=．
2．转化思想
11．如图，AB∥CD，∠A=，∠A=，试求∠APC的度数．
解 过P点在∠APC内部作PE∥AB．
因为AB∥CD（已知），
所以PE∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
所以∠1=∠A，∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
所以∠APC=∠1+∠2=∠A+∠C=+=．
【方法归纳交流】两平行线之间用折线连接，过折点作其中一条直线的平行线是常用的辅助线．
学习笔记
【知识链接】
吴忠宾馆的平移
2004年11月10日，宁夏吴忠宾馆平移工程通过有关部门的验收，由于宁夏吴忠市城市整体规划的需要，位于吴忠市裕民西街高约58米，得约2万吨的吴忠宾馆从10月1日开始整体向西平移，据介绍，技术人员采用了7项关键技术，对大楼进行了加固，然后从底部把大楼和原基础割开，并把42根支柱浇注连接起来，对大楼实施基础托换．在液压顶系统的作用下，大楼沿着5条钢筋混泥土滑道顺利地移动了82.5米．
【学法指导】
1．对于平行线的性质与判定，要注意区分与灵活运用．
2．关于本章求角度的问题，一般是通过互余关系、平行关系以及等角的余角相等等知识点，通过相互间的转化来达到求解的目的．
3．解决有关平行线的问题时，找与相交线有关的同位角、内错角、同旁内角是关键，往往利用平行线的判定与性质把“角”与“线”联系起来．
【教学建议】
1．教学平行线的性质要始终对比平行线的判定，关在此基础上和谐统一，综合应用．
2．在本章中用到了“添加辅助线”解决问题，“辅助线”是把已知与所求联系起来的桥梁，在教学过程中要让学生体会到添加辅助线的必要性．
3．在使用平行线的性质时，容易忽视“平行”的条件，在教学时需要格外注意．
【备选问题】
1．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角有什么样的数量关系？
相等或互补
2．在同一平面内有若干条直线，若，则与的位置关系是 平行 .
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．在同一平面内有三条直线，且∥，与相交，则与的关系是（ B ）．
A．平行 B．相交
C．重合 D．平行或相交
2．下列说法中正确的是（ C ）
A．相等的角是对顶角
B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
D．若两个角的和为，则这两个角互为余角
3．将已知点P平移5cm后得到点，满足条件的点构成的图形是 ( D ) ．
A．一个点 B．两个点
C．一条5cm长的线段
D．一个半径5cm的圆
4．如图，已知直线被直线所截，且∥，，那么等于（ B ）．
A．1450 B．650
C．550 D．350
5．时钟上，在以下几个时间中，时针和分针互相垂直的是（ D ）．
A．3点半 B．6点一刻
C．6点45分 D．9点整
6．在下列现象中：①温度计中水银柱的上升或下降；②用气筒打气时活塞的移动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中平移的有（ D ）．
A．①② B．①③
C．②③ D．②④
7．如下左图，，，那么∠4等于（ C ）．
A． B．
C． D．
8．如上右图，欲得到AF∥CD，可根据（ D ）．
A．∠1=∠2 B．∠6=∠5
C．∠1=∠5 D．∠1=∠3
9．如下左图，AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H两点，若，则∠AGE=．
10．如上右图，已知，，若，则．
11．如图，已知AD∥BC,∠1=∠2,要证∠3+∠4=180°,请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
(1)∵AD∥BC(已知)，∴∠1=∠3(_两直线平行，内错角相等____)；
(2) ∵∠1=∠2(已知)，∴∠2=∠3(等量代换)；
(3) ∴_BE_∥_DF_(同位角相等，两直线平行)；
(4) ∴∠3+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补) ．
12．还记得我们在小学学过三角形的内角和是吗？如图，已知三角形ABC，延长三角形ABC的边BC到点D，过C点作CE∥AB．你能根据图形说明∠A＋∠B＋∠ACB＝180°吗．
解：∵CE∥AB（已知），∴（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，同位角相等）．又∵（平角定义），∴（等量代换）．即．
能力题——挑战自我
13．六条直线相交于点O，则共有对顶角的对数为（ D ）．
A．25对 B．22对
C．26对 D．30对
14．如图，把一根铁丝折成如图所示的形状后，AB∥DE，则∠BCD等于（ C ）．
A．∠D+∠B B．∠B-∠D
C． D．
15．已知∠A与∠B的两边分别平行，且，则．
16．如图，把一张长方形纸条沿折叠，使落在处，若，，则．
17．已知，如图 中，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试问：AC⊥DG吗？请写出推理过程？
解：∵EF⊥BC，AD⊥BC（已知），∴EF∥AD（垂直于同一直线的两直线平行）．
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）．又∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠1（等量代换）．
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）．∴∠BAC=∠DGC（两直线平行，同位角相等）．
∵AB⊥AC（已知），∴∠BAC=900（垂直定义）．∴∠DGC=900（等量代换）．
∴DG⊥AC（垂直定义）．
18．如图，（1）在图上找出线段BC的中点M，作射线AM；（2）作BE⊥AM，垂足为E，作CF⊥AM，垂足为F；（3）BE与CF的位置关系为 ；（4）点B到线段AM的距离是 ；（5）对于（3），用一个命题的形式来概括你的结论．
解：（1）用刻度尺量出BC的长度，再用刻度尺在BC上找到M点，连接AM；
（2）按“一落、二过、三画”的操作程序，画出BE和CF；
（3）BE∥CF；（4）点B到线段AM的距离是BE的长度；（5）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
19．在直角三角形ABC中，，BC＝AC＝6，现在把三角形ABC沿方向平移到三角形的位置．若平移的距离为4，求三角形ABC与三角形重叠部分的面积．
解：∵，BC=AC=6（已知），．又∵，BC=AC，（已知），∴（平移的性质），（等腰直角三角形定义）．
∴重叠部分的面积为．
20．如图，EF⊥GF于点F，∠AEF=，，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．
解：如图，延长GF交AB于H，
∵EF⊥GF，∴，∴，∵∠AEF与∠FEH是邻补角，所以所以．又∵∠DGF=∠EHF，∴AB∥CD．
拓展题——勇攀高峰
21．如图，已知．
（1）猜想，，之间的关系；
（2）证明你的猜想．
（1）；（2）方法不唯一，如延长BA交CE于F点或延长EA交CD于G点，或过E点作AB、CD的平行线等．
