8．4整式除法（2）
学习目标
1．知道多项式除以单项式法则，并能应用这一法则进行运算；
2．经历探索多项式除以单项式法则的过程，体会知识之间的联系和转化、化归的思想方法；
3．在进一步体会多项式除以单项式的原理的过程中，发展归纳、猜想等合情推理能力及有条理的表达能力；
4．重点：多项式除以单项式的运算法则及其应用．
预习导学——不看不讲
知识点一、多项式除以单项式法则
学一学：阅读教材P61“思考”，解决下面问题：
1．；．
2．通过上面的计算请说出单项式除以单项式法则．
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
3．由于乘法运算与除法运算互为逆运算，所以；对于式子，利用上述方法转化为乘法运算为：，由乘法分配律可得：，再进一步转化为除法运算为：．
4．通过上述推理你发现了什么？
多项式除以单项式，运用除法法则和乘法分配律，可以转化为单项式与单项式相除的代数和．
5．你能总结一下多项式除以单项式的法则吗？
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商的相加．
想一想：一个矩形，面积为，宽为，则它的长是多少？
由于，所以矩形的长为．
填一填：．
知识点二、多项式除以单项式法则的应用
学一学：阅读教材P62“例5”，解决下面问题：
1．例3（1）中被整式有 2 项，商为，是 2 项．
2．例3（2）中被整式的项有：，分别除以除式为：，所以所得商为：．
想一想：被整式的项数与商的项数有什么关系？
被整式的项数与商的项数相同
议一议：如何检验计算的正确与否？
可利用除法与乘法的逆运算关系，将除得的结果用乘法检验，如例3（1），只要看商与除式的积是否等于被除式，就知道计算是否正确了．
选一选：下列计算中，错误的是（ B ）．
A． B．
C． D．
合作探究———不议不讲
互动探究一：若被除式是五次三项式，除式是三次单项式，则商式为（ D ）．
A．五次三项式 B．四次三项式
C．三次三项式 D．二次三项式
互动探究二：用去除以某个单项式，得商为，则这个单项式为．
互动探究三：计算下列各式：
（1）； （2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
互动探究四：化简求值：
，其中．
解 原式，
当，原式．
互动探究五：已知一个多项式与单项式的积为，求这个多项式．
解
所以这个多项式为．
变式演练1：一个多项式除以，商为，求这个多项式．
解
所以这个多项式为．
变式演练2：已知多项式除以一个多项式A，得到商式为，余式为，求这个多项式．
解
所以这个多项式为．
【方法归纳交流】被除式、除式、商式、余式之间的关系是什么？
被除式=除式×商式+余式，即除式=．
互动探究六：一堂习题课上，数学老师在黑板上出了这样一道题：当，时，求的值，一会儿，雯雯说：“老师，您给的这个条件是多余的．”一旁的小明反驳道：“题目中有两个字母，不给这个条件，肯定求不出结果！”他们谁说得有道理？请说明理由．
解 因为
化简的结果中不含，这样代入求值就与无关，所以雯雯说得有道理．
学习笔记
【知识链接】
趣味数学题
相信这道题目同学们并不陌生：一个六位数的首位数字为1，将首位数字移到末位以后变为原来的3倍，求原来的六位数，怎样求出原来的六位数呢？由于首位数字已经知道，只需求出后五位数字．如果想通过设五个未知数列方程求后五位数字，由于条件太少，不太现实，应该怎么办呢？若能注意到把后五位数作为一个整体求出，问题就解决了，同学们，试试看，你能求出原六位数吗？
【学法指导】
1．多项式除以单项式有两种方法：一是将多项式中的每一项除以这个单项式，再将所得的商相加；二是利用除法化为乘法，再利用乘法分配律．
2．对于探究五及其变式要熟练掌握被除式、除式、商式、余式之间的关系：除式×商式+余式=被整式．
【教学建议】
1．多项式除以单项式是把多项式除以单项式“转化”为单项式的除法，教学时应注重引导学生弄清多项式除以单项式是如何“转化”为单项式除法的，突出“转化”思想．
2．对于整式的运算要鼓励学生算法的多样性，如习题8．4第3题第（4）小题，可以用法则进行，也可以先化简再做除法．
【备选问题】
1．进行多项式除以单项式的运算时，需注意哪些方面？
（1）符号问题，多项式的每一项都包含它本身的符号，单项式也包含其本身的符号，即带符号参与计算．
（2）避免计算中多项式的某一项漏除单项式，一般情况下，商是一个多项式，而且项数与原多项式项数相同．
2．若，求的值．
解原方程两边同除以，得，即．所以，，即．
知识链接答案：设后五位数字为，则，解得．所以原六位数字为142857．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．计算的结果是（ A ）．
A． B．
C． D．
2．计算的结果等于（ C ）．
A． B．
C．1 D．
3．，则括号中应填（ D ）．
A． B．
C． D．
4．
．
5．若A、B都是整式，且，其中A是关于的四次三项式，则B是关于的 四 次 三 项式．
6．计算下列各题：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．已知，并且一个多项式与的乘积等于，则这个多项式为（ A ）．
A． B．
C． D．
8．已知，则的值分别是（ D ）．
A． B．
C． D．
9．如果，则M为
．
10．如果，求代数式的值．
解 原式=，当时，原式=0．
11．如果一个长方形的面积是，一边长为，求这个长方形的周长．
解 所以这个长方形的周长为．
拓展题——勇攀高峰
12．给定一个正数，按如图的程序，把答案填写在表中的空格内，然后看有什么规律，想一想为什么会有这个规律？
输入
3
输出答案
1
解 表格第一行中数字可以为任意一个正数，每二行均填1
规律为：不论取哪一个正数，答案均为1
因为．
8．2整式的乘法（3）
学习目标
1．知道多项式与多项式乘法法则及推导；
2．能熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法运算；
3．通过对同一面积的不同表达和乘法分配律的运用两个方面，探索多项式相乘的运算法则，体会乘法分配律的重要作用和化归、转化思想；
4．通过具体情境抽象出数量关系，体会数学与现实的密切联系，培养数学应用意识；
5．重点：多项式与多项式乘法法则及应用．
预习导学——不看不讲
知识点一、多项式与多项式乘法法则
学一学：阅读教材P63“问题3“，解决下面问题：
1．在问题3中，结合图形考虑有哪几种算法？
有两种，一种方法是先求出扩大后的长方形的长与宽，再求长方形面积；另一种方法是先算4块小矩形的面积，再求总面积．
2．由于扩大后的菜地长是，宽是，所以它的面积是；又因为4块小矩形的面积分别为，所以扩大后的菜地面积为，
因此有．
3．你能用乘法分配律来解释上式吗？
可以先把其中的一个多项式看成一个整体，再运用单项式与多项式相乘的法则进行计算．如上式中先将看成一个整体，将乘以多项式的每一项，得，这样，就把多项式与多项式的乘方转化成单项式与多项式的乘法了．
4．你能总结多项式与多项式相乘的法则吗？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．如
议一议：多项式与多项式相乘，积的项数与两个因数的项数之间有什么关系？
根据多项式与多项式乘法法则，多项式中的每一项都要与另一多项式的每一项相乘，所以在没有合并同类项之前，两个多项式相乘后的项应是这两个多项式项数之积．
选一选：设多项式A是一个三项式，B是个四项式，则A×B的结果的多项式的项数一定是（ D ）．
A．多于7项 B．不多于7项 C．多于12项 D．不多于12项
知识点二、多项式与多项式乘法法则的应用
学一学：阅读教材P64“例6、例7”解决下面问题：
对于式子除了可以采用书本的方法外，你还有其它不同的思路吗？
可以把或看成一个整体，利用乘法分配律将多项式与多项式转化为单项式与多项式相乘，如．
2．通过例6、例7，你认为多项式与多项式相乘需要注意哪些方面？
（1）用一个多项式的每一项乘遍另一个多项式的每一项，不要漏乘；（2）注意确定积中各项符号；（3）计算的结果中，如有同类项，一定要合并同类项，写出最简结果．
选一选：下列计算错误的是（ B ）．
A． B．
C． D．
合作探究———不议不讲
互动探究一：若的积中不含的一次项，则的值是（ B ）．
A．0 B．5 C．—5 D．—5或5
互动探究二：．
互动探究三：计算：
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
互动探究四：化简：
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
互动探究五：已知一长方体的长为，宽为，高为，求这个长方体的表面积．
解
答：这个长方体的表面积为．
互动探究六：已知，求、的值．
解 因为，所以．
变式演练1：若，求的值．
解 因为，所以，解得或
所以的值分别为—1，3或3，—1．
变式演练2：在展开式中，不含项和项，你能求出的值吗？
解
由于展开式中不含项和项，所以，解得．
【方法归纳交流】如何理解多项式与多项式的乘积中不含某一项？
多项式与多项式的乘积中不含某一项，就说明乘积中相应项的系数为0．
学习笔记
【知识链接】
可怕的化归思想
一天，数学家觉得自己已受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员，消防队长说：“你看上去不错，可是我得先给你一个测试．”消防队长带着数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管，消防队长问：“假设货栈起火，您该怎么办？”数学家回答：“我把消队栓接到软管上，打开火龙头，把火浇灭．”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着．”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！你为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了．”
【学法指导】
1．多项式与多项式的乘法法则，体现了数学的转化思想，即多项式单项式×多项式单项式×单项式．
2．对于混合运算，要理清运算顺序；对于求值题，注意先化简，再代入求值．
【教学建议】
1．对于例题的教学可以给学生留一些探索的空间，对于计算方法，只要有道理都应该给予肯定，鼓励学生算法多样化，并注意交流反思，达到算法的优化．
2．对于法则的探索，可指导学生利用上一节解决问题的经验，尝试体会利用乘法分配律可以将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘，教学时不宜把重点放在对法则的记忆上．
【备选问题】
1．计算的结果，你能得到怎样的规律？请举一些例子验证你得到的规律．
，规律：含有一个字母的两个一次二项式相乘，积是二次三项式，二次项系数为1，一次项系数为两个一次二项式常数项的和，常数项为两个一次二项式常数项的积，举例略
2．试说明，代数式的值与的取值无关．
解 因为，
所以代数式的值与的取值无关．
达标测评————不练不讲，评价提升 基础题——初显身手
1．计算结果为的是（ A ）．
A． B．
C． D．
2．下列各式中，计算错误的是（ C ）．
A．
B．
C．
D．
3．计算的结果是（ B ）．
A． B．
C． D．
4．计算．
5．．
6．计算：
（1）；
（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=12．
能力题——挑战自我
7 ．三个连续奇数，若中间一个为，则它们的积为（ C ）．
A． B．
C． D．
8．方程的根是（ A ）．
A． B．
C． D．
9．若乘积中不含一次项，则．
10．利用公式，写出下列各式的结果．
（1）；（2）；
（3）．
解 （1）；（2）；
（3）．
11．先化简，后求值
，其中．
解
当时，
原式．
12．已知，，求的值．
解 由，得．
因为
当时，原式=10．
拓展题——勇攀高峰
13．试画出一个几何图形，使它的面积可以表示
．
解 如图，图中两个边长为的正方形，2个边长为的正方形，5个长、宽分别为的长方形，由长方形ABCD的面积可表示为：
8．3完全平方公式与平方差公式
学习目标
1．会推导完全平方公式，并能利用公式进行简单计算；
2．熟悉完全平方公式的结构特征，能用图形解释完全平方公式；
3．经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感的推理能力；
4．在灵活运用公式的过程中激发学习数学的兴趣，培养创新能力；
5．重点：完全平方公式的结构特征及灵活运用公式进行计算．
预习导学——不看不讲
知识点一、完全平方公式
学一学：阅读教材P68，解决下面问题：
1．如图，有一个边长为的正方广场，现要扩建该广场，要求将其边长增加，试问这个正方形广场的面积有多大？
（1）图中四块面积分别为：；
（2）若用两种方法表示广场的总面积，从整体看：边长为的大正方形，，从部分看，四块面积的和，，由此得到结论：．
2．如果将该正方形广场的边长缩减，则其边长又为多少？面积呢？可以得到什么结论？
边长为，从整体看，广场的总面积为，从部分看，广场总面积为：，由此得结论：．
3．你能用多项式乘法法则说明的理由吗？
可以，因为，，利用多项式乘以多项式即可得到
4．观察，式子的左边具有什么共同特征？它们的结果有什么特征？
式子左边为两个数的和（或差）的平方；它们的结果为这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍
5．你能用自己的语言叙述这两个公式吗？
两个数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍
选一选：下列计算正确的是（ D ）．
A． B．
C． D．
知识点二、完全平方公式的应用
学一学：阅读教材P69“例1”，解决下面问题：
1．式子中，哪项相当于公式中的，哪项相当于公式中的．
项相当于完全平方和公式中的，相当于公式中的．
2．．
想一想：使用完全平方公式时要注意什么？
要正确理解公式中字母的文泛含义，它可以是数、字母或其他代数式，只要符号公式的结构特征，就可运用这一公式，此公式用符号可表示为：，切记 ．
填一填：计算：；．
合作探究———不议不讲
互动探究一：若是一个整数的平方，那么它后面的一个平方数（整数的平方）应当是（ C ）．
A． B． C． D．以上答案都不对
互动探究二：，．
互动探究三：运用乘法公式计算
（1）； （2）．
解（1）；
（2）．
互动探究四：运用乘法公式计算：
（1）； （2）．
解（1）；
（2）．
互动探究五：见教材P69练习“第2题” ．
解 设原正方形的边长为cm，由题意，得
，解得
答原正方形的边长为10cm．
互动探究六：已知，求的值．
解 由题意，得，两式相加，得，所以．
变式演练1：对于探究六，若条件不变，如何求的值．
解：只需把条件中两式相减可得，所以．
变式演练2：若，求的值．
解
变式演练3：若，，求的值．
解 由，所以，即．所以，，所以．
【方法归纳交流】或；或．
学习笔记
【知识链接】
老人分糖
一位老人非常喜欢孩子，每当孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待孩子，当来一个孩子时，老人就给这个孩子一块糖；当来两个孩子时，老人就给这两个孩子每人两块糖，来三个孩子，老人就给这三个孩子每人三块糖，如此继续下去……
1．第一天有个孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少糖？
2．第二天有个孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少糖？
3．第三天有个孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少糖？
4．这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
【学法指导】
1．对于完全平方公式可采用“首平方，尾平方，乘积2倍放中央”的口决记忆．
2．开始应用公式解题时，要有完整的过程，中间步骤不要省略，这样有利于对公式的理解和掌握．
【教学建议】
1．运用公式进行计算时，除了要掌握公式的结构特征，防止用错公式外，还要理解公式中字母的广泛含义，所以在使用公式进首先要让学生明确谁是公式的，谁是公式中的．
2．公式的推导是一个从一般到特殊的过程，教学时应设置一定的问题尽量引导学生参与．
3．对于探究六及其变式，是完全平方式、平方和、乘积2倍之间的转换，教学时应留给学生探索的时间，掌握它们之间换算的规律，使学生熟练掌握只要三个条件中，具备了2个，就能求出第3个．
【备选问题】
1．什么是完全平方式？
一般形如这样的二次三项式叫做完全平方式，两个基本要素平方和、乘积的2倍．
2．已知，试求的值．
解 因为，
所以．
知识链接答案：（1）；（2）；（3）；（4）第三天得到的糖果总数比前两天得到的总数还要多，因为，所以第三天得到的糖果数比前两天得的总数多颗．
达标测评————不练不讲，评价提升 基础题——初显身手
1．下列计算正确的是（ C ）．
A．
B．
C．
D．
2．若，则为（ D ）．
A．0 B．
C． D．
3．小明在利用完全平方公式计算一个二次整式的平方时，得到正确结果
但不小心用墨水把最后一项弄污了，你觉得这一项应是（ C ）．
A． B．
C． D．
4．
．
5．．
6．计算：
（1）；（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．如果恰好是一个整式的平方，那么常数的值为（ C ）．
A．3 B．—3
C． D．
8．要使成为形如的完全平方式，则的值为（ B ）．
A． B．
C． D．
9．若，则．
10．运用乘法公式计算：
．
解原式=．
11．已知，求的值．
解 因为，所以，所以．
12．一个圆的半径为cm，当半径减少4cm后，这个圆的面积减少多少平方厘米？
解
所以这个圆的面积减少了．
拓展题——勇攀高峰
13．已知，试求的值．
解 因为可变形为：，所以，所经．所以
．
8．3完全平方公式与平方差公式（2）
学习目标
1．会推导平方差公式，并能利用公式进行简单计算；
2．熟悉平方差公式的结构特征，能用图形解释平方差公式；
3．经历运用多项式与多项式相乘的法则以及以及通过割补的方法计算平面图形面积来探索平方差公式的过程，进一步发展符号感的推理能力；
4．在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会公式的简洁美；
5．重点：完全平方公式的结构特征及灵活运用公式进行计算．
预习导学——不看不讲
知识点一、平方差公式
学一学：阅读教材P70“思考”部分，解决下面问题：
1．计算下列多项式的积：
（1）；（2）；（3）．
2．以上三个式子的左边有什么共同特征？它们的结果有什么特征？你能用字母表示你的发现吗？式子的左边为两个数的和与这两个数差的积，结果为这两个数的平方差，用字母表示为：．
3．如图，边长为的正方形板缺了一个边长为的正方形角，经裁剪后拼成了一个长方形．
你能分别表示出裁剪前后的纸板的面积吗？你能得到怎样的一个结论？
裁剪前纸板的面积为，裁剪后拼成的长方形纸板的面积为，得到的结论是．
4．你能用文字语言表示你发现的规律吗？两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差，用式子表示为，这个公式叫平方差公式．
想一想：你能仿照完全平方公式用符号表示平方差公式吗？
用符号表示为：，其中正方形、圆中可以是数字、字母、单项式或多项式．
选一选：下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（ D ）．
A． B．
C． D．
知识点二、完全平方公式的应用
学一学：阅读教材P70“例2”解决下面问题：
1．式子可以使用平方差公式吗？如果可以，谁相当于公式中的，谁相当于公式中的？
可以使用平方差公式，相当于公式中的，3相当于公式中的．
2．你能用简便方法求的值吗？
可以，因为1999，2001都与2000接近，所以可以改写成，从而使用平方差公式简化计算．
议一议：什么样的两个二项式相乘可用平方差公式？其结果如何表示？
两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，结果是相同项的平方减去相反项的平方．
填一填：；．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列各式计算中，结果正确的是（ C ）．
A． B．
C． D．
互动探究二：．
互动探究三：计算
（1）； （2）
解（1）原式=； （2）原式=．
互动探究四：计算
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=
互动探究五：先化简：，再选取一个你最喜欢的数代替并求值．
解
当时，原式=2．
互动探究六：计算：．
解．
变式演练1：计算：．
解
．
变式演练2：如果，求的值．
解 由变式1，得，所以，即．
【方法归纳交流】当项数多于两项的多项式相乘使用平方差公式时，往往需要把相同的项分成一组，互为相反数的分为一组后，再使用平方差公式．
学习笔记
【知识链接】
有一个狡猾的庄园主，把一块边长为米的正方形土地租给老实巴交的张老汉种植，一年后，庄主对老汉说：“我把这块地一边增加5米，另一边减少5米继续租给你，你也没吃亏，如何？”老汉一听，觉得是没吃亏，就答应了，回到家中，就把这事跟邻居讲了，邻居却叹了口气，告诉他说：“你吃亏了！”老汉很吃惊，聪明的同学们，你们认为老汉有没有吃亏呢？为什么？
【学法指导】
1．运用平方差公式的关键是掌握公式的结构特征及公式中字母的含义，解具体题目时，首先看是否符合平方差公式“模型”，若符合，准确识别出，然后“套用”公式，使计算简便，其次，特别注意公式的逆用．
2．完全平方公式和平方差公式的结构特征相近，要学会对比、分析三个公式之间的异同点，弄清每个公式的使用条件，以免混淆．
【教学建议】
1．对于平方差公式的教学，可以在系数、符号、位置、指数、数字、项数等各方面进行变化，让学生体会它们的各种变化情况，理解公式中字母的广泛含义．
2．对于探索六及其变式要引导学生正确分组，对学生遇到的困难及出现的错误作具体分析．
3．对于例2的教学，要适当地提供一些必要的训练，使学生能准确地运用平方差公式进行简单运算
【备选问题】
1．你可以逆用平方差公式求出的值吗？
解
．
2．利用平方差公式计算：
解 原式=
．
知识链接答案：老汉吃亏了，因为原来土地的面积为平方米，改变后土地面积变为了，比原来土地面积少了25平方米．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（ A ）．
A． B．
C． D．（
2．利用平方差公式计算的结果是（ C ）．
A． B．
C． D．
3．下列运算中，运算结果是的是（ D ）．
A． B
C． D．
4．．
5．．
6．运用平方差公式计算
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．计算的结果是（ C ）．
A． B．
C．0 D．
8．设正方形面积为平方厘米，长方形的面积为平方厘米，如果长方形的长比正方形的边长多3厘米，宽比正方形的边长少3厘米，则与的关系是（ B ）．
A． B．
C． D．不能确定
9．
10．解方程
．
解
所以，．
11．运用平方差公式计算
解 原式=．
12．观察下列等式：，，，… ，，…，请你将发现的规律用只含有一个字母的式子表示出来．
解 因为，，…，所以要得规律：（为大于2的整数）
拓展题——勇攀高峰
13．若，求的值．
解 因为，所以．解方程组得
所以的值为．
8．5因式分解（1）
学习目标
1．知道因式分解的意义以及它与整式乘法的关系；
2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式；
3．经历从分解因数到分解因式的类比过程，理解因式分解的概念；
4．经历探索多项式各项公因式的过程，以“化归”的思想方法，进行因式分解；
5．重点：用提公因式法把多项式分解因式．
预习导学——不看不讲
知识点一、因式分解的概念及与整式乘法的关系
学一学：阅读教材P73“1．提公因式法”上面部分，解决下面问题：
1．在学习分数时，常常要进行因式约分与通分，因此常常要把一个整数分解因数，如6分解成，把30分解成．
2．由整式乘法可知，由等式的对称性可得．
3．这种把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
4．你能说出整式乘法和因式分解的联系与区别吗？
整式乘法与因式分解在形式上是一种互逆的关系，可用如下图示表示：
辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？
（1）； （2）．
（1）错，因为等号左边不是多项式； （2）错，因为结果不是整式乘积的形式．
知识点二、提公因式法分解因式
学一学：阅读教材P74“例1上面”部分，解决下面问题：
1．各项都含有一个因式，各项都含有一个因式，我们把这个相同的因式叫做各项的公因式．
2．请同学们先找出下面多项式的公因式，然后把你寻找公因式的方法总结出来．
（1）；（2）；（3）；（4）．
（1）；（2）；（3）；（4）；确定一个多项式的公因式时，从数字系数、相同字母及字母指数三方面考虑，具体是系数取多项式各项系数的最大公约数，相同字母取多项式各项都含有的字母，指数取相同字母的最低次数
3．把公因式提出来，多项式就可分解成和的乘积，这种因式分解的方法叫做提公因式法．
学一学：阅读教材P74“例1、例2”，解决下面面问题：
1．．
2．与互为相反数，，所以
．
3．用提公因式法分解因式的关键是什么？提公因式法分解因式的关键是确定公因式
选一选：下列各式中含有公因式的有（ B ）．
①和； ②和；
③和； ④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
合作探究———不议不讲
互动探究一：不能被下列哪个数整除（ C ）．
A．2011 B．2010 C．2009 D．1005
互动探究二：若，，则．
互动探究三：分别写出下列多项式中各项的公因式：
（1）； （2）．
互动探究四：分解因式：
（1）； （2）
解（1）；
（2）．
【方法归纳交流】；．
互动探究五：用简便方法计算：
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
变式演练：已知电学公式，当，，时，利用因式分解求出的值．
解
所以的值为100．
互动探究六：已知，，求的值．
解 由于，当，时，
原式=．
变式演练：已知，求的值．
解 由于，而由已知得，
所以原式=．
【方法归纳交流】对于探究六及变式的基本解题思路是什么？
把要求的代数式进行因式分解，转化为已知条件的积的形式，代入求值即可．
学习笔记
【知识链接】
约瑟夫问题与因式分解
有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64． 敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀．
最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？这就是数学上有名的“约瑟夫问题” ．给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了．剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码．按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？
【学法指导】
1．公因式的取法可以采用下面口决记忆：系数大，字母同，次数低．
2．提公因法的关键是找出各项的公因式，确定公因式的过程可通过看各项系数，找相同字母，提取系数的最大公约数，相同字母的最低次幂．
2．因式分解要与小学学过的因数分解及整式乘法运算类比，掌握因式分解与整式乘法二者之间的区别与联系，并通过一定的练习达到巩固，熟练的目的．
【教学建议】
1．提公因式法是把公因式提到括号外面，相当于用公因式去除已知多项式，所得的商就是另一个因式，再把多项式写成这两个因式的积，所以可根据分配律与因式分解的互逆关系，来说明把各项的公因式提到括号外面即可，而不必说明用公因式去除各项的方法．
2．对于例1（2），常会出现漏项，结果出现的错误，教学时可教给学生检查是否漏项的方法：最好是用单项式乘以多项式的乘法进行验证．
【备选问题】
1．因式分解需注意哪些方面？
（1）分解因式的对象是多项式；（2）分解后的结果是几个整式的积，且每一个因式的次数必须低于原多项式的次数；（3）必须分解到每一个因式都不能分为止；（4）多项式提公因式后的另一个因式与原多项式的项数相等．
2．化简所得的结果为（ B ）．
A． B． C． D．
知识链接答案：约瑟夫是64号．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ C ）．
A．
B．
C．
D．
2．下列分解因式正确的是（ D ）．
A．
B．
C．
D．
3．分解因式的结果为（ B ）．
A． B．
C． D．
4．的公因式是（C ）．
A． B．
C． D．
5．．
6．分解因式：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．如果多项式可分解为，则A为（ B ）．
A． B．
C． D．
8．已知可分解为，则的值为（ A ）．
A．—15 B15
C．2 D．—2
9．已知，则．
10．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）
解(1)原式=；
(2)原式=．
11．利用分解因式计算：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=
．
12．先分解因式，再求值
，其中．
解 原式=，当时，原式=0．
拓展题——勇攀高峰
13．已知关于的二次三项式分解因式的结果为，求的值．
解 因为
所以．
有两块面积不等的正方形草坪，它们的面积之差是24，且草坪的边长是整数，你能求出这两块草坪的边长吗？
8．5因式分解（2）
学习目标
1．会利用平方差公式和完全平方公式分解因式；
2．通过对公式的正向和逆向应用的探究，发展逆向思维能力和推理能力；
3．通过用公式进行因式分解与身边实例的联系，培养学数学、用数学，并学会用数学知识为社会服务的优秀品质，增强学好数学的信心与勇气；
4．重点：会利用平方差公式和完全平方公式分解因式．
预习导学——不看不讲
知识点一、利用公式法因式分解
学一学：阅读教材P75“例3”，解决下面问题：
1．，，
2．像这样利用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解的方法称为公式法．
3．你知道平方差公式的特征吗？
左边特征是：两项的平方差；右边特征是：两项的和乘以它们差的积．
4．下列多项式能否用平方差公式来分解因式？
（1）；（2）；（3）；（4）．
只有（3）可以，其余均不可使用
5．完全平方公式的特征是什么？左边特征：是二次三项式，其中有两项的符号相同，并且这两项可化为两个数（或整式）的平方的形式，另一项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负；右边特征：两项和（或差）的平方．
6．判断下列各式是不是完全平方式？
（1）（ 是 ）； （2）（不是）； （3）（是）；
（4）（不是）； （5）（不是）； （6）（是）．
7．；
．
想一想：如何把多项式分解因式？可以把看成一个整体，具体为：．
选一选：下列各式属于因式分解且结果正确的是（ B ）．
A． B．
C． D．
知识点二、综合利用提公因式法和公式法
学一学：阅读教材P76“例4”部分，解决下面问题：
1．多项式有公因式，提公因式得，再利用平方差公式得．
2．把一个多项式因式分解时，首先观察这个多项式各项是否有公因式，若有，则先提公因式；其次观察分解后的另一个因式是否还能继续分解，若能，则继续分解；若多项式的首项系数为负数时，应先提取负号．
3．议一议：如何把多项式分解因式？
先利用平方差公式，再利用完全平方公式，具体为：
选一选：分解因式的结果是（ C ）．
A． B．
C． D．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列各式中可以使用平方差公式分解的是（ C ）．
A． B．
C． D．
互动探究二：已知是完全平方式，则，若是完全平方式，则．
互动探究三：把下列各式分解因式：
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
互动探究四：把下列各式分解因式：
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
互动探究五：试说明：不论为何值时，代数式的值一定是正数．
解 因为，由于不论为何值，都有，所以，因此不论为何值时，代数式的值一定是正数．
【方法归纳交流】一个含字母的代数式一定是正数的条件是：可以化为的形式．
互动探究六：已知是整数，试说明的值一定能被12整除．
解 因为．又因是整数，所以一定能被12整除，即的值一定能被12整除．
变式训练1：能被120整除吗？
解 因为，所以能被120整除．
变式训练2：能被45整除吗？
解
所以能被45整除．
【方法归纳交流】如何确定一个数或代数式是某一个数的倍数？
只需把这个数或代数式进行变形，使因数中含有这个数即可．
学习笔记
【知识链接】
巧求正方形草坪的边长
小飞一次到公园玩，在公园他发现了有两块面积不等的正方形草坪，从工作人员那里他们知道了两草坪的面积之差是24，且草坪的边长是整数，小飞很快便知道了两块正方形草坪的边长，你知道小飞是怎么算的吗？
【学法指导】
1．分解因式时，有公因式先提公因式，然后再考虑其他方法．
2．运用公式法分解因式的思路是：当多项式只有两项，各项指数都是2的倍数，且两项系数异号时，可考虑用平方差公式加以分解；若多项式为三项时，可考虑用完全平方公式加以分解．
【教学建议】
1．运用公式法分解因式关键是确定多项式能否使用公式，用哪个公式，因此教学时一定要让学生掌握每个公式的结构特征．
2．运用因式分解可以简便计算，教学时要让学生善于抓住题型特征，恰当运用提公因式法和公式法简化计算．
【备选问题】
1．运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的条件是什么？
运用平方差公式的条件：（1）是一个二项式；（2）每项可写成一个整式的平方的形式；（3）两项的符号相反．运用完全平方公式的条件：（1）是一个二次三项式；（2）有两个“项”平方（符号相同），而且有这两“项”的积的两倍或负两倍．
2．已知，则，．
知识链接答案：设两正方形边长为，则，所以，又因边长为整数，所以．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列各式能用平方差公式分解的是（ C ）．
A． B．
C． D．
2．下列各式能用完全平方公式分解是（D ）．
A． B．
C． D．
3．若是完全平方式，则的值等于（ D ）．
A．—5 B．3
C．7 D．7或—1
4．分解因式为．
5．因式分解．
6．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．不论为何实数，的值总是（ C ）．
A．负数 B．0
C．正数 D．非负数
8．当时，的值为（ C ）．
A．121 B．49
C．25 D．16
9．若，则．
10．若，，则．
11．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
解（1）原式=．
（2）原式=
12．已知为任意实数且，试比较M与N的大小．
解 由于
，所以．
拓展题——勇攀高峰
13．已知为正整数，那么能被8整除吗？为什么？
解 能
因为为正整数，所以与是两个相邻的正整数，因此与是两个相邻的正整数，因此与中必有一个是偶数，所以一定能被8整除．
8．5因式分解（3）
学习目标
1．能综合运用提公因式法与公式法进行分解因式；
2．能利用分组分解法对某些多项式分解因式；
3．经历综合利用多种方法进行因式分解的过程，训练综合运用知识的能力和逆向思维的习惯，总结因式分解的一般方法；
4．重点：用分组分解法时行因式分解．
预习导学——不看不讲
知识点一、利用分组分解法因式分解
学一学：阅读教材P77“例5”解决下面问题：
1．分解因式：；．
2．如何将多项式转化为的形式？可以把前两项看成一组，后两项看成一组，
3．如何将分解因式？
4．像这样利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法．
5．在中前两项可用平方差公式分解因式，其中一个因式是，后两项提取公因式后，另一个因式也是，再利有提公因式法即可．
6．．
想一想：对于分组分解法如何合理的分组呢？
对于四项或四项以上的多项式在分组以后可以直接提公因式或者运用公式后得以继续分解因式．
选一选：下列多项式可以用分组分解法分解的是（ C ）．
A． B．
C． D．
知识点二、二次三项式的因式分解
解决下面问题：
1．，由等式的对称性可得．
2．利用上面的公式，你能把多项式分解因式吗？
．
3．通过上面多项式的因式分解，什么样的二次三项式可以使用公式来进行因式分解？
如果把常数项分解成两个因数的积，即，且恰好，那么就可分解为．
填一填：已知是多项式分解因式的结果，则．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列代数式，不论取何值，它总是正值的是（ B ）．
A． B．
C． D．以上都不对
互动探究二：多项式可分解成两个一次因式的积，则整数的值可以是（填其中任何一个）．
互动探究三：下列各式的因式分解有没有错误？如有错误？请予以改正：
（1）；
（2）；
（3）．
解 （1）错，改为：；
（2）错，改为：；
（3）错，改为：．
互动探究四：分解因式
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
互动探究五：见教材P78“第6题”．
解 （1）； （2）；
（3）； （4）．
互动探究六：分解因式：．
解 ．
变式演练：若与互为相反数，求的值．
解 由已知得，所以．
变式拓展：若与互为相反数，把多项式分解因式．
解 由已知得，所以．
所以原式=．
学习笔记
【知识链接】
因式分解趣味口决
因式分解并不难，分解因式要记全．首先提取公因式，再用公式来计算．假如公式用不上，分组分解试试看．若能分解再分解，不能分解才算完?．
【学法指导】
1．对于含四项的多项式，可以根据所给的多项式的特点，常采取“二、二”分组或“一、三”分组的方法进行因式分解，这是运用分组分解法把多项式分解因式的通法．
2．形如的二次三项式的因式分解的条件是能变成两个因数的积，且两因数的和等于．
【教学建议】
1．分组是分组分解法的关键，虽然分组的方法有时不唯一，但分组是为了合理地提公因式或用公式，因此教学时要让学生明确分组正确与否的标准是能够得以继续分解因式．
2．分组分解法的难度不易太大，一般是直接用公式不超过两次的具体应用．
3．二次三项式的因式分解，由于在后面解一元二次方程时需要经常用到，所以教学时需给予足够重视．
【备选问题】
1．你能用配方的方法把多项式进行因式分解吗？
2．已知，则多项式的值为 3 ．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．分解因式时，分组正确的是（ D ）．
A．
B．
C．
D．
2．用分组分解法把分解因式，分组的方法有（ B ）．
A．一种 B．二种
C．三种 D．四种
3．分解因式的结果为（ B ）．
A． B．
C． D．
4．
．
5．若，则．
6．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
解（1）原式=
；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．把分解因式为（ B ）．
A．
B．
C．
D．
8．若关于的多项式含有因式，则值为（ D ）．
A．—5 B．5
C．—1 D．1
9．若多项式有一个因式是，则另一个因式为．
10．把下列各式分解因式：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式
=
11．试说明的值一定是正数．
解 因为
而，所以的值一定是正数．
拓展题——勇攀高峰
12．小强在学习中发现
；
；
．
根据上述规律，小强猜出“任意四个连续的正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”这个结论，小强得出的这个结论是否正确，如果正确，请你说明这个结论，如果不正确，请说明理由．
解 正确
设四个连续正整数为，则
所以小强的结论是正确的．
第8章复习课
复习目标
1．知道整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示绝对值较小的数；
2．知道整式的概念，会进行简单的整式乘除运算；
3．会推导乘法公式：，，，了解公式的几何背景，并能进行简单计算
4．会用提公因式法、公式法（直接使用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）；
5．重点：整式的乘除运算、因式分解．
预习导学——不看不讲
你能根据本章所学知识完成下面的知识结构图吗？
知识点一、幂的运算性质
1．在幂的运算中我们学习了哪些性质？
（1）同底数幂的乘法；（2）幂的乘方；（3）积的乘方；（4）同底数幂的除法．
2．；已知，则．
3．在上式中运用了幂的运算的哪些性质？
逆用积的乘立以及逆用同底数幂的除法．
4．在都是正整数）中，当时，规定；当时，如果是正整数），则规定．
5．绝对值小于1的数可记成的形式，其中，是正整数，等于原数中第一个有效数字前面零的个数（包括小数点前面的一个零）．
知识点二、整式的乘（除）法
1．单项式乘（除）法法则：单项式相乘（除），把系数、同底数幂分别相乘（除），作为积（商）的因式，对于只在一个单项式（被除式）里含有的字母，则连同它的指数作为积（商）的一个因式．
2．单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
3．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
4．一个长方形的面积为，若宽为，则长为．
5．上面这个问题用到了哪个知识点？
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
6．完全平方公式：；平方差公式：．
知识点三、因式分解
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ C ）．
A． B．
C． D．
2．确定变形是否是因式分解的依据是什么？因式分解的基本方法有哪些？
等式左边是一个多项式，右边是整式乘积的形式，因式分解的基本方法有：提公因式法、运用公式法、分组分解法等．
3．多项式与多项式的公因式是．
4．如何确定多项式的公因式？
系数取各项系数的最大公约数，各项中相同的字母作为公因式的字母，并取它们的最低次幂．
5．利用公式法分解因式，用到的主要公式是：
．
6．合理分组是分组分解法的关键，合理分组的标准是什么？
分组的方法不唯一，但分组后应该能直接提公因式或运用公式后，仍能继续分解因式
合作探究———不议不讲
专题一：幂的运算性质的逆向运用
1．已知，则的值是（ A ）．
A．432 B． C．216 D．
2．计算：．
3．计算：．
解．
4．解答下列各题：
（1）已知，用含的代数式表示；
（2）已知，求．
解 （1）由已知得，所以；
（2）由已知得，所以，解得．
专题二：乘法公式的灵活妙用
5．设，则；204×196=．
6.计算: ．
解 原式=
．
【方法归纳交流】对于上题，巧妙添补，构造平方差公式是解题关键．
7.已知,求与的值．
解 ；
．
专题三：因式分解
8．，
9．请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．；；1；．
解 答案不唯一，如；；；等．
10．分解因式：．
解 原式=
设，则原式
．
【方法归纳交流】对于，若首尾两项与中间两项分别相乘，则得出的积可保证二次项与一次项相同．
专题四：整式乘法和因式分解在求代数式值中的应用
11．当代数式的值为3时，代数式的值是（ C ）．
A．5 B．6 C．7 D．8
12．求的值．
解 原式=
=．
13．先化简，后求值
，其中，．
解 原式=
当时，原式=．
专题五：数学思想
14．观察下列各式，你会发现什么规律．；；；……请你将发现的规律用含字母为正整数）的等式表示出来为．
15．已知，则代数式．
变式演练：对于15题，条件不变，求代数式的值．
解 由于，所以在等式两边同除以得
，所以．
变式拓展：已知，，求代数式的值．
解
当，时，原式=．
16．计算
．
解 令，，则
原式=．
学习笔记
【知识链接】
指数的力量
从前，一个穷秀才与一个富翁做了一笔交易，穷秀才突然富起来了，而富翁却变究了．
一天，富翁让究秀才写一幅牌匾，内容有点挖苦穷秀才，可秀才极不情愿，最后还是答应了下来，便要一月（30天）后再写，还提出了报酬并写下了字据，旁人作证．第一天要付给他2料麦子，第二天要付给他4料麦子（即），第三天要付给他8料麦子（即），……，以此类推．可到了最后几天，要用“翻倍”的马车拉了，第30天富翁要付1073741824料麦子（即），十亿多粒麦子大约一万斤吧！这是富翁小看指数的后果，聪明的秀才利用大指数制服了傲气的富翁．
【学法指导】
1．乘法公式不仅要牢记，还要学会将公式变形，包括位置、符号、指数、系数、因数等的变化，这些是用公式法因式分解的基础．
2．复习时重点放在平时容易出现错误的地方，如幂的运算性质、乘法公式、因式分解及相应的符号变化问题等．
【教学建议】
1．可采用将知识点镶嵌于练习之中，并以题目开路，以学生的尝试练习为中介的复习方法．
2．对乘法公式的复习，应注意几点：（1）区别与；与；（2）公式可以正向使用，也可以逆向使用；（3）严格区分平分差公式与完全平方公式的各自特点，避免综合使用时混淆．
【备选问题】
1．如何对多项式进行因式分解？
先利用提公因式，再利用公式法进行 ．
2．已知多项式有一个因式是，求的值．
解 因为，所以．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列计算正确的是（ C ）．
A． B．
C． D．
2．计算的结果是（ B ）．
A． B．
C． D．
3．分解因式时，应提取的公因式（ B ）．
A． B．
C． D．
4．已知是完全平方式，则．
5．分解因式．
6．计算：
（1）；
（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=
．
能力题——挑战自我
7．若，，则代数式的值为（ A ）．
A．9 B．0
C． D．
8．若，，则A—B的值是（ A ）．
A．正数 B．负数
C．非负数 D．可正可负
9．计算：
10．已知，求的值．
解 原式=
．
11．试说明代数式的值与值无关．
解 因为原式=
．
所以原式与值无关．
12．已知，求．
解 设，则，
即，所以，即．
拓展题——勇攀高峰
13．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
…
由此我们可以得到：
；
请你利用上面的结论完成下面的计算：
解 因为，所以．
8．1幂的运算（1）
学习目标
1．知道同底数幂的乘法法则，并能运用同底数幂乘法法则进行运算；
2．通过同底幂乘法法则，领会解决问题由特殊到一般，又从一般到特殊的思想方法；
3．通过本课的学习，了解数学的地位与作用，从而感悟数学的伟大，形成主动学习的态度；
4．重点：同底数幂的乘法法则．
预习导学——不看不讲
知识点一、同底数幂乘法法则
学一学：阅读教材P45“思考”，解决下面问题：
1．底数是 2 ，指数是 3 ，由乘方的意义可表示为 2×2×2 ．
2．由乘方的意义可表示为,由乘法的结合律得，再由乘方的意义得．
3．===．
4．你能仿上式求出的值吗？
．
5．如果把上题中的指数3、4换成正整数m、n，你能得出的结果吗？
（是正整数）．
6．上述每一个要求的算式底数有什么特征？通过计算你发现了什么规律？用式子如何表示？
底数都是相同的，规律：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
用式子可以表示为：（是正整数）．
想一想：三个或三个以上的同底数幂相乘时，是否也具有这个性质？
同样具有这一性质，如（是正整数）．
填一填：（1）；（2）；（3）=．
试一试：你现在能解决本节一开始提出的问题了吗？
解 ，即它每工作1小时共进行了次运算
知识点二、同底数幂乘法法则的应用
学一学：阅读教材P46“例1”解决下面问题：
1．中，两个幂的底数分别是几，是否相同？两个幂的底数都是，底数相同
2．中，两个幂的底数分别是几？是否相同？可以使用同底数幂的性质进行计算吗？两个幂的底数分别是，不相同，虽不可直接使用同底数幂的性质，但可把转变为，再使用同底数幂相乘的性质
想一想：对于公式，其中的底数是什么数？
底数可以是任意实数，也可以是单项式或是多项式
填一填：（1）；（2）．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列计算：①；②；③；④．其中正确的有（ B ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
互动探究二：（1）；（2）．
互动探究三：见教材P46练习“第1题” ．
解 （1）不对，应为；（2）不对，应为；（3）不对，应为；（4）不对，应为．
互动探究四：计算
（1）； （2）
解（1）；
（2）．
互动探究五：信息技术的存储设备常用B、K、M、G等作为存储量的单位．例如，我们常说某计算机硬盘容量是120G，某移动存储设备的容量是256M、某个文件大小是245K等，其中1G=M，1M=K，1K=B（字节），对于4G的“优盘”，其容量有多少个字节？
解 （B）
答：4G的“优盘”其容量为字节．
互动探究六：已知，，求的值．
解 =．
变式演练：已知，，求的值．
解 因为，而，所以=28÷4=7．
变式拓展：若，且，，求的值．
解 因为，而，，所以，故．
【方法归纳交流】对于式子，，，中，若已知其中的若干个值，求某一个式子或字母的值，往往可以逆用同底数幂的乘法法则，即．
学习笔记
【知识链接】
一天，迷糊阿呆坐在教室没事，一个人测量自己肪搏的跳动速度，他测量的结果是一分钟自己脉搏跳动的次数大约是70次，他想如果他能活到80岁，在他一生中肪搏跳动的次数应该不超过1千万次，聪明的你，同意阿呆的说法吗？
【学法指导】
1．同底数幂的乘法性质只要理解，能正确运用即可，无需背诵．
2．底数、指数、幂、乘方等概念是理解同底数幂的乘法的基础，在探索同底数幂的性质前，可恰当提前复习，在达到以旧引新的效果．
3．对于探究六，可逆向使用同底数幂的乘法性质．
【教学建议】
1．同底数幂乘法性质的得出，可以采用问题串的形式，层层递进，让学生领会从特殊到一般的推导性质，又从一般到特殊地运用性质
2．从思考到探索的过程中，要给学生留有一定的时间和空间，让他们自主探索和交流，在操作中获得运算性质，从而构建新的知识体系．
3．对于知识点二，首先应让学生说明底数是什么，指数是什么，再观察是不是同底数幂相乘，然后引导学生运用性质进行计算．
【备选问题】
1．已知，，，你能把105写成底数是10的幂的形式吗？
解 因为，所以
2．利用等式，化简：
．
解 原式=
．
知识链接答案：不同意阿呆的说法，因为．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．可以写成（ C ）．
A． B．
C． D．
2．下列计算错误的是（ A ）．
A．
B．
C．
D．
3．；．
4．计算，并将结果用科学计数法表示：．
5．计算：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
解（1）；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
能力题——挑战自我
6．把看成一个整体，下面计算正确的是（ D ）．
A．
B．
C．
D．
7．如果，那么等于（ D ）．
A． B．
C． D．
8．若，则 5 ．
9．已知是正整数，且，则的值为 27 ．
10．光的速度约为km/s，太阳光照射到地球大约需要s，地球距离太阳大约有多远？
解 (km)
所以地球距离太阳大约有km．
11．先把下面的式子化成同底数幂的形式，然后再计算．
解 原式=
拓展题——勇攀高峰
12．如果，，求的值．
解：由题意，得，解这个方程组，得，所以的值为分别7与3．
13．若
，试求
解 当时
所以=81．
告诉你一个秘“幂”
公元263年，“幂”字第一次在数学文献中出现，当年刘徽为《九章算术》作注，在《方田》章求长方形面积法则下面写道：“此积谓田幂，凡广从相乘谓之幂。”到了公元656年，李淳风重注《九章算术》，在券九《勾股》章中指出幂是边自乘的结果或正方形面积，这种用法一直到公元1303年以后中断使用幂字，
公元1607年，意大利人利玛窦和我国的徐光启合译欧几里得《原本》，徐光启再次使用了幂字，在书中给幂字下注解：“自乘之数曰幂。“这是第一次给幂这个概念下定义
公元1935年，《数学名词》将involution译为乘方，power则译为幂，这两个术语才确定下来。
8．1幂的运算（2）
学习目标
1．知道幂的乘方法则，并能运用式子表示；
2．能运用幂的乘方法则进行计算，并能说出每一步运算的依据；
3．经历观察、猜想、归纳等探索幂的乘方性质的过程，感知数学知识具有普遍联系性；
4．通过化乘方为乘，体会化规的思想方法，尝试在数学活动中获得成功的喜悦，树立自信心；
5．重点：幂的乘方法则的推导及应用．
预习导学——不看不讲
知识点一、幂的乘法法则
学一学：阅读教材P47“思考”解决下面问题：
1．计算：（1）；（2）；（3）
2．上述运算是什么运算，相应的法则内容是什么？三个算式有什么共同特点？
上述运算是同底数幂的乘法；法则是相底数幂相乘，底数不变，指数相加；三个算式都是相同的幂相乘．
3．====；
4．你能仿照上面的计算过程求出的值吗？
．
5．对于正整数，你认为等于什么？能对你的猜想进行验证吗？
猜想：，验证：
6．观察上面的算式及运算结果的底数及指数，你发现了怎样的规律？用式子如何表示？
幂的乘方，底数不变，指数相乘；用式子表示为：（都是正整数）
选一选：的计算结果是（ A ）．
A． B C． D．
知识点二、幂的乘法法则应用
学一学：阅读教材P47“例2”，解决下面问题：
1．式子底数是 5 ，指数有 5、3 ，是幂的三次方，所以=．
2．式子的计算过程是否正确？如果不正确，应如何改正？
不正确，应改为
想一想：如何计算的值？
可以先算幂的乘方，再进行同底数幂的乘法，具体如下：
填一填：（1）=；（2）=．
合作探究———不议不讲
互动探究一：有下列等式：①；②；③；④，其中正确的个数是（ C ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
互动探究二：（1）=；（2）．
互动探究三：见教材P48练习“第2题” ．
解 （1）不对，应改为；决问 （2）不对，应改为；
（3）不对，应改为； （4）不对，应改为．
互动探究四：计算：
（1）； （2）
解 （1）；
（2）．
互动探究五：太阳的半径是地球半径的倍，那么太阳的体积是地球体积的多少倍？（太阳、地球可以近似的看作球，球的体积公式是）
解 设地球半径为，则太阳的半径为，则题意，得
（倍）
所以太阳的体积是地球体积的倍．
互动探究六：已知，，求的值．
解 因为，，
所以．
变式演练1：对于探究六，若条件不变，则的值为多少？
解 因为，，
所以．
变式演练2：若，求的值．
解 因为，所以，
又因，
所以．
【方法归纳交流】对于式子可以变形为．
学习笔记
【知识链接】
费马的失误
历史上，很多数学家都想找到求质数的公式，1640年，数学家费马验证：当，1，2，3，4时，式子的值3，5，17，257，65537都是质数．于是他高兴的断言：“对于所有的自然数，的值都是质数．”由于费马在数学界的崇高威望，以及验证这类数字是否为质数的艰巨性，因此在很长一段时间里没有人怀疑这一结论的正确性，并且把这类数称之为费马数．
1732年，数学家欧拉指出，当时，，从而否定了费马的结论．更有意义的是，从第6个费马数开始，数学家再了没有发现一个新的质数，全部是合数．甚至有人给出一个猜想：当时，费马数全都是合数．
【学法指导】
1．幂的乘方运算性质的导出可以采用由特殊到一般，由具体到抽象的方法．
2．对于探究六，可以采用逆向使用幂的乘方性质．
【教学建议】
1．幂的乘方的推导是根据乘方的意义和同底数幂的乘法性质，这一节的教学和上一节类似，教学时注意留给学生探索与交流的空间．
2．对于例2的教学先让学生说明每个题底数是什么，有哪些指数，能否看成幂的乘方，最后引导学生运用性质进行计算．
【备选问题】
在幂的运算中，，，两者的表达方式不一样，但有时两者的数值相同，你能举出这样的例子吗？
解 当，两者数值相等都等于1．
2．已知，求的值．
解 因为：，
所以，所以．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列各式，，，，，中，与相等的有（ B ）．
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
2．下列计算正确的是（ D ）．
A． B．
C． D．
3．的计算结果是（ C ）．
A． B．
C． D．
4．；．
5．．
6．见教材P54习题“第2题” ．
解（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．
能力题——挑战自我
7．已知，则的值是（ B ）．
A．15 B．50
C．25 D．500
8．比较与，可以得到（ A ）．
A． B．
C． D．无法判断
9．若，则 3 ．
10．当为奇数时， 0 ．
11．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
12．已知，求（1）；（2）．
解（1）；
（2）．
拓展题——勇攀高峰
13．求下列各式中的值
（1）；（2）．
解（1）因为，所以；
（2）因为
所以．
14．试比较的大小．
解 因为，
，
，又因256＞243＞125，所以．
8．1幂的运算（3）
学习目标
1．知道积的乘方法则，并能运用式子表示；
2．能运用积的乘方法则进行计算，并能说出每一步运算的依据；
3．经历观察、猜想、归纳等探索积的乘方性质的过程，感知数学知识具有普遍联系性；
4．在发展推理能力和有条理的语言、符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，提高学习数学的信心，感受数学的简洁美；
5．重点：积的乘方法则及应用．
预习导学——不看不讲
知识点一、积的乘法法则
学一学：阅读教材P48“思考”部分，解决下面问题：
1．计算：（1）；．
2．以上两个算式分别是什么算式？相应的法则是什么？
分别是同底数幂的乘法与幂的乘方，相应法则是：，．
3．你觉得是一种怎样的运算？不属于以上的两种运算，它是积的乘方运算
4．根据乘方的意义，表示什么？表示两个相乘，即．
5．=== ；
6．你能仿照上面的过程求出的值吗？
．
7．若把指数由4换成正整数，你能猜想出的结果吗？能验证你的猜想吗？
猜想：，验证：．
8．观察上面的等式你发现了什么规律？能把你发现的规律用文字和式子分别表示吗？
积的乘方等于积中每一个因式的积；用式子表示为：．
议一议：的结果是多少？它说明了什么？
，它说明了积的乘方运算性质可以推广到三个或三个以上因式乘方的积．
选一选：下列计算正确的是（ D ）．
A． B． C． D．
知识点二、积的乘法法则应用
学一学：阅读教材P49“例3、例4”，解决下面问题：
1．在式子中，积中有因式 2 与，故=．
2．．
3．对于例4中出现的科学记数法的乘方仍可利用积的乘方，表示为，对于最后的结果由于数值较大，一般用科学记数法表示．
填一填：（1）；（2）；（3）．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列计算中，错误的是（ B ）．
A． B．
C． D．
互动探究二：若成立，则 3 ， 2 ．
互动探究三：见教材P50“第3题” ．
解 （1）不对，应改为； （2）不对，应改为；
（3）不对，应改为； （4）不对，应改为
互动探究四：计算：（1）； （2）．
解 （1）；
（2）．
互动探究五：计算 ．
解 ．
互动探究六：若，求的值．
解 ．
变式演练：计算：（1）； （2） ．
解 （1）；
（2）．
变式拓展：计算
解
．
【方法归纳交流】对于探究六及其变式，可逆用积的乘方的性质简化计算，一般首先考虑有没有两个底数是互为倒数的，若有，可设法转化为同指幂的乘法，再逆用积的乘方的性质．
学习笔记
【知识链接】
古时候有一个穷人，他天天梦想着能够发财，但身上只有一分钱。有一天他意外得到一个聚宝盆，聚宝盆很神奇，每个小时会把钱变成原来的2倍，于是穷人把这1分钱扔了进去，1小时后钱变成了2分，2小时后钱变成了4分，3小时后钱变成了8分，问两天后盆中有多少钱?他能成为富翁吗？盆有个魔咒，谁拿了这里面的钱，它就不再生钱，但两天后他忍不住拿了这里面的钱，第一天用了一半，第二天又用了一半，就这样48天后，盆中还剩多少钱？
【学法指导】
1．积的乘方法则的逆用可以用来简便计算．
2．积的乘方法则要与同底数幂的乘方，幂的乘方法则对比理解，抓住什么变，什么不变．
【教学建议】
1．对于幂的运算性质的推导，一定要让学生掌握性质的依据，以使知识形成系统
2．对于积的乘方性质的推导可分解成若干个问题，给学生提供一个个探索、思考与同伴合作交流的机会，在思考中发现其中蕴含的数学规律．
【备选问题】
1．是否等于？
由于它不是积的乘方，而是和（或差）的乘方，因此不能运用幂的运算性质3——积的乘方
2．已知，求的值．
解 可化为，即，所以，解得．
知识链接答案：两天后盆中有钱分，他可以成为富翁，若他拿了盆中的钱，48天后盆中就只有1分钱了．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列计算中，正确的是（ B ）．
A． B．
C． D．
2．计算的结果是（ C ）．
A． B．
C． D．
3．化简的结果是（ C ）．
A．0 B．
C． D．
4．；．
5．计算：．
6．计算：
（1）； （2）
（3）；（4）．
解（1）；（2）；
（3）；（4）．
能力题——挑战自我
7．的计算结果是（ B ）．
A． B．
C． D．
8．若为正整数，当时，等于（ C ）．
A．0 B．—1
C．1 D．1或—1
9．若，则 4 ，
3 ．
10．=．
11．计算：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
12．简便计算：
（1）；（2）．
解（1）原式=
；
（2）原式=
．
拓展题——勇攀高峰
13．计算下列各题
（1）当，，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的值．
解（1）；
（2）；
（3）
8．1幂的运算（4）
学习目标
1．探索同底数幂的除法运算性质，会用同底数幂的除法法则时行计算；
2．知道同底数幂的除法的运算法则的算理，发展有条理的思考及表达能力；
3．经历探索同底数幂的除法运算的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验；
4．体会数学公式的简洁美与和谐美；
5．重点：同底数幂的除法法则的生成过程及其应用．
预习导学——不看不讲
知识点一、同底数幂的除法法则
学一学：阅读教材P50“思考”部分，解决下面问题：
1．根据乘方的意义可表示为，可表示为，所以=．
2．；．
3．你能仿照上面的计算过程求出的值吗？
4．若把的指数分别变为，你能猜想出的结果吗？你能验证你的猜想吗？
猜想： 验证：
5．观察上面同底数的除法的底数及指数的变化规律，你发现了什么？你可以用一个式子表示出你发现的规律吗？
同底数幂相除，底数不变，指数相加
用式子表示为：
想一想：为什么要强调？
由于除法运算应要求除数（或分母）不为零，所以底数不能为零
填一填：（1）；（2）．
知识点二、同底数幂除法法则的应用
1．．
2．对于式子是同底数幂除法吗？可以使用同底数幂除法法则吗？结果是多少？
不是同底数幂的除法法则，但可以把变为从而转换为同底数幂的除法，结果是
想一想：式子可以使用同底数幂的除法法则吗？如果可以，如何操作？
可以使用，可采用如下方法：．
议一议：同底数幂的除法法则运算的关键是什么？
关键是确定同底数幂的底数和指数，底数互为相反数的两个幂相除，可以转化为同底数幂相除
选一选：下列计算中，正确的是（ C ）．
A． B
C． D．
合作探究———不议不讲
互动探究一：等于（ B ）．
A． B． C． D．
互动探究二：（ ）；．
互动探究三：见教材P51练习“第2题” ．
解 （1）不对，应改为； （2）对； （3）不对，应改为；
（4）不对，应改为； （5）不对，应改为；（6）不对，应改为
互动探究四：计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解 （1）；
（2）；
（3）；
（4）．
互动探究五：一种数码照片的文件大小是K，一个存储量为M（1M=K）的存储器能存多少张这样的数码照片？
解 ．
答：一个存储量为M（1M=K）的移动存储器能存储张数码照片．
互动探究六：已知，，求．
解 因为，所以．所以．
变式演练1：对于探究六，若已知，，求的值．
解 因为，所以，解得．
变式演练2：对于探究六如何求的值．
解
【方法归纳交流】逆用同底数幂的除法法则，可以将变形为．
学习笔记
【知识链接】
宇宙中的天体
在宇宙中，地球只能算是一个小小的天体，比地球大的天体还有很多，如太阳，木星等，如果把太阳、地球和木星都近似地看成球体，并且已经知道了太阳和木星的半径分别约是地球半径的100倍和10倍，你能知道它们的体积约是地球的多少倍呢？（球的体积公式为（R为球的半径）
【学法指导】
1．同底数幂的除法与同底数幂的乘法运算法则类似，相同之处是底数不变，不同之处是除法是指数相减，而乘法是指数相加．
2．对于底数互为相反数的幂，可通过乘方的意义转化为同底数的幂．
【教学建议】
1．在应用同底数幂的除法法则时，让学生明确底数、指数分别是什么，然后再按同底数幂除法性质进行计算．
2．对于知识点二中的想一想，可以把看成一个整体进行计算，教学时要渗透这种“换元”思想
3．对于探究三改错题，教学时要注意强调每一个性质得到的依据，在学生理解的基础上进行纠错，让学生通过讨论、交流、争辩来强化对性质的理解．
【备选问题】
1．当幂的底数互为相反数时，如何转化为同底数的幂？
当为偶数时，；当为奇数时，．
2．若的值为，试求的值．
解 因为，
所以．解得．即的值为2．
知识链接答案：太阳和木星的体积是地球体积的倍和倍．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．的结果是（ B ）．
A， B．
C． D．
2．下列计算中，正确的是（ D ）．
A． B．
C．D．
3．计算等于（ D ）．
A． B．
C． D．
4．
5．．
6．计算：
(1)；
(2) ．
解（1）原式=；
（2）原式=
能力题——挑战自我
7．若，则的值分别为（ C ）．
A． B．
C． D
8．若，，则等于（ A ）．
A．10 B．
C． D．15
9．计算 ．
10．．
11．计算：
（1）；
（2）．
解（1）原式=
；
（2）原式=
．
12．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
解（1）；
（2）．
拓展题——勇攀高峰
13．（1）已知，求；
（2）如果，求的值．
解 （1）
；
（2）因为，所以，由已知条件，得，所以．
8．1幂的运算（5）
学习目标
1．知道零指数幂、负整指数幂的意义，能够把负整指数幂转化为正整指数幂；
2．利用“假设同底数幂的除法对于时仍然成立，”再通过比较两种算法来说明零指数幂和负整指数幂的合理性；
3．进一步体会幂的意义过程中，发展学生的推理能力和有条理的表达能力；
4．体会数学公式的简洁美与和谐美；
5．重点：理解零指数幂和负整指数幂的意义．
预习导学——不看不讲
知识点一、零指数幂的法则
学一学：阅读教材P51“探究（1）”解决下面问题：
1．完成下面表格：
运用同底数幂的除法法则进行计算
运用除法的意义进行计算
对比第1列与第2列每一小题的结果，你可以得出怎样的结论，把你的结论写出来
2．对于任何实数，是不是永远都成立？
通过表格可以发现，若，在式子中，0就作为除数了，无意义，所以．
3．对于你刚才发现的结论请用文字语言和符号语言分别表示出来
文字语言：任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；符号语言：．
议一议：对于，你还有其它方法说明它的合理性吗？可利用乘除法的互逆关系来说明：因为，所以．
选一选：已知，则（ D ）．
A． B． C．为任意实数 D．
知识点二、负整指数幂的法则
学一学：阅读教材P51-52“探究（2）”，解决下面问题：
1．完成下面表格：
运用同底数幂的除法法则进行计算
运用约分的意义进行计算
对比第1列与第2列每一小题的结果，你可以得出怎样的结论，把你的结论写出来
2．若设，请你仿照表格中的方法由可得出什么结论．
因为，同时，所以可得结论．
3．由此你发现了什么规律？请用文字语言和符号语言分别表示出来．
文字语言：任何一个不等于零的数的（是正整数）指数幂，等于这个数的指数幂的倒数；符号语言：．
选一选：下列计算正确的是（ C ）．
A． B． C． D．
知识点三、零指数幂，负整指数幂法则的应用
学一学：阅读教材P52“例5”解决下面问题：
1．对于计算：除了可以使用书上的方法外，你还有什么方法？
还可先算乘方，后算除法，具体如下：．
2．通过例5，你对幂的运算性质4中的的大小关系怎么看？
有了以上两条约定，我们再遇到计算，就不必限制，幂的4条运算性质对于零指数幂和负指数幂同样适用．
想一想：如何求的值？
即可以先算乘方，后算乘法，最后算减法，也可以先利用同底数幂的乘法，再利用有理数的减法进行，具体如下：
．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列各式正确的是（ D ）．
A． B． C． D．
互动探究二：当时，．
计算： （1）； （2）．
解：（1）；（2）．
互动探究四：计算
（1）； （2）．
解（1）原式=；（2）原式=．
互动探究五：计算
（1）；（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
【方法归纳交流】对于实数的混合运算可以先算乘方，后算乘除，最后算加减的顺序进行．
互动探究六：已知，求的取值范围．
解：由题意，得，所以，即．
变式演练1：已知，求的值．
解 由题意，得或或所以．
变式演练2：已知，求的值．
解：由题意，得，所以或或．
所以．
【方法归纳交流】若，则会出现哪几种可能情况？
会出现或且是偶数或但这三种情况．
学习笔记
【知识链接】
纳米
纳米是非常小的长度单位，1纳米=米，把一纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓放到地球上．同学们，你们知道25立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？是一个多小的一个数呢？
【学法指导】
1．零指数幂及负整指数幂的约定都是通过同一个算式的两种算法而得出的．
2．对于探究六及其变式，要注意分类讨论，而不要遗漏某种情况．
【教学建议】
1．对于两条约定的探索，教学时可以以表格的形式对教材进行重新组合，先做后说，先独立思考后小组交流，先充分感悟后归纳概括，遵循从具体到抽象，从感性到理性的认规律
2．重视分类讨论这一思想的渗透
3．对于例5，鼓励学生算法的多样性，不论有何种方法都予以肯定．
【备选问题】
1．当是整数时，，若是分数时，的值是多少？
当是分数时，，如．
2．，求的值．
解 因为，所以，解得，即的值为—3．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列计算错误的是（ B ）．
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ A ）．
A． B．
C． D．
3．等于（ C ）．
A． B．
C． D．
4．若没有意义，则；若有意义，则．
5．若，则．
6．计算
（1）；（2）．
解（1）；
（2）．
能力题——挑战自我
7．若，则等于（ C ）．
A． B．
C． D．
8．若
，则（ B ）．
A． B．
C． D．
9．已知，那么．
10．；．
11．计算：
（1）；
（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
12．观察下列计算过程，并回答下列问题：
；
（1）上面两式的计算是否正确？
（2）从上面的运算中，你对于，
有没有重新的认识？
（3）试用你得到的新认识来计算：
①；②．
解（1）正确；（2）同底数幂的乘法及除法法则，对于零指数幂及负整指数幂同样适用；（3）①原式=；②原式=．
拓展题——勇攀高峰
13．若，求的值．
解 因为，所以，故，所以
．
8．1幂的运算（6）
学习目标
1．能把绝对值小于1的数用科学记数法表示出来；
2．经历计算、观察、猜想、归纳等探索把绝对值小于1的数用科学记数法表示的过程，使学生感知数学知识具有普遍的联系性，并熟练掌握负指数的确定方法；
3．从实际情境出发，感受现实生活中存在许多较小的数据，体会数学知识的应用价值；
4．重点：用科学记数法表示绝对值小于1的数．
预习导学——不看不讲
知识点一、用科学记数法表示绝对值小于1的数的规则
学一学：阅读教材P53“练习与例6”之间的部分，解决下面问题：
1．如何用科学记数法表示较大的数？228000如何用科学记数法表示？
绝对值大于10的数可记成的形式，其中，是正整数且；228000用科学记数表示为．
2．计算；；；．
3．把下列各数写成10的幂的形式：；；；．
；；；
4．，观察指数与运算结果的0的个数有什么关系？
10的次幂的运算结果，在1的前面有个0
5．；．
6．绝对值小于1的数可记成的形式，其中，是正整数，这种记数方法也是科学记数法．
想一想：把绝对值小于1的数用科学记数法表示时，的值如何确定？
等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）
选一选：把用科学记数法表示为（ B ）．
A． B．
C． D．
知识点二、有理数与科学记数法表示的数的互化
学一学：阅读教材P53“例6”解决下面问题：
1．数字有 3 个有效数字，第一个有效数字为 7 ，其前面有 4 个零，故用科学记数法表示为．
2．数字的第一个有效数字是 1 ，它前面零的个数是 6 ，用科学记数法表示为．
3．表示的原数是．
议一议：用科学记数法表示并且精确到万分法如何表示？表示为
填一填：用科学记数法表示并且保留3个有效数字为．
合作探究———不议不讲
互动探究一：纳米技术是21世纪的新兴技术，纳米是一个长度单位，1纳米等于1米的10亿分之一，关系式1纳米=米中，应该是（ B ）．
A．20 B．9 C．8 D．—10
互动探究二：在第一个有效数字前面共有 5 个零（包括小数点前面的那一个）．
互动探究三：用科学记数法表示下列各数
（1）； （2）．
解 （1）； （2）．
变式演练：将下列用科学记数法表示数表示成原来的数．
（1） ； （2）．
解 （1）；（2）．
互动探究四：见教材P54练习“第2题” ．
解 因为，因而，1个氧原子的质量比1个氢原子的质量大．
【方法归纳交流】若且，则；若且，则；若且，则．
互动探究五：生物计算机的运算速度约为人脑思维速度的100万倍，则人脑思维速度约为生物计算机速度的多少倍？（用科学记数法表示）
解
答：有脑思维约为生物计算机速度的倍．
互动探究六：按要求把下列各数用科学记数法表示出来：
（1）（保留二个有效数字）；
（2）（精确到百万分位）．
解（1）；（2）．
变式演练：我们都知道“先看见闪电后听见雷声”，那是因为光的传播速度比声音的传播速度快，若声音在空气里的传播速度大约是340米/秒，而光的传播速度是声音传播速度的倍，你能计算出光传播的速度为多少吗？（结果用科学计数法表示，保留两个有效数字）
解
答，光传播的速度为米/秒．
【方法归纳交流】对于绝对值小于1的数在精确度的确定和有效数字的选取方面与绝对值较大的数用科学记数法表示有什么关系？
绝对值小于1的数用科学记数法表示在有效数字的选取，精确度的确定等方面与绝对值大于1的数用科学记数法表示是一样的．
学习笔记
【知识链接】
科学记数法
我们追溯到五千到八千年前看一看，这时，四大文明古国都早已比母系社会过渡到父系社会了，生产力的发展导致国家雏形的产生，生产规模的扩大则刺激了人们对大数的需要．比如某个原始国家组织了一支部队，国王陛下总不能老是说：“我的这支战无不胜部队共计有9名士兵！”于是，慢慢就出现了“十”、“百”、“千”、“万”这些符号．在我国商代的甲骨文上就有：“八日辛亥允戈二千六百五十六人”的刻文，以后又出现了“亿”、“兆”这样的大数单位．而科学记数法是印度某个不知名的数学家发明的，现在，我们进一步把这种方法推广到记任何数，如，这种记数的方法就是“科学记数法”，这种记数法既方便，又准确，还便于计算，所以得到了广泛的应用．
【学法指导】
1．用科学记数法表示绝对值小于1的数可以与以前学过的科学记数法类比，主要的不同点就是10的指数的不同确定方法．
2．对于互动探究四，利用的是“求商法”比较两数的大小，这种方法主要是看两个数的商与数字1的大小关系，同时此题还可采用“求差法” ．
【教学建议】
1．对于科学记数法的探索过程可设计出不同的问题，层层递进，让学生领会：从特殊到一般地推导结论，又从一般到特殊的运用结论．
2．对于按不同的要求用科学记数法表示这一知识点，对一般的学生而言是有阻力的，教学时要注意广泛交流，小组合作，使学生认识到以前在科学记数法所学的知识在此时是可以迁移过来的．
【备选问题】
1．用科学记数法表示绝对值大于1的数和绝对值小于1的数有什么共同点和不同点？
不同点：用科学记数法表示绝对值大于1的数形式为：其中为这个数的整数位数—1，而用科学记数法表示绝对值小于1的数形式为：其中为这个数的第一个有效数字前的零的个数（包括小数点前面的一个零）．
相同点：的取值范围均为，且在保留有效数字及精确度方面方法相同
2．见教材P54“数学乐园” ．
解（1）；（2）；这句话说明精确度的，解释了很小的数在实际生活中的意义．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．用科学记数法表示一个数记为（为整数）的形式时，的取值范围为
（ D ）．
A． B．
C． D．
2．把用科学记数法表示为（ B ）．
A． B．
C． D．
3．用科学记数法表示为，则原数为（ D ）．
A． B．
C． D．
4．将用科学记数法表示为．
5．已知空气的密度为克/厘米3，用科学记数法表示是克/厘米3．
6．一种细菌的半径为，用小数表示就是．
7．用科学记数法表示下列各数：
（1）；（2）．
解（1）；
（2）．
能力题——挑战自我
8．用科学记数法表示，并且精确到万分位为（ D ）．
A． B．
C． D．
9．一本100页的书大约是厚，则一张纸厚m．（用科学记数法表示）
10．按要求把下列各数用科学记数法表示出来：
（1）432000000（精确到亿位）；
（2）（保留两个有效数字）．
解（1）；
（2）．
11．见教材P55“第9题” ．
解 因为，所以电子元件的直径合米
12．一个小立方块的边长为米
（1）这个小立方体的体积是多少立方米？（用科学记数法表示）
（2）用多少个这种小立方体才能摆成体积为1米3的大立方体．
解（1），所以小立方体的体积为立方米；
（2），所以需要个小立方体才能摆成体积为1米3的大立方体．
拓展题——勇攀高峰
13．在一次水灾中，大约有个人无家可归，假如一顶帐篷占地，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约占地多大面积？
解 由，
所以需要6250顶帐篷，这些账篷大约占地．
8．2整式乘法（1）
学习目标
1．知道单项式乘法法则，会进行单项式的乘法运算；
2．运用乘法交换律、结合律的同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘以单项式的运算法则，理解单项式的乘法算理，体会乘法交换律、结合律的作用和转化思想；
3．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；
4．重点：单项式与单项式相乘的法则．
预习导学——不看不讲
知识点一、单项式乘以单项式法则
学一学：阅读教材P56 —57“问题1，交流”，完成下面问题：
1．在问题1中，由于距离=速度×时间，所以可列算式：．
2．如何求出上述算式的结果？在运算过程中你使用了哪些性质？
3．如果将上式中的数字改为字母，例如，该如何计算呢？
由于数和式的运算都满足乘法的交换律和结合律，所以可这样计算：
4．完成下面计算：
（1）；
（2）．
5．你能仿照上面的过程求出的结果吗？
6．通过以上的计算过程中，你能总结出单项式乘以单项式的法则吗？
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的一个因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
练一练：下面的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）；（2）；（3）．
解（1）不对，应为；（2）对；（3）不对，应为
知识点二、单项式乘以单项式法则的应用
学一学：阅读教材P57“例1”解决下面问题：
1．．
2．对于式子是幂的运算与单项式乘法的混合运算，可以先算积的乘方，后算单项式的乘法，具体为：．
议一议：如何计算的值？
首先把与统一为同底数幂，然后运用换元思想把或看作一个整体，按单项式乘法法则进行运算，具体如下：
选一选：等于（ C ）．
A．0 B． C． D．
合作探究———不议不讲
互动探究一：计算的结果是（ D ）．
A． B． C． D．
互动探究二：一个长方体的长为5，宽为，高为，这个长方体的表面积为，体积为．
互动探究三：计算：
（1）； （2）．
解（1）；
（2）．
互动探究四：计算：
（1）；（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
互动探究五：如图，是一个边长为的正方形与一个边长分别为的长方形所组成的图形，求的值．
解 因为表示大长方形的面积，大长方形的面积等于，所以．
【方法归纳交流】如果一个规则几何图形可以分为几个规则部分的和，通过面积的不同表示方法，往往可以得到一个恒等式．
互动探究六：若已知，求的值
解 因为，又由于，所以，即的值为．
变式演练1：对于探究六，若已知有理数满足，如何求的值？
解 由，可得，其余步骤与探究六相同（略）．
变式演练2：已知单项式与是同类项，求这两个单项式的积．
解 由题意，得，解得，所以．
学习笔记
【知识链接】
你家的房子有多大
同学们，你们知道你们家的房子有多大吗？每一个房间的面积是多少呢？如果小丽用步长测量她家客厅的面积,测得客厅长20步,宽15步．假设小丽的步长为厘米,你知道小丽家客厅面积有多少平方米吗?
【学法指导】
1．单项式乘法可通过系数、相同字母、不同字母三部分进行．
2．对于探究五可通过大长方形面积的不同表示方法得出结果．
【教学建议】
1．单项式乘法在整式乘法中起着承上启下的作用，教学时，让学生通过操作、尝试，体验单项式的乘法运算规律
2．本节可适当补充一些内容，如让学生探讨，，等代数式的几何意义，这样为下一节新课做了很好的铺垫．
【备选问题】
1．单项式乘法法则适用于三个或三个以上的单项式相乘吗？它们的积是单项式还是多项式？
单项式乘法法则适用于三个或三个以上的单项式相乘，且它们的积仍是单项式．
2．已知，求的值．
解 由题意得，所以
．
知识链接答案：小丽家客厅面积为平方米
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．计算的结果为（ D ）．
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（ C ）．
A．
B．
C．
D．
3．的计算结果是（ D ）．
A． B．
C． D．
4．化简：；
．
5．．
6．计算：
（1）；
（2）．
解 （1）原式=
（2）原式=
能力题——挑战自我
7．的计算结果是（ D ）．
A． B．
C． D．
8．化简的结果是（ D ）．
A． B．
C． D．
9．．
10．计算的结果是．
11．计算：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=
．
12．已知，，用的代数式表示．
解 因为，，所以．
拓展题——勇攀高峰
13． 小王家最近买了一套商品房，其结构如图所示（单位：米），他爸爸准备把卧室和客厅铺上木地板，请你帮助他算一算，至少需要多少平方米的木地板？
解
所以至少需要平方米的木地板．
8．4整式除法（1）
学习目标
1．知道单项式除以单项式的运算法则，会进行简单的整式除法运算；
2．经历探索单项式除以单项式运算法则的过程，体会单项式与单项式相除法则的得出方法；
3．通过理解单项式与单项式相除的算理，发展有条理的思考及表达能力；
4．从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获得成功的体验，积累研究数学问题的经验；
5．重点：单项式除以单项式的运算法则及其应用．
预习导学——不看不讲
知识点一、单项式的除法法则
学一学：阅读教材P58“思考”，解决下面问题：
1．；；．运算的依据是：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．
2．；；．运算的依据是：单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．；；．
议一议：观察上面单项式除以单项式所得商的系数与被除式、除式、的系数有何关系？商中字母的指数与被除式、除式的相同字母的指数有何关系？
商的系数是被除式与除式系数的商，商中字母的指数是被除式与除式中相同字母的指数差【归纳总结】：单项式除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
填一填：；．
知识点二、单项式的除法法则的应用
学一学：阅读教材P68—69“例2、例3”解决下面的问题：
1．在式子中，被除式与除式系数的商为 4 ，同底数幂的商为，所以被除式与除式的商为．
2．．
3．通过例1，你认为在进行单项式除法时，可以按照哪几个步骤进行？
（1）系数相除，作为商的系数；（2）同底数幂相除；（3）对于只在被除式里含有的字母，则连同它指数作为商的一个因式．
4．对于例2，你还能用什么方法，让人感受到35亿km的长度？
如：“卡西尼”号土星探测器7年多的行程如果用我国的时速达500km/h的高速列车来完成，需要多少年？
想一想：如何计算：
可以先乘方，后乘除，具体为：
选一选：已知，则（ A ）．
A． B．
C． D．
合作探究———不议不讲
互动探究一：若，则M为（ B ）．
A． B． C． D．
互动探究二：化简的结果为．
互动探究三：计算：
（1）； （2）．
解（1）；
（2）．
互动探究四：计算：
（1）； （2）．
解（1）；
（2）原式．
变式演练：下雨时，常常是“先见闪电，后闻雷鸣”，这是由于光速比声速快的缘故．已知光在空气中的传播速度约是m/s，而声音在空气中的传播速度约是m/s，你知道光速约是声速的多少倍吗？
解
所以光速是声速的倍．
互动探究五： 已知一个长方形面积为，一边长为，求这个长方形周长．
解
所以这个长方形周长为．
互动探究六：一个三角形的面积为，底边是，三角形这边上的高为多少？
解
所以三角形该边的高为．
变式演练：某长方体的体积为，长为，宽为，求这个长方体的高．
解
所以长方体的高为．
【方法归纳交流】三角形的高等于面积的2倍除以底边；长方体的高等于长方体的体积除以长和宽．
学习笔记
【知识链接】
爸爸拿回一张周杰伦的演唱会门票，小芳和小明都想去，于是他们兄妹俩准备通过做数学游戏来决定，胜者去看演唱会，游戏规则是：两人各报一个整式，一个报的作为被除式，另一个报的作为除式，要求相除的结果必须是，两人轮流先报，另一个作答，谁答对票归谁（都答对时继续，直到一个人未答对为止），小明显示出一副男子汉的气概，说：“小芳你先来！”小芳笑着说：“那我就不客气了，我报的整式是”，小明略一思考道：“你耍赖，根本不可能存在一个整式除后会得” ．聪明的同学，小明的说法有道理吗？
【学法指导】
1．单项式的除法法则可通过除法与乘法的逆运算总结得出，其法则可通过与乘法法则类比来记忆
2．对于整式乘除的运算，一定要明确每一步的算理，以养成言之有据的良好习惯．
【教学建议】
1．单项式除法的教学，要以教科书为基础，根据乘除法互为逆运算关系，通过具体实例进行探讨，注意引导学生从比较被除式、除式与商式的系数、字母和指数等，总结概括出单项式除法法则，并明确除法法则是在整除的前提出进行的．
2．例1的教学要紧扣法则，开始练习时，要求把过程完整，熟练后再省略中间过程，教学时应注意分析系数、相同字母，防止符号出错，防止丢掉被除式独有的因子．
【备选问题】
1．你能利用乘法与除法的逆运算关系求出的值吗？
解 因为，
所以．
2．已知，求的值．
解 由于，所以，所以．
知识链接答案：小明的说法有道理，因为，不是整式．
达标测评————不练不讲，评价提升
基础题——初显身手
1．下列算式中正确的是（ B ）．
A． B．
C． D．
2．若，则的值是（ B ）．
A． B．
C． D．
3．太阳质量约为吨，地球质量约为吨，则太阳的质量约是地球质量的（ C ）．
A．倍 B．倍
C．倍 D．
4．．
5．．
6．计算：
（1）；
（2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．计算等于（ B ）．
A． B．
C． D．
8．已知，那么．
9．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费；若每户用水不超过12吨，按每吨元收费；若超过吨，则超过部分按每吨元收费，如果某户居民五月份缴纳水费元，则该居民这个月实际用水16 吨．
10．计算：
（1）；
（2）．
解（1）原式
=
；
（2）原式=
．
11．化简求值：求
的值，其中．
解原式=，当时，
原式=96．
拓展题——勇攀高峰
12．若，求代数式：
的值．
解 由已知，得，所以，又因为
=，当时，
原式=-16．
8．2整式乘法（2）
学习目标
1．知道单项式与多项式乘法法则及推导；
2．能熟练运用法则进行单项式与多项式的乘法运算；
3．经历探索单项式与多项式相乘运算法则的过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理的思考；
4．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；
5．重点：单项式与多项式乘法法则及应用．
预习导学——不看不讲
知识点一、单项式与多项式乘法法则
学一学：阅读教材P60“问题2”，解决下面问题：
1．单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
2．如何用字母表示乘法分配律．
3．对于“问题2”，结合图形考虑有哪几种算法？
有两种算法，第一种算法是先算出三天修的总长度，再与路宽相乘；第二种算法可先分别算出每一天的工作量，再把三天工作量相加．
4．由于3天修筑路面的总长为，路面的宽为m，所以3天共修筑路面；因为第一天修筑路面，第二天修筑路面，第三天修筑路面，则三天共修筑路面为 ；，因此有．
5．你能用乘法分配律来说明上式吗？
事实上，因为代数式里的字母都表示数，因此，根据分配律便可得上式
6．你能总结单项式与多项式相乘的法则吗？
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
想一想：单项式与多项式相乘，积可能是单项式吗？
不可能，单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式项数相同，如
选一选：计算的结果是（ B ）．
A． B． C． D．
知识点二、单项式与多项式乘法法则的应用
学一学：阅读教材P60—61“例4”，解决下面问题：
1．在例2（1）中，单项式为，多项式的项分别是，乘积的结果有 3 项，乘积为．
2．对于例2（2）要先算单项式乘以多项式，再进行整式加减（即合并同类项）．
议一议：结合例2，你认为利用单项式与多项式的乘法法则进行运算时，要注意什么？
（1）多项式的每一项要包括前面的符号；（2）单项式必须和多项式中的每一项相乘，不能漏乘多项式中的任何一项（3）单项式因式系数为负时，改变多项式因式对应项的符号．
辨一辨：下面的运算错在什么地方？
（1）；（2）
（1）题错误在“符号”，与相乘得；（1）题错在单项式漏乘多项式中的—1，正确答案为．
合作探究———不议不讲
互动探究一：下列计算错误的是（ C ）．
A．
B．
C．
D．
互动探究二：一个直角三角形的两条直角边长为和，则面积为．
互动探究三：计算
（1）； （2）．
解 （1）原式=；
（2）原式=．
互动探究四：计算
（1）； （2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
互动探究五：解不等式．
解 ，，所以．
变式演练：求适合方程的未知数的值．
解 ，，所以．
变式拓展：要使恒成立，则的值分别为多少？
解 因为原方程可变形为，所以，所以．
【方法归纳交流】不论未知数取何值，等式恒成立，说明了什么？
说明了等式两边完全相同，即左右两边的二次项、一次项、常数项等完全相同．
互动探究六：一苗木基地在公路上空设置了横跨公路的长方形广告牌，广告牌的长为米，宽为米，后因公路加宽，广告牌需随之加长，新的广告牌需加长米，宽不变，且每平方米广告牌需花费元，求重新设置新的广告牌需花费多少元？
解 元
答重新设置新的广告牌需花费元．
学习笔记
【知识链接】
从警察抓小偷看乘法分配律
传说中有两个狡猾的小偷，占且称他们为65和35吧，他俩凭借小小聪明盗取钱财无数。为此，警局特派警察16专门负责缉捕，聪明机智的警察16很快就顺利抓获他们，将他们“请”进了监狱，为防其逃跑，警察16专门看守他们．[65×16＋35×16=（65＋35）×16]
两个小偷追悔莫及,当他们的家人来探监的时候，他俩痛哭流涕．世上没有后悔药，他们成了犯人，警察当然得一一跟着他们，监视他们探监．[（65＋35）×16=65×16＋35×16]
象16这样的好警察屡见不鲜,当然，并不是所有的小偷都能顺利抓获，他们有的很会使用“障眼法” ．你看：79×21＋21，警察21要抓两个小偷，可找来找去只逮到一个小偷79，还有一个在哪里呢？原来，他就躲在警察的眼皮底下呢（即21为21×1)，难怪不好找！邪不胜正，智慧英明的警察还是抓住了他，并把他们关起来并看守[21×（79＋1）]．再看：102×15，警察15要抓小偷，可根本找不着小偷，你们知道小偷怎么伪装的吗？原来他们经过乔装打扮成了102，其实那是两个小偷100和2，你看2不躲在100的背后嘛！
【学法指导】
1．单项式与多项式的乘法法则，实质是利用乘法对加法的分配律把单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，计算时，要不多项，不漏项．
2．对于变式2，等式恒成立，其实就是对应项的系数相同，等式转化为0=0．
【教学建议】
1．由于单项式与多项式相乘是多项式相乘的基础，所以它是本章的重点内容之一，应要学生在会进行计算的基础上，达到熟练掌握的程度．
2．通过具体的例子，让学生知道单项式与多项式相乘容易出错的地方．
【备选问题】
1．你能利用单项式乘以多项式法则计算出的值吗？
可以，如把看成一个整体，原式变为，再利用单项式乘以多项式即可．
2．若为自然数，试说明的值一定是3的倍数．
解 因为，又为自然数，所以的值一定是3的倍数．
达标测评————不练不讲，评价提升 基础题——初显身手
1．下列四个算式，其中正确的是（ C ）．
①；②；
③；④
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．计算的结果为（ B ）．
A． B．
C． D．
3．一个长方体的长、宽、高分别是，和，它的体积等于（ C ）．
A． B
C． D．
4．．
5．．
6．计算：
（1）；
（2）．
解（1）原式=；
（2）原式=．
能力题——挑战自我
7．方程．的解是（ B ）．
A． B．
C． D．
8．如果不等式
成立，则的取值范围是．
9．若，则．
10．已知，求．
解
．
11．化简求值：
（其中）
解：原式，
当时，
．
12．解不等式：．
解 ，
即．
拓展题——勇攀高峰
13．已知，求的值．
解 原式=
．
