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【北师大版八年级数学（下）单元测试卷】
第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长为（ ）
A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于13
2．如图，在中，，是高，，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，是的垂直平分线，若的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，点D是的中点，于点D，交于点E，连接，若，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ）
A．5 B． C． D．10
6．如图，点C为∠AOB的角平分线l上一点，D，E分别为OA，OB边上的点，且CD＝CE，作CF⊥OA，垂足为F，若OF＝5，则OD+OE的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
7．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交、边于点、．若点为的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．11
8．如图，中，，点D在上，．设，，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知等边和等边，其中点、、在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，和交于点，则下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H，连接GH．若∠BOC=120°，AB=a，AC=b，AD=c．则下列结论中正确的个数有（ ）
①∠BAC=60°；②△AGH是等边三角形；③AD与GH互相垂直平分；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点，将沿折叠，点与点恰好重合，则的度数为__________．
12．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积是14，则DE＝_____．
13．如图，，，，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为______．
14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，AD是BC边上的中线且AD=6，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值等于______．
15．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠ACO=15°；
②∠APO+∠DCO=30°；
③△OPC是等边三角形；
④AC=AO+AP；
其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．
三.解答题:(共55分)
16．(5分)如图，在和中，，，．，相交于点F．，相交于点M．
(1)求证：；
(2)求的度数．
17．(8分)如图，在中，，点在上，，以为边向左侧作等边三角形，连．
(1)求证：；
(2)过点作于点，，求的长．
18．(8分)点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G．
(1)求证∠E＝∠F；
(2)若CE＝10，DG＝4，求 EG的长．
19．(8分)在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，当A(0， 2)，C(1，0)，点B在第四象限时，求点B的坐标．
(2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，求a，m，n之间的关系．
20．(8分)如图，在中，，，AD是BC的中线，．
(1)求证：
(2)是什么形状的三角形？请说明理由．
21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
22．(9分)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC．
(1)当时，求点的坐标；
(2)当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
(3)当S△AOB=2S△BOC时，在轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标．
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第一章：三角形的证明
一.选择题：（每小题3分共30分）
1．等腰三角形两边长分别为4和9，则该三角形第三边的长为（ ）
A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于13
解：∵等腰三角形两边长分别为4和9，当腰长为4时，第三边为9，
∵4+4＜9，此时，不能构成等腰三角形；当腰长为9时，第三边为4，
∵9﹣9＜4＜9+9，此时，能构成等腰三角形．故选：B．
2．如图，在中，，是高，，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
解：∵在中，，是高，，∴
，，
故选B
3．如图，在中，是的垂直平分线，若的周长为，的周长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵是的垂直平分线，∴AE=CE，AD=CD，
∵的周长=AB+BD+AD=，∴AB+BD+CD=，
∵的周长=AB+BC+AC=，∴AC=6cm，
∴AE=3cm，
故选：B．
4．如图，在中，，，点D是的中点，于点D，交于点E，连接，若，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵点D是的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB=10cm，则CD的长为（ ）
A．5 B． C． D．10
解：∵AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，
∴AD=BD=10 cm，∠DBA=∠BAD=15°，
∴∠ADC=30°，
∴AC=AD=5（cm），
CD=（cm）．
故选：B.
6．如图，点C为∠AOB的角平分线l上一点，D，E分别为OA，OB边上的点，且CD＝CE，作CF⊥OA，垂足为F，若OF＝5，则OD+OE的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．15
解：过点C作CG⊥OB于G，如图所示
∵l为∠AOB的角平分线，且CF⊥OA，CG⊥OB∴CG=CF
∵CD=CE∴Rt△CGE≌Rt△CFD(HL)∴GE=FD
∵OC=OC
∴Rt△COF≌Rt△COG(HL)
∴OG=OF
∴OD+OE=OF+FD+OE=OF+GE+OE=OF+OG=2OF=2×5=10
故选：A．
7．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是18，腰的垂直平分线分别交、边于点、．若点为的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．11
解:如图，连接，
∵是等腰三角形，点是的中点，∴，
∴，解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点关于直线的对称点为点，
∴，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短，
故选：D．
8．如图，中，，点D在上，．设，，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵α-∠A=β，α+∠C=90°，
∴2α=90°+β，
∴2α-β=90°，
故选：D．
9．如图，已知等边和等边，其中点、、在同一条直线上，连接交于点，连接交于点，和交于点，则下列结论中：（1）；（2）；（3）；（4）．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：和是等边三角形
设，则
故（2）正确；
在和中
故（4）正确
是等边三角形
故（1）正确；
若则
但是
则，与已知矛盾，
故（3）不正确
故选C
10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D，以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF，分别和AB，AC交于点G，H，连接GH．若∠BOC=120°，AB=a，AC=b，AD=c．则下列结论中正确的个数有（ ）
①∠BAC=60°；②△AGH是等边三角形；③AD与GH互相垂直平分；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠BOC=120°，
∴∠OBC+∠OCB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)= 120°，
∴∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB) =60°，故①正确；
∵△ADE和△ADF都是等边三角形，
∴∠ADG=∠ADH=60°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
∴AO是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴△AGD≌△AHD（ASA），
∴AG=AH，
又△AGH是等边三角形，故②正确；
∵△AGD≌△AHD，
∴AG=AH，DG=DH，
∴AD是GH的垂直平分线，不能说明AD与GH互相垂直平分，故③错误；
∵△ADE和△ADF都是边长为c的等边三角形，且∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠AGD=∠AHD=90°，∴GD=HD=AD=，
S△ABC=AB×GD+AC×HD=a×+b×．故④错误．
综上，正确的是①②，共2个，
故选：B．
二.填空题:（每小题3分共15分）
11．在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点，将沿折叠，点与点恰好重合，则的度数为__________．
解:连接OB、OC，
∵AB＝AC，∠BAC＝64°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，
∴点O是△ABC的外心，∠BAO＝∠CAO＝32°，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝32°，
∴∠OAC＝∠OCA＝32°，
∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴FC＝FO，
∴∠FOC＝∠FCO＝32°，
∴＝180° 32° 32°＝126°，
故答案为：126．
12．如图，已知CD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，垂足为E，若AC＝4，BC＝10，△ABC的面积是14，则DE＝_____．
解：过点D作DF⊥AC交CA的延长线于点F，如图，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，
∴DF＝DE．
∵△ABC的面积为14，
∴S△BCD+S△ACD＝14，
∴DE×10DF×4＝14，
即5DE+2DE＝14，
∴DE＝2．
故答案为：2．
13．如图，，，，点D在边AC上，AE与BD相交于点O，则∠C的度数为______．
解∵，
∴，即，
∴在和中， ，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=16，AD是BC边上的中线且AD=6，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值等于______．
解：∵AB=AC，AD是BC边的中线.
∴AD垂直平分BC，
∴点C与点B关于AD对称，
当BE⊥AC时，BF+EF的值最小，且等于BE的长，
∵D为BC的中点，BC=16，AD=6，AB=AC=10，
BC×AD=AC×BE，
∴BE=．
∴CF+EF的最小值为，
故答案为：．
15．如图，已知等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：
①∠ACO=15°；
②∠APO+∠DCO=30°；
③△OPC是等边三角形；
④AC=AO+AP；
其中正确的有 ______（填上所有正确结论的序号）．
解：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，
∵点O是AD上任意一点，∴OC不一定是∠ACD的角平分线，
∴∠ACO不一定是15°，故①错误，
如图1，连接OB，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=×120°=60°，
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°，故②正确；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
如图2，在AC上截取AE=PA，
∵∠PAE=180°-∠BAC=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，
∴∠APO+∠OPE=60°，
∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，
∴∠APO=∠CPE，
∵OP=CP，
在△OPA和△CPE中，，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO=CE，
∴AC=AE+CE=AO+AP，故④正确，
故答案为：②③④．
三.解答题:(共55分)
16．(5分)如图，在和中，，，．，相交于点F．，相交于点M．
(1)求证：；
(2)求的度数．
(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=90°．
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)由(1)知△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACB=∠ACB+∠DBC+∠ACE=90°，
∵∠ACB+∠DBC+∠ACE+∠BFC=180°，
∴∠BFC=90°．
17．(8分)如图，在中，，点在上，，以为边向左侧作等边三角形，连．
(1)求证：；
(2)过点作于点，，求的长．
(1)
为等边三角形
为等边三角形
即
在和中
(2)由（1）得，
18．(8分)点C、D都在线段AB上，且AD＝BC，AE＝BF，∠A＝∠B，CE与DF相交于点G．
(1)求证∠E＝∠F；
(2)若CE＝10，DG＝4，求 EG的长．
(1)证明：∵，
∴，即，
在与中，，
∴，
∴；
(2)由（1）得，
∴，
∴，
∴．
19．(8分)在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，当A(0， 2)，C(1，0)，点B在第四象限时，求点B的坐标．
(2)如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A(0，a)在y轴正半轴上运动，点B(m，n)在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，求a，m，n之间的关系．
解：点B的坐标为（3，-1）．
理由如下：作BD⊥x轴于D，
∴∠AOC=90°=∠BDC，
∴∠OAC+∠ACO=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACO+∠BCD=90°，
∴∠OAC=∠BCD，
在△AOC和△CDB中，，
∴△AOC≌△CDB（AAS），
∴AO=CD，OC=BD，
∵A（0，-2），C（1，0），
∴AO=CD=2，OC=BD=1，
∴OD=3，
∵B在第四象限，
∴点B的坐标为（3，-1）；
(2)解：a+m+n=0．
证明：作BE⊥x轴于E，
∴∠BEC=∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△CEB和△AOC中，，
∴△CEB≌△AOC（AAS），
∴AO=CE=a，BE=CO，
∵BE⊥x轴于E，
∴BE∥y轴，
∵BD⊥y轴于点D，EO⊥y轴于点O，
∴EO=BD=m，
∴BE=-n，
∴a+m=-n，
∴a+m+n=0．
20．(8分)如图，在中，，，AD是BC的中线，．
(1)求证：
(2)是什么形状的三角形？请说明理由．
(1)∵中，，，
∴ ， ，
∴，
∴，
在和中，
∴
∴
(2)为等腰直角三角形．理由如下
由（1）得
∴，，
∵，
∴．
∴为等腰直角三角形．
21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝______，∠DEC＝_____；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
(1)当∠BDA＝115°时，∠EDC＝180°－115°－40°＝25°，
在△DEC中，∠DEC＝180°－∠EDC－∠C＝115°，
故答案为：25°，115°
(2)当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，∠B=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠EDC，
∵∠B=∠C＝40°，△ABD≌△DCE，
∴AB＝DC＝2．
(3)当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由如下：
∵∠B=∠C=40°，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-40°=100°，
分三种情况讨论：
①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA，
∵∠ADE=40°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，
∴∠DAE=（180°-40°）÷2=70°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-30°=110°；
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=40°，
∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，
∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=180°-40°-40°=100°，
又∵∠BAC=100°，
∴∠DAE=∠BAE，
∴点D与点B重合，不合题意；
③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=40°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°=60°，
∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠BDA=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-60°=80°，
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．
22．(9分)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转后得到线段BC，连结AC，OC．
(1)当时，求点的坐标；
(2)当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；
(3)当S△AOB=2S△BOC时，在轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，求满足条件的所有P点的坐标．
(1)
解：如上图：作CH⊥y轴于点H，
当时，，
∵x=0时，y=4；y=0时，x=5；
∴A(5，0)，B（0，4），
∵CH⊥y轴于点H，
∴∠AOB=∠BHC=∠ABC=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3
又∵AB=BC
∴△AOB≌△BHC，
∴BH=OA=5，CH=BO=4，OH=5-4=1，
∴C(-4，-1)；
(2)
当m值变化时，△BOC的面积不变，
因为始终都有△AOB≌△BHC，CH=BO=4
；
(3)
设A（4m，0），
∵，A(4m，0)，B（0，4），
又∵S△AOB=2S△BOC时，，
∴m=2，OA=8，，
由上图可知：
当时，
在A的右侧，=+8，在A的左侧，=，
∴，0），，0）；
当时，，0）；
当时，作AB中垂线交x轴于P4，设P4（w，0）
由距离公式：
16w=48
w=3
∴（3，0）．
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