2021-2022学年人教A版（2019）必修二第七章复数单元测试卷（word版 含答案）

人教A版（2019）必修二第七章复数单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题4分，共8道题，共计32分)
1.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则( )
A. B.
C. D.
3.设，则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
7.已知复数的实部为4，其中a，b为正实数，则的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.
8.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则( )
A. B.2 C. D.
二、多项选择题(每题4分，共3道题，共计12分)
9.已知（a，，i是虛数单位），，，定义：，，则下列结论正确的是( )
A.对任意，都有
B.若是z的共轭复数，则恒成立
C.若，则
D.对任意，，，则恒成立
10.已知方程，其中，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是( )
A.该方程一定有一对共轭虚根
B.该方程可能有两个正实根
C.该方程两根的实部之和等于-2
D.若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1
11.若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则( )
A.
B.复数z的实部是2
C.复数z的虚部是1
D.复数在复平面内对应的点位于第一象限
三、填空题(每题4分，共5道题，共计20分)
12.若是关于的实系数方程的一个根，则____________.
13.设复数，满足，，则_____________.
14.已知复数z，且1，则的最小值是_____________.
15.若x，y互为共轭复数，且，则____________.
16.若复数z满足，，则z的代数形式是_____________.
四、解答题(每题9分，共4道题，共计36分)
17.已知.
（1）是z的共轭复数，求的值；
（2）求的值.
18.已知复数，其中i为虚数单位.
（1）若z是纯虚数，求实数m的值；
（2）若，设，试求的值.
19.把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角的主值.
20.已知复数.
（1）求复数z的模；
（2）若复数z是方程的一个根，求实数m，n的值.
参考答案
1.答案：D
解析：设，
则，可化为，所以，所以，所以，所以，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选D.
2.答案：C
解析：，，，则.故选C.
3.答案：C
解析：由，得，则在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.
4.答案：B
解析：由题意知，则.故选B.
5.答案：D
解析：依题意知，.故选D.
6.答案：D
解析：因为，所以复数的虚部是.故选D.
7.答案：D
解析：，，，，当且仅当，时取等号，故的最小值为.故选D.
8.答案：C
解析：由题意得解得.又，.，则，.故选C.
9.答案：BD
解析：对于A，当时，，故错误；对于B，，则，则，故正确；对于C，若，则错误，如，，满足，但，故错误；对于D，设，，，则，，，由，，得恒成立，故正确.故选BD.
10.答案：ABD
解析：方程，，则，当，即时，方程有实数根，所以A错误；由一元二次方程根与系数的关系可知，两个实数根的和为-2，所以不可能有两个正实根，所以B错误；当时，方程有两个虚数根，由求根公式可得，所以两个根的实部之和等于-2，故C正确；若该方程有虚根，则虚根的模为，所以D错误.
11.答案：ABD
解析：，，，故选项A正确；复数z的实部是2，故选项B正确；复数z的虚部是-1，故选项C错误；复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选项D正确.故选ABD.
12.答案：3
解析：是关于的实系数方程的一个根，
可知是关于的实系数方程的一个根，
∴ ，∴．
故答案为：3．
13.答案：
解析：方法一（代数法）：设，a，，则.由，
得即因为，所以.
方法二（复数的几何意义）：设，在复平面内对应的向量分别为，.
由题意知，，则以，为邻边的平行四边形为菱形，且，如图所示.则.
方法三（向量法）：原题等价于平面向量a，b满足，且，求.因为，所以，所以.
14.答案：4
解析：方法一：复数z满足，
，
的最小值是4.
方法二：复数z满足，复数z的对应点的集合是以原点为圆心，1为半径的圆.则表示复数对应的点Z与点之间的距离，圆心O到点之间的距离，
的最小值为.
15.答案：
解析：设，，a，，代入得，所以，，解得，，所以.
16.答案：
解析：设，则，，，，解得.
17.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题知，
.
（2），
..
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）若z是纯虚数，则解得.
（2）若，则.，
，，.
19.答案：，复数的辐角的主值为
解析：由复数乘法的几何意义得.
又，
所以
，
复数的辐角的主值为.
20.答案：（1）
（2）实数m，n的值分别是4，10
解析：（1），.
（2）复数z是方程的一个根，
，
由复数相等的定义，得解得
实数m，n的值分别是4，10.