黑龙江省牡丹江一中2013届高三上学期期末考试 数学文

牡一中2012-2013年度高三期末考试文科数学
选择题：（单选， 共5(12=60分）
1、设全集，集合，集合为函数的定义域，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、设m、n是两条不同的直线，、β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥n，m∥，则n∥ B．若⊥β，m∥，则m⊥β
C．若⊥β，m⊥β，则m∥ D．若m⊥n，m⊥，n⊥β，则⊥β
4、同时具有性质①最小正周期是；②图像关于直线对称；③在上是增函数的一个函数是（ ）
A． B．
C． D．
5、若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（ ）

A B C D
6、在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为 （ ）
A． 24 B． 39 C． 52 D． 104-
7、若第一象限内的点，落在经过点且具有方向向量的直线上，则有 （ ）
A. 最大值 B. 最大值1 C. 最小值 D. 最小值1
8、已知等比数列，则 （ ）
A． B．
C． D．
9、已知不共线向量满足，且关于的函数 在实数集R上是单调递减函数，则向量的夹角的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
10、若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，分别是这段图象的最高点和最低点，且（为坐标原点），则（ ）
A． B．
C． D．
11、过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围为( )
A．或 B．
C． 或 D．或
12、已知R上的不间断函数 满足：①当时，恒成立；②对任意的都有。又函数 满足：对任意的，都有成立，当时，。若关于的不等式对恒成立，则的取值范围( )
A. B. C. D.
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为
14、方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是____________
15、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 。
16、设定义在区间上的函数的图像与的图像交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为，直线与的图像交于点,则线段的长为
三、解答题：（选作题10分，其余每题12分，共70分）
17、在中，内角A、B、C所对的边分别为，其外接圆半径为6，
（1）求； （2）求的面积的最大值。
18、若数列的前项和记为，又
求证：（1）数列是等比数列；（2）。
19、如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD ，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的正切值；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；
若不存在，请说明理由.
20、平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆与直线恒有公共点，且要求使圆的面积最小。
(1) 写出圆O的方程； （2）若圆O与轴相交于A、B两点，圆内动点P使、、成等比数列，求的范围。
21、已知函数。 （1）求函数在上的最小值；
（2）求证：对一切，都有。
选做题
22、选修4-1：几何证明选讲
如图（见答题卡），已知平行四边形ABCD，过A、B、C三点的圆分别交AD、BD于点E、F，过C、D、F三点的圆交AD于G，设圆与圆的半径分别为R，r。
求证：； （2）求证：。
23、选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆，直线经过M(1,0)，倾斜角为，直线与圆C交与A、B两点。
若以直角坐标系的原点为极点，以x轴正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，写出
圆C的极坐标方程； （2）选择适当的参数，写出直线的一个参数方程，并求的值。
24、选修4-5：不等式选讲
已知实数，且，求的最小值。
高三期末考试数学文参考答案
一、1 C 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B 11 D 12 A
二、13、或 14、 15、 16、
三、17、（1）解： ， （3分）
，（6分）
（2），即. 又.（8分）
.（10分） 而时，.（12分）
18、证明：（1），，且
所以数列是以1为首相，2为公比的等比数列； （6分）
（2）由（1）可知，，，当时，，当时，
综上，成立。 （12分）
19、（1）证明：因为PA=PD，O为AD的中点，所以PO⊥AD，又因为面PAD⊥底面 ABCD ，面PAD底面 ABCD=AD，PO面PAD，所以PO⊥面ABCD； （4分）
（2）连接BO，因为BC∥AD,AD=2BC,所以四边形BCDO为平行四边形，所以BO∥CD,∠PBO大小为所求。因为PO⊥平面ABCD，所以 PO⊥BO，因为PA=,,，，即异面直线PB与CD所成角的正切值为。 （8分）
（3）假设存在点Q，因为PO⊥平面ABCD，所以 ,
连接CO，可得PD=PC=CD=,所以,，，
,, 所以存在点Q，且。 （12分）
20、（1）由已知可得直线过定点T（4,3）， （2分）
要使圆面积最小，定点T在圆上，所以圆O的方程为。 （4分）
（2）A(-5,0),B(5,0),设，则 ①， （5分）
，因为成等比数列，所以,即，整理得 ，即 ②，（8分）
由①②可得， （10分）
=，。 （12分）
21、（1）,令，得，
当时，单减；当时，单增。 （2分）
① 当时，在上单减，在上单增，所以；（4分） ② 当时，在上单增，所以。 （6分）
（2）要证原命题成立，需证：成立。
设，则，令得，当时，单增；当时，单减，所以当时，。 （9分）
又由（1）得在上单减，在上单增，所以当时，，又，（11分）所以对一切，都有成立。（12分）
22、（1）∥CD,≌ (5分)
(2) (10分)
23、（1） （5分）
（2）为参数），代入圆方程得 ，设A、B两点对应的参数分别为，则， （10分）
24、 （4分） 且
（8分） 当且仅当即b=c且（a-b）(a-c)=4时取“=”，时，2a-b-c的最小值为4。 （10分）