2021-2022学年人教版数学八年级下册 17.1勾股定理 课后提升（word版含答案）

勾股定理
一、单选题
1．下列各组数据是勾股数的是（　　）
A．，， B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41
2．如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高等于（　　）
A．2 B． C．2 D．
3．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的边长为（　　）
A．64 B．16 C．8 D．4
4．如图，点P是平面直角坐标系中一点，则点P到原点O的距离是（　　）
A．1 B．2 C． D．
5．如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（　　）
A．8m B．9m C．10m D．12m
6．如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条长为的钢缆．则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在点C1处，若BC1＝8，那么BC的长为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
8．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）
A． B． C． D．
9．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1，图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为3，则S1+S2+S3的值是（　　）
A．20 B．27 C．25 D．49
10．如图，在中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，图中阴影部分的面积分别记为，，，，若已知的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（　　）
A． B． C． D．
11．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　）
A．12 B．15 C．20 D．25
12．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(　　)
A．7 B．9 C．16 D．25
二、填空题
13．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是_____米．（精确到0.1米）
14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E分别是AB和CB边上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，若点B落在AC边上，则CE的取值范围是_____．
15．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标（0，1），点B的坐标（1，0），点C也在坐标轴上，如果是等腰三角形，那么满足条件的点C有______个．
16．如图，在长方形纸片中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点F处，则AE的长为________．
17．如图，在ABC中，AB＝AC＝10，AD＝8，AD、BE分别是ABC边BC、AC上的高，P是AD上的动点，则CPE周长的最小值是______．
三、解答题
18．如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
19．如图，一块边长为5的正方形木板ABCD斜靠在墙边，OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内，过点A作AE⊥OB于点E．
(1)求证：△ABE≌△BCO；
(2)若OC＝3，求EO的长．
20．如图，已知：∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
(1)求证：OB＝OC；
(2)若AC＝4，DO＝1，求BC的长度．
21．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3．
(1)如图1，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称点C恰好落在AB边上，求CD的长；
(2)如图2，E为线段AB上一点，沿CE翻折△CBE得到△CEB′，若EB′∥AC，求证：AE＝AC；
(3)如图3，D为线段BC上一点，点C关于AD的对称为点C′，是否存在异于图1的情况的C′、B、D为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请直接写出BC′长；若不存在，请说明理由．
22．（1）阅读理解
我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决
勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，作FG⊥HP，将它分成4份，所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若AC＝12，BC＝5，求EF的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
解：A、不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意；
B、，则4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意；
C、不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意；
D、，，则是勾股数，故本选项符合题意；
故选：D
2．B
解：，
，
中边上的高，
故选：B．
3．C
解：由勾股定理得，正方形A的面积＝289－225＝64，
∴字母A所代表的正方形的边长为＝8，
故选：C．
4．D
解：如图，过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，则四边形OAPB为矩形．
∵P（1，2），
∴OA＝1，PA＝OB＝2，
在Rt△OPA中，∵∠OAP＝90°，
∴OP＝＝＝．
故选：D．
5．B
解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，
∴BC＝＝＝（m），
∵8＜＜9，
∴云梯的长度至少9m，
故选：B．
6．D
解：如图：
地面钢缆固定点到电杆底部的距离为
．
故选：D．
7．C
解：由折叠可得，
．
，由折叠可得，
,
．
是C的中线，
，
．
故选：C．
8．B
解：根据题意，圆柱形容器的侧面展开图为矩形，过点B作，交NP于点H，过点B作，交MN于点K；
根据题意，得：，，，，
∴
∵，，
∴四边形为矩形
∴，，
∴
如下图，延长AM于点，且，连接，交MQ于点S，连接
在和中
∴
∴
根据题意，蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为
∵
∵
∴
∴
∴，即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
故选：B．
9．B
解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG2+CF2=GF2，
∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，
∴CG=KG=FN，CF=DG=KF，
∴S1=（CG+DG）2
=CG2+DG2+2CG DG
=CG2+CF2+2CG DG
=GF2+2CG DG，
S2=GF2，
S3=（KF-NF）2，
=KF2+NF2-2KF NF
=KF2+KG2-2DG CG
=FG2-2CG DG，
∵正方形EFGH的边长为3，
∴GF2=9，
∴S1+S2+S3=GF2+2CG DG+GF2+FG2-2CG DG=3GF2=27，
故选：B．
10．A
解：设AC=m，BC=n，的面积为S，
∵中，，分别以，，为斜边作三个等腰直角，，，
∴S=，AB=，
∴AE=EC=，BF=CF=，AD=BD=，
在直角三角形AED中，ED==，
∴DC=EC-ED=-=，
∴=，
故的值可以确定，
∴A选项符合题意；
设AC，BD的交点为G，则+=
=，
+=，
∴=+-=，与n有关系，故代数式的值不能确定，
∴B选项不符合题意；
∵+=，+=，
∴=，
∴=++-=++-=，无法确定，
∴C选项不符合题意；
∵=+=，与n有关，
∴D选项不符合题意；
故选A．
11．B
解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
∵S1+S2+S3＝45，
∴4m+S2+S2+S2﹣4m＝45，
即3S2＝45，
解得S2＝15．
故选B．
12．C
解：如图所示：连接AC，与BD交于点O，
∵对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：C．
13．2.6
解：如图，将木块展开，
可知蚂蚁从A点到达C点时，在横向上移动的距离为：（米），
在纵向上移动的距离为：（米），
由两点之间线段最短可知，从点A处到达C处需要走的最短路程为：（米）．
故答案为：2.6
14．
解：当点B折叠后落在点C上时CE最长，
由折叠性质知，，
故CE最大值为，
当点B折叠后落在点A上时，此时CE最短，连接AE，如图，
由折叠性质知，AE＝BE，
设CE＝x，则BE＝AE＝4﹣x，
在Rt△ACE中，AC2+CE2＝AE2，
∴32+x2＝(4﹣x)2，
解得：x，
则CE的取值范围是
故答案为．
15．7
解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
①当时，如图，，，；
②当时，如图，，，；
③当时，如图，．
综上，满足条件的点C有7个．
故答案为：7．
16．##
解：由长方形性质知，，，
由折叠性质知，，，
在中由勾股定理得，
，
则，
设，
则,
在中由勾股定理得,
，
即，
解得，
即．
故答案为：
17．16.8
解：∵AB=AC，AD是△ABC的高，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴△CPE的周长=CP+CE+PE=BP+PE+CE，
∴当B、P、E三点共线时，△CPE的周长最小，最小值即为BE+CE，
∵AB＝AC，AD、BE分别是△ABC边BC、AC上的高，
∴BP＝CP，∠ADB＝90°，
∵AB＝AC＝10，AD＝8，
∴BD＝6，
∴BC＝2BD＝12，
∵S△ABC＝BC AD＝AC BE，
∴BE＝＝＝9.6．
∴PC+PE的最小值是9.6，
∵∠BEC＝90°，
∴CE＝＝，
∴△CPE周长的最小值是16.8，
故答案为：16.8．
18．能，理由见解析
解：能通过，理由如下：
根据题意可知DH=2.3米．
卡车关于中线对称更容易通过，所以OD=0.8米．
在Rt△OCD中，根据勾股定理，得
（米），
∴CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
19．(1)见解析 (2)7
(1)
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵OC⊥OB，AE⊥OB，
∴∠AEB=∠BOC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°=∠ABE+∠OBC，
∴∠BAE=∠OBC，
在△ABE和△BCO中，
，
∴△ABE≌△BCO；
(2)
∵△ABE≌△BCO，
∴BE=OC=3，
在Rt△BOC中，BO=，
∴OE=OB+BE=7．
20．(1)见解析 (2)2
（1）证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC；
（2）∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴AC＝BD＝4，
∵OB＝OC，
∴OA＝OD＝1，
∴OB＝OC＝3，
在Rt△OAB中，AB＝＝2，
在Rt△ABC中，BC＝＝2．
21．(1) (2)见解析 (3)
(1)
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5，
∵点C关于AD的对称点C′恰好落在AB边上，
∴AC'=AC=4，
∴BC'=1，
在Rt△BC'D中，由勾股定理得，
（3-CD）2=12+CD2，
解得：CD=；
(2)
证明：∵沿CE翻折△CBE得到△CEB′，
∴∠B'=∠B，∠B'CE=∠BCE，
∵EB'∥AC，
∴∠B'=∠B'CA=∠B，
∴∠AEC=∠B+∠BCE，∠ACE=∠B'CA+∠B'CE，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC；
(3)
存在，BC'=，
∵∠ADC＞45°，
∴∠BDC'不可能为90°，
当BC'⊥BC时，过点A作AE⊥AC，交BC'延长线于点E，
∵∠C=∠C'BD=90°=∠E，
∴四边形ACBE为矩形，设BC'为x，则C'E=4-x，
∵△ACD翻折后得到△AC'D，
∴AC'=AC=4，
∵AE=BC=3，
在Rt△AC'E中，由勾股定理得，
∴（4-x）2+32=42，
解得：x=，
∵x＜4，
∴x=，
即BC′长为．
22．（1），见解析；（2）EF为或
解：（1）（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方），
证明如下：
∵如图①，∵△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH，
∴AB=BC=CD=DA=c，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BAE+∠HAD=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
同理可证，四边形EFGH是正方形，且边长为（b﹣a），
∵
∴，
∴
（2）由题意得：正方形ACDE被分成4个全等的四边形，
设EF＝a，FD＝b，
分两种情况：
①a＞b时，
∴a+b＝12，
∵正方形ABIJ是由正方形ACDE被分成的4个全等的四边形和正方形CBLM拼成，
∴E'F'＝EF，KF'＝FD，E'K＝BC＝5，
∵E'F'﹣KF'＝E'K，
∴a﹣b＝5，
∴
解得：a=，
∴EF=；
②a＜b时，同①得：，
解得：a=，
∴EF=；
综上所述，EF为或．
答案第1页，共2页