§4.2.3 直线与圆的方程的应用
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．12
2．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)的位置是 ( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能
3．直线与圆交于E、F两点，则（O为原点）的面积为 （ ）
A． B． C． D．
4．如果实数满足(x＋2)2＋y2＝3，则的最大值为 ( )
A. B．－ C. D．－
5．一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷顶距离地面的高度不得超过 ( )
A．1.4米 B．3.0米 C．3.6米 D．4.5米
6．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是 ( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
7．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是 ( )
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
8．圆与有公共点，则实数m的取值范围
是 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值
为___ ___．
10．圆上的点到直线的距离的最大值是 .
11．在平面直角坐标系x O y中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线
12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是_____ ___．
12．如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是____ ____．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，O1O2＝4.过
动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N为切点)，使得|PM|＝|PN|.
建立适当的平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程．
14．（本小题满分12分）R t △ABC的斜边BC为定长m，以斜边的中点O为圆
心作半径为定长n的圆，BC所在直线交此圆于P、Q两点，求证|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2
为定值．
15．（本小题满分12分）设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心
出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方
向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B
两人在何处相遇？
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使得l被C
截得的弦AB为直径的圆经过原点．若存在，求出直线l的方程，若不存在，说
明理由．
§4.2.3 直线与圆的方程的应用 答案
1．C 2. B 3. C 4. A 5. C 6. A 7. C 8. B
9． 10. 11．(－13,13) 12．
13．解: 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如
图所示的坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)．
由已知|PM|＝|PN|，
∴|PM|2＝2|PN|2.
又∵两圆的半径均为1，
所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，设P(x，y)，
则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
即(x－6)2＋y2＝33.
∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.
14．证明: 如右图，以O为原点，分别以直线PQ为x轴，建立直角 坐标系．
于是有B(－，0)，C(，0)，P(－，0)，Q(，0)．
设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝上．
|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋)2＋y2＋(x－)2＋y2＋n2＝2x2＋2y2＋n2＝＋n2
(定值)．
15．解: 由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，设A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q，则P(3av,0)，
Q(0，(a＋b)v)，则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.
在R t △OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.
K PQ＝，∴k PQ＝－.
设直线PQ的方程为y＝－x＋b
由PQ与圆x2＋y2＝9相切，＝3，解得b＝，故A、B两人相遇在正北方离村落中心 km.
16．解: 假设存在，设直线方程为y＝x＋b，
则?2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0.
∴－3－3
而x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝，
由y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝，
∵AB为直径，·＝－1，
即y1y2＋x1x2＝0，
∴＋＝0，
即b2＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4.
∴直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－4.
§4.3.2 空间两点间的距离公式
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若A(1,3，－2)、B(－2,3,2)，则A、B两点间的距离为 ( )
A. B．25 C．5 D.
2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4，0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为 ( )
A．9 B. C．5 D．2
3.已知点在x轴上，点，且,则点的坐标是 （ ）
A．（0,0,0） B. （2,0,0）
C．（1,0,0） D．（0,0,0）或（2,0,0）
4．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足 ( )
A．x＋y＋z＝－1 B．x＋y＋z＝0
C．x＋y＋z＝1 D．x＋y＋z＝4
5．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则下列说法中正确的是 ( )
A．A、B、C三点可以构成直角三角形
B．A、B、C三点可以构成锐角三角形
C．A、B、C三点可以构成钝角三角形
D．A、B、C三点不能构成任何三角形
6．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )
A．19 B．－ C. D.
7．点到坐标平面的距离是 （ ）
A． B． C． D．
8．点P(x，y，z)满足＝2，则点P在 ( )
A．以点(1,1，－1)为球心，以为半径的球面上
B．以点(1,1，－1)为中心，以为棱长的正方体内
C．以点(1,1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D．无法确定
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．已知P到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则z＝__ ______.
10．若点与点的距离为5，则x ,y ,z满足的关系式是 .
11．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________．
12．如右图，正方体OABC—D′A′B′C′的棱长为a，
|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.则MN的长为__________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．
14．（本小题满分12分）如图所示，BC＝4，原点O是BC的中点，点A的坐标
为(，，0)，点D在平面y Oz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求AD的长
度．
15．（本小题满分12分）如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．
(1)当2|C1Q|＝|QC|时，求|PQ|；
(2)当点Q在棱CC1上移动时，探究|PQ|的最小值．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M
在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
§4.3.2 空间两点间的距离公式 答案
1．C 2. B 3. D 4. B 5. A 6. C 7. D 8. C
9．0或－4 10. 11.(0，－1,0)
12.a 13. 14. 15.(1) (2)|PQ| min＝，此时Q
16．解: ∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB、BC、BE两两垂直．
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.
∵CM＝BN＝a，
∴CH＝MH＝BG＝GN＝a，
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz，则
M，
N.
(1)|MN|＝
＝＝，
(2)由(1)得，当a＝时，|MN|最短，最短为，这时M、N恰好为AC、BF的中点．
第四章 圆与方程
§4.1.1 圆的标准方程
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是 ( )
A．(－2,3)，1 B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， D．(2，－3)，
2．圆心为(－1,2)，半径为4的圆的方程是 ( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝16 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝16
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝4
3．圆关于原点对称的圆的方程为 ( )
A． B．
C． D．
4．点(sin θ，cos θ)与圆x2＋y2＝的位置关系是 ( )
A．点在圆上 B．点在圆内
C．点在圆外 D．不能确定
5．已知以点A(2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O，则点M(5，－7)与圆O的
位置关系是 ( )
A．点在圆内 B．点在圆上
C．点在圆外 D．无法判断
6．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程是 ( )
A．(x＋3)2＋(y＋4)2＝1 B．(x＋4)2＋(y－3)2＝1
C．(x－4)2＋(y－3)2＝1 D．(x－3)2＋(y－4)2＝1
7．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上．则此圆的方程是 ( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
8．自点作圆的切线，则切线长为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9.已知圆的方程为，确定下述情况下应满足的条件：
（1）圆心在轴上： ；
（2）圆与轴相切： ；
（3）圆心在直线上： ．
10．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是___________________________________________________．
11．已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝225，则的最小值为________．
12．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l的斜率的取值范围是______ __．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且
该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．
14．（本小题满分12分）圆C与直线相切于点，且圆心到轴
的距离等于，求圆C的方程．
15．（本小题满分12分）已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求
C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
§4.1.1 圆的标准方程 答案
1．D 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.B
9. （1）；（2）；（3） 10．(x－4)2＋(y－1)2＝26
11．2 12．[0,2]
13．(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112
14. 或
15．最大值为3－＋2，最小值为3－－2
16．解 设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，
∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
§4.1.2 圆的一般方程
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆的圆心坐标和半径分别为 ( )
A． B．
C． D．
2．如果圆的方程为x2＋y2＋k x＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标
为 ( )
A．(－1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
3．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的图形是 ( )
A．一个圆 B．只有当a＝0时，才表示一个圆
C．一个点 D．a、b不全为0时，才表示一个圆
4．圆上点到直线的距离的最小值是 ( )
A．6 B．4 C．5 D．1
5．在△ABC中，若顶点B、C的坐标分别是(－2,0)和(2,0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是 ( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9 (y≠0) D．x2＋y2＝9 (x≠0)
6．已知定点A(a,2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围
为 ( )
A．a>2 B．a< C．2
7．已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形直角顶点P的轨迹方程是 ( )
A．x2＋y2＝4(x≠±2) B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝2(x≠±2) D．x2＋y2＝2
8．若直线m x＋2ny－4＝0(m，n ∈R)始终平分圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0的周长，则m，n的关系是 ( )
A．m－n－2＝0 B．m＋n－2＝0
C．m＋n－4＝0 D．m－n＋4＝0
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程是_________ _______ ______．
10．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为____________________．
11．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是___ _____．
12．已知点是圆上任意一点，为原点，则的最大值为 最小值为 ．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题10分）
求过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程．
14．（本小题12分）
平面直角坐标系中有A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)，则四个点能
否在同一个圆上？
15．（本小题12分）求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
四、探究与拓展（本题14分）
16．求一个动点P在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线的中点M的轨迹方程．
§4.1.2 圆的一般方程 答案
1. C 2．D 3. D 4. B 5. C 6. C 7. A 8. A
9．(x＋3)2＋(y－2)2＝2 10．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
11．(－∞，1) 12. ，
13．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 14．A、B、C、D四点不能在同一个圆上
15．x2＋y2－2x－12＝0
16．解: 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)．由于点A的坐标为(3,0
且M是线段AP的中点，所以x＝，y＝，
于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
因为点P在圆x2＋y2＝1上移动，所以点P的坐标满足方程x＋y＝1，
则(2x－3)2＋4y2＝1，整理得2＋y2＝.
所以点M的轨迹方程为2＋y2＝.
§4.2.1 直线与圆的位置关系
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知圆x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0与y轴切于原点，那么 ( )
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．D＝0，E≠0，F＝0
C．D≠0，E＝0，F＝0 D．D≠0，E≠0，F＝0
2．直线与圆的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定
3．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于 ( )
A. B. C．1 D．5
4．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．直线过点，与圆有两个交点时，斜率的取值范围
是 ( )
A． B．
C． D．
6．由直线y＝x＋2上的点向圆(x－4)2＋(y＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值
为 ( )
A. B. C．4 D.
7．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x2＋y2＝1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形是 ( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
8．与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为___ _____．
10.若直线与圆有一个交点，则的值为 .
11．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________________．
12．P(3,0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是___ _____．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）求过点P(－1,5)的圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的切线方程．
14．（本小题满分12分）求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
15．（本小题满分12分）直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交，截得的弦长为4，求l的方程．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知直线x＋2y－3＝0与圆x2＋y2＋x－2cy＋c＝0的两个交点为A、B，O为坐标原点，且OA⊥OB，求实数c的值．
§4.2.1 直线与圆的位置关系 答案
1．C 2. B 3. A 4. C 5. C 6. B 7. B 8. C
9．{(1,1)} 10.或 11．x－y＋2＝0 12．x＋y－3＝0
13．x＝－1或5x＋12y－55＝0 14.
15．x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0
16．解： 设点A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)．
由OA⊥OB，知k OA ·k OB＝－1，
即·＝－1，∴x1x2＋y1y2＝0 ①
由，
得5y2－(2c＋14)y＋c＋12＝0，
则y1＋y2＝(2c＋14)，y1y2＝(c＋12) ②
又x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2，代入①得
9－6(y1＋y2)＋5y1y2＝0 ③
由②、③得，c＝3.
§4.2.2 圆与圆的位置关系
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．两圆和的位置关系是 （ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有 （ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分
线的方程是 （ ）
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
4．圆与有公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是 （ ）
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
6．已知集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是 （ ）
A．(0，－1) B．(0, 1]
C．(0,2－] D．(0, 2]
7．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则
圆C的方程为 （ ）
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝8 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝8
8.若与圆切于点，则的值为 （ ）
A.2 B.-2 C.-3 D.3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9．两圆x2＋y2＝1和(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a的值为________．
10．两圆交于A(1,3)及B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋n＝0上，则m＋n的值为________．
11．两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为____________．
12.点在圆上，点在 上，则的最小值是 .
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）求过点A(0,6)且与圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原点的圆的方程．
14．（本小题满分12分）点M在圆心为C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，点
N在圆心为C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．
15．（本小题满分12分）已知圆C：x2＋y2＋8x－4y＝0与以原点O为圆心的某圆关于直线y＝k x＋b对称．
(1)求k，b的值；
(2)若这时两圆的交点为A、B，求∠AOB的度数．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．已知点P(－2，－3)和以点Q为圆心的圆(x－4)2＋(y－2)2＝9.
(1)画出以PQ为直径，Q′为圆心的圆，再求出它的方程；
(2)作出以Q为圆心的圆和以Q′为圆心的圆的两个交点A，B.直线PA，PB是以Q为圆心的圆的切线吗？为什么？
(3)求直线AB的方程．
§4.2.2 圆与圆的位置关系 答案
1．B 2. C 3. C 4. B 5. D 6. C 7. B 8. A
9．±2或0 10. 11．3 12．
13．(x－3)2＋(y－3)2＝18 14.＋5
15．(1)k＝2，b＝5 (2)120°
16．解： (1)∵已知圆的方程(x－4)2＋(y－2)2＝32，
∴Q(4,2)．
PQ中点为Q′，
半径为r＝＝，
故以PQ为直径、Q′为圆心的圆的方程为
(x－1)2＋2＝.
(2)∵PQ是圆Q′的直径，
∴PA⊥AQ(如图所示)
∴PA是⊙Q的切线，同理PB也是⊙Q的切线．
(3)将⊙Q与⊙Q′方程相减，得6x＋5y－25＝0.此即为直线AB的方程．
§4.3.1 空间直角坐标系
(检测时间：90分钟)
一、选择题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点，则点关于原点的对称点的坐标为 （ ）
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点A(1,2，－3)关于x轴的对称点为 ( )
A．(1，－2，－3) B．(1，－2,3)
C．(1,2,3) D．(－1,2，－3)
3．在空间直角坐标系中，所有点P(x，y,2)(x，y ∈R)的集合表示 ( )
A．一条直线 B．平行于平面x O y的平面
C．平行于平面x O z的平面 D．两条直线
4.以正方体的棱、、所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的
示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成
的正方体)．其中实圆?代表钠原子，空间圆?
代表氯原子．建立空间直角坐标系O xyz后，图
中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是 ( )
A. B．(0,0,1) C. D.
6．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于y Oz平面的对称点的坐标为 ( )
A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5)
C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5)
7．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y Oz平面对称
C．关于坐标原点对称 D．以上都不对
8．点P(a，b，c)到坐标平面x O y的距离是 ( )
A. B．|a| C．|b| D．|c|
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
9. 在空间直角坐标系中，如果点的坐标是，那么与点
①关于原点对称的点是 ；②关于轴对称的点是 ；
③关于轴对称的点是 ；④关于轴对称的点是 ；
⑤关于坐标平面对称的点是 ；
⑥关于坐标平面对称的点是 ；
⑦关于坐标平面对称的点是 ；
10．在空间直角坐标系中，下列说法中：①在x轴上的点的坐标一定是
(0，b，c)；②在y Oz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在z轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在x Oz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确说法的序号是__ ______．
11．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(1，，)，过点P作y Oz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标是__________．
12．连接平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的线段P1P2的中点M的坐标为，那么，已知空间中两点P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点M的坐标为____________．
三、解答题(本大题共3个小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
13．（本小题满分10分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、
BB1的中点，且正方体棱长为1.请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、
G的坐标．
14．（本小题满分12分）如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，以D为坐标原点，正方体的三条棱所在的直线分别为坐标轴，建立空间直角坐 标系D—xyz，有一动点P在正方体的各个面上运动．
(1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时，探究动点P的坐标特征；
(2)当点P分别在各个面的对角线上运动时，探究动点P的坐标特
征．
15．（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A、B、C、D、P、E的坐标．
四、探究与拓展（本题满分14分）
16．如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂
直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角
坐标系，求出点A、B、C、D、E、F的坐标．
§4.3.1 空间直角坐标系 答案
1．C 2. B 3. B 4. C 5. A 6. A 7. C 8. D
9．①(-x，-y，-z)； ②(x，-y，-z)； ③(-x，y，-z)； ④(-x，-y，z)；
⑤(x，y，-z)； ⑥(-x，y，z)； ⑦(x，-y，z).
10．②③④ 11.(0，，) 12.
13．解： 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1，0,0)，
B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，
C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E，
F，G.
14．解： (1)当点P(x，y，z)分别在平行于x轴的棱A1D1，B1C1，BC上运动时，动点P的纵坐标y、竖坐标z不变，横坐标x在[0,1]内取值；
当点P(x，y，z)分别在平行于y轴的棱A1B1，C1D1，AB上运动时，动点P的横坐标x、竖坐标z不变，纵坐标y在[0,1]内取值；
当点P(x，y，z)分别在平行于z轴的棱AA1，BB1，CC1上运动时，动点P的横坐标x、纵坐标y不变，竖坐标z在[0,1]内取值．
(2)当点P(x，y，z)分别在面对角线BC1，B1C上运动时，动点P的纵坐标y不变，横坐标x、竖坐标z分别在[0,1]内取值；
当点P(x，y，z)分别在面对角线A1B，AB1上运动时，动点P的横坐标x不变，纵坐标y、竖坐标z分别在[0,1]内取值；
当点P(x，y，z)分别在面对角线A1C1，B1D1上运动时，动点P的竖坐标z不变，横坐标x、纵坐标y分别在[0,1]内取值．
15．解： 如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直
线为z轴，过点A与xAz平面垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标
系．则相关各点的坐标分别是
A(0,0,0)，B(1,0,0)，
C(，，0)，D(，，0)，P(0,0,2)，
E(1，，0)．
16．解： 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．
又因为AB＝AC＝6，BC是圆O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，BC＝6.以O为原点，OB、OF、OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则原点O及A、B、C、D、E、F各个点的坐标分别为O(0，0,0)、A(0，－3，0)、B(3，0,0)、C(－3，0,0)、D(0，－3，8)、E(0,0,8)、F(0,3，0)．
第四章 圆与方程单元测试题
本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是 ( )
A．(1，-2)，5 B．(1，-2)，
C．(-1，2)，5 D．(-1，2)，
2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于y轴对称的圆的方程为 ( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
3．圆C1 : x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2 : x2＋y2－4x＋4y－2＝0的位置关系是 ( )
A．相交 B．外切 C．内切 D．相离
4．方程y＝－表示的曲线为 ( )
A．一条射线 B．一个圆
C．两条射线 D．半个圆
5．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是 ( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
6．已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是 ( )
A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
7．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为 ( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差
是 ( )
A．30 B．18 C．6 D．5
9．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为( )
A. B. C. D.－1
10．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为 ( )
A．－1或 B．1或3 C．－2或6 D．0或4
11．若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
12．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，则 ( )
A．l//g且与圆相离 B．l ⊥g且与圆相切
C．l//g且与圆相交 D．l ⊥g且与圆相离
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在题中横线上)
13．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝______________．
14．在空间直角坐标系O xyz中，点B是点A(1,2,3)在坐标平面y Oz内的正射影，则
|OB|＝____ ____.
15．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程
是______ ____．
16．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围
是______ __________．
17．若x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是________．
18．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为 ．
三、解答题(本大题共5个小题，每小题12分共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
19．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且
|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．
20．求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；
(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．
21．已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．
22．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切点为A，B．
(1)求直线PA，PB的方程； (2)求过P点的圆的切线长；
(3)求直线AB的方程．
23．已知圆C过点M(0，－2)、N(3,1)，且圆心C在直线x＋2y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
第四章 圆与方程单元测试题 答案
一、选择题 DAADC DBCBD AA
二、填空题 13. 7或-5 14. 15. x＋3y＝0
16. (－∞，0)∪(10，＋∞) 17. 30-10 18.
三、解答题
19．解：以D为原点建立如图所示坐标系，
则B(a，a,0)，A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．
由于M为BD1的中点，所以M(，，)，取A1C1中点O1，则O1(，，a)，
因为|A1N|＝3|NC1|，所以N为O1C1的中点，
故N(，a，a)．
由两点间的距离公式可得：
|MN|＝＝a.
20．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，于是依题意，得
解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20．
(2)因为圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)，
所以圆心必在过点M(2，－1)且垂直于x＋y－1＝0的直线l上．
则l的方程为y＋1＝x－2，即y＝x－3．
由 解得
即圆心为O1(1，－2)，半径r＝＝．
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．
21．解：(1)点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25， 轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆
(2)x＝－2，或5x－12y＋46＝0
22．解：(1)设过P点圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即k x―y―2k―1＝0．
因为圆心(1，2)到直线的距离为，＝， 解得k＝7，或k＝－1．
故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x＋y－1＝0．
(2)在R t△PCA中，因为|PC|＝＝，|CA|＝，
所以|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8．所以过点P的圆的切线长为2．
(3)容易求出k PC＝－3，所以k AB＝．
如图，由CA2＝CD·PC，可求出CD＝＝．
设直线AB的方程为y＝x＋b，即x－3y＋3b＝0．
由＝解得b＝1或b＝(舍)．
所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0．
(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．
23．解: (1)设圆C的方程为：x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0.由题意，得解得∴圆C的方程为：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(2)设符合条件的实数a存在，由于l垂直平分弦AB，故圆心C(3，－2)必在l上．
所以l的斜率k PC＝－2，而k AB＝a＝－，所以a＝.
把直线ax－y＋1＝0即y＝ax＋1代入圆C的方程，消去y，
整理得(a2＋1)x2＋6(a－1)x＋9＝0.
由于直线ax－y＋1＝0交圆C于A，B两点，故Δ＝36(a－1)2－36(a2＋1)＞0，
即－2a＞0，解得a＜0.则实数a的取值范围是(－∞，0)．由于?(－∞，0)，故不存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l垂直平分弦A
