第14章三角形解答题练习（上海地区专用）2021－2022学年下学期上海市各地沪教版七年级数学期中复习 （word版含解析）

第14章 三角形解答题
1．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学七年级期中）如图，已知AB∥CD，∠DAE=∠CAB，∠ACB=∠EFC，请说明AD∥BC．
2．（2021·上海市罗南中学七年级期中）如图，在中，∠B=25°，∠BAC=31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求：（1）∠ACD的度数；（2）∠AEC的度数．
3．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）如图所示，AC∥DE，若，求的度数．
4．（2021·上海浦东新·七年级期中）如图：已知AB∥CD，BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，求∠BOC的度数．
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+　 　＝180°（　 　）．
∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD，（已知），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线的意义）．
∴∠DBC+∠ACB＝（　 　）（等式性质），
即∠DBC+∠ACB＝　 　°．
∵∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（　 　），
∴∠BOC＝　 　°（等式性质）．
5．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，BC＝6cm，那么BD的长_____cm．
6．（2021·上海市风华初级中学七年级期中）如图，在中，AD是BC边上的高，重足为点D．
(1)画图，在图中过点D作，交边AB于点E．
(2)在第（1）题的条件下，如果，，试求的大小并说明理由．
7．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，△ABC中，DE∥AC，EF∥AB，∠BED=∠CEF，
（1）试说明△ABC是等腰三角形，
（2）探索AB+AC与四边形ADEF的周长关系．
8．（2021·上海市文来中学七年级期中）如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM，求证：
（1）BP=CE；
（2）试证明：EM PM=AM．
9．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）如图，已知∠AGH=∠B，∠CGH=∠BEF，EF⊥AB于F，试说明CG⊥AB．
10．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）如图a，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，将纸带沿EF折叠后，点C,D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠成图b
（1）图a中，若，则______，______
（2）图b中，，当为何值时，
11．（2021·上海市文来中学七年级期中）D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM，DN分别交BC，CA于点E，F．
（1）当∠MDN绕点D转动时，求证：DE=DF．
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积．
12．（2021·上海市文来中学七年级期中）已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，请你探索以下问题：
（1）若点P在一边BC上（图（1）），此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系 请说明理由；
（2）若当点P在△ABC内（图（2）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系 请说明理由；
（3）若点P在△ABC外（图（3）），此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系___．（请直接写出你的猜想，不需要说明理由．）
13．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．
(1)求证：△ADE≌△BFE；
(2)联结EG，试说明EG与DF垂直的理由．
14．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝80°，求∠ADE的大小．
15．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AB上，AE＝AC，过点E作EF∥BC交AC于F，EC平分∠DEF．说明∠BAD＝∠CAD．
16．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学七年级期中）如图，已知△ABC，根据下列要求作图并回答：
（1）作边AB上的高CD；
（2）过点D作直线BC的垂线，垂足为点E；
（3）点B到直线CD的距离是线段____________________的长度（不要求写画法，需写出结论）
17．（2021·上海市第二初级中学七年级期中）折叠三角形纸片，使点落在边上的点，且折痕．若，求的度数，并说明理由．
18．（2021·上海市风华初级中学七年级期中）（1）如图1，在中，已知和的角平分线BD、CE相交于点O，若，求的度数，并说明理由．
（2）如图2，在中，、的三等分线交于点、，若，则______°（用含有m的代数式表示，直接写出结果）．
19．（2021·上海市第二初级中学七年级期中）解答下列各题
(1)如图1，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，当点在直线上移动时，总有______与的面积相等．
(2)解答下题．
①如图2，在中，已知，且边上的高为5，若过作，连接、，则的面积为______．
②如图3，、、三点在同一直线上， ，垂足为．若，，，，求的面积．
(3)如图4，在四边形中，与不平行，，且，过点画一条直线平分四边形的面积（简单说明理由）．
20．（2021·上海市风华初级中学七年级期中）在中，G是边BC上一点，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，M为直线DE上一点，N为直线GD上一点，．
(1)如图1，当点M在线段DE上，点N在线段DG上时，与相等吗，为什么？
(2)当点M在线段ED的延长线上，点N在线段GD的延长线上时，请在图2中画出相应的图形，并直接写出与的数量关系______．
(3)在第（2）题的条件下，直线DG交AC的延长线于点F，若，，则______°．（直接写结果）
21．（2021·上海市民办文绮中学七年级期中）如图，在中，，点C在BE上，AD平分，交BC于点D，，与相等吗？请说明理由．
22．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，已知是等边三角形内一点，是线段延长线上一点，且，，求的度数．
23．（2021·上海市培佳双语学校七年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，BC＝6，D为直线BC上一动点（不与点B、点C重合），向AB的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
(1)当点D在线段BC上时，求证：△BAD≌△CAE；
(2)在（1）的条件下，当AC⊥DE时，求BD的长；
(3)当CE∥AB时，若△ABD中有最小的内角为23°，试求∠AEC的度数．（直接写结果，无需写出求解过程）
24．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）如图1，、的角平分线、相交于点，
（1）如果，那么的度数是多少，试说明理由并完成填空；
（2）如图2，，如果、的角平分线、相交于点，请直接写出度数；
（3）如图2，重复上述过程，、的角平分线、相交于点得到，设，请用表示的度数（直接写出答案）
解：（1）结论：______度．
说理如下：因为、平分和（已知），
所以，（角平分线的意义）．
因为，（ ）
（完成以下说理过程）
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．见解析
【解析】
由已知和平行线的性质可得到∠ACD=∠DAE，再由三角形的外角定理得到∠ACD=∠E，最后等量代换即可求解．
解：∵∠BCD=∠ACD+∠ACB，
又∵∠BCD=∠E+∠EFC，
∴∠ACD+∠ACB=∠E+∠EFC，
∵∠ACB=∠EFC，
∴∠ACD=∠E，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
∵∠CAB=∠DAE，
∴∠E=∠DAE，
∴AD∥BC．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握有关的定理是解题的关键．
2．（1）∠ACD=56°；（2）∠AEC=118°
【解析】
（1）利用三角形的外角的性质：，即可得到答案．
（2）求出∠ECD，∠D，利用三角形的外角的性质求解即可．
解：（1）∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=25°，∠BAC=31°，
∴∠ACD=25°+31°=56°．
（2）∵AD⊥BD，
∴∠D=90°，
∵∠ACD=56°，
CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=28°，
∴∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．
【解析】
根据平行线的性质可得，进而根据三角形内角和定理可得，，进而求得，由三角形内角和定理可得，根据即可求得．
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
4．∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90
【解析】
根据题意利用AB∥CD得∠ABC+∠BCD=180；等式的性质得∠DBC+∠ACB=（∠ABC+∠ACD），进而由三角形内角和为180°得∠BOC=90°．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC+∠BCD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵BD平分∠ABC，AC平分∠BCD（已知），
∴∠DBC＝∠ABC，∠ACB＝∠BCD（角平分线定义），
∴∠DBC+∠ACB＝（∠ABC+∠BCD）（等式性质），
即∠DBC+∠ACB＝90°，
∴∠DBC+∠ACB+∠BOC＝180°（三角形内角和等于180°），
∴∠BOC＝90°（等式性质），
故答案为：∠BCD，两直线平行，同旁内角互补，∠ABC+∠BCD，90，三角形内角和等于180°，90．
【点睛】
本题考查平行线的性质，等式的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关性质的应用．
5．3
【解析】
由AB＝AC，得出△ABC是等腰三角形，由∠1＝∠2，得出AD是顶角平分线，再由等腰三角形底边上的中线与顶角平分线重合求解即可．
解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵∠1＝∠2，
∴，
∵BC＝6cm，
∴（cm）．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了等腰三角形，比较简单，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．
6．(1)画图见解析；
(2)；理由见解析
【解析】
（1）根据题意要求用直尺和三角板作图即可；
（2）根据三角形内角和为180°，∠B=35° ， ∠C=60°算出∠BAC的度数，再根据平行线的性质算出∠AED的度数即可．
（1）如图所示：
（2）∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理和平行线的性质，熟练应用两直线平行同旁内角互补求角的度数是解题的关键．
7．(1)说明见解析；（2）AC+AB=四边形EFAD的周长．
【解析】
（1）由平行线的性质可得∠EAD=∠F，∠BAF=∠E，进而再通过角之间的转化得出结论；
（2）由平行线的性质可得∠EAD=∠F，∠BAF=∠E，由于∠BED=∠CEF，得到∠C=∠CEF=∠BED=∠B，于是得到EF=CF，DE=DB，即可得到结论．
（1）∵DE∥AC
∴∠BED=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠CEF=∠B，
∵∠BED=∠CEF，
∴∠B=∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）AB+AC=四边形ADEF的周长，
理由：∵DE∥AC，
∴∠BED=∠C，
∵EF∥AB，
∴∠CEF=∠B，
∵∠BED=∠CEF，
∴∠C=∠CEF=∠BED=∠B，
∴EF=CF，DE=DB，
∴AC+AB=CF+AF+AD+BD=EF+AF+AD+DE=四边形EFAD的周长．
8．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
（1）根据等边三角形的性质，通过证明△EAC≌△PAB（SAS），即可得出BP=CE；
（2）通过证明△AEN≌△APM（SAS），根据全等三角形的性质，等边三角形的性质即可得出EM-PM=EM-EN=MN=AM．
证明：（1）∵△ABC，△APE是等边三角形，
∴AE=AP，AC=AB，∠EAC=∠PAB=60°，
在△EAC与△PAB中，
∴△EAC≌△PAB(SAS)，
∴BP=CE；
（2）∵△EAC≌△PAB，
∴∠AEM=∠APB．
在EM上截取EN=PM，连接AN．
在AEN与△APM中，
∴△AEN≌△APM(SAS)，
∴AN=AM；∠EAN=∠PAM．
则∠PAM+∠PAN=∠EAN+∠PAN=60°，即△ANM为等边三角形，得：MN=AM．
所以EM PM=EM EN=MN=AM．
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的关键是找准全等三角形，正确的作出辅助线．
9．见解析
【解析】
利用垂直的定义和直角三角形的两个锐角互余，说明∠FEB+∠B＝90°，再由已知说明∠AGC＝90°即可．
解：∵EF⊥AB，
∴∠EFB＝90°，
∴∠FEB+∠B＝90°．
∵∠AGH＝∠B，∠CGH＝∠BEF，
∴∠AGH+∠CGH＝∠B+∠BEF＝90°．
即∠AGC＝90°．
∴CG⊥AB．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两个锐角互余及垂直的性质和判定，掌握垂直的性质和判定是解决本题的关键．
10．（1）（2）
【解析】
（1）由AD∥BC，可得，根据折叠可得，根据平角的定义即可求得，在中，根据已知条件先求得，进而求得,根据三角形内角和定理求得，进而根据对顶角求得；
（2）根据已知条件，将用含的代数式表示出来，进而求得，根据题意列出方程，解方程即可求得的值．
四边形ABCD是长方形，
，
，，
折叠，
，，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
，
由折叠可知，，
，
，
，
沿折叠到，
，
，
若，
则，
解得，
当时，．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和，折叠的性质，理清题目中的角度关系是解题的关键．
11．（1）证明见解析．（2）．
【解析】
分析：（1）连CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，则∠BCD=45°，∠CDA=90°，由DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到结论；（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积．
本题解析:
（1）连CD，如图，
∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，
∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，
∴∠BCD=45°，∠CDA=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠EDF=90°，
∴∠CDE=∠ADF，
在△DCE和△ADF中，
，
∴△DCE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF；
（2）∵△DCE≌△ADF，
∴S△DCE=S△ADF，
∴四边形DECF的面积=S△ACD，
而AB=2，
∴CD=DA=1，
∴四边形DECF的面积=S△ACD=CD DA=．
12．（1）h=h1+h2，理由见解析；（2）h=h1+h2+h3，理由见解析；（3）h=h1+h2 h3
【解析】
把点P与各顶点分别连接起来．根据组合图形的面积与分割成的图形面积之间的关系建立关系式，然后根据等边三角形性质求解．
（1）h=h1+h2，理由如下：
连接AP，则 S△ABC=S△ABP+S△APC
∴BC AM=AB PD+AC PF
即BC h=AB h1+AC h2
又∵△ABC是等边三角形
∴BC=AB=AC，
∴h=h1+h2．
（2）h=h1+h2+h3，理由如下：
连接AP、BP、CP，则S△ABC=S△ABP+S△BPC+S△ACP
∴BC AM=AB PD+AC PF+BC PE
即BC h=AB h1+AC h2+BC h3
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC．
∴h=h1+h2+h3．
（3）h=h1+h2 h3．
当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2 h3=h．
理由如下：连接PB，PC，PA
由三角形的面积公式得：S△ABC=S△PAB+S△PAC S△PBC，
即BC AM=AB PD+AC PE BC PF，
∵AB=BC=AC，
∴h1+h2 h3=h，
即h1+h2 h3=h．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，运用等积法建立关系构思巧妙，也是此题的难点．
13．(1)见解析
(2)见解析
【解析】
（1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；
（2）由∠GDF＝∠ADE，以及（1）得出的∠ADE＝∠BFE，等量代换得到∠GDF＝∠BFE，利用等角对等边得到GF＝GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE＝FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝∠F（两直线平行，内错角相等）
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE（中点的意义），
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）．
(2)
解：∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠F＝∠2（等量代换），
∴DG＝FG（等角对等边）．
∵△ADE≌△BFE （已证），
∴DE＝FE（全等三角形的对应边相等），
∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
14．25°
【解析】
根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝50°，∠BDE＝65°，∠ADB＝90°，计算即可．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝50°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝65°，
∵AB＝AC，点D是BC的中点
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝25°．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的“三线合一“是解决问题的关键．
15．见解析
【解析】
由平行线的性质得出∠FEC＝∠DCE，由角平分线的性质得出∠FEC＝∠DEC，推出∠DCE＝∠DEC，则ED＝CD，由SSS证得△AED≌△ACD，进而可得结论．
证明：∵EF//BC，
∴∠FEC＝∠DCE，
∵EC平分∠DEF，
∴∠FEC＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠DEC，
∴ED＝CD，
在△AED和△ACD中，
，
∴△AED≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的判定方法是解题的关键．
16．（1）见解析；（2）见解析；（3）BD．
【解析】
（1）根据三角形高的定义画出图形即可；
（2）根据垂线的定义画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离即可得出点B到直线CD的距离是线段BD的长度．
解：（1）如图，线段CD即为所求；
（2）如图，线段DE即为所求；
（3）点B到直线CD的距离是线段BD的长度．
故答案为：BD．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义．
17．，证明见解析
【解析】
根据折叠的性质可得∠ADE=∠FDE，再由平行的性质可得∠ADE=∠B，再由平角的定义可得出∠BDF的度数．
解：∠BDF=80°，理由如下：
由折叠得，△ADE≌△FDE，
∴∠ADE=∠FDE，
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠FDE=∠B=50°，
∴∠BDF=180°-∠ADE-∠FDE=180°-2∠B=180°-100°=80°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，由折叠得到∠ADE=∠FDE是解题的关键．
18．（1）；理由见解析；（2）
【解析】
（1）先根据三角形内角和定理算出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理算出的度数即可；
（2）先根据，结合三角形内角和定理，用m表示出和，算出即可．
（1）∵在中，，
∴，
∵BD平分，CE平分，
∴，
在中，，
故．
（2）在中，∵，
∴，
∵，为的三等分线，，为的三等分线，
∴，
，
∴，
，
∴，
故．
【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，根据角的等分线的性质结合三角形内角和定理找出规律是解决本题的关键．
19．(1)
(2)①15；②
(3)图见解析，理由见解析
【解析】
（1）根据，可得和同底等高，即可求解；
（2）①先求出，再由，可得△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，即可求解；
②先求出=，再由，，可得AC∥BF，从而得到，即可求解；
（3）过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，可得，从而得到，即可求解．
(1)
解：∵，
∴和同底等高，
则与的面积相等；
(2)
解：①∵，且边上的高为5，
∴，
∵，
∴△ABC和△BAE是同底等高的两个三角形，
∴；
②∵，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴∠EBG=120°，
∴∠EBF=60°，
∴∠EBF=∠BAC，
∴AC∥BF，
∴；
(3)
解：
如图，过点B作BE∥AC交DC延长线于点E，连接AE，取DE的中点F，作直线AF，则直线AF即为所求，理由如下：
∵BE∥AC，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．
【点睛】
本题主要考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思想解答是解题的关键．
20．(1)相等，证明见解析
(2)
(3)15
【解析】
（1）根据DE∥BC，可得，从而得到，进而得到AB∥MN，即可求解；
（2）根据DE∥BC，可得，从而得到，进而得到AB∥MN，即可求解；
（3）由（2）可得：AB∥MN，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可求解．
(1)
解：相等，理由如下：
∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴AB∥MN，
∴．
(2)
解：画图如下，
∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴AB∥MN，
∴，
故答案为：．
(3)
解：如图，
由（2）得：AB∥MN，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案是：15．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和判定，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理是解题的关键．
21．；证明见解析．
【解析】
直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案即可．
，理由如下：
∵AD平分，
∴，
∵，且，，
∴，
∴，
又∵，
∴EF平分，
∴．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出AE＝DE是解题关键．
22．60
【解析】
先证是等边三角形，得出是等边三角形，再证，得，从而得出∠BOC的大小．
∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°
∵AO=OD，∴△AOD是等边三角形
∴，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC
∴∠BAC=∠OAD，∴∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD
∴∠BAO=∠CAD
在△BAO和△CAD中
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查全等的证明和等边三角形的性质和证明，解题关键是证．
23．(1)见解析
(2)3
(3)97°或37°或23°
【解析】
（1 ）根据SAS即可证明△BAD≌△CAE；
（2 ）利用等腰三角形的三线合一可得出BD＝CD，则可得出答案；
（3 ）分D在线段BC上、当点D在CB的延长线上、点D在BC的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
(1)
证明：①如图1，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
(2)
解：如图2，
∵AE＝AD，AC⊥DE，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠BAD，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC
∵BC＝6，
∴BD＝BC＝3；
(3)
如图1，当D在线段BC上时，
∵CE//AB，
∴∠ACE＝∠BAC，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，∠ADB＝∠AEC，
∴∠ABD＝∠BAC，又∠ABC＝∠ACB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣60°﹣23°＝97°；
如图3，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，∠ABC＝60°，
∴∠AEC＝∠ADB＝60°﹣23°=37°；
如图4，当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB＝23°，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEC＝∠ADB= 23°．
∴∠AEC的度数为97°或37°或23°．
【点睛】
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
24．（1）32；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；过程见解析；（2）；（3）．
【解析】
（1）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质进行求解即可；
（2）根据（1）的解法进行求解即可；
（3）利用（1）的结论求解即可．
（1）结论：；理由如下：
∵、的角平分线、相交于点
∴，（角平分线的意义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴，（等式性质）
∴（等量代换）
∴；
（2）∵、的角平分线、相交于点
∴，（角平分线的意义）
∵，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∴，（等式性质）
∴（等量代换）
∴；
（3）∵当，、
∴当，=．
【点睛】
本题主要考查了角的平分线的定义以及三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和成为解答本题的关键．
答案第1页，共2页