第13章 相交线、平行线解答题练习（上海地区专用）2021－2022学年下学期上海市各地沪教版七年级数学期中复习 （ word版含解析）

第13章 相交线 平行线解答题
1．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）如图，已知，，平分，求和的度数．
2．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学七年级期中）如图，直线AB、CD被直线EF所截，GH是∠EGC的平分线，∠EGH=56°，∠EIB=68°，说明AB∥CD的理由．
解：因为GH是∠EGC的角平分线（ ）
所以∠EGH=∠HGC=56°（ ）
因为CD是条直线（已知）
所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（ ）
所以∠IGD=68°
因为∠EIB=68°（已知）
所以__________=__________（ ）
所以AB∥CD（ ）
3．（2021·上海浦东新·七年级期中）如图：∠1+∠2＝180°，∠C＝∠D，则∠A＝∠F吗？请说明理由．
4．（2021·上海·七年级期中）如图，已知于点，于点，，试说明．
解：因为（已知），
所以（ ）．
同理．
所以（ ）．
即．
因为（已知），
所以（ ）．
所以（ ）．
5．（2021·上海·七年级期中）如图，已知，，是的平分线，，求的度数．
6．（2021·上海市浦东新区新场实验中学七年级期中）如图，ABCD，，，试说明：BCDE．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由．
解：∵ABCD（已知），
　　，
又（已知），
　　　　，
　　，
　　，
BCDE　　．
7．（2021·上海市西南模范中学七年级期中）如图，已知∠AED=∠C,∠DEF=∠B，试说明∠EFG+∠BDG=180 ，请完成下列填空：
∵∠AED=∠C (_________)
∴ED∥BC(_________)
∴∠DEF=∠EHC (___________)
∵∠DEF=∠B（已知）
∴_______(等量代换)
∴BD∥EH(同位角相等，两直线平行)
∴∠BDG=∠DFE(两直线平行，内错角相等)
∵_________________(邻补角的意义)
∴∠EFG+∠BDG=180 (___________)
8．（2021·上海·七年级期中）如图，已知，，试说明的理由．
解：把的对顶角记作，
所以（对顶角相等）．
因为（已知），
所以（ ），
所以 （ ）．
（请继续完成接下去的说理过程）
9．（2021·上海松江·七年级期中）如图，已知射线AB与直线CD交于点O，OF平分∠BOC，AE∥DC，且∠A＝70°，求∠DOF．
10．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）如图，已知，．说明的理由．
解：因为（已知）
所以______（ ）
所以（ ）
又因为（已知）
所以（ ）
又因为（已证）
所以（ ）
11．（2021··七年级期中）如图，直线AE、CF分别被直线EF、AC所截，已知∠1=∠2，AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，将下列证明AB//CD的过程及理由填写完整．
证明：因为∠1=∠2，
所以 // （ ），
所以∠EAC=∠ACG（ ），
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以 =， =，
所以 = ，
所以AB//CD（ ）．
12．（2021·上海市浦东新区新场实验中学七年级期中）如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．
13．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）按照要求完成下列问题：
如图，直线和相交于点，点为上一点．
（1）过点作的垂线，交于点；
（2）过点作的垂线，交于点；
（3）比较线段和的大小：______．
14．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，已知，，，求的度数．
15．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）如图，AF、BD、CE是直线，点B在直线AC上，点E在直线DF上．∠A=∠F，∠C=∠D．
说明∠1与∠2互补的理由．
解：因为∠A=∠F（已知），
所以AC∥DF（_______________）
所以__________（_________________）
因为∠C=∠D（已知），
所以∠D=∠4（等量代换），
所以DB∥CE（______________________），
所以∠2+∠3=180°（_________________），
因为∠1=∠3（__________________），
所以∠2+∠1=180°（等量代换）．
16．（2021·上海市第二初级中学七年级期中）如图，已知，点在的上方，则、、之间存在怎样的等量关系？说明理由．
解：过点做，
______（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（已作），
____________（______）．
17．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，已知，，于点，那么与有什么数量关系？为什么？
18．（2021·上海杨浦·七年级期中）如图，已知AB∥CD，直线MN分别交直线AB、CD于点E、F，射线EG、FH分别平分∠AEF、∠DFE，试说明EG∥FH的理由．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠AEF＝∠DFE（　 　），
因为射线EG、FH分别平分∠AEF、∠DFE（已知），
所以∠　 　＝∠AEF，
∠　 　＝∠EFD （　 　）．
所以　 　（等式性质）．
所以EG∥FH（　 　）．
19．（2021·上海杨浦·七年级期中）如图：∠1＝∠2，∠D＝90°，EF⊥CD，试说明∠3＝∠B．
20．（2021·上海杨浦·七年级期中）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且DF∥AB，∠1＝∠A，试说明DE∥AC的理由．
解：因为DF∥AB （　 　），
所以∠1+　 　＝180° （　 　）．
因为∠1＝∠A（已知），
所以∠A+　 　＝180° （　 　）．
所以DE∥AC （　 　）．
21．（2021··七年级期中）如图，已知直线AB//EF，AB//CD，∠ABE=50°，EC平分∠BEF，求∠DCE的度数．
22．（2021·上海·七年级期中）（1）探究：如图1，ABCDEF，试说明．
（2）应用：如图2，ABCD，点在、之间，与交于点，与交于点．若，，则的大小是多少？
（3）拓展：如图3，直线在直线、之间，且ABCDEF，点、分别在直线、上，点是直线上的一个动点，且不在直线上，连接、．若，则　　度（请直接写出答案）．
23．（2021·上海市罗南中学七年级期中）如图1，已知AB∥CD，直线AB、CD把平面分成①、②、③三个区域（直线AB、CD不属于①、②、③中任何一个区域）．点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．
(1)如图2，当点P位于第①区域一位置时，请填写∠APC＝∠PAB+∠PCD的理由．
解：过点P作PE//AB，
因为AB//CD，PE//AB，
所以PE//CD（　 　）．
因为PE//AB，
所以∠APE＝∠PAB（　 　）．
同理∠CPE＝∠PCD．
因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．
即∠APC＝∠PAB+∠PCD．
(2)在第（1）小题中改变点P的位置，如图3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？为什么？
(3)当点P在第②区域时，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出相应的结论．
24．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）如图，AB、CD是两条直线，，．请说明的理由．
25．（2021·上海市教育学会青浦清河湾中学七年级期中）已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
26．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，三角形ABC的面积为3，求三角形CAD的面积．
27．（2021·上海市罗南中学七年级期中）如图，已知∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，且DE∥BF，那么AB与DC平行吗？为什么？
28．（2021·上海松江·七年级期中）如图，已知AD⊥BC，垂足为点D，EF⊥BC，垂足为点F，∠1+∠2=180°．请填写∠CGD=∠CAB的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（______　）
所以∠ADC=90°，∠EFD=90°（______　）
得∠ADC=∠EFD（等量代换），
所以AD∥EF（______　）
得∠2+∠3=180°（______　）
由∠1+∠2=180°（______　）
得∠1=∠3（______　）
所以DG∥AB（______　）
所以∠CGD=∠CAB（______　）
29．（2021·上海·七年级期中）已知，点为平面内的一点，．
(1)当点在如图①的位置时，求与的数量关系．
解： ．（根据如图填射线的画法）
因为，
所以 （ ）．
所以（两直线平行，内错角相等）；
（请继续完成接下去的说理过程）
(2)当点在如图②的位置时，与的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）的条件下，如图③，过点作，垂足为点，与的平分线分别交射线于点、，回答下列问题（直接写出答案）：图中与相等的角是 ， 度．
30．（2021·上海市民办文绮中学七年级期中）如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，，．
(1)请说明的理由；
(2)若DE平分，，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．
31．（2021··七年级期中）如图，已知，且，试说明的理由.
32．（2021·上海市第二初级中学七年级期中）如图所示，已知平分，，那么与相等吗？完成下面的填空．
平分（已知）
______（______），
（已知），
______（______），
____________（______），
（______）．
33．（2021·上海市浦东新区新场实验中学七年级期中）请回答下列各题．
(1)探究：如图1，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B＋∠F．
(2)应用：如图2，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小是多少？
(3)拓展：如图3，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ＋∠EHQ＝______度（请直接写出答案）．
34．（2021·上海市建平实验中学七年级期中）（1）如图示，AB∥CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC=∠A+∠C的理由．
（2）现在如图b示，仍有AB∥CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系； ②请说明理由．
35．（2021·上海杨浦·七年级期中）已知：AB∥CD，截线MN分别交AB、CD于点M、N．
（1）如图①，点B在线段MN上，设∠EBM＝α°，∠DNM＝β°，且满足+（β﹣60）2＝0，求∠BEM的度数；
（2）如图②，在（1）的条件下，射线DF平分∠CDE，且交线段BE的延长线于点F；请写出∠DEF与∠CDF之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点P在射线NT上运动时，∠DCP与∠BMT的平分线交于点Q，则∠Q与∠CPM的比值为　 　（直接写出答案）．
36．（2021·上海市民办文绮中学七年级期中）已知，点B为平面内一点，于B．
(1)如图，直接写出和之间的数量关系．
(2)如图，过点B作于点D，求证：．
(3)如图，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF那平分，BE平分，若，，求的度数．
37．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）（1）如图1，已知直线，在直线上取两点，为直线上的两点，无论点移动到任何位置都有：____________（填“>”、“<”或“=”）
（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形，中间有条分界小路（图中折线），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。（不计分界小路与直路的占地面积）．

38．（2021··七年级期中）问题情境：如图1，ABCD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
小明的思路是：如图2，过P作PEAB，通过平行线性质来求∠APC．
（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；
（2）如图3，ADBC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．试判断∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．，
【解析】
根据两直线平行，同位角相等求出∠EAD＝∠B，再根据角平分线的定义可得∠DAC＝∠EAD，然后利用两直线平行，内错角相等可得∠C＝∠DAC．
∵（已知）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∵平分（已知）
∴（角平分线的意义）
∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∵（已证）
∴（等量代换）
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．
2．角平分线的意义，平角的意义，∠IGD，∠EIB，等量代换，同位角相等，两直线平行
【解析】
根据题意和图形，可以写出解答过程中空格中需要填写的内容，本题得以解决．
解：因为GH是∠EGC的角平分线（ 已知 ）
所以∠EGH=∠HGC=56°（角平分线的意义）
因为CD是条直线
所以∠HGC+∠EGH+∠IGD=180°（平角的意义）
所以∠IGD=68°
因为∠EIB=68°
所以__∠IGD __=__∠EIB __（等量代换）
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
【点睛】
本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．∠A＝∠F，理由见解析
【解析】
∠1+∠2＝180°，∠2＝∠AGC，∠1+∠AGC＝180°，BD∥CE，有∠C＝∠ABD＝∠D，得DF∥AC，进而可说明∠A＝∠F．
解：∠A＝∠F，理由如下：
∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠AGC
∴∠1+∠AGC＝180°
∴BD∥CE
∴∠C＝∠ABD
∵∠C＝∠D
∴∠D＝∠ABD
∴DF∥AC
∴∠A＝∠F．
【点睛】
本题考查了对顶角，平行线的判定与性质．解题的关键在利用角的数量关系证明直线平行．
4．垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行
【解析】
根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可．
解：因为（已知），
所以（垂直的定义），
同理．
所以（等量代换），
即．
因为（已知），
所以（等式的性质，
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行
【点睛】
本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
5．
【解析】
根据平行线的性质求出∠BCE的度数，根据角平分线的性质求出∠BCN的度数，然后根据垂直的定义求出.
解：∵ ，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义和垂直的定义，熟知两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键.
6．两直线平行，内错角相等；55；等量代换；已知；；同旁内角互补，两直线平行
【解析】
由题意根据平行线的性质与判定即可补充说理过程．
解：（已知），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
（已知），
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；55；等量代换；已知；；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
7．已知；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠EHC =∠B；∠DFE+∠EFG =180 ；等量代换
【解析】
根据同位角相等，两直线平行推出ED∥BC，通过两直线平行，内错角相等推出∠DEF=∠EHC，再运用等量代换得到∠EHC =∠B，最后推出BD∥EH，∠BDG=∠DFE，再利用邻补角的意义推出结论，据此回答问题．
解：∵∠AED=∠C (已知)
∴ED∥BC(同位角相等，两直线平行)
∴∠DEF=∠EHC (两直线平行，内错角相等)
∵∠DEF=∠B（已知）
∴∠EHC =∠B (等量代换)
∴BD∥EH(同位角相等，两直线平行)
∴∠BDG=∠DFE(两直线平行，内错角相等)
∵∠DFE+∠EFG =180 (邻补角的意义)
∴∠EFG+∠BDG=180 (等量代换)．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，属于综合题，难度一般，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
8．等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；见解析
【解析】
根据平行线的判定与性质求解即可．
解：把的对顶角记作，
所以（对顶角相等）．
因为（已知），
所以（等量代换），
所以（同位角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，同位角相等），
又因为，
所以（同位角相等，两直线平行），
所以（两直线平行，内错角相等），
所以（等量代换）．
故答案为：等量代换；；；同位角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键．解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
9．145°
【解析】
根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等可得∠A=∠BOC=70°，由角平分线的性质可得∠BOF=∠FOC=35°，再根据平角的性质即可得出答案．
解：∵AE∥DC，
∴∠A=∠BOC=70°，
又∵OF平分∠BOC，
∴∠BOF=∠FOC=35°，
∴∠DOF=180°-∠FOC=180°-35°=145°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、邻补角的概念等，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
10．CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换
【解析】
根据平行线的判定与性质解答即可．
解：因为（已知）,
所以CD（内错角相等，两直线平行）,
所以（两直线平行，内错角相等）,
又因为（已知）,
所以（两直线平行，同位角相等）,
又因为（已证）,
所以（等量代换）,
故答案为：CD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，能正确写出每一步结论的依据是解答的关键．
11．AE；FG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3；∠4；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行
【解析】
利用平行线的判定及性质就可求得本题．即同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．反之即为性质．
证明：因为∠1=∠2，
所以AE∥CF（同位角相等，两直线平行），
所以∠EAC=∠ACG（两直线平行，内错角相等），
因为AB平分∠EAC，CD平分∠ACG，
所以∠3=∠EAC，∠4=∠ACG，
所以∠3=∠4，
所以AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：AE；FG；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠3；∠4；∠3；∠4；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质．正确的识别图形是解题的关键．
12．证明见解析.
【解析】
根据平行线的判定与性质即可证明.
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，∴∠1+∠2=180°，
∵∠2+∠3＝180°，∴∠1=∠3
∴AB∥DG，
∴∠GDC＝∠B．
【点睛】
此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线的判定.
13．（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）．
【解析】
（1）、（2）利用题中几何语言画出对应的几何图形即可；
（3）根据垂线段最短求解即可．
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作；
（3）利用垂线段最短可判断．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，垂线段最短的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
14．
【解析】
利用“两直线平行，同旁内角互补”列方程求解即可．
解：，，
即得，解得．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”的性质是解题关键．
15．内错角相等，两直线平行；∠4=∠C；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等
【解析】
由∠A=∠F ，可得AC∥DF，从而∠4=∠C，又由∠C=∠D，可得∠D=∠4，得到DB∥CE ，从而∠2+∠3=180°，再由对顶角相等，即可求解．
解：因为∠A=∠F（已知），
所以AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行 ）
所以∠4=∠C（ 两直线平行，内错角相等 ）
因为∠C=∠D（已知），
所以∠D=∠4（等量代换），
所以DB∥CE（ 同位角相等，两直线平行 ），
所以∠2+∠3=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ），
因为∠1=∠3（ 对顶角相等 ），
所以∠2+∠1=180°（等量代换）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
16．，理由见解析；，，，平行于同一条直线的两条直线平行
【解析】
根据平行线的性质得，根据平行于同一条直线的两条直线平行得，根据平行线的性质得，根据角之间的关系等量代换即可得．
解：过点E作，
∴（两直线平行，内错角相等），
∴（已知），
（已知），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．
17．∠4与∠5互余，理由见解析
【解析】
由题意知∠2＋∠3＝90°，∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠4＝90°，∠2＝∠5，得到∠5＋∠4＝90°，进而可判断两角关系．
解：∠4与∠5互余，
理由：∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，即∠2＋∠3＝90°，
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，
∴∠1＋∠4＝90°
∵∠1＝∠2，
∴∠2＋∠4＝90°，
∵，∴∠2＝∠5，
∴∠5＋∠4＝90°，即∠4与∠5互余．
【点睛】
本题考查了同角的余角相等，平行线的性质．解题的关键在于找出角度的数量关系．
18．两直线平行内错角相等；GEF；EFH；角平分线的定义；∠GEF＝∠EFH；内错角相等两直线平行．
【解析】
根据平行线的性质、角平分线的定义及平行线的判定逐一求解即可．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠AEF＝∠DFE（两直线平行内错角相等），
因为射线EG、FH分别平分∠AEF、∠DFE（已知），
所以∠GEF＝∠AEF，
∠EFH＝∠EFD （角平分线的定义）．
所以∠GEF＝∠EFH（等式性质）．
所以EG∥FH（内错角相等两直线平行）．
故答案为：两直线平行内错角相等；GEF；EFH；角平分线的定义；∠GEF＝∠EFH；内错角相等两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，准确判断是解题的关键．
19．见解析
【解析】
因为∠1＝∠2，由内错角相等证明AD∥BC，又因为∠D＝90°，EF⊥CD，则有AD∥EF，所以EF∥BC，故可求证∠3＝∠B．
解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵∠D＝90°，
∴AD⊥CD，
∵EF⊥CD，
∴AD∥EF，
∴EF∥BC，
∴∠3＝∠B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，准确计算是解题的关键．
20．已知，∠DEA，两直线平行同旁内角互补，∠DEA，等量代换，同旁内角互补两直线平行
【解析】
根据平行线的判定、等量代换及平行线的判定逐一求解即可．
解：因为DF∥AB （已知），
所以∠1+∠DEA＝180° （两直线平行同旁内角互补）．
因为∠1＝∠A（已知），
所以∠A+∠DEA＝180° （等量代换）．
所以DE∥AC （同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：已知，∠DEA，两直线平行同旁内角互补，∠DEA，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质，准确判断是解题的关键．
21．∠DCE=155°
【解析】
利用平行线的性质、平行公理及角平分线的定义即可求解．
解：∵AB//EF，∠ABE=50°（已知）
∴∠ABE=∠BEF=50°（两直线平行，内错角相等）
∵EC平分∠BEF（已知）
∴∠CEF=∠BEF=25°（角平分线的意义）
∵AB//EF，AB//CD（已知）
∴CD//EF（平行线的传递性）
∴∠CEF+∠DCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DCE=180°-25°=155°（等式性质）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、平行公理及角平分线的定义，熟练掌握有关定理、定义是解题的基础．
22．（1）见解析；（2）60°；（3）70或290
【解析】
（1）由可得，，，则；
（2）利用（1）中的结论可知，，则可得的度数为，由对顶角相等可得；
（3）结合（1）中的结论可得，注意需要讨论是钝角或是锐角时两种情况．
解：（1）如图1，，
，，
，
．
（2）由（1）中探究可知，，
，且，
，
；
（3）如图，当为钝角时，
由（1）中结论可知，，
；
当为锐角时，如图，
由（1）中结论可知，，
即，
综上，或．
故答案为：70或290．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，难度适中，观察图形，推出角之间的和差关系是解题关键．
23．(1)平行的传递性；两直线平行，内错角相等；
(2)360°，理由见解析；
(3)∠PCD =∠PAB+∠APC，见解析．
【解析】
（1）根据平行线的性质解题；
（2）过点P作PE//AB，由两直线平行，同旁内角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再根据∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解题；
（3）根据题意，画出图形，再由两直线平行，内错角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，结合∠CPE=∠APE+∠APC解题．
(1)
解：因为AB//CD，PE//AB，
所以PE//CD(平行的传递性)
因为PE//AB，
所以∠APE＝∠PAB（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：平行的传递性；两直线平行，内错角相等；
(2)
∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，
见解析：
过点P作PE//AB，
所以∠APE+∠PAB=180°，
因为PE//CD，
所以∠EPC+∠PCD=180°，
所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°；
(3)
∠PCD =∠PAB+∠APC，理由如下，
当点P在第②区域时，如图，
过点P作PE//AB，
所以∠APE=∠PAB，
因为PE//CD，
所以∠PCD=∠CPE
因为∠CPE=∠APE+∠APC
所以∠PCD =∠PAB+∠APC．
【点睛】
本题考查平行线的拐角问题、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
24．见解析
【解析】
根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠AMN=∠MND，求出∠EMN=∠MNF，根据平行线的判定得出ME∥NF，根据平行线的性质得出即可．
∵∠BMN＝∠CNM（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴∠AMN＝∠MND（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠EMN＝∠MNF（等式性质）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等），
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
25．（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【解析】
（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．
解：（1）如图，过点G作GE∥AB，
∵AB∥GE，
∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠A=140°，
∴∠AGE=40°．
∵AB∥GE，AB∥CD，
∴GE∥CD．
∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠C=150°，
∴∠CGE=30°．
∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．
（2）如图，过点G作GF∥AB
∵AB∥GF，
∴∠A=AGF（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥GF，AB∥CD，
∴GF∥CD．
∴∠C=∠CGF．
∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C ．
∵∠A=x°，∠C=y°，
∴∠AGC=（x+y）°．
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．
∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（两直线平行，内错角相等）．
∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．
∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键．
26．6
【解析】
结合题意，根据平行线的性质，得ADBC；AD到BC的距离设为a，根据三角形面积公式和代数式的性质，得，从而完成求解．
∵∠1=∠2
∴ ADBC（内错角相等，两直线平行），
AD到BC的距离设为a，
∴三角形ABC面积==3，
∴
∵AD=2BC
∴三角形ACD面积==6．
【点睛】
本题考查了平行线、代数式的知识；结果的关键是熟练掌握平行线、代数式的性质，从而完成求解．
27．AB∥DC，理由见解析.
【解析】
根据平行线的性质推出∠DEA＝∠FBA，再根据角平分线性质推出∠CDE＝∠FBA，等量代换得到∠CDE＝∠DEA，根据平行线的判定推出即可．
解：AB∥DC，理由如下：
∵DE∥BF，
∴∠DEA＝∠FBA，
∵∠ADC＝∠ABC，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC，
∴∠CDE＝∠CDA＝∠CBA＝∠FBA＝∠DEA，
∴AB∥DC．
【点睛】
本题主要考查对平行线的性质和判定，角平分线性质等知识点的理解和掌握，能推出∠CDE＝∠DEA是解此题的关键．
28．已知 垂直定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知 同角的补角相等 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等
【解析】
求出AD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠3=180°，求出∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD=∠CAB即可．
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
∴∠ADC=90°，∠EFC=90°（垂直定义），
∴∠ADC=∠EFD，
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行），
∴∠2+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1+∠2=180°（已知），
∴∠1=∠3（同角的补角相等），
∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴∠CGD=∠CAB（两直线平行，同位角相等）．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，补角的性质，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之即为平行线的判定．
29．(1)过点作；；；；如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行；见解析
(2)
(3)，45
【解析】
（1）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据角的和差、等量代换即可得出结论；
（2）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，，再根据、角的和差即可得出结论；
（3）过点作，先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再结合（2）的结论可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据即可得出答案
(1)
解：如图①，过点作，
，
（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
．
，
．
．
，
．
．
(2)
解：如图②，过点作，
．
，
．
．
，
．
．
．
故答案为：．
(3)
解：如图③，过点作，
，
，
．
，
，
．
．
，
由（2）已得：，
；
平分，
．
平分，
．
，
故答案为：，45．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
30．(1)证明见解析；
(2)，证明见解析．
【解析】
（1）根据已知条件和对顶角相等可证明ABEG，再根据平行线的性质得角相等，再等量代换可得∠3=∠EGC，进而可得DE BC；
（2）根据已知条件可得∠B=45°，可以证明CD⊥AB，再由ABEG，即可得CD⊥EG．
(1)
解：∵，，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴；
(2)
∵DE平分，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区别平行线的判定与性质并熟练运用．
31．详见解析
【解析】
由CD∥AB,可得，由，由等量代换可得，即可完成证明.
证明：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是通过图形分析证明思路.
32．3；角平分线的定义；3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
根据题目给定的思路分析题意，利用平行线的判定和性质进行证明，并填写证明依据即可．
平分（已知）
（角平分线的定义），
（已知），
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是区分其关系．
33．(1)证明见解析
(2)60°
(3)70或290
【解析】
（1）由 可得，∠B=∠BCD，∠F=∠DCF，从而可以证明结论成立；
（2）由∠MFN=∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数为60°，由对顶角相等可得；
（3）分两种情况讨论，即∠AGQ是钝角与∠AGQ是锐角时．
(1)
证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD．（两直线平行内错角相等），
同理可证，∠F＝∠DCF．
∵∠BCF＝∠BCD＋∠DCF，
∴∠BCF＝∠B＋∠F．（等量代换）
(2)
解：由探究可知：∠MFN＝∠AMF＋∠CNF，∠MFN＝115°，，
∴∠CNF＝∠DNG＝115°－55°＝60°．
故答案为：60°．
(3)
如图3中，当点Q在直线GH的右侧时，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠AGQ+∠GQC=180°，∠CQH+∠EHQ=180°，
即∠AGQ+∠GQH+∠EHQ=180°，
∴∠AGQ＋∠EHQ＝360°－70°＝290°，
当点Q在直线GH的左侧时，由（1）的结论可得：
．
故答案为：70或290．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质是解题关键．
34．（1）证明见解析；（2）∠1+∠2-∠E=180°．
【解析】
（1）过点E作EF∥AB，由两直线平行，内错角相等，得到∠A=∠1，由平行的传递性得到EF // CD，再由平行线的性质得到∠2=∠C，由角的和差即可得到结论；
（2）过点E作EF∥AB，类似可得到结论．
解：（1）过点E作EF∥AB，
∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）．
∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的传递性），
∴∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
∵∠AEC=∠1+∠2（图上可知），
∴∠AEC=∠A+∠C（等量代换） ；
（2）∠1+∠2-∠E=180°．理由如下：
过点E作EF∥AB，∴∠4+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵AB // CD（已知），∴EF // CD（平行的传递性），∴∠FEC=∠2（两直线平行，内错角相等），即∠3+∠4=∠2，∴∠4=∠2-∠3（等式性质），
∴∠2-∠3+∠1=180°（等量代换），
即∠1+∠2-∠AEC=180°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．
35．（1）30°；（2）∠DEF+2∠CDF＝150°，理由见解析；（3）
【解析】
（1）由非负性可求α，β的值，由平行线的性质和外角性质可求解；
（2）过点E作直线EH∥AB，由角平分线的性质和平行线的性质可求∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°，由角的数量可求解；
（3）由平行线的性质和外角性质可求∠PMB＝2∠Q+∠PCD，∠CPM＝2∠Q，即可求解．
解：（1）∵+（β﹣60）2＝0，
∴α＝30，β＝60，
∵AB∥CD，
∴∠AMN＝∠MND＝60°，
∵∠AMN＝∠B+∠BEM＝60°，
∴∠BEM＝60°﹣30°＝30°；
（2）∠DEF+2∠CDF＝150°．
理由如下：过点E作直线EH∥AB，
∵DF平分∠CDE，
∴设∠CDF＝∠EDF＝x°；
∵EH∥AB，
∴∠DEH＝∠EDC＝2x°，
∴∠DEF＝180°﹣30°﹣2x°＝150°﹣2x°；
∴∠DEF＝150°﹣2∠CDF，
即∠DEF+2∠CDF＝150°；
（3）如图3，设MQ与CD交于点E，
∵MQ平分∠BMT，QC平分∠DCP，
∴∠BMT＝2∠PMQ，∠DCP＝2∠DCQ，
∵AB∥CD，
∴∠BME＝∠MEC，∠BMP＝∠PND，
∵∠MEC＝∠Q+∠DCQ，
∴2∠MEC＝2∠Q+2∠DCQ，
∴∠PMB＝2∠Q+∠PCD，
∵∠PND＝∠PCD+∠CPM＝∠PMB，
∴∠CPM＝2∠Q，
∴∠Q与∠CPM的比值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质，准确计算是解题的关键．
36．(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
（1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；
（2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到；
（3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，解方程得到，继而得出，．
(1)
如图1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故答案为：；
(2)
如图2，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，．
(3)
如图3，过点B作，
∵BF平分，BE平分，
∴，，
由（2）知，
∴，设，，
则，，，
，
∴
∵，，
∴，
中，由得
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键．
37．（1）；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点在m上移动到何位置，总有与同底等高，因此它们的面积相等；
（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；
（3）连结，过点作的平行线，连结或，则或即为所修直路．
（1）∵与有共同的边AB，
又∵，
∴与的高相等，即与同底等高，
∴=，
故答案为：=；
（2）方法一：
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，
∴，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
方法二
连结，将的区域用于种植大豆，的区域用于种植芝麻，理由如下：
在梯形ABCD中,，
则与同底等高，
∴，
∴，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
（3）方法一
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案；
方法二：
连结，过点作的平行线：连结，即为所修直路．
将四边形的区域分给王爷爷，四边形的区域分给李爷爷，理由如下：
∵，则与同底等高，
∴，则，
即，
又由可知与同底等高，
∴，
∴满足修路方案．
【点睛】
本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形．
38．（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，见解析；（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线上时，∠CPD=∠α-∠β
【解析】
（1）过P作PEAB，通过平行线性质求∠APC即可；
（2）过P作PEAD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
解：（1）过点P作PEAB，
∵ABCD，
∴PEABCD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．
故答案为110°；
（2）∠CPD=∠α+∠β，
理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵ADBC，
∴ADPEBC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α，
理由是：如图4，过P作PEAD交CD于E，
∵ADBC，
∴ADPEBC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE =∠β-∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α-∠β，
理由是：如图5，过P作PEAD交CD于E，
∵ADBC，
∴ADPEBC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE -∠CPE =∠α-∠β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，分类讨论是解题的关键．
答案第1页，共2页