《1.1.1 集合的含义与表示》同步练习（含解析）

人教A版必修1《1.1.1 集合的含义与表示》同步卷
一．选择题（共15小题）
1．下列四组对象中能构成集合的是（　　）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
2．下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．拥有手机的人
B．某校高一（1）班成绩优秀的学生
C．所有有理数
D．小于π的正整数
3．若集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有1个真子集，则实数k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1或2 C．﹣1或±2 D．﹣1或﹣2
4．若2∈{1，a2+1，a+1}，则a＝（　　）
A．2 B．1或﹣1 C．1 D．﹣1
5．设集合M满足：若t∈M，则2020﹣t∈M，且集合M中所有元素之和m∈（2020×11，2020×12），则集合M中元素个数为（　　）
A．22 B．22或23 C．23 D．23或24
6．集合M＝{1，2，a，a2﹣3a﹣1}，N＝{﹣1，3}，若3∈M，且N M，则a的取值为（　　）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或1
7．设集合A＝{x|x＜2}，则（　　）
A．2∈A B． A C． A D．∈A
8．下列四个关系中，正确的是（　　）
A．a∈{a，b} B．{a}∈{a，b} C．a {a} D．a∈{（a，b）}
9．给出下列关系：
①∈R；
②∈Q；
③|﹣3|∈N；
④|﹣|∈Z；
⑤0 N，
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．有下列四个结论：
①{0}是空集；
②集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}有两个元素；
③若a∈N，则﹣a N；
④集合是有限集B＝．
其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．下列结论正确的是（　　）
A．0∈ B．{0} N C．π∈Q D．π R
12．下列关系式中，正确的是（　　）
A． ∈{0} B．0 {0} C．0∈{0} D．0 {0}
13．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x+1 S，x﹣1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（　　）
A．6个 B．12个 C．9个 D．5个
14．下列四个命题：
①{0}是空集；
②若a∈N，则﹣a N；
③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}中有2个元素；
④集合{x∈Q|∈N}是无限集．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
15．设集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＝0}，则（　　）
A． ∈A B．1∈A C．﹣1 A D．A {﹣1}
二．填空题（共10小题）
16．已知集合A＝{1，a2}，若a∈A，则a的值为　 　．
17．设集合A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1 A且k+1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为　 　．
18．函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，则A中元素个数是　 　个，所有元素的和为　 　．
19．若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈N}中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围是 　 　．
20．已知x∈{1，2，x2﹣x}，则实数x为 　 　．
21．集合{x|0≤x≤3，x∈Z}用列举法可以表示为　 　．
22．用列举法表示方程组的解集　 　．
23．方程组的解集中元素的个数为　 　．
24．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2，x∈N}，B＝{C|C A}，则用列举法表示集合B是　 　．
25．方程组的解集为　 　．
三．解答题（共5小题）
26．设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，xn）和β＝（y1，y2，…，yn），记M（α，β）＝[（x1+y1+|x1﹣y1|）+（x2+y2+|x2﹣y2|）+…+（xn+yn+|xn﹣yn|）]．
（1）当n＝3时，若α＝（0，1，1），β＝（0，0，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；
（2）当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β证明：M（α，β）≤M（α，α）+M（β，β）．并举一个使得等号成立的α，β的例子．
27．集合A是由方程ax2﹣2x+1＝0的实数解构成的．
（1）若集合A是空集，求a的取值范围；
（2）若集合A中只有一个元素，求a的值．
28．已知M是满足下列条件的集合：
①0∈M，1∈M；
②若x，y∈M，则x﹣y∈M；
③若x∈M且x≠0，则．
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：若x，y∈M，则x+y∈M；
（3）证明：若x，y∈M，则xy∈M．
29．已知集合A的元素为实数，且满足若a∈A，则∈A．
（1）若a＝2，求出A中其他所有元素；
（2）0是不是集合A中的元素？
（3）证明：集合A中的元素个数不少于3个．
30．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念，关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．
人教A版必修1《1.1.1 集合的含义与表示》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列四组对象中能构成集合的是（　　）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【解答】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，排除
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，排除
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，排除
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
2．下列各组对象不能构成集合的是（　　）
A．拥有手机的人
B．某校高一（1）班成绩优秀的学生
C．所有有理数
D．小于π的正整数
【解答】解：由集合的定义可得：集合中的元素必须是确定的，所以ACD正确，
而选项B中对优秀没有严格的判断标准，所以元素不确定，B错误，
故选：B．
3．若集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有1个真子集，则实数k的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1或2 C．﹣1或±2 D．﹣1或﹣2
【解答】解：∵集合A＝{x|（k+2）x2+2kx+1＝0}有且仅有1个真子集，
∴集合A只有一个元素．
若k+2＝0，即k＝﹣2时，方程等价为﹣4x+1＝0，解得x＝，满足条件．
若k+2≠0，即k≠﹣2时，则方程满足△＝0，即4k2﹣4（k+2）＝0，
∴k2﹣k﹣2＝0，解得k＝2或k＝﹣1．
综上k＝﹣2或k＝2或k＝﹣1．
故选：C．
4．若2∈{1，a2+1，a+1}，则a＝（　　）
A．2 B．1或﹣1 C．1 D．﹣1
【解答】解：若2∈{1，a2+1，a+1}，
则a+1＝2或a2+1＝2，
所以a＝1或﹣1，
当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；
当a＝﹣1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，
故a＝﹣1．
故选：D．
5．设集合M满足：若t∈M，则2020﹣t∈M，且集合M中所有元素之和m∈（2020×11，2020×12），则集合M中元素个数为（　　）
A．22 B．22或23 C．23 D．23或24
【解答】解：由题意可知，集合M中的元素是成对出现的，每对元素的和为2020，
又因为集合M中所有元素之和m∈（2020×11，2020×12），
所以集合M中的元素个数比11对多，比12对少，
又因为，2020﹣1010＝1010
所以集合M中有11+12＝23个元素．
故选：C．
6．集合M＝{1，2，a，a2﹣3a﹣1}，N＝{﹣1，3}，若3∈M，且N M，则a的取值为（　　）
A．﹣1 B．4 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或1
【解答】解：由3∈M，且N M，
①若a＝3，可得M＝{1，2，3，﹣1}，此时N M，不符合题意；
②若a2﹣3a﹣1＝3，则a＝4或a＝﹣1，当a＝﹣1时，此时N M，不符合题意；
当a＝4时，可得M＝{1，2，3，4}，N M，满足题意，
故选：B．
7．设集合A＝{x|x＜2}，则（　　）
A．2∈A B． A C． A D．∈A
【解答】解：因为集合A中的元素的范围为（﹣∞，2），
则AC错误，D正确，
而选项B，符号 表示集合与集合的关系，所以B错误，
故选：D．
8．下列四个关系中，正确的是（　　）
A．a∈{a，b} B．{a}∈{a，b} C．a {a} D．a∈{（a，b）}
【解答】解：选项A：集合中含有元素a，所以a∈{a，b}，A正确；
选项B：因为是集合之间的关系，不能用∈，所以B错误；
选项C：很明显元素a∈{a}，C错误；
选项D：集合是点集，所以D错误；
故选：A．
9．给出下列关系：
①∈R；
②∈Q；
③|﹣3|∈N；
④|﹣|∈Z；
⑤0 N，
其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∈R，正确；
②∈Q，错误；
③|﹣3|∈N，正确；
④|﹣|∈Z，错误；
⑤0 N，错误，
故正确的个数为2．
故选：B．
10．有下列四个结论：
①{0}是空集；
②集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}有两个元素；
③若a∈N，则﹣a N；
④集合是有限集B＝．
其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：①{0}中有元素0，不是空集，故①不正确；
②集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}＝{1}有1个元素，故②不正确；
③若a∈N，则﹣a N，不正确，例如a＝0，0∈N，而﹣0∈N；
④集合{x∈N|∈N}＝{1，2，3，6}是有限集，故④正确．
故选：B．
11．下列结论正确的是（　　）
A．0∈ B．{0} N C．π∈Q D．π R
【解答】解：因为0 ，A错误；
集合N中包含0，B正确；
因为π是无理数，C错误；
π不是集合，D错误，
故选：B．
12．下列关系式中，正确的是（　　）
A． ∈{0} B．0 {0} C．0∈{0} D．0 {0}
【解答】解： {0}，故A错误；
0∈{0}，故B，D错误，C正确．
故选：C．
13．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x+1 S，x﹣1 S，那么x是S的一个“好元素”，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（　　）
A．6个 B．12个 C．9个 D．5个
【解答】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，
故不含好元素的集合共有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，
共有6个，
故选：A．
14．下列四个命题：
①{0}是空集；
②若a∈N，则﹣a N；
③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}中有2个元素；
④集合{x∈Q|∈N}是无限集．
其中正确命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【解答】解：①{0}中有元素0，不是空集，故①不正确；
②若a∈N，则﹣a N，不正确，例如a＝0，0∈N，而﹣0∈N；
③集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}＝{1}有1个元素，故③不正确；
④当x为正整数的倒数时，∈N，故集合{x∈Q|∈N}是无限集，故④正确．
故选：A．
15．设集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＝0}，则（　　）
A． ∈A B．1∈A C．﹣1 A D．A {﹣1}
【解答】解：集合A＝{x|（x﹣1）（x+1）＝0}＝{﹣1，1}，
根据元素与集合的属于和不属于关系对四个选项进行判断，
则1∈A正确，
故选：B．
二．填空题（共10小题）
16．已知集合A＝{1，a2}，若a∈A，则a的值为　0　．
【解答】解：集合A＝{1，a2}，若a∈A，
则a＝1或a＝a2，
当a＝1时，集合A＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，a＝1舍去；
当a＝a2时，解得a＝0或1（舍去），
a＝0时，集合A＝{0，1}，满足题意，
故a＝0．
故答案为：0．
17．设集合A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1 A且k+1 A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1，2，3，4，5，6}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合个数为　4　．
【解答】解：根据“孤立元”的定义知，不含“孤立元”的三个元素必须是三个连续的整数，
∴S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，
共有4个．
故答案为：4．
18．函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．若A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，则A中元素个数是　5　个，所有元素的和为　12　．
【解答】解：∵函数f（x）＝[x]的函数值表示不超过x的最大整数，
∴对于A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}，
①当0≤x＜时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝0+0+0＝0；
②当≤x＜时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝0+0+1＝1；
③当≤x＜时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝0+1+1＝2；
④当≤x＜1时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝0+1+2＝3；
⑤当x＝1时，y＝[x]+[2x]+[3x]＝1+2+3＝6；
∴A＝{y|y＝[x]+[2x]+[3x]，0≤x≤1}＝{0，1，2，3，6}，
A中共5个元素，
且A中所有元素的和为0+1+2+3+6＝12．
故答案为：5，12．
19．若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈N}中有且仅有一个元素，则实数a的取值范围是 　（，]　．
【解答】解：∵x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈N，
∴x2﹣2x+2＜a（x+1）
令f（x）＝x2﹣2x+2；g（x）＝a（x+1）
∴A＝{x|f（x）＜g（x），x∈N}
∴y＝f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；
而y＝g（x）一次函数，图象是过一定点（﹣1，0）的动直线．
又∵x∈N，a＞0．数形结合，可得：＜a≤．
故答案为：（ ，]．
20．已知x∈{1，2，x2﹣x}，则实数x为 　0或1　．
【解答】解：①若x＝1，则{1，2，x2﹣x}＝{1，2，0}，成立；
②若x＝2，则2＝x2﹣x，不成立；
③当x＝x2﹣x时，x＝0，或x＝2（舍去）．
故答案为：1或0．
21．集合{x|0≤x≤3，x∈Z}用列举法可以表示为　{0，1，2，3}　．
【解答】解：由于0≤x≤3，x∈Z，∴x可取0，1，2，3．
则集合{x|0≤x≤3，x∈Z}用列举法可以表示为{0，1，2，3}，
故答案为：{0，1，2，3}．
22．用列举法表示方程组的解集　{（，）}　．
【解答】解：解得，，
∴用列举法表示方程组得，．
故答案为：．
23．方程组的解集中元素的个数为　2　．
【解答】解：解方程组得到：或．
所以原方程组解集为{（1，1），（1，﹣1）}，
则解集的元素个数为2．
故答案是：2．
24．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2，x∈N}，B＝{C|C A}，则用列举法表示集合B是　{ ，{0}，{1}，{0，1}}　．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2，x∈N}＝{0，1}，
∵C A，
∴C＝ ，或{0}，或{1}，或{0，1}，
∵B＝{C|C A}，
∴B＝{ ，{0}，{1}，{0，1}}．
故答案为：{ ，{0}，{1}，{0，1}}．
25．方程组的解集为　{（2，1）}　．
【解答】解：由方程组解得，
则方程组的解集为{（2，1）}，
故答案为：{（2，1）}．
三．解答题（共5小题）
26．设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…，tn），tk∈{0，1}，k＝1，2，…，n}．对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，xn）和β＝（y1，y2，…，yn），记M（α，β）＝[（x1+y1+|x1﹣y1|）+（x2+y2+|x2﹣y2|）+…+（xn+yn+|xn﹣yn|）]．
（1）当n＝3时，若α＝（0，1，1），β＝（0，0，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；
（2）当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β证明：M（α，β）≤M（α，α）+M（β，β）．并举一个使得等号成立的α，β的例子．
【解答】解：（1）因为α＝（0，1，1），β＝（0，0，1），
所以M（α，α）＝[（0+0+|0﹣0|）+（1+1+|1﹣1|）+（1+1+|1﹣1|）]＝2，
M（α，β）＝[（0+0+|0﹣0|）+（1+0+|1﹣0|）+（1+1+|1﹣1|）]＝2．
（2）当n＝4时，对于A中的任意两个不同的元素α，β，
设α＝（x1，x2，x3，x4），β＝（y1，y2，y3，y4），
则有M（α，α）＝x1+x2+x3+x4，M（β，β）＝y1+y2+y3+y4，
对于任意的xi，yi，i＝1，2，3，4，
当xi≥yi时，有＝＝xi，
当xi≤yi 时，有＝＝yi，
即＝max{xi，yi}，
所以，有M（α，β）＝max{xi，yi}+max{x2，y2}+max{x3，y3}+max{x4，y4}，
又因为xi，yi∈{0，1}，
所以max{xi，yi}≤xi+yi，i＝1，2，3，4，当且仅当xiyi＝0时等号成立，
所以max{xi，yi}+max{x2，y2}+max{x3，y3}+max{x4，y4}
≤（x1+y1）+（x2+y2）+（x3+y3）+（x4+y4）
＝（x1+x2+x3+x4）+（y1+y2+y3+y4）
即M（α，β）≤M（α，α）+M（β，β），当且仅当xiyi＝0 （i＝1，2，3，4）时等号成立．
27．集合A是由方程ax2﹣2x+1＝0的实数解构成的．
（1）若集合A是空集，求a的取值范围；
（2）若集合A中只有一个元素，求a的值．
【解答】解：（1）集合A是空集，即方程ax2﹣2x+1＝0无实数解．
∴△＝（﹣2）2﹣4a＜0且a≠0，
解得a＞1，
∴a的取值范围是（1，+∞）．
（2）集合A中只有一个元素，即方程ax2﹣2x+1＝0只有一个实数解，
当a＝0时，方程为一元一次方程﹣2x+1＝0，只有一个实数解，
当a≠0时，则一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个相等的根，
∴△＝（﹣2）2﹣4a＝0解得a＝1，
综上所述a＝0或a＝1．
28．已知M是满足下列条件的集合：
①0∈M，1∈M；
②若x，y∈M，则x﹣y∈M；
③若x∈M且x≠0，则．
（1）判断是否正确，说明理由；
（2）证明：若x，y∈M，则x+y∈M；
（3）证明：若x，y∈M，则xy∈M．
【解答】（1）解：正确．
理由如下：由①知0∈M，1∈M，
由②可得0﹣1＝﹣1∈M，∴1﹣（﹣1）＝2∈M，2﹣（﹣1）＝3∈M，
由③得．
（2）证明：由①知0∈M，
由题知y∈M，∴由②可得0﹣y＝﹣y∈M，
又∵x∈M∴x﹣（﹣y）∈M，即x+y∈M．
（3）证明：x∈M，y∈M，由②可得x﹣1∈M，再由③可得，
∴，
即，∴x（1﹣x）∈M，
即x﹣x2∈M，∴x2∈M，
即当x∈M，x2∈M，
由（2）可知，当x，y∈M，x+y∈M，
∴，
∴∴当x，y∈M，
，可得，
∴．
29．已知集合A的元素为实数，且满足若a∈A，则∈A．
（1）若a＝2，求出A中其他所有元素；
（2）0是不是集合A中的元素？
（3）证明：集合A中的元素个数不少于3个．
【解答】（1）解：∵2∈A，∴，即﹣3∈A，
∴，即，
∴，即，
∴，即2∈A，
故集合A中的其他元素为：﹣3，﹣，．
（2）解：0不是集合A中的元素，证明如下：
若0∈A，则，即1∈A，
而当1∈A时，不存在，
故0不是集合A的元素．
（3）证明：设a∈A，则∈A，
若a＝，化简得：a2＝﹣1，无解，
所以，
由∈A得：，即，
若a＝﹣，化简得：a2＝﹣1，无解，
若＝﹣，化简得：a2＝﹣1，无解，
所以a≠，
所以集合A中的元素个数不少于3个．
30．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念，关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”，请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识．
【解答】解：集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的．人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日．集合论是数学的一个基本分支，在数学中占据着一个极其独特的地位，其基本概念已渗透到数学的所有领域．如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性．其创始人康托尔也以其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一．