《2.1.2 指数函数及其性质》同步练习（含解析）

人教A版必修1《2.1.2 指数函数及其性质》同步练习卷
一．选择题（共15小题）
1．下列函数中，不能化为指数函数的是（　　）
A．y＝2x 3x B．y＝2x﹣1 C．y＝32x D．y＝4﹣x
2．若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0且a≠1 B．a≥0且a≠1 C．a＞且a≠1 D．a
3．已知a＞1，函数y＝ax﹣1与y＝loga（﹣x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
5．设a＝0.60.3，b＝0.30.6，c＝0.30.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
6．已知a＝0.30.4，b＝0.40.4，c＝0.3﹣0.3，则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c
7．若函数y＝ax+m+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（﹣1，2），则m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
8．已知a＝1.5﹣0.2，b＝1.30.01，c＝（），则（　　）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c
9．若，，，则有（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
10．已知实数x、y满足2x+2x＜2y+2y，则（　　）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x、y大小不确定
11．已知a＝0.32，b＝20.3，c＝1.90.3，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
12．若函数y＝ax+2+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过一定点P，则P的坐标为（　　）
A．（0，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，2） D．（﹣2，3）
13．不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）
14．已知a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.2﹣0.2，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
15．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到个时所经历的时间为t1，由个减少到个时所经历的时间为t2，则＝（　　）
A．2 B．1 C．ln2 D．e
二．填空题（共10小题）
16．函数y＝（a2﹣5a+5）ax是指数函数，则a的值为　 　．
17．函数y＝ax（﹣2≤x≤3）的最大值为2，则a＝　 　．
18．函数y＝ax+2020+2022（a＞0，a≠1）的图象恒过定点　 　．
19．已知f（x）＝a （）|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝2．但又不与该直线相交，则f（﹣）　 　f（4）．（填＞，＜或＝）．
20．函数f（x）＝ax+1﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点　 　，若该函数在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为2，则实数a＝　 　．
21．函数y＝loga（2x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点的坐标为　 　．
22．已知常数a＞0且a≠1，若无论a取何值，函数y＝ax﹣b+m（b，m为实数）的图象过定点（1，3），则b+m的值为　 　．
23．已知函数f（x）＝3+2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　 　．
24．函数f（x）＝ax﹣2020+2（a＞0且a≠1）的图象必经过定点　 　．
25．已知函数f（x）＝ax﹣2（a＞0，a≠1）经过定点A，A的坐标是　 　．
三．解答题（共5小题）
26．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，且a≠1）．
（1）若函数f（x）的图象过点（3，4），求实数a的值；
（2）求关于x的不等式f（x）＞a3的解集．
27．计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
28．已知函数f（x）＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大2，求实数a的值．
29．指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的：
（1）y＝（3+sinx）4；
（2）y＝ln；
（3）y＝22x﹣1；
（4）y＝．
30．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）
（1）若y＝f（x）的图象过点（3，4），求a的值；
（2）试比较与的大小；
（3）若f（lga）＝100，求实数a的值．
人教A版必修1《2.1.2 指数函数及其性质》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列函数中，不能化为指数函数的是（　　）
A．y＝2x 3x B．y＝2x﹣1 C．y＝32x D．y＝4﹣x
【解答】解：对于A：y＝2x 3x＝6x，是指数函数；
对于B：y＝ 2x，不是指数函数；
对于C：y＝32x＝9x，是指数函数；
对于D：y＝，是指数函数；
故选：B．
2．若函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞0且a≠1 B．a≥0且a≠1 C．a＞且a≠1 D．a
【解答】解：函数y＝（2a﹣1）x（x是自变量）是指数函数，
则，
解得a＞且a≠1；
所以a的取值范围是{a|a＞且a≠1}．
故选：C．
3．已知a＞1，函数y＝ax﹣1与y＝loga（﹣x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：已知a＞1，故函数y＝ax﹣1是增函数．
而函数y＝loga（﹣x）的定义域为（﹣∞，0），且在定义域内为减函数，
故选：B．
4．已知a＝0.50.2，b＝0.50.1，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【解答】解：∵幂函数y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，且0.5＞0.3，
∴0.50.2＞0.30.2，即a＞c，
∵指数函数y＝0.5x在R上单调递减，且0.2＞0.1，
∴0.50.2＜0.50.1，即a＜b，
∴c＜a＜b，
故选：C．
5．设a＝0.60.3，b＝0.30.6，c＝0.30.3，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【解答】解：∵幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上单调递增，且0.6＞0.3，
∴0.60.3＞0.30.3，即a＞c，
∵指数函数y＝0.3x在R上单调递减，且0.6＞0.3，
∴0.30.6＜0.30.3，即b＜c，
∴b＜c＜a，
故选：C．
6．已知a＝0.30.4，b＝0.40.4，c＝0.3﹣0.3，则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【解答】解：由幂函数y＝x0.4在（0，+∞）上单调递增，且0.3＜0.4＜1，所以0.30.4＜0.40.4＜1，即a＜b＜1；
由指数函数y＝0.3x是单调减函数，所以c＝0.3﹣0.3＞1；
综上知，a＜b＜c．
故选：D．
7．若函数y＝ax+m+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P（﹣1，2），则m的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【解答】解：令x+m＝0得：x＝﹣m，此时y＝a0+1＝2，
所以函数的图象恒过定点（﹣m，2），
即点P（﹣m，2），
所以﹣m＝﹣1，即m＝1，
故选：C．
8．已知a＝1.5﹣0.2，b＝1.30.01，c＝（），则（　　）
A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【解答】解：a＝1.5﹣0.2＜1，b＝1.30.01＞1，
∵a＝1.5﹣0.2＝（）＞c＝（），
∴c＜a＜b，
故选：C．
9．若，，，则有（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【解答】解：若＝3，＝，＝＜＝3，
∴c＞b，且 a＞c，即 a＞c＞b，
故选：D．
10．已知实数x、y满足2x+2x＜2y+2y，则（　　）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x、y大小不确定
【解答】解：∵实数x、y满足2x+2x＜2y+2y，
且函数 t（x）＝2x+2x 是R上的增函数，
故有x＜y时，
故选：C．
11．已知a＝0.32，b＝20.3，c＝1.90.3，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解答】解：∵0＜0.32＜0.30＝1，∴0＜a＜1，
又∵幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上单调递增，且2＞1.9＞1，
∴20.3＞1.90.3＞1，
∴b＞c＞1，
∴b＞c＞a，
故选：B．
12．若函数y＝ax+2+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过一定点P，则P的坐标为（　　）
A．（0，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，2） D．（﹣2，3）
【解答】解：∵y＝ax+2+2，
∴当x+2＝0时，x＝﹣2，
此时y＝1+2＝3，
即函数过定点（﹣2，3）．
故选：D．
13．不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）
【解答】解：因为0＜a＜1，
所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，
解得：x＜2，
所以不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范围是：（﹣∞，2）．
故选：C．
14．已知a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.2﹣0.2，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
【解答】解：已知a＝0.20.3，b＝0.30.3，c＝0.2﹣0.2，而y＝0.2x是R上的减函数，0.3＞0＞﹣0.2，∴a＜1＜c．
∵y＝x0.3 是R上的增函数，1＞0.3＞0.2＞0，∴1＞b＞a．
综上，c＞b＞a，
故选：A．
15．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝ae﹣bt，其中a，b都是正常数，则该种放射性元素的原子数由a个减少到个时所经历的时间为t1，由个减少到个时所经历的时间为t2，则＝（　　）
A．2 B．1 C．ln2 D．e
【解答】解：由N随t的变化规律是N＝ae﹣bt，
当t＝0时N＝a，若N＝，则e﹣bt＝，所以﹣bt＝ln＝﹣ln2，解得t＝；
若N＝，则e﹣bt＝，所以﹣bt＝ln＝﹣2ln2，解得t＝；
所以t1＝，t2＝﹣＝，
所以＝1．
故选：B．
二．填空题（共10小题）
16．函数y＝（a2﹣5a+5）ax是指数函数，则a的值为　4　．
【解答】解：根据指数函数定义，
∴a2﹣5a+5＝1，且a＞0，a≠1，
解得a＝4或a＝1（舍去）
故答案为4．
17．函数y＝ax（﹣2≤x≤3）的最大值为2，则a＝　或 　．
【解答】解：∵函数y＝ax（﹣2≤x≤3）是R上的单调函数，它的最大值为2，
当a＞1时，函数y＝ax（﹣2≤x≤3）是R上的单调增函数，最大值为a3＝2，a＝．
当0＜a＜1时，函数y＝ax（﹣2≤x≤3）是R上的单调减函数，最大值为a﹣2＝2，a＝．
综上，a＝ 或a＝，
故答案为： 或 ．
18．函数y＝ax+2020+2022（a＞0，a≠1）的图象恒过定点　（﹣2020，2023）　．
【解答】解：∵函数y＝ax+2020+2022，
∴令x+2020＝0得：x＝﹣2020，此时y＝2023，
∴函数的图象恒过定点（﹣2020，2023）．
故答案为：（﹣2020，2023）．
19．已知f（x）＝a （）|x|+b的图象过原点，且无限接近直线y＝2．但又不与该直线相交，则f（﹣）　＜　f（4）．（填＞，＜或＝）．
【解答】解：∵f（x）＝a （）|x|+b的图象过原点，∴a+b＝0，
又无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，∴b＝2，
∴a＝﹣2，
∴f（x）＝﹣2 （）|x|+2，
∴函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f（﹣）＝f（），
∵＜4，
∴f（）＜f（4），
∴f（﹣）＜f（4），
故答案为：＜．
20．函数f（x）＝ax+1﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点　（﹣1，0）　，若该函数在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为2，则实数a＝　2　．
【解答】解：∵f（x）＝ax+1﹣1，
∴令x+1＝0得：x＝﹣1，此时y＝1﹣1＝0，
∴函数f（x）的图象恒过定点（﹣1，0），
∵函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差为2，
∴|f（0）﹣f（1）|＝2，
∴|（a﹣1）﹣（a2﹣1）|＝2，
整理得|a2﹣a|＝2，
∴a2﹣a＝﹣2或a2﹣a＝2，
解得a＝2或﹣1，
又∵a＞0且a≠1，
∴a＝2．
故答案为：（﹣1，0），2．
21．函数y＝loga（2x﹣1）+2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点的坐标为　（1，2）　．
【解答】解：令2x﹣1＝1得：x＝1，此时y＝loga1+2＝0+2＝2，
所以函数的图象恒过定点（1，2），
故答案为：（1，2）．
22．已知常数a＞0且a≠1，若无论a取何值，函数y＝ax﹣b+m（b，m为实数）的图象过定点（1，3），则b+m的值为　3　．
【解答】解：令x﹣b＝0得：x＝b，此时y＝a0+m＝1+m，
所以函数的图象过定点（b，1+m），
所以b＝1，1+m＝3，
解得b＝1，m＝2，
所以b+m＝3．
故答案为：3．
23．已知函数f（x）＝3+2ax﹣1的图象恒过定点P，则点P的坐标是　（1，5）　．
【解答】解：令x﹣1＝0得：x＝1，此时y＝3+2a0＝3+2＝5，
∴函数f（x）的图象恒过定点（1，5），
即点P（1，5），
故答案为：（1，5）．
24．函数f（x）＝ax﹣2020+2（a＞0且a≠1）的图象必经过定点　（2020，3）　．
【解答】解：令x﹣2020＝0得：x＝2020，此时y＝a0+2＝3，
所以函数f（x）的图象必经过定点（2020，3）．
故答案为：（2020，3）．
25．已知函数f（x）＝ax﹣2（a＞0，a≠1）经过定点A，A的坐标是　（2，1）　．
【解答】解：当x﹣2＝0即，x＝2时，无论a为何值，f（2）＝1；
所以定点A（2，1），
故答案为：（2，1）．
三．解答题（共5小题）
26．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，且a≠1）．
（1）若函数f（x）的图象过点（3，4），求实数a的值；
（2）求关于x的不等式f（x）＞a3的解集．
【解答】解：（1）函数f（x）的图象过点（3，4），则a2＝4，∵a＞0，且a≠1，则a＝2，
（2）由f（x）＞a3可得ax﹣1＞a3，
当0＜a＜1时，x﹣1＜3，解得x＜4，即不等式的解集为（﹣∞，4），
当a＞1时，x﹣1＞3，解得x＞4，即不等式的解集为（4，+∞）．
27．计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝×1+×﹣
＝﹣+
＝3；
（2）
＝log3﹣log33+2lg5﹣3×log33+2lg2
＝﹣1+2（lg5+lg2）﹣
＝﹣1+2lg10
＝1．
28．已知函数f（x）＝ax（a＞1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大2，求实数a的值．
【解答】解：当a＞1时，函数f（x）＝ax在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）min＝f（1）＝a，f（x）max＝f（2）＝a2，
由题意知a2﹣a＝2，解得a＝2，a＜﹣1（舍弃），
故a的值为：2．
29．指出以下函数可以分别看做是由哪两个函数复合而成的：
（1）y＝（3+sinx）4；
（2）y＝ln；
（3）y＝22x﹣1；
（4）y＝．
【解答】解：（1）由t＝3+sinx，y＝t4复合而成；
（2）y＝ln＝﹣ln（2x+1），可由y＝﹣lnt，t＝2x+1复合而成；
（3）y＝22x﹣1可看作由y＝2t，t＝2x﹣1复合而成；
（4）由t＝cosx，y＝复合而成．
30．已知函数f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）
（1）若y＝f（x）的图象过点（3，4），求a的值；
（2）试比较与的大小；
（3）若f（lga）＝100，求实数a的值．
【解答】解：（1）∵函数y＝f（x）＝ax﹣1的图象经过P（3，4），∴a3﹣1＝4，即a2＝4．
又a＞0，所以a＝2．
（2）当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数，∵＞﹣2.1，∴．
当0＜a＜1时，函数f（x）是R上的减函数，∵lg＝﹣2＞﹣2.1，∴．
（3）由f（lga）＝100知，alga﹣1＝100．
所以，lgalga﹣1＝2（或lga﹣1＝loga100）．
∴（lga﹣1） lga＝2．
∴lg2a﹣lga﹣2＝0，
∴lga＝﹣1，或lga＝2，
所以，，或a＝100．
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