《1.3.2 奇偶性》同步练习（含解析）

人教A版必修1《1.3.2 奇偶性》同步练习卷
一．选择题（共15小题）
1．已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2）时，y＝log2（x+1），则f（2019）+f（2020）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
2．若函数为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（0）+f（﹣1）＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　　）
A．y＝tanx B．y＝lnx C．y＝x3 D．y＝x2
4．下列函数中，其图象与函数y＝ln（x+1）的图象关于直线x＝1对称的是（　　）
A．y＝ln（1﹣x） B．y＝ln（3﹣x） C．y＝ln（1+x） D．y＝ln（3+x）
5．函数f（x）＝|x3+1|+|x3﹣1|，则函数f（x）图象（　　）
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
6．函数y＝f（x）与函数y＝f（﹣x）的图象关于（　　）对称
A．x轴 B．y轴 C．坐标原点 D．不能确定
7．已知f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数且单调递增，f（a﹣4）+f（2a﹣5）＜0，则a的取值范围是（　　）
A．（2，3） B．（3，） C．（1，4） D．（4，6）
8．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）
A．f（3）＞f（3）＞f（log2）
B．f（log2）＞f（3）＞f（3）
C．f（log2）＞f（3）＞f（3）
D．f（3）＞f（3）＞f（log2）
9．若定义在R的奇函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（﹣3）＝0，则满足xf（x+1）≤0的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，0]∪[1，4] B．[﹣4，﹣1）∪[0，2]
C．[﹣4，﹣1]∪[0，2] D．[﹣4，﹣1]∪[3，+∞）
10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，且 x∈R，f（x）＝f（2﹣x），则f（2021.5）＝（　　）
A． B． C．0 D．1
11．已知函数y＝f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且f（7）＝3f（3）+3，则f（5）＝（　　）
A．16 B．8 C．6 D．2
12．已知函数y＝f（x+1）为奇函数，若函数与y＝f（x）图象在x∈[﹣1，3）的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x5，y5），则x1+x2+x3+x4+x5＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．2 D．3
13．设奇函数f（x）在[0，1]上是增函数，且f（﹣1）＝﹣1．若对所有的x∈[﹣1，1]及任意的m∈[﹣1，1]都满足f（x）≤t2﹣2mt+1，则t的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣，]
C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪{0} D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∪{0}
14．已知a，b∈R，若函数f（x）＝sinx3+3|sinx+a|满足|f（x）+b|≤2恒成立，则b﹣3a的取值范围是（　　）
A．[﹣2，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
15．若关于x的不等式2x（x﹣1）+2≥a（x﹣1）对于一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）
二．填空题（共10小题）
16．已知定义在R上的奇函数，当x＜0时，有f（x）＝﹣2x+x3，则f（1）＝　 　．
17．若f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，﹣2x+m（m为常数），则当x＜0时，f（x）＝　 　．
18．已知偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，则满足f（2x+1）＜f（5）的x的取值范围是　 　．
19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减．若f（loga4）≤f（2）（a＞0且a≠1），则a的取值范围为　 　．
20．设函数y＝f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是　 　．
21．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），f（x+1）是奇函数，现给出下列4个论断：
①f（x）是周期为4的周期函数；
②f（x）的图象关于点（1，0）对称；
③f（x）是偶函数；
④f（x）的图象经过点（﹣2，0）；
其中正确论断的个数是　 　．
22．已知f（x）＝（），g（x）＝．若对任意的x1∈R，都存在x2∈[1，+∞），使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围为　 　．
23．已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x）．若对任意x∈R，不等式exf（ex）﹣ex+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为　 　
24．已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，则f（f（2））＝　 　．
x 0 1 2
f（x） 2 0 1
25．函数g（x+3）＝2x+3，则g（3）＝　 　．
三．解答题（共5小题）
26．已知函数是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．
27．已知函数．
（1）判断点（3，14）是否在f（x）的图象上，并说明理由；
（2）当f（x）＝2时，求x的值；
（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心．
28．已知函数．
（Ⅰ）求实数a的值，使函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．
29．已知函数f（x）满足： a，b∈R，均有f（a+b）＝f（a）+f（b），且f（2）＝4．
（1）求f（0），f（4）的值；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）求f（﹣1）的值．
30．已知函数，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若不等式f（x）＞a在[3，5]上恒成立，求实数a的取值范围．
人教A版必修1《1.3.2 奇偶性》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．已知函数f（x）是R上的偶函数，且满足f（x）＝f（x+2），当x∈[0，2）时，y＝log2（x+1），则f（2019）+f（2020）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x）＝f（x+2），即函数f（x）是周期为2的周期函数，
则f（2019）＝f（1+2×1009）＝f（1），f（2020）＝f（0+2×1010）＝f（0），
当x∈[0，2）时，y＝log2（x+1），则f（0）＝log21＝0，f（1）＝log22＝1，
则f（2019）+f（2020）＝f（0）+f（1）＝1，
故选：A．
2．若函数为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（0）+f（﹣1）＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝2x﹣1，则f（1）＝2﹣1＝1，
函数为R上的奇函数，则f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，
故f（0）+f（﹣1）＝0+（﹣1）＝﹣1，
故选：D．
3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　　）
A．y＝tanx B．y＝lnx C．y＝x3 D．y＝x2
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝tanx，是正切函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意，
对于B，y＝lnx，是对数函数，其定义域为（0，+∞），不是奇函数，不符合题意，
对于C，y＝x3，既是奇函数又是增函数，符合题意，
对于D，y＝x2，为二次函数，是偶函数不是奇函数，不符合题意，
故选：C．
4．下列函数中，其图象与函数y＝ln（x+1）的图象关于直线x＝1对称的是（　　）
A．y＝ln（1﹣x） B．y＝ln（3﹣x） C．y＝ln（1+x） D．y＝ln（3+x）
【解答】解：根据题意，设y＝g（x）的图象与函数y＝ln（x+1）的图象关于直线x＝1对称，
则有g（x）＝f（2﹣x），即g（x）＝ln[（2﹣x）+1]＝ln（3﹣x），
故选：B．
5．函数f（x）＝|x3+1|+|x3﹣1|，则函数f（x）图象（　　）
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝|x3+1|+|x3﹣1|，其定义域为R，
有f（﹣x）＝|（﹣x）3+1|+|（﹣x）3﹣1|＝|x3+1|+|x3﹣1|＝f（x），
则函数f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，
故选：D．
6．函数y＝f（x）与函数y＝f（﹣x）的图象关于（　　）对称
A．x轴 B．y轴 C．坐标原点 D．不能确定
【解答】解：因为函数y＝f（x）关于x＝0对称的函数为y＝f（﹣x），
所以函数y＝f（x）与函数y＝f（﹣x）的图象关于y轴对称．
故选：B．
7．已知f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数且单调递增，f（a﹣4）+f（2a﹣5）＜0，则a的取值范围是（　　）
A．（2，3） B．（3，） C．（1，4） D．（4，6）
【解答】解：因为f（x）是定义在（﹣2，2）上的奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
又f（x）单调递增，
由f（a﹣4）+f（2a﹣5）＜0可得，f（a﹣4）＜﹣f（2a﹣5）＝f（5﹣2a），
所以，，
解得，2＜a＜3
故选：A．
8．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）
A．f（3）＞f（3）＞f（log2）
B．f（log2）＞f（3）＞f（3）
C．f（log2）＞f（3）＞f（3）
D．f（3）＞f（3）＞f（log2）
【解答】解：∵1＞3＞3＞0，log2＜log2＝﹣1，
∵f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，
∴f（log2）＝f（﹣log23）＝f（log23）＜f（3）＜f（3），
故选：A．
9．若定义在R的奇函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且f（﹣3）＝0，则满足xf（x+1）≤0的x的取值范围是（　　）
A．[﹣2，0]∪[1，4] B．[﹣4，﹣1）∪[0，2]
C．[﹣4，﹣1]∪[0，2] D．[﹣4，﹣1]∪[3，+∞）
【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（0，+∞）单调递，且f（﹣3）＝0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上也是单调递增，且f（﹣3）＝0，f（0）＝0，
所以当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0，当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0，
所以由xf（x+1）≤0可得：
或或x＝0，
解得﹣4≤x≤﹣1或0＜x≤2或x＝0，
所以满足xf（x+1）≤0的x的取值范围是[﹣4，﹣1]∪[0，2]．
故选：C．
10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，且 x∈R，f（x）＝f（2﹣x），则f（2021.5）＝（　　）
A． B． C．0 D．1
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义域为R的奇函数，即f（x）＝﹣f（﹣x），
又由 x∈R，f（x）＝f（2﹣x），则有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（x），
变形可得：f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，
f（2021.5）＝f（1.5+2020）＝f（1.5）＝f（2﹣0.5）＝f（0.5），
当x∈[0，1]时，f（x）＝x3，则f（0.5）＝（）3＝，
故选：B．
11．已知函数y＝f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且f（7）＝3f（3）+3，则f（5）＝（　　）
A．16 B．8 C．6 D．2
【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（x+2）＝2f（x），则f（7）＝2f（5），f（5）＝2f（3），
又由f（7）＝3f（3）+3，即2f（5）＝f（5）+3，解可得f（5）＝6，
故选：C．
12．已知函数y＝f（x+1）为奇函数，若函数与y＝f（x）图象在x∈[﹣1，3）的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（x5，y5），则x1+x2+x3+x4+x5＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．2 D．3
【解答】解：由已知函数y＝f（x+1）是奇函数可得：函数y＝f（x）图象关于点（1，0）对称，
又函数y＝也关于点（1，0）对称，
则函数y＝f（x）与函数y＝在[﹣1，3）上的5个交点中一定有一个交点坐标为（﹣1，﹣2），
其它4个点关于点（1，0）对称，
所以x1+x2+x3+x4+x5＝﹣1+2+2＝3，
故选：D．
13．设奇函数f（x）在[0，1]上是增函数，且f（﹣1）＝﹣1．若对所有的x∈[﹣1，1]及任意的m∈[﹣1，1]都满足f（x）≤t2﹣2mt+1，则t的取值范围是（　　）
A．[﹣2，2] B．[﹣，]
C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）∪{0} D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）∪{0}
【解答】解：由奇函数的性质知：f（x）在[﹣1，1]上单调递增，且x∈[﹣1，1]时，f（x）max＝f（1）＝1，
则所有的x∈[﹣1，1]及任意的m∈[﹣1，1]都满足f（x）≤t2﹣2mt+1可转化为m∈[﹣1，1]时t2﹣2mt+1≥1，
即m∈[﹣1，1]时t2﹣2mt≥0，
设g（m）＝﹣2mt+t2，m∈[﹣1，1]，
则，即，
解得t≤﹣2或t≥2或t＝0，
故选：D．
14．已知a，b∈R，若函数f（x）＝sinx3+3|sinx+a|满足|f（x）+b|≤2恒成立，则b﹣3a的取值范围是（　　）
A．[﹣2，0] B．[﹣1，0] C．[﹣1，1] D．[﹣2，2]
【解答】解：当b﹣3a＝﹣2时，即b＝3a﹣2，令a＝1，b＝1，则|f（x）+b|＝|sinx3+3|sinx+1|+1|＝|sinx3+3sinx+4|，
由x＝可得|f（x）+b|＝|sin+7|＞2，排除A，D；
当b﹣3a＝1时，即b＝3a+1，令a＝0，b＝1，则|f（x）+b|＝|sinx3+3|sinx|+1|，
由x＝可得|f（x）+b|＝|sin+3+1|＞2，排除C；
故选：B．
15．若关于x的不等式2x（x﹣1）+2≥a（x﹣1）对于一切x∈（1，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，4] B．[4，+∞） C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）
【解答】解：不等式2x（x﹣1）+2≥a（x﹣1）对于一切x∈（1，+∞）恒成立，等价于2x+≥a对于一切x∈（1，+∞）恒成立，
即a≤（2x+）min，
∵2x+＝2（x﹣1）++2≥6，当2（x﹣1）＝，即x＝2时取等号，
a≤6，则实数a的取值范围是（﹣∞，6]．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
16．已知定义在R上的奇函数，当x＜0时，有f（x）＝﹣2x+x3，则f（1）＝　　．
【解答】解：根据题意，当x＜0时，有f（x）＝﹣2x+x3，则f（﹣1）＝﹣2﹣1+（﹣1）3＝﹣，
又由f（x）为奇函数，则f（1）＝﹣f（﹣1）＝，
故答案为：．
17．若f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，﹣2x+m（m为常数），则当x＜0时，f（x）＝　﹣2x﹣2x+1　．
【解答】解：根据题意，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，
又由当x≥0时，﹣2x+m，则f（0）＝1+m＝0，即m＝﹣1，
故当x≥0时，﹣2x﹣1，
当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（）﹣x﹣2（﹣x）﹣1＝2x+2x﹣1，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（2x+2x﹣1）＝﹣2x﹣2x+1，
故答案为：﹣2x﹣2x+1．
18．已知偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，则满足f（2x+1）＜f（5）的x的取值范围是　（﹣3，2）　．
【解答】解：因为偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由f（2x+1）＜f（5）可得|2x+1|＜5，
解可得，﹣3＜x＜2．
故答案为：（﹣3，2）
19．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减．若f（loga4）≤f（2）（a＞0且a≠1），则a的取值范围为　[）∪（1，2]　．
【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减．
根据偶函数的对称性可知f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
若f（loga4）≤f（2）（a＞0且a≠1），
则|loga4|≥2，
即loga4≥2，loga4≤﹣2，
当0＜a＜1时，解可得，，
当a＞1时，解可得1＜a≤2．
故a的范围（1，2]∪[，1）．
故答案为：（1，2]∪[，1）．
20．设函数y＝f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的取值范围是　（﹣∞，）　．
【解答】解：∵f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣，0]；
∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]；
当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣，解得x＝或x＝．
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）＞﹣，则m＜．
故答案为：（﹣∞，）．
21．若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），f（x+1）是奇函数，现给出下列4个论断：
①f（x）是周期为4的周期函数；
②f（x）的图象关于点（1，0）对称；
③f（x）是偶函数；
④f（x）的图象经过点（﹣2，0）；
其中正确论断的个数是　3　．
【解答】解：根据题意，依次分析4个判断：
由f（x+2）＝﹣f（x）得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以函数f（x）的周期为4，故①正确；
由f（x+1）是奇函数，知f（x+1）的图象关于原点对称，所以函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，故②正确；
由f（x+1）是奇函数得f（1+x）＝﹣f（1﹣x），又f（x+2）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝﹣f（﹣x+2）＝﹣f（1+1﹣x）＝f（1﹣（1﹣x））＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，故③正确；
f（﹣2）＝﹣f（﹣2+2）＝﹣f（0），无法判断其值，故④错误，
综上，正确论断的序号是：①②③，
故答案为3．
22．已知f（x）＝（），g（x）＝．若对任意的x1∈R，都存在x2∈[1，+∞），使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围为　[，+∞）　．
【解答】解：由题意可得f（x）max≤g（x）max，
而x2﹣2x+a＝（x﹣1）2+a﹣1≥a﹣1，f（x）＝（）≤（）a﹣1，
当且仅当x＝1时，取得等号．
又g（x）＝＝＝，由分母递增，可得g（x）在[1，+∞）递减，
则g（x）max＝g（1）＝，
所以（）a﹣1≤＝（），可得a﹣1≥﹣，
即有a≥．即a的取值范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
23．已知定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，其导函数为f′（x），当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x）．若对任意x∈R，不等式exf（ex）﹣ex+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，则正整数a的最大值为　2　
【解答】解：根据题意构造F（x）＝xf（x）﹣x，
由定义在R上的函数f（x）关于y轴对称，可得f（x）为偶函数，
又F（﹣x）＝﹣xf（﹣x）+x＝﹣xf（x）+x＝﹣F（x），所以F（x）为奇函数，
当x≥0时，xf′（x）＞1﹣f（x），
即xf′（x）+f（x）＞1，即F′（x）＝f（x）+xf′（x）﹣1＞0，
所以F（x）在[0，+∞）递增，
所以F（x）为R上的奇函数且单调递增，
因为对任意x∈R，不等式exf（ex）﹣ex+ax﹣axf（ax）＞0恒成立，
即F（ex）﹣F（ax）＞0，即F（ex）＞F（ax），
可得ex＞ax对任意x∈R恒成立．
又y＝ex﹣ax的导数为y′＝ex﹣a，
当a≤0时，ex﹣a＞0，函数y＝ex﹣ax为增函数，ex＞ax对任意x∈R不恒成立；
当a＞0时，x＞lna时，y′＞0，函数y递增；x＜lna时，y′＜0，函数y递减．
可得x＝lna时，函数y取得最小值，且为a﹣alna，
则a﹣alna＞0，解得0＜a＜e，
故正整数a的最大值为2．
故答案为：2．
24．已知函数y＝f（x）用列表法表示如表，则f（f（2））＝　0　．
x 0 1 2
f（x） 2 0 1
【解答】解：∵函数y＝f（x）用列表法表示如表，
x 0 1 2
f（x） 2 0 1
∴f（2）＝1，
f（f（2））＝f（1）＝0．
故答案为：0．
25．函数g（x+3）＝2x+3，则g（3）＝　3　．
【解答】解：∵g（x+3）＝2x+3，
∴g（3）＝g（0+3）＝2×0+3＝3，
故答案为：3．
三．解答题（共5小题）
26．已知函数是奇函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）根据题意，函数，有2x﹣1≠0，即x≠0，函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝＝＝﹣，
若f（x）为奇函数，则f（x）+f（﹣x）＝﹣＝＝1﹣a＝0，
则有a＝1，
故，
（2）根据题意，由（1）的结论y＝，变形可得2x＝，
则有2x＝＞0，解可得y＜﹣1或y＞1，
故函数的值域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
27．已知函数．
（1）判断点（3，14）是否在f（x）的图象上，并说明理由；
（2）当f（x）＝2时，求x的值；
（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心．
【解答】解：（1）∵函数，
故 ，
∴点（3，14）不在f（x）的图象上．
（2）当f（x）＝2时，即 ，解得x＝11．
（3）函数＝＝1+，
故函数的对称中心为（5，1）．
28．已知函数．
（Ⅰ）求实数a的值，使函数f（x）为奇函数；
（Ⅱ）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）∵，………………（2分）
要使函数f（x）为奇函数，需f（x）+f（﹣x）＝0，
由，………………（3分）
解得a＝1．………………（1分）
（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上为减函数；
证明：设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，
则
＝＝，………………（3分）
∵x2＞x1＞0，∴，∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． ………………（3分）
29．已知函数f（x）满足： a，b∈R，均有f（a+b）＝f（a）+f（b），且f（2）＝4．
（1）求f（0），f（4）的值；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）求f（﹣1）的值．
【解答】解：（1）令a＝b＝0，则f（0）＝2f（0），则f（0）＝0，
令a＝b＝2，则f（4）＝2f（2），则f（4）＝8，
（2）令a＝x，b＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），
即f（x）+f（﹣x）＝0，
∴f（﹣x）＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，
（3）令a＝b＝1，则f（2）＝2f（1），则f（1）＝2，
∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2．
30．已知函数，x∈[3，5]．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若不等式f（x）＞a在[3，5]上恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）是[3，5]上的单调减函数．
证明：设x1，x2∈[3，5]且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝1+﹣
＝﹣＝，
∵x2﹣x1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
则f（x）为[3，5]上的减函数；
（2）不等式f（x）＞a在[3，5]上恒成立，
等价为a＜f（x）min，
由f（x）在[3，5]递减，可得f（x）min＝f（5）＝，
因此a＜．
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