《1.3.1 单调性与最大（小）值》同步练习（含解析）

人教A版必修1《1.3.1 单调性与最大（小）值》同步练习卷
一．选择题（共15小题）
1．函数在（1，+∞）上是减函数，则实数a的范围是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，4） C．（﹣2，4] D．[4，+∞）
2．已知f（x）＝﹣x2+2ax+3与函数g（x）＝|x﹣3a|在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围为（　　）
A．[，1] B．[1，+∞）∪（﹣∞，]
C．（，1） D．[1，+∞）∪（﹣∞，）
3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　）
A．y＝x3 B．y＝2﹣x C．y＝lnx D．y＝|x|
4．已知函数f（x）对于任意x∈R都满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x1，x2∈（0，1）（x1≠x2）时，不等式＞0恒成立，若a＝，b＝log2，c＝，则下列结论正确的是（　　）
A．f（a）＞f（c）＞f（b） B．f（c）＞f（b）＞f（a）
C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（b）＞f（c）＞f（a）
5．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有＜0，则当n∈N*时，（　　）
A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） B．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）
C．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）
6．若函数f（x）＝log（﹣x2+4x+5），则f（x）的单调递增区间为（　　）
A．（2，5） B．（﹣1，2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
7．已知点（8，m）在幂函数f（x）＝（m﹣3）xa的图象上，则函数g（x）＝loga（﹣x2+mx+5）的单调减区间为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣∞，2） C．（2，5） D．（2，+∞）
8．函数y＝的单调递增区间是（　　）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[0，2] D．[1，2]
9．已知函数f（x）＝log（﹣x2+5x﹣4）在区间[m，m+1]上是减函数，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，] B．[，+∞） C．（1，] D．[，3）
10．函数f（x）＝的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[2，4]
11．关于函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．若x∈N，则函数只有最大值没有最小值
B．若x∈N，则函数只有最小值没有最大值
C．若x∈Z，则函数只有最大值没有最小值
D．若x∈Z，则函数有最小值也有最大值
12．函数f（x）＝的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．2 D．1
13．已知函数g（x）为一次函数，若 m，n∈R，有g（m+n）＝g（m）+g（n）﹣3，当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）＝log2（2x+）+g（x）的最大值与最小值之和是（　　）
A．10 B．8 C．7 D．6
14．已知函数f（x）满足f（x﹣1）＝2f（x），且x∈R，当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣x2﹣2x+3，则当x∈[1，2）时，f（x）的最大值为（　　）
A． B．1 C．0 D．﹣1
15．定义：MI表示函数y＝f（x）在I上的最大值，已知奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝x，正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则（　　）
A．M[0，a]＝2 B．M[0，a]＝9
C．a的取值范围为[4，9] D．a的取值范围为[6，9]
二．填空题（共10小题）
16．集合A＝{x|x≤5且x≠1}用区间表示　 　．
17．函数f（x）＝（a＞0）的单调递增区间是　 　．
18．若函数f（x）为R上的单调递增函数，且对任意实数x∈R，都有f[f（x）﹣ex]＝e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）＝　 　．
19．已知f（x）的定义域为R，其图象关于点（1，0）对称．当x≥1时，f（x）＝2（x﹣3），则f（﹣2），f（﹣1），f（4）的大小关系为　 　．（按从小到大的顺序书写）
20．若函数f（x）在定义域D内满足，对任意的x1，x2，x3∈D且x1+x2＞x3，有f（x1）+f（x2）＞f（x3），则称函数f（x）为“类单调递增函数”．下列函数是“类单调递增函数”的有　 　（填写所有满足题意的函数序号）．
①；②f（x）＝x2；③f（x）＝lnx；④．
21．设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣2log2x]＝4，则不等式f（x）＜6的解集为　 　．
22．已知函数f（x）＝log3（﹣x2+4x+5），则函数f（x）的单调递减区间为　 　．
23．函数f（x）＝（）的单调递减区间为　 　
24．过点P（2，1）任意作一条直线分别交x轴、y轴的正半轴于点M，N，若|OM|+|ON|﹣|MN|≤m（m∈R）恒成立，则m的最小值为 　 　．
25．已知函数f（x）＝，则＝　 　；若f（x）在x∈（a，）既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为 　 　．
三．解答题（共5小题）
26．已知函数f（x）＝为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．
27．设函数f（x）＝x﹣．
（1）证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（2）设函数g（x）＝x2﹣ax，其中a∈R，若对任意的m∈[2，4]，n∈[1，5]，都有f（m）≥g（n），试求实数a的取值范围．
28．已知函数．
（1）设函数g（x）＝f（x2﹣6x+8），求g（x）的单调递减区间；
（2）若函数h（x）＝f（3x+m﹣1）的值域为R，求m的取值范围．
29．已知函数．
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
30．已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）的最小值是f（﹣1）＝0，且f（0）＝1．
（1）设g（x）＝，求g（1）+g（﹣1）的值；
（2）在（1）的条件下求g（x）在区间[t，t+2]（t∈R）的最大值．
人教A版必修1《1.3.1 单调性与最大（小）值》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．函数在（1，+∞）上是减函数，则实数a的范围是（　　）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，4） C．（﹣2，4] D．[4，+∞）
【解答】解：根据题意，＝＝1+，必有a+2≠0，
由反比例函数y＝向左或向右平移|a﹣3|个单位，向上平移1个单位得到，
若在（1，+∞）上是减函数，则有，
解可得：﹣2＜a≤4，即a的取值范围为（﹣2，4]，
故选：C．
2．已知f（x）＝﹣x2+2ax+3与函数g（x）＝|x﹣3a|在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围为（　　）
A．[，1] B．[1，+∞）∪（﹣∞，]
C．（，1） D．[1，+∞）∪（﹣∞，）
【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2ax+3，为开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，
若f（x）在区间[1，2]上是减函数，必有a≤1，
g（x）＝|x﹣3a|＝，在区间（﹣∞，3a]上为减函数，
若g（x）在区间[1，2]上是减函数，必有3a≥2，即a≥，
综上，a的取值范围为[，1]．
故选：A．
3．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（　　）
A．y＝x3 B．y＝2﹣x C．y＝lnx D．y＝|x|
【解答】解：根据幂函数性质可知y＝x3的定义域是R且为增函数，满足题意；
y＝2﹣x＝（）x在R上单调递减，不符合题意；
y＝lnx的定义域（0，+∞），不符合题意；
y＝|x|定义域R，但不单调，不符合题意．
故选：A．
4．已知函数f（x）对于任意x∈R都满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x1，x2∈（0，1）（x1≠x2）时，不等式＞0恒成立，若a＝，b＝log2，c＝，则下列结论正确的是（　　）
A．f（a）＞f（c）＞f（b） B．f（c）＞f（b）＞f（a）
C．f（b）＞f（a）＞f（c） D．f（b）＞f（c）＞f（a）
【解答】解：因为函数f（x）对于任意x∈R都满足f（1+x）＝f（1﹣x），
所以函数图象关于x＝1对称，
因为x1，x2∈（0，1）（x1≠x2）时，不等式＞0恒成立，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，
因为a＝，b＝log2，c＝＝，
所以f（a）＝f（），f（b）＝f（log2），f（c）＝f（）＝f（2﹣），
因为0＜2﹣＜＜log2＜1，
所以f（b）＞f（a）＞f（c）．
故选：C．
5．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有＜0，则当n∈N*时，（　　）
A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1） B．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）
C．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1） D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）
【解答】解：由题意得：f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
∵0＜n﹣1＜n＜n+1，
∴f（n﹣1）＜f（n）＝f（﹣n）＜f（n+1），
故选：C．
6．若函数f（x）＝log（﹣x2+4x+5），则f（x）的单调递增区间为（　　）
A．（2，5） B．（﹣1，2） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
【解答】解：由函数f（x）＝log（﹣x2+4x+5），则u（x）＝﹣x2+4x+5＞0，解得：﹣1＜x＜5．对称轴为x＝2，
∴函数f（x）的定义域为：（﹣1，5）．
由u（x）＝﹣x2+4x+5，可得：函数u（x）在区间（﹣1，2）上单调递增，在区间（2，5）上单调递减．
而函数f（x）＝logu在（0，+∞）上单调递减．
∴f（x）的单调递增区间为（2，5）．
故选：A．
7．已知点（8，m）在幂函数f（x）＝（m﹣3）xa的图象上，则函数g（x）＝loga（﹣x2+mx+5）的单调减区间为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣∞，2） C．（2，5） D．（2，+∞）
【解答】解：由题意，m﹣3＝1，则m＝4，
∴4＝8a，得a＝log84∈（0，1），
函数g（x）＝loga（﹣x2+mx+5）化为g（x）＝loga（﹣x2+4x+5）．
令t＝﹣x2+4x+5，由t＞0，得﹣1＜x＜5，
∵外层函数y＝logat为定义域内的减函数，
而内层函数t＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝2，且在（﹣1，2）上为增函数，
∴函数g（x）＝loga（﹣x2+mx+5）的单调减区间为（﹣1，2）．
故选：A．
8．函数y＝的单调递增区间是（　　）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[0，2] D．[1，2]
【解答】解：令t＝x2﹣2x，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝1，
则函数t＝x2﹣2x在（﹣∞，1]上是减函数，
由外层函数y＝是减函数，由复合函数的单调性可得，
函数y＝的单调递增区间是（﹣∞，1]．
故选：B．
9．已知函数f（x）＝log（﹣x2+5x﹣4）在区间[m，m+1]上是减函数，则m的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，] B．[，+∞） C．（1，] D．[，3）
【解答】解：由﹣x2+5x﹣4＞0，得x2﹣5x+4＜0，得1＜x＜4，
∴函数f（x）＝log（﹣x2+5x﹣4）的定义域为（1，4），
令t＝﹣x2+5x﹣4，则外层函数y＝logt是定义域内的减函数，
要使f（x）＝log（﹣x2+5x﹣4）在区间[m，m+1]上是减函数，
则内层函数t＝﹣x2+5x﹣4在[m，m+1]上单调递增且恒大于0，
则，解得1＜m≤．
∴m的取值范围为（1，]，
故选：C．
10．函数f（x）＝的单调递减区间是（　　）
A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[2，4]
【解答】解：由4x﹣x2≥0，得x2﹣4x≤0，解得0≤x≤4．
∴函数f（x）＝的定义域为[0，4]，
令t＝﹣x2+4x，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，
则t＝﹣x2+4x在[2，4]上是减函数，又y＝是定义域内的增函数，
∴函数f（x）＝的单调递减区间是[2，4]．
故选：D．
11．关于函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．若x∈N，则函数只有最大值没有最小值
B．若x∈N，则函数只有最小值没有最大值
C．若x∈Z，则函数只有最大值没有最小值
D．若x∈Z，则函数有最小值也有最大值
【解答】解：y＝＝+，（x≠），
由反比例函数的性质得：
y在（，+∞）递减，此时y＞，
y在（﹣∞，）递减，此时y＜，
若x∈Z，则ymin在x∈（﹣∞，）上取到，
则ymin＝y|x＝2＝﹣5，
同理，ymax在x∈（，+∞）上取到，
则ymax＝y|x＝3＝8，
故x∈Z或x∈N时，函数都有最大值和最小值，
故选：D．
12．函数f（x）＝的最小值为（　　）
A．3 B．2 C．2 D．1
【解答】解：对于函数函数f（x）＝，
当x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3．在（﹣∞，1]上递减；
所以此时ymin＝f（1）＝2，
当x＞1时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，取等号，
综上可知原函数的最小值为：2．
故选：C．
13．已知函数g（x）为一次函数，若 m，n∈R，有g（m+n）＝g（m）+g（n）﹣3，当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）＝log2（2x+）+g（x）的最大值与最小值之和是（　　）
A．10 B．8 C．7 D．6
【解答】解：根据题意，设g（x）＝ax+b，
若 m，n∈R，有g（m+n）＝g（m）+g（n）﹣3，则有a（m+n）+b＝am+b+an+b﹣3，变形可得b＝3，
即g（x）＝ax+3，
设h（x）＝log2（2x+），则h（﹣x）＝log2（﹣2x），
则有h（x）+h（﹣x）＝log2（2x+）+log2（﹣2x）＝log21＝0，
函数f（x）＝log2（2x+）+g（x），设F（x）＝f（x）﹣3，
则F（x）＝log2（2x+）+ax，必有F（﹣x）+F（x）＝log2（2x+）+ax+log2（﹣2x）﹣ax＝0，
则函数F（x）为奇函数，在区间[﹣2，2]上，其最大值与最小值之和是0，
而f（x）＝log2（2x+）+g（x），则其最大值与最小值之和是6，
故选：D．
14．已知函数f（x）满足f（x﹣1）＝2f（x），且x∈R，当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝﹣x2﹣2x+3，则当x∈[1，2）时，f（x）的最大值为（　　）
A． B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：∵f（x﹣1）＝2f（x），∴f（x）＝f（x﹣1），
设1≤x＜2，则﹣1≤x﹣2＜0，
∵﹣1≤x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣2x+3，
∴f（x﹣1）＝f（x﹣2）＝[﹣（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+3]＝2f（x），
∴f（x）＝f（x﹣2）＝[﹣（x﹣2）2﹣2（x﹣2）+3]＝﹣x2+x+，
当x＝1时，f（x）max＝f（1）＝1，
故选：B．
15．定义：MI表示函数y＝f（x）在I上的最大值，已知奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝x，正数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则（　　）
A．M[0，a]＝2 B．M[0，a]＝9
C．a的取值范围为[4，9] D．a的取值范围为[6，9]
【解答】解：由题意，f（﹣x）＝﹣f（x），且f（0）＝0．
∵f（x+4）＝f（4﹣x），
∴f（x+16）＝f（x），
可得f（x）是周期函数T＝16．
当x∈（0，4]时，f（x）＝x，作出图象，
根据MI表示函数y＝f（x）在I上的最大值，
对于A，B选项：根据图象可知M[0，a]＝4，∴A，B错误；
对于C：D选项：要满足M[0，a]≥2M[a，2a]成立，即2≥M[a，2a]，
由图象可得，a≥6且2a≤18，
∴a的取值范围为[6，9]，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
16．集合A＝{x|x≤5且x≠1}用区间表示　（﹣∞，1）∪（1，5]　．
【解答】解：集合A＝{x|x≤5且x≠1}用区间表示为（﹣∞，1）∪（1，5]，
故答案为：（﹣∞，1）∪（1，5]．
17．函数f（x）＝（a＞0）的单调递增区间是　（﹣1，1）　．
【解答】解：函数f（x）＝（a＞0）
所以f′（x）＝（a＞0），
当f′（x）＞0时，（x+1）（x﹣1）＜0，解得﹣1＜x＜1．
故单调递增区间为（﹣1，1），
故答案为：（﹣1，1）．
18．若函数f（x）为R上的单调递增函数，且对任意实数x∈R，都有f[f（x）﹣ex]＝e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）＝　3　．
【解答】解：设t＝f（x）﹣ex，则f（x）＝ex+t，则条件等价为f（t）＝e+1，
令x＝t，则f（t）＝et+t＝e+1，
∵函数f（x）为单调递增函数，
∴函数为一对一函数，解得t＝1，
∴f（x）＝ex+1，即f（ln2）＝eln2+1＝2+1＝3．
故答案为：3
19．已知f（x）的定义域为R，其图象关于点（1，0）对称．当x≥1时，f（x）＝2（x﹣3），则f（﹣2），f（﹣1），f（4）的大小关系为　f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（4）　．（按从小到大的顺序书写）
【解答】解：f（x）关于（1，0）对称，
则f（﹣1）＝﹣f（3）＝0，f（﹣2）＝﹣f（4）＝﹣2，
而f（4）＝2，
故f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（4），
故答案为：f（﹣2）＜f（﹣1）＜f（4）．
20．若函数f（x）在定义域D内满足，对任意的x1，x2，x3∈D且x1+x2＞x3，有f（x1）+f（x2）＞f（x3），则称函数f（x）为“类单调递增函数”．下列函数是“类单调递增函数”的有　①④　（填写所有满足题意的函数序号）．
①；②f（x）＝x2；③f（x）＝lnx；④．
【解答】解：对于①，显然+≥＞，即f（x1）+f（x2）＞f（x3），是“类单调递增函数”；
对于②，取x1＝x2＝2，x3＝3，此时+＝8，＝9，即f（x1）+f（x2）＜f（x3），不是“类单调递增函数”；
对于③，取取x1＝x2＝x3＝1，此时lnx1+lnx2＝0，lnx3＝0，即f（x1）+f（x2）＝f（x3），不是“类单调递增函数”；
对于④，x1，x2，x3∈（0，），若，则sinx1+sinx2≥sinx1cosx2+sinx2cosx1＝sin（x1+x2）＞sinx3，
若，则0＜﹣x2＜x1＜，
sinx1+sinx2＞，
即f（x1）+f（x2）＞f（x3），是“类单调递增函数”，
所以是“类单调递增函数”的有①④，
故选：①④．
21．设f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，若对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣2log2x]＝4，则不等式f（x）＜6的解集为　（0，4）　．
【解答】解：设f（x0）＝4，则f（x）﹣2log2x＝x0，∴f（x）＝2log2x+x0，
∵f（x0）＝4，∴2log2x0+x0＝4，解得x0＝2．
∴f（x）＝2log2x+2，
∴f（x）是增函数，
f（x）＜6，即2log2x+2＜6，即log2x＜2，
解得：0＜x＜4，
故答案为：（0，4）．
22．已知函数f（x）＝log3（﹣x2+4x+5），则函数f（x）的单调递减区间为　（2，5）　．
【解答】解：∵函数f（x）＝log3（﹣x2+4x+5），令函数t（x）＝﹣x2+4x+5＞0，求得﹣1＜x＜5，
故函数f（x）的定义域为（﹣1，5），且f（x）＝log3t，
故本题即求f（x）在（﹣1，5）上的减区间．
再利用二次函数的性质可得t（x）在（﹣1，5）上的减区间为（2，5），
故答案为：（2，5）．
23．函数f（x）＝（）的单调递减区间为　[1，+∞）　
【解答】解：令t＝x2﹣2x﹣8，
∵外层函数y＝是定义域内的减函数，
∴要求函数f（x）＝（）的单调递减区间，
只需求内层函数t＝x2﹣2x﹣8的增区间，该函数的对称轴方程为x＝1，
且图象是开口向上的抛物线，则其增区间为[1，+∞），
∴函数f（x）＝（）的单调递减区间为[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
24．过点P（2，1）任意作一条直线分别交x轴、y轴的正半轴于点M，N，若|OM|+|ON|﹣|MN|≤m（m∈R）恒成立，则m的最小值为 　　．
【解答】解：设直线方程为，（a＞0，b＞0），
∵P（2，1）在直线上，
∴，
由题意，可得，
又∵
∴当且仅当a＝b时取等号，
那么，
即，
∵，
∴（a+b）（）＝3+，当且仅当a＝b时取等号，
由于其后a与b取等条件不同，
∴
故得m．
故答案为．
25．已知函数f（x）＝，则＝　﹣1　；若f（x）在x∈（a，）既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为 　[﹣3，﹣1）　．
【解答】解：根据分段函数的性质，可得f（f（））＝f（sin）＝f（﹣1）＝|﹣1+1|﹣1＝﹣1；
由已知函数解析式，可得f（）＝sin＝1，f（﹣3）＝|﹣3+1|﹣1＝1，f（﹣1）＝﹣1，
且当x＞0时，由正弦函数性质和周期定义，可得函数f（x）的周期为2，
函数f（x）的图象如图所示：
由图可知f（x）要在区间（a，）取得最大值和最小值，则a的范围是[﹣3，﹣1）．
故答案为：﹣1；[﹣3，﹣1）．
三．解答题（共5小题）
26．已知函数f（x）＝为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为f（x）＝为奇函数，x≠0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
所以，
整理可得，ax＝0，
所以a＝0，
（2）证明：由（1）可得f（x）＝＝x+，
设2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+，
＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（3）由（2）可得f（x）＝x在[2，4]上单调递增，
故f（x）max＝f（4）＝5，f（x）min＝f（2）＝4，
若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，
所以1≤m2﹣2m﹣2，
解得m≥3或m≤﹣1．
27．设函数f（x）＝x﹣．
（1）证明函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（2）设函数g（x）＝x2﹣ax，其中a∈R，若对任意的m∈[2，4]，n∈[1，5]，都有f（m）≥g（n），试求实数a的取值范围．
【解答】（1）证明：在（0，+∞）上任取x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣﹣x2+＝（x1﹣x2）（1+），
∵0＜x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）解：若对任意的m∈[2，4]，n∈[1，5]，都有f（m）≥g（n），
只需f（m）min≥g（n）max，
由（1）f（m）在[2，4]递增，故f（m）min＝f（2）＝，
对于g（x）＝x2﹣ax，对称轴是x＝，
①当≤3即a≤6时，g（n）max＝g（5）＝25﹣5a，
则25﹣5a≤，解得：≤a≤6，
②当＞3即a＞6时，g（n）max＝g（1）＝1﹣a，
故1﹣a≤，解得：a≥﹣，故a＞6，
综上：a≥．
28．已知函数．
（1）设函数g（x）＝f（x2﹣6x+8），求g（x）的单调递减区间；
（2）若函数h（x）＝f（3x+m﹣1）的值域为R，求m的取值范围．
【解答】解：（1）g（x）＝f（x2﹣6x+8）＝，
由x2﹣6x+8＞0，解得x＜2或x＞4．
令t＝x2﹣6x+8，该函数在（4，+∞）上单调递增，而外层函数y＝是定义域内的减函数，
∴g（x）的单调递减区间为（4，+∞）；
（2）h（x）＝f（3x+m﹣1）＝，
若h（x）的值域为R，则3x+m﹣1能够取到大于0的所有实数，
∴m﹣1≤0，即m≤1，
∴m的取值范围是（﹣∞，1]．
29．已知函数．
（1）若函数的定义域为R，求a的取值范围；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数 的定义域为R，∴ x∈R，x2﹣ax+a＞0，则Δ＝a2﹣4a＜0，
求得0＜a＜4，即a的取值范围为（0，4）．
（2）因为函数在区间上是增函数，
故只需f（x）＝x2﹣ax+a在上单调递减，且f（x）＞0．
则，且f（）＝，
解得，且，故 ．
30．已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）的最小值是f（﹣1）＝0，且f（0）＝1．
（1）设g（x）＝，求g（1）+g（﹣1）的值；
（2）在（1）的条件下求g（x）在区间[t，t+2]（t∈R）的最大值．
【解答】解：（1）∵，∴，则f（x）＝（x+1）2
而g（x）＝，
∴g（x）＝，得g（1）＝4，g（﹣1）＝0，
∴g（1）+g（﹣1）＝4；
（2）当t+2≤﹣1，即t≤﹣3时，
g（x）在区间[t，t+2]上单调递增，；
当t＜﹣1＜t+2＜0，即﹣3＜t＜﹣2时，
g（x）在区间[t，﹣1]上单调递增，在区间[﹣1，t+2]上单调递减，g（x）max＝g（﹣1）＝0；
当t≥﹣2时，．
综上，当t≤﹣3时，；当﹣3＜t＜﹣2时，g（x）max＝0；当t≥﹣2时，．
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