《2.2.2 对数函数及其性质》同步练习（含解析）

人教A版必修1《2.2.2 对数函数及其性质》同步练习卷
一．选择题（共15小题）
1．设a＝20.6，b＝30.4，c＝log310，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a． B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
2．已知a＝log40.9，b＝40.1，c＝0.14，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c
3．已知a＝log23，b＝log34，c＝log45，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
4．已知a＝log45，，c＝log56，则（　　）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
5．已知，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
6．已知a＝log35，，c＝5﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
7．若a＝（）﹣1，b＝log23，c＝（）0.3，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
8．设a＝20.5，b＝log43，c＝cos，则（　　）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
9．已知函数f（x）＝|log2（x﹣1）|，若x1≠x2，f（x1）＝f（x2），则＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
10．若logab＞1，其中a＞0且a≠1，b＞1，则（　　）
A．0＜a＜1＜b B．1＜a＜b C．1＜b＜a D．1＜b＜a2
11．已知函数f（x）＝log3（x+2），若a＞b＞c＞0，则的大小关系（　　）
A． B．
C． D．
12．已知实数x，y满足log2x+e﹣y＜log2y+e﹣x，则下列结论一定正确的是（　　）
A．x＞y B．ln|x﹣y|＜0 C．ln|x﹣y+1|＞0 D．ln|y﹣x+1|＞0
13．设a∈R，若f（x）＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝（　　）
A．7 B．3 C．1 D．﹣1
14．设函数f（x）＝eax与g（x）＝blnx的图象关于直线x﹣y＝0对称，其中a，b∈R且a＞0，则a，b满足（　　）
A．a+b＝2 B．a＝b＝1 C．ab＝1 D．
15．已知函数，若实数a满足，则a的取值范围（　　）
A．[1，3] B． C．（0，3] D．
二．填空题（共10小题）
16．已知55＜84，134＜85，设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则a，b，c的大小关系为 　 　．
17．设a＝log49，b＝2﹣1.2，c＝，则将a，b，c按从大到小排序：　 　．
18．函数f（x）＝（0≤x≤）的最大值为　 　．
19．若函数f（x）＝﹣5loga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P．则点P的坐标是　 　．
20．对指数函数、幂函数、对数函数增长的对比知：若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定要ax　 　xn　 　logax（填≥，＞，≤，＜）．
21．已知函数f（x）＝loga（2x﹣1）+3的图象过定点P，且角α的终边过点P，始边与x轴的正半轴重合，则tan3α的值为　 　．
22．已知函数（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x﹣b的图象上，则b＝　 　．
23．幂函数f（x）的图象过点（4，2），其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝　 　．
24．已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是　 　．
25．对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范围是　 　．
三．解答题（共5小题）
26．比较logn（n+1）与log（n+1）（n+2）（n∈N*，n≥2）大小，并证明．
27．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图象上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC垂直于y轴．
（1）当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求﹣的最大值．
28．已知函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）计算的值．
29．已知y＝f（x）是y＝2x的反函数．
（1）若在区间[1，2]上存在x0使得方程成立，求实数a的取值范围；
（2）设b＞0，若对，函数g（x）＝f（bx+1）﹣f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求b的取值范围．
30．上世纪30年代，查尔斯 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是40，规定标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（四舍五入至个位）（已知数据：lg2≈0.301，100.9≈7.943）．
人教A版必修1《2.2.2 对数函数及其性质》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．设a＝20.6，b＝30.4，c＝log310，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．c＜b＜a． B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【解答】解：a＝20.6＝（23）0.2＝80.2，
b＝30.4＝（32）0.2＝90.2，
∵80.2＜90.2，
∴a＜b，
∵c＝log310＞log39＝2，∴c＞2，
∵，
∴a＜b＜c，
故选：D．
2．已知a＝log40.9，b＝40.1，c＝0.14，则（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【解答】解：因为a＝log40.9＜0，b＝40.1＞1，c＝0.14∈（0，1），
则b＞c＞a，
故选：B．
3．已知a＝log23，b＝log34，c＝log45，则（　　）
A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【解答】解：令f（x）＝（x＞1），
所以＝
由于x＞1，
所以f′（x）＜0，
故f（2）＞f（3）＞f（4），即a＞b＞c．
故选：A．
4．已知a＝log45，，c＝log56，则（　　）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【解答】解：∵log56＞0，log45＞0，
∴＜，
∴log56＜log45＜log416＝2，
又，
∴b＞a＞c．
故选：D．
5．已知，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
【解答】解：a＝log0.27＜0，b＝0.29∈（0，1），c＝5ln2＞1．
故c＞b＞a．
故选：D．
6．已知a＝log35，，c＝5﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【解答】解：因为a＝log35＞1，＜0，c＝5﹣0.2∈（0，1），
则a＞c＞b．
故选：A．
7．若a＝（）﹣1，b＝log23，c＝（）0.3，则（　　）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【解答】解：∵，，，
∴c＜a＜b．
故选：D．
8．设a＝20.5，b＝log43，c＝cos，则（　　）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【解答】解：∵20.5＞1，0＝log41＜log43＜log44＝1，，
∴a＞b＞c．
故选：C．
9．已知函数f（x）＝|log2（x﹣1）|，若x1≠x2，f（x1）＝f（x2），则＝（　　）
A． B．1 C．2 D．
【解答】解：∵f（x）＝|log2（x﹣1）|，且x1≠x2，f（x1）＝f（x2），
故可设1＜x1＜x2，
∴﹣log2（x1﹣1）＝log2（x2﹣1），
∴log2（x1﹣1）（x2﹣1）＝0＝log21，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝1＝x1 x2﹣（x1+x2）+1，
∴x1 x2＝x1+x2，
∴＝1，
故选：B．
10．若logab＞1，其中a＞0且a≠1，b＞1，则（　　）
A．0＜a＜1＜b B．1＜a＜b C．1＜b＜a D．1＜b＜a2
【解答】解：由于logab＞1，其中a＞0且a≠1，且b＞1，
则a＞1，对数函数y＝logax为单调递增函数，
则：logab＞logaa＝1，
所以b＞a＞1．
故选：B．
11．已知函数f（x）＝log3（x+2），若a＞b＞c＞0，则的大小关系（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵函数f（x）＝log3（x+2），
则 可分别看作（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c）） 与原点连线的斜率，
如图：当a＞b＞c＞0时，
有＜＜，
故选：A．
12．已知实数x，y满足log2x+e﹣y＜log2y+e﹣x，则下列结论一定正确的是（　　）
A．x＞y B．ln|x﹣y|＜0 C．ln|x﹣y+1|＞0 D．ln|y﹣x+1|＞0
【解答】解：∵实数x，y满足log2x+e﹣y＜log2y+e﹣x，则 log2x﹣e﹣x＜log2y﹣e﹣y，
再根据f（x）＝log2x﹣e﹣x为（0，+∞）上的增函数，∴x＜y，
∴y﹣x+1＞1，∴ln|y﹣x+1|＞0，
故选：D．
13．设a∈R，若f（x）＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），则a＝（　　）
A．7 B．3 C．1 D．﹣1
【解答】解：若y＝log2（x+a）的反函数的图象经过点（3，1），
则函数y＝log2（x+a）的图象经过点（1，3），
即log2（a+1）＝3，
解得：a＝7，
故选：A．
14．设函数f（x）＝eax与g（x）＝blnx的图象关于直线x﹣y＝0对称，其中a，b∈R且a＞0，则a，b满足（　　）
A．a+b＝2 B．a＝b＝1 C．ab＝1 D．
【解答】解：设A（x，eax）是函数f（x）＝eax图象上任意一点，
则它关于直线x﹣y＝0对称的点在函数g（x）＝blnx的图象上，
所以x＝blneax＝abx，
即ab＝1，
故选：C．
15．已知函数，若实数a满足，则a的取值范围（　　）
A．[1，3] B． C．（0，3] D．
【解答】解：函数，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）为偶函数，
若实数a满足，即 f（log3a）+f（﹣log3a）≤2f（1），f（log3a）≤f（1），
∴|log3a|≤1，即﹣1≤log3a≤1，故≤a≤3，
故选：D．
二．填空题（共10小题）
16．已知55＜84，134＜85，设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则a，b，c的大小关系为 　a＜b＜c　．
【解答】解：∵134＜85，
∴4ln13＜5ln8，即＝log138，
∴c，
∵55＜84，
同理可知，，即b＜，
∵a＝log53＝，
∴a﹣b＝＝＝ln＜0，
∴a＜b，
综上a
故答案为：a＜b＜c
17．设a＝log49，b＝2﹣1.2，c＝，则将a，b，c按从大到小排序：　a＞c＞b　．
【解答】解：∵，，2﹣1.2＜20＝1，
∴a＞c＞b．
故答案为：a＞c＞b．
18．函数f（x）＝（0≤x≤）的最大值为　0　．
【解答】解：令y＝﹣3x2+x+＝﹣3（x﹣）2+，
对称轴为x＝∈[0，]，
当x＝时，ymax＝，
当x＝时，ymin＝1，
∴函数f（x）＝（0≤x≤）的最大值为：log1＝0，
故答案为：0．
19．若函数f（x）＝﹣5loga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P．则点P的坐标是　（2，2）　．
【解答】解：函数f（x）＝﹣5loga（x﹣1）+2（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，
令x﹣1＝1，解得x＝2，
当x＝2时，f（2）＝2．
故定点P（2，2）．
故答案为：（2，2）．
20．对指数函数、幂函数、对数函数增长的对比知：若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定要ax　＞　xn　＞　logax（填≥，＞，≤，＜）．
【解答】解：由于a＞1，则函数y＝ax为增函数，而y＝xn在n＞0时也是增函数，
不过该函数的增长速度要比函数y＝ax的增长速度小，
根据函数y＝ax与y＝logax互为反函数，得到它们的图象关于直线直线y＝x对称，
可知当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是ax＞xn＞logax，
故答案为：＞，＞．
21．已知函数f（x）＝loga（2x﹣1）+3的图象过定点P，且角α的终边过点P，始边与x轴的正半轴重合，则tan3α的值为　　．
【解答】解：对于函数f（x）＝loga（2x﹣1）+3的，令2x﹣1＝1，求得x＝1，f（x）＝3，
可得函数f（x）＝loga（2x﹣1）+3的图象过定点P（1，3），
∵角α的终边过点P，始边与x轴的正半轴重合，
∴tanα＝3，∴tan2α＝＝﹣，
则tan3α＝tan（α+2α）＝＝，
故答案为：．
22．已知函数（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x﹣b的图象上，则b＝　　．
【解答】解：对于 ，令x+3＝1，求得x＝﹣2，则y＝，
所以函数（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（﹣2，），
若点A也在函数f（x）＝3x﹣b的图象上，
则 ＝3﹣2﹣b，求得b＝﹣，
故答案为：﹣．
23．幂函数f（x）的图象过点（4，2），其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（3）＝　9　．
【解答】解：令幂函数解析式为y＝xa，又幂函数的图象过点（4，2），
∴2＝4a，
∴a＝
∴幂函数的解析式为y＝，
那么f（9）＝3，即原函数过（9，3），
所以其反函数过（3，9）
故答案为：9．
24．已知函数f（x）＝x2﹣3tx+1，其定义域为[0，3]∪[12，15]，若函数y＝f（x）在其定义域内有反函数，则实数t的取值范围是　（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）　．
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣3tx+1的对称轴为x＝，
若 ≤0，即 t≤0，则 y＝f（x）在定义域上单调递增，所以具有反函数；
若 ≥15，即 t≥10，则 y＝f（x）在定义域上单调递减，所以具有反函数；
当3≤≤12，即 2≤t≤8时，由于区间[0，3]关于对称轴的对称区间是[3t﹣3，3t]，
于是当 或 ，即t∈[2，4）或t∈（6，8]时，
函数在定义域上满足1﹣1对应关系，具有反函数．
综上，t∈（﹣∞，0]∪[2，4）∪（6，8]∪[10，+∞）．
25．对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范围是　（1，2）∪（2，5）　．
【解答】解：∵对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0；
故需： x的取值范围是：（1，2）∪（2，5）．
故答案为：（1，2）∪（2，5）．
三．解答题（共5小题）
26．比较logn（n+1）与log（n+1）（n+2）（n∈N*，n≥2）大小，并证明．
【解答】证明：logn（n+1）＝1+logn＞1+logn+1＞1+logn+1＝log（n+1）（n+2），（n∈N*，n≥2），
故logn（n+1）＞log（n+1）（n+2），（n∈N*，n≥2），得证．
27．如图，过函数f（x）＝logcx（c＞1）的图象上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝logmx（m＞c＞1）的图象交于点C，且AC垂直于y轴．
（1）当a＝2，b＝4，c＝3时，求实数m的值；
（2）当b＝a2时，求﹣的最大值．
【解答】解：（1）由题意，得A（2，log32），B（4，log34），C（4，logm4），
因为AC垂直于y轴，所以AC与x轴平行，所以logm4＝log32．所以m＝9．
（2）由题意，得A（a，logca），B（b，logcb），C（b，logmb），
因为AC平行于x轴，所以logmb＝logca，
因为b＝a2，所以m＝c2，所以﹣＝﹣＝﹣（﹣1）2+1，
所以＝1时，﹣的最大值为1．
28．已知函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）计算的值．
【解答】解：（I）∵函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1）的图象过点，
∴，∴，∴；
（II）由（I）知，a＝，
∴＝．
29．已知y＝f（x）是y＝2x的反函数．
（1）若在区间[1，2]上存在x0使得方程成立，求实数a的取值范围；
（2）设b＞0，若对，函数g（x）＝f（bx+1）﹣f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求b的取值范围．
【解答】解：（1）由题知f（x）＝log2x，
由得，
所以，，
∵xo∈[1，2]，
∴a∈[3，8]．
（2）当0＜x1＜x2时，，
所以，，
因为，
所以，y＝g（x）在（0，+∞）上单调递减．
∴，
即bt2+（b+1）t﹣1≥0，对任意恒成立．
∵b＞0，y＝bt2+（b+1）t﹣1的图象为开口向上，且对称轴为的抛物线．
∴y＝bt2+（b+1）t﹣1在区间上单调递增．
∴时，，
由，得．
30．上世纪30年代，查尔斯 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA﹣lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）．
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是40，规定标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级（精确到0.1）；
（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（四舍五入至个位）（已知数据：lg2≈0.301，100.9≈7.943）．
【解答】解：（1）M＝lg40﹣lg0.001＝lg＝lg40000＝2lg2+lg104≈4.6，
因此，这次地震的震级为4.6级；
（2）由M＝lgA﹣lgA0，得M＝lg，即，则A＝，
当M＝7.9时，地震的最大振幅为，
当M＝5时，地震的最大振幅为，
则＝102+0.9＝102×100.9≈100×7.943≈794．
所以7.9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的794倍．
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