《3.1.1 方程的根与函数的零点》同步练习（含解析）

人教A版必修1《3.1.1 方程的根与函数的零点》同步练习卷
一．选择题（共15小题）
1．设函数f（x）＝x+lgx满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），f（x）的零点为x0，则下列选项中一定错误的是（　　）
A．x0∈（a，c） B．x0∈（a，b） C．x0∈（b，c） D．x0∈（c，+∞）
2．若2lgx+lg2＝1，则x的值是（　　）
A． B． C．或 D．
3．函数f（x）＝ex+x+1零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）
4．已知函数f（x）＝|x﹣a|+（a≠0）．当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣，0） B．[0，] C．[，0] D．[，0]
5．设x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（k，k+1），k∈Z，则k＝（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
6．已知函数f（x）＝lnx+x﹣4，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（ 1，2） C．（2，3） D．（3，4）
7．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣a的两个零点分别在区间（﹣1，0）和内，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．（0，1） C．（ln2，1） D．
8．函数f（x）＝x3﹣x+5的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，1）
9．函数f（x）＝log2x+x+1的零点所在的区间是（　　）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，1）
10．已知函数﹣x（x＞0）的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
11．已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在区间上存在两个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．a≥9 D．
12．已知y＝f（x）定义域为R的偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程2020[f（x）]2﹣（2020a+2021）f（x）+2021a＝0有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．0＜a＜1或 B．0≤a≤1或
C．0＜a≤1或 D．或a＝0
13．设函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A． B．（，4] C．（2，4） D．（2，6）
14．已知函数f（x）＝，则k∈（0，1）时，关于x的方程f[f（x）]＝k的根的个数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
15．已知函数f（x）＝，若恰有3个互不相同的实数x1，x2，x3，使得＝2，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＞﹣ B．﹣＜a＜0 C．a≥0 D．a≥0或a＝﹣
二．填空题（共10小题）
16．已知x2﹣5x＝14，则（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1＝　 　．
17．方程|x﹣1|+|x﹣3|＝2的解集为　 　．
18．已知，则x＝　 　．
19．方程2x＝32的解为　 　．
20．已知函数f（x）＝（1﹣e）（x﹣1）（x﹣3）﹣a有两个零点x1，x2（x1≠x2），g（x）＝x﹣ln（a+1）﹣1有唯一零点x3，且（x1﹣x3）（x2﹣x3）＜0，则实数a的取值范围是　 　．
21．若函数f（x）＝2x2﹣﹣2在区间（m﹣1，m）（m∈N）内存在零点，则m＝　 　．
22．若函数的零点为x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a的值为　 　．
23．函数f（x）＝cos2x﹣λsinx在（0，nπ）上有101个零点，则λ＝　 　，n＝　 　．
24．已知方程9x|x|﹣ax+1＝0恰有3个解，则a的取值范围为　 　．
25．已知函数f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，则x12x2+x1x22的值为　 　．
三．解答题（共5小题）
26．已知a＞1，函数f（x）＝loga（3﹣x）+loga（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．
27．在 ①②③这三个条件任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知______，若函数f（x）为奇函数，且函数y＝f（ax﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，求m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
28．（1）作出f（x）＝x|x﹣4|的图象，并讨论方程f（x）＝m的实根的个数；
（2）已知函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a（a∈R），若存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
29．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）＝．
（1）求a，b；
（2）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）＝0有三个不同的实数解，求k的范围．
30．已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣a．
（1）若函数g（x）恰有三个不相同的零点，求实数a的值；
（2）记h（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜1时，求h（a）的取值范围．
人教A版必修1《3.1.1 方程的根与函数的零点》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．设函数f（x）＝x+lgx满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），f（x）的零点为x0，则下列选项中一定错误的是（　　）
A．x0∈（a，c） B．x0∈（a，b） C．x0∈（b，c） D．x0∈（c，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝x+lgx的定义域为{x|x＞0}，函数是增函数，
满足f（a）f（b）f（c）＜0（a＜b＜c），说明f（a），f（b），f（c），
有1个是负数一定是f（a），两个正数或3个负数，
由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a，c），在（a，b），在（c，+∞），
不可能在（b，c）．
故选：C．
2．若2lgx+lg2＝1，则x的值是（　　）
A． B． C．或 D．
【解答】解：∵2lgx+lg2＝1 2lgx＝1﹣lg2＝lg5 lgx＝lg5＝lg，
∴x＝．
故选：B．
3．函数f（x）＝ex+x+1零点所在的区间是（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（﹣2，﹣1） D．（1，2）
【解答】解：函数f（x）＝ex+x+1是连线增函数，
f（﹣2）＝e﹣2﹣2+1＜0，f（﹣1）＝e﹣1﹣1+1＞0，
由函数零点的存在性定理，函数f（x）＝ex+x+1的零点所在的区间为（﹣2，﹣1）．
故选：C．
4．已知函数f（x）＝|x﹣a|+（a≠0）．当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣，0） B．[0，] C．[，0] D．[，0]
【解答】解：当a＜时，函数g（x）＝f（x）+|2x﹣1|有零点，
即为|x﹣a|++|2x﹣1|＝0，
即有|x﹣a|+|2x﹣1|＝﹣，
由|x﹣a|+|2x﹣1|＝|x﹣a|+|x﹣|+（|x﹣|）≥|x﹣a﹣x+|+|﹣|＝|a﹣|，
当x＝时，上式取得等号，
则|a﹣|≤﹣，且a＜0，
由a＜，可得﹣a≤﹣，
化为2a2﹣a﹣1≤0，
解得﹣≤a＜0，
即a的取值范围是[﹣，0）．
故选：A．
5．设x0是函数f（x）＝2x+3x的零点，且x0∈（k，k+1），k∈Z，则k＝（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【解答】解：由函数的解析式可得f（﹣1）＝﹣3＝﹣＜0，f（0）＝1﹣0＝1＞0，f（﹣1）f（0）＜0．
且函数在R上是连续增函数，故函数f（x）在（﹣1，0）上存在唯一零点，
故k＝﹣1，
故选：C．
6．已知函数f（x）＝lnx+x﹣4，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（ 1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【解答】解：函数f（x）＝lnx+x﹣4，是连续增函数，又f（2）＝ln2+2﹣4＜0，
f（3）＝ln3+3﹣4＞0，
可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）＝lnx+x﹣4包含零点的区间是：（2，3）．
故选：C．
7．已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣a的两个零点分别在区间（﹣1，0）和内，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．（0，1） C．（ln2，1） D．
【解答】解：函数F（x）＝f（x）﹣a的两个零点分别在区间（﹣1，0）和内，
∴，
即，
解得＜a＜ln2，
故选：A．
8．函数f（x）＝x3﹣x+5的零点所在的区间为（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0） D．（0，1）
【解答】解：由函数f（x）＝x3﹣x+5是连续函数，
函数的解析式得f（﹣3）＝﹣19＜0，f（﹣2）＝﹣1＜0，f（﹣1）＝5＞0，∴f（﹣2）f（﹣1）＜0，
根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间为（﹣2，﹣1），
故选：B．
9．函数f（x）＝log2x+x+1的零点所在的区间是（　　）
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，1）
【解答】解：∵连续函数f（x）＝log2x+x+1在（0，+∞）上单调递增，
∵f（）＝log2++1＝log2+＝log2（ ）＝＜＜0，
f（）＝log2++1＝＞0，
f（）f（）＜0，
∴f（x）＝log2x+x+1的零点所在的区间为（，），
故选：C．
10．已知函数﹣x（x＞0）的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【解答】解：根据题意，对于h（x）＝x3﹣x，（x＞0），其零点为c，则有c3﹣c＝0，解可得c＝1，
对于f（x）＝（）x﹣x，其零点为a，则有a＝（）a，
对于g（x）＝﹣x，其零点为b，则有b＝，变形可得b＝（）b，
结合指数函数的性质可得0＜b＜a＜1，
则有c＞a＞b，
故选：B．
11．已知关于x的方程ax2+（a﹣3）x+1＝0在区间上存在两个实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．a≥9 D．
【解答】解：显然a≠0，可设f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1，
当a＞0时，＞，且f（）＝a++1＞0，且△＝（a﹣3）2﹣4a≥0，
即为0＜a＜且a＞，且a≥9或a≤1，
则＜a≤1；
当a＜0时，＞，且f（）＝a++1＜0，且△＝（a﹣3）2﹣4a≥0，
即为0＜a＜且a＜，且a≥9或a≤1，
则a∈ ．
综上可得，a的取值范围是＜a≤1．
故选：B．
12．已知y＝f（x）定义域为R的偶函数，当x≥0时，，若关于x的方程2020[f（x）]2﹣（2020a+2021）f（x）+2021a＝0有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．0＜a＜1或 B．0≤a≤1或
C．0＜a≤1或 D．或a＝0
【解答】解：画出函数y＝f（x）的图象如图：
由2020[f（x）]2﹣（2020a+2021）f（x）+2021a＝0，可得，
有图象知当时，由于，所以有四个根，
关于x的方程2020[f（x）]2﹣（2020a+2021）f（x）+2021a＝0仅有个6不同实数根，所以f（x）＝a有两个根，
由图象知，当0＜a≤1或时，f（x）＝a有两个根，
故选：C．
13．设函数f（x）＝，若互不相等的实数x1，x2，x3，满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（　　）
A． B．（，4] C．（2，4） D．（2，6）
【解答】解：画出函数f（x）的大致图象，如图所示
，
不妨设x1＜x2＜x3，则x2和x3关于直线x＝2对称，
∴x2+x3＝4，
令2x+3＝﹣1得：x＝﹣2，
∴﹣2＜x1＜0，
∴x1+x2+x3的取值范围为：﹣2+4＜x1+x2+x3＜0+4，即x1+x2+x3∈（2，4），
故选：C．
14．已知函数f（x）＝，则k∈（0，1）时，关于x的方程f[f（x）]＝k的根的个数是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：令t＝f（x），则原方程可化为f（t）＝k，k∈（0，1）．
当t≤0时，可得﹣t＝k，解得t1＝﹣k∈（﹣1，0）；
当t＞0时，有﹣t2+2t＝k，此时f（t）＝﹣t2+2t在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，且f（0）＝f（2）＝0，f（1）＝1；
结合k∈（0，1）可知，方程在（0，1）和（1，2）上各有一个根t2，t3，不妨设t2∈（0，1），t3∈（1，2）．
做出函数f（x）以及y＝ti，（i＝1，2，3）的图象如右图：
由图象可知，它们共有五个交点，故原方程共有5个根．
故选：B．
15．已知函数f（x）＝，若恰有3个互不相同的实数x1，x2，x3，使得＝2，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＞﹣ B．﹣＜a＜0 C．a≥0 D．a≥0或a＝﹣
【解答】解：设g（x）＝（x≠0），
∵恰有3个互不相同的实数x1，x2，x3，使得＝2，
∴g（x）＝2恰好3个解，
（1）当x＜0时，g（x）＝，则g′（x）＝，
令g′（x）＝0可得x＝﹣，
∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当﹣＜x＜0时，g′（x）＞0，
∴g（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，
又g（﹣）＝＝＝＜＜2，
∴g（x）＝2在（﹣∞，0）上有2解，
∴g（x）＝2在（0，+∞）上只有1解，
（2）当x＞0时，由g（x）＝2可得a＝﹣，
令h（x）＝﹣（x＞0），则h′（x）＝，
∴当0＜x＜e时，h′（x）＜0，当x＞e时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
故h（x）的最小值为h（e）＝﹣，
又当0＜x＜1时，h（x）＝﹣＞0，当x＞1时，h（x）＜0，
作出h（x）的大致函数图象如图所示：
∵g（x）＝2在（0，+∞）上只有1解，
∴直线y＝a与y＝h（x）的图象只有1个交点，
∴a≥0或a＝﹣．
故选：D．
二．填空题（共10小题）
16．已知x2﹣5x＝14，则（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1＝　15　．
【解答】解：（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1＝2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1＝x2﹣5x+1，
当x2﹣5x＝14时，原式＝14+1＝15，
故答案为：15．
17．方程|x﹣1|+|x﹣3|＝2的解集为　[1，3]　．
【解答】解：令f（x）＝|x﹣1|+|x﹣3|，
由绝对值的几何意义：数轴上的点到1，3的距离之和，
可知函数f（x）的最小值为：2，当且仅当x∈[1，3]时，取最小值2．
∴方程|x﹣1|+|x﹣3|＝2的解集为[1，3]．
故答案为：[1，3]．
18．已知，则x＝　4　．
【解答】解：∵，
∴x＝＝（23）＝4．
故答案为：4．
19．方程2x＝32的解为　x＝5　．
【解答】解：根据题意，若2x＝32，则x＝log232＝5，
故方程2x＝32的解为x＝5，
故答案为：x＝5．
20．已知函数f（x）＝（1﹣e）（x﹣1）（x﹣3）﹣a有两个零点x1，x2（x1≠x2），g（x）＝x﹣ln（a+1）﹣1有唯一零点x3，且（x1﹣x3）（x2﹣x3）＜0，则实数a的取值范围是　（0，e﹣1）　．
【解答】解：∵函数f（x）＝（1﹣e）（x﹣1）（x﹣3）﹣a有两个零点x1，x2（x1≠x2），
∴x1+x2＝4，，
△＝b2﹣2ac＝16（1﹣e）2﹣4（1﹣e）（3﹣3e﹣a）＞0，即a＜e﹣1，
∵函数g（x）＝x﹣ln（a+1）﹣1有唯一零点x3，
∴x3＝ln（a+1）+1，a＞﹣1，
∵（x1﹣x3）（x2﹣x3）＜0，∴＜0，
∴＜0，
令ln（a+1）＝t，t＜1，则a＝et﹣1，
∴＜0，即＜0，
令h（t）＝，则h′（t）＝，
h′（t）为增函数，且h′（0）＝﹣2+＜0，h′（1）＝＞0，
故存在t0∈（0，1），使得h′（t0）＝0，
∴在（﹣∞，t0）上，h′（t0）＜0，在（t0，1）上，h′（t0）＞0，
∴h（t）在（﹣∞，t0）上单调递减，在（t0，1）上单调递增，
又∵h（0）＝0，h（1）＝0，
∴h（t）＜0的解集为（0，1），即0＜ln（a+1）＜1，
∴1＜a+1＜e，解得0＜a＜e﹣1．
∴实数a的取值范围为（0，e﹣1）．
故答案为：（0，e﹣1）．
21．若函数f（x）＝2x2﹣﹣2在区间（m﹣1，m）（m∈N）内存在零点，则m＝　2　．
【解答】解：当x＜0时，函数f（x）＝2x2﹣﹣2＝2x2+﹣2≥3﹣2＝＞0，
所以函数f（x）＝2x2﹣﹣2在x＜0时，没有零点，
当x＞0时，y＝2x2﹣2是增函数，y＝﹣是增函数，所以函数f（x）＝2x2﹣﹣2是单调增函数，
f（1）＝﹣3＜0，f（2）＝8﹣﹣2＞0，所以f（1）f（2）＜0，
函数的零点在（1，2）之间，
所以m＝2．
故答案为：2．
22．若函数的零点为x0，且x0∈（a，a+1），a∈Z，则a的值为　﹣3　．
【解答】解：由f（﹣1）＝＞0，f（﹣2）＝＞0，f（﹣3）＝＜0，
及零点存在定理知f（x）的零点在区间（﹣3，﹣2）上，
∴零点所在的一个区间是（a，a+1）＝（﹣3，﹣2）
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
23．函数f（x）＝cos2x﹣λsinx在（0，nπ）上有101个零点，则λ＝　1　，n＝　67　．
【解答】解：f（x）＝cos2x﹣λsinx＝1+2sin2x﹣λsinx，
令sinx＝t，则h（t）＝﹣2t2﹣λt+1，因为Δ＝λ2+8＞0，开口向上，知h（t）＝0必有两互异根t1，t2，且 ，
若两根绝对值都小于1，由y＝sinx在（O，nπ）上的图象特点可知f（x）的零点个数必然是偶数，不符合题意，
同理若一根绝对值都大于1，一根绝对值小于1，f（x）的零点个数必然也是偶数，不符合题意，
因此必然有一根绝对值为1，接下来进行讨论：
①若一根为1，则另一根为，则，λ＝﹣1，结合y＝sinx在（0，nπ）上的图象特点知，
sinx＝1和 在每周期2π内有3个零点，
而101＝33×3+2，即33个周期后再出现两个零点，
n＝66时区间（0，66π）内有33×3＝99个零点，
n＝67时区间（0，67π）内有33×3+1＝100个零点，
n＝68时区间（0，67π）内有34×3＝102个零点，
均不符合题意，
②若一根为﹣1，则另一根为，则，λ＝﹣1，
结合y＝sinx在（0，nπ）上的图象特点知，sinx＝﹣1和 在每周期2π内有3个零点，
而101＝33×3+2，即33个周期后再出现两个零点，
n＝66时区间（0，66π）内有33×3＝99个零点，
n＝67时区间（0，67π）内有33×3+2＝101个零点，
n＝68时区间（0，66π）内有34×3＝102个零点，
因此，要使f（x）在（0，nπ）上有101个零点，
则有λ＝1，n＝67．
故答案为：1，67．
24．已知方程9x|x|﹣ax+1＝0恰有3个解，则a的取值范围为　（6，+∞）　．
【解答】解：x＝0显然不是方程9x|x|﹣ax+1＝0的解，
则x≠0，由9x|x|﹣ax+1＝0，得a＝9|x|+．
令g（x）＝9|x|+＝，
作出函数g（x）的图象如图：
由图可知，要使方程9x|x|﹣ax+1＝0恰有3个解，则a的取值范围为（6，+∞）．
故答案为：（6，+∞）．
25．已知函数f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，则x12x2+x1x22的值为　1　．
【解答】解：∵f（x）＝x2+x﹣1的两个零点分别为x1和x2，
∴x1和x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣1，x1 x2＝﹣1，
∴x12x2+x1x22＝x1 x2 （x1+x2）＝1．
故答案为：1．
三．解答题（共5小题）
26．已知a＞1，函数f（x）＝loga（3﹣x）+loga（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点；
（Ⅲ）若函数f（x）的最大值为2，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）＝loga（3﹣x）+loga（1+x），必有，解可得﹣1＜x＜3，
即函数的定义域为（﹣1，3），
（Ⅱ）f（x）＝loga（3﹣x）+loga（1+x），若f（x）＝loga（3﹣x）+loga（1+x）＝0，
即loga[（3﹣x）（1+x）]＝0，即（3﹣x）（1+x）＝1，
解可得：x＝1+或x＝1﹣，
即函数f（x）的零点为1+或1﹣，
（Ⅲ）f（x）＝loga（3﹣x）+loga（1+x）＝loga[（3﹣x）（1+x）]＝loga（﹣x2+2x﹣3），
设t＝﹣x2+2x+3，x∈（﹣1，3），
则t＝﹣（x﹣1）2+4≤4，有最大值4，
又由a＞1，则函数f（x）有最大值loga4，则有loga4＝2，解可得a＝2，
故a＝2．
27．在 ①②③这三个条件任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
已知______，若函数f（x）为奇函数，且函数y＝f（ax﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，求m的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解答】选①：
因为f（x）是奇函数，且定义域为R，则f（0）＝a﹣＝0，
所以a＝1，
则f（x）＝1﹣，易知f（x）在R上是增函数，
所以f（x）有唯一零点0，
因为函数y＝f（x﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，
所以x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，
所以m＝x，即m∈（﹣2，3），
故实数m的取值范围为（﹣2，3）；
选②：
∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝log4（）+log4（）＝0，
解得a＝1，
∴f（x）＝log4（），易知f（x）在R上是增函数，
∴f（x）有唯一零点0，
∵函数y＝f（x﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，
∴x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，
∴m＝x，即m∈（﹣2，3），
故m的取值范围为（﹣2，3）；
选③：
当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝log3（﹣x+1），
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，解得a＝﹣1，
∴f（x）＝，易知f（x）在R上是增函数，
∴f（x）有唯一零点0，
∵函数y＝f（﹣x﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，
∴﹣x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，
∴m＝﹣x，即m∈（﹣3，2），
故实数m的取值范围为（﹣3，2）．
28．（1）作出f（x）＝x|x﹣4|的图象，并讨论方程f（x）＝m的实根的个数；
（2）已知函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a（a∈R），若存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）＝x|x﹣4|＝，
其图象如图：
由图可知，当m∈（﹣∞，0）∪（4，+∞）时，方程f（x）＝m有1个实根，
当m＝0或4时，方程f（x）＝m有2个实根，
当m∈（0，4）时，方程f（x）＝m有3个实根；
（2）函数f（x）＝x|x﹣a|﹣a（a∈R），
命题若存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立的否定为 x∈[3，5]，使f（x）≥0成立．
下面求使命题 x∈[3，5]，使f（x）≥0成立的a的范围．
①若a＜3，则x＝3时，f（x）在[3，5]上取得最小值，f（3）＝3（3﹣a）﹣a＝9﹣4a，
∴9﹣4a≥0，即a≤；
②若3≤a≤5，则x＝a时，f（x）取得最小值为f（a）＝﹣a，﹣a＜0不满足f（x）≥0恒成立；
③若a＞5，f（x）min＝min{f（3），f（5）}＝min{3（a﹣3）﹣a，5（a﹣5）﹣a}≥0，
解得a．
综上可得， x∈[3，5]，使f（x）≥0成立的a的范围是（﹣∞，]∪[），
则存在x∈[3，5]，使f（x）＜0成立的a的取值范围为（）．
29．已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）＝．
（1）求a，b；
（2）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）＝0有三个不同的实数解，求k的范围．
【解答】解：（1）因为a＞0，且函数g（x）的对称轴为x＝1，
则函数g（x）在区间[2，3]上单调递增，
所以，解得a＝1，b＝0；
（2）已知方程可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+1+2k＝0，
令|2x﹣1|＝t，则方程化为：t2﹣（2+3k）t+1+2k＝0，
设方程的两根分别为t1，t2，
因为方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）＝0，有三个不同的实数解
由t＝|2x﹣1|的图象可知，t2﹣（2+3k）t+1+2k＝0，（t≠0）的两个根满足：
0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，
记F（t）＝t2﹣（2+3k）t+1+2k，
则或
，解得k＞0．
30．已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣a．
（1）若函数g（x）恰有三个不相同的零点，求实数a的值；
（2）记h（a）为函数g（x）的所有零点之和．当﹣1＜a＜1时，求h（a）的取值范围．
【解答】解：（1）作出函数f（x）的图象，如图所示：
由图象可知，当且仅当a＝2或a＝﹣2时，
直线y＝a与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，
∴函数g（x）恰有三个不相同的零点，
a＝2或a＝﹣2．
（2）由f（x）的图象可知，当﹣1＜a＜1时，
g（x）有6个不同的零点，
设由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，
则由对称性可得x1+x2＝﹣10，x5+x6＝10，
x3是方程﹣3﹣x+7﹣a＝0的解，
x4是方程3x﹣7﹣a＝0的解，
∴h（a）＝﹣10﹣log3（7﹣a）+log3（7+a）+10，
＝log3，
当﹣1＜a＜1时，＝﹣1∈（，）
∴h（a）∈（1﹣2log32，2log32﹣1）．
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