《3.1.2 用二分法求方程的近似解》同步练习（含解析）

人教A版必修1《3.1.2 用二分法求方程的近似解》同步练习卷
一．选择题（共15小题）
1．若函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）上，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
2．用二分法求函数f（x）＝ln（2x+6）+2﹣3x零点时，用计算器得到如表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f（x） 1.0794 0.1918 ﹣0.3604 ﹣0.9989
则由表中数据，可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（　　）
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
3．用二分法求函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣1在区间[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，函数f（x）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0），P（x3，0），Q（x4，0）四点，则不能用二分法求出的f（x）的零点是（　　）
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
5．已知函数f（x）＝ln（x+2）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表：
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f（x） ﹣1.307 ﹣0.084 ﹣0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法，方程ln（x+2）+2x﹣m＝0的近似解（精确度0.05）可能是（　　）
A．0.625 B．﹣0.009 C．0.5625 D．0.066
6．某同学求函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
x 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625
f（x） ﹣1.3069 1.0986 ﹣0.084 0.512 0.215 0.066
则方程lnx+2x﹣6＝0的近似解（精确度0.1）可取为（　　）
A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75
7．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（　　）
A． B． C． D．
8．用二分法判断方程2x3+3x﹣3＝0在区间（0，1）内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：0.753＝0.421875，0.6253＝0.24414）（　　）
A．0.25 B．0.375 C．0.635 D．0.825
9．下面关于二分法的叙述中，正确的是（　　）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
10．下列函数中能用二分法求零点的是（　　）
A． B．
C． D．
11．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）
A． B．
C． D．
12．函数f（x）＝lgx﹣的零点所在的区间可能是（　　）
A．（1，2） B．（2，5） C．（5，10） D．（10，100）
13．已知函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且在区间（a，b）内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间（a，b）等分的次数至少为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn]（n∈N）上，当|an﹣bn|＜m时，函数的零点近似值x0＝与真实零点a的误差最大不超过（　　）
A． B． C．m D．2m
15．函数f（x）＝x2+2x+c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
二．填空题（共9小题）
16．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，用二分法判断方程f（x）＝0在区间（﹣1，1）内至少有　 　个实数解．
17．用“二分法”求方程x3﹣2x﹣5＝0在区间[2，4]内的实根，取区间中点为x0＝3，那么下一个有根区间是　 　．
18．在10枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　 　次就可以发现这枚假币．
19．为了求函数f（x）＝2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如表所示：
x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625
f（x） ﹣0.8716 ﹣0.5788 ﹣0.2813 0.2101 0.32843 0.64115
则方程2x+3x＝7的近似解（精确到0.1）可取　 　．
20．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点（不含端点A，B），如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测　 　次．
21．已知f（x）＝x2﹣5满足f（2.2）＜0，用二分法求方程x2﹣5＝0的近似正实数根为　 　．（精确度为0.1）
22．用二分法研究函数f（x）＝x3+ln（x+）的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（）＞0，可得其中一个零点x0∈　 　，第二次应计算　 　．
23．用二分法求方程x3﹣x2﹣1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该实数根所在的区间为　 　．
24．已知函数f（x）＝x3﹣2x﹣2，f（1） f（2）＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f（x0）＝　 　．
三．解答题（共5小题）
25．你认为数0.9991000会落在下面四个区间[0，）、[，）、[，）和[，1]中的哪一个？为什么？
26．用二分法求方程lnx﹣3＝﹣x在（2，3）内的根的近似值．（精确度0.01）
27．用二分法求方程x3﹣x﹣1＝0在区间[1，1.5]内的一个近似解（误差不超过0.001）．
28．已知x0是函数f（x）＝2x+的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），求f（x1）和f（x2）与0的大小关系．
29．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量比真金的略轻）．现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？
人教A版必修1《3.1.2 用二分法求方程的近似解》2021年最热同步卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．若函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点在区间（k，k+1）（k∈Z）上，则k的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【解答】解：∵f（1）＝ln2﹣2＜0，f（2）＝ln3﹣1＞0，
∴f（1）f（2）＜0
∴函数的零点在（1，2）之间，
∵函数f（x）＝ln（x+1）﹣的零点在区间（k，k+1）（k∈z）上，
∴k＝1，
又y＝ln（x+1）与y＝在（﹣1，0）有交点，∴k＝﹣1
∴k的值为﹣1或1．
故选：A．
2．用二分法求函数f（x）＝ln（2x+6）+2﹣3x零点时，用计算器得到如表：
x 1.00 1.25 1.375 1.50
f（x） 1.0794 0.1918 ﹣0.3604 ﹣0.9989
则由表中数据，可得到函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（　　）
A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875
【解答】解：在区间（1.00，1.50）之间，根据零点存在性定理有零点，
取中点1.25，（1.00，1.25）不满足，取（1.25，1.50），
再取中点1.375，（1.25，1.375）满足零点存在性定理，
再取中点（1.25+1.375）÷2＝1.3125，
故选：B．
3．用二分法求函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣1在区间[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解答】解：根据题意，原来区间[0，1]的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，
则经过n次操作后，区间的长度为，
若＜0.01，即n≥7；
故选：B．
4．如图，函数f（x）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0），P（x3，0），Q（x4，0）四点，则不能用二分法求出的f（x）的零点是（　　）
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
【解答】解：由图象可知，在x＝x2附近，函数f（x）均大于0，故x2不能用二分法求出．
故选：B．
5．已知函数f（x）＝ln（x+2）+2x﹣m（m∈R）的一个零点附近的函数值的参考数据如表：
x 0 0.5 0.53125 0.5625 0.625 0.75 1
f（x） ﹣1.307 ﹣0.084 ﹣0.009 0.066 0.215 0.512 1.099
由二分法，方程ln（x+2）+2x﹣m＝0的近似解（精确度0.05）可能是（　　）
A．0.625 B．﹣0.009 C．0.5625 D．0.066
【解答】解：设近似根为x0，函数f（x）＝ln（x+2）+2x﹣m（﹣2，+∞）递增，
因为f（0.53125）＜0，f（0.5625）＞0，所以x0∈（0.53125，0.5625）；
故选：C．
6．某同学求函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
x 2 3 2.5 2.75 2.625 2.5625
f（x） ﹣1.3069 1.0986 ﹣0.084 0.512 0.215 0.066
则方程lnx+2x﹣6＝0的近似解（精确度0.1）可取为（　　）
A．2.52 B．2.625 C．2.47 D．2.75
【解答】解：方程lnx+2x﹣6＝0的解等价于函数f（x）＝lnx+2x﹣6＝0的零点，
由表格中数据可知，f（2.5）＜0，f（2.5625）＞0，
由零点存在性定理得，存在x∈（2，5，2.5625），可使得f（x）＝0，即lnx+2x﹣6＝0．
故选：A．
7．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由二分法求方程的适用范围
当函数的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解
分析题目中的四个函数图象
A，B，D的图象均在x轴的两侧，故可以用二分法进行求解
只有C的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解
故选：C．
8．用二分法判断方程2x3+3x﹣3＝0在区间（0，1）内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：0.753＝0.421875，0.6253＝0.24414）（　　）
A．0.25 B．0.375 C．0.635 D．0.825
【解答】解：设f（x）＝2x3+3x﹣3，
∴f（0）＝﹣3＜0，f（1）＝2+3﹣3＝2＞0，
∵f（0.5）＝2×0.53+3×0.5﹣3＜0，
∴f（x） 在（0，0.5）内有零点，
∵f（0.75）＝2×0.753+3×0.75﹣3＞0
∴f（x） 在（0.5，0.75）内有零点，
∴方程2x3+3x﹣3＝0根可以是0.635，
故选：C．
9．下面关于二分法的叙述中，正确的是（　　）
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只能用二分法求函数的零点
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；
对于B，用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故选项B正确；
对于C，二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；’、
对于D，求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误；
故选：B．
10．下列函数中能用二分法求零点的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，图象要穿过x轴．
故只有C选项成立．
故选：C．
11．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：当函数的图象在x轴的同一侧时，不能用二分法进行求解．
选项A、B、D的图象均在x轴的两侧，可用二分法求解，
只有选项C的图象在x轴的同一侧，不能用二分法求解．
故选：C．
12．函数f（x）＝lgx﹣的零点所在的区间可能是（　　）
A．（1，2） B．（2，5） C．（5，10） D．（10，100）
【解答】解：∵函数f（x）＝lgx﹣（x＞0）是连续函数，
且f（5）＝lg5﹣＜0，
f（10）＝lg10﹣＝＞0，
故函数的零点所在区间为（5，10），
故选：C．
13．已知函数y＝f（x）在区间[a，b]上连续不断，并且在区间（a，b）内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间（a，b）等分的次数至少为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：设需要进行n次计算，则，即2n＞2，
∴n的最小值为2．
故选：B．
14．用二分法求函数的零点，函数的零点总位于区间[an，bn]（n∈N）上，当|an﹣bn|＜m时，函数的零点近似值x0＝与真实零点a的误差最大不超过（　　）
A． B． C．m D．2m
【解答】解：根据题意，函数的零点总位于区间[an，bn]（n∈N）上，即a∈[an，bn]，零点近似值x0＝，
若a∈[an，]，则|x0﹣a|＝|﹣a|≤||＝|﹣an|＝||＝，即有|x0﹣a|≤；
同理当a∈[，bn]时，也有|x0﹣a|≤；
综合可得：|x0﹣a|≤，函数的零点近似值x0＝与真实零点a的误差最大不超过；
故选：B．
15．函数f（x）＝x2+2x+c有零点，但不能用二分法求出，则c的值是（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【解答】解：f（x）＝x2+2x+c有零点，但不能用二分法求出，
则x2+2x+c＝0，有两个相等的实数根，则△＝4﹣4c＝0，解得c＝1，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
16．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1，用二分法判断方程f（x）＝0在区间（﹣1，1）内至少有　1　个实数解．
【解答】解：∵f（﹣1）＝﹣1+3+1＝3＞0，f（0）＝1＞0，f（1）＝1﹣3+1＝﹣1＜0，
∴f（0） f（1）＜0，
∴方程f（x）＝0在区间（0，1）上，
∴方程f（x）＝0在区间（﹣1，1）内至少有1个实数解，
故答案为：1．
17．用“二分法”求方程x3﹣2x﹣5＝0在区间[2，4]内的实根，取区间中点为x0＝3，那么下一个有根区间是　[2，3]　．
【解答】解：根据题意，令f（x）＝x3﹣2x﹣5，
f（2）＝﹣1，f（3）＝16，f（4）＝51，f（2） f（3）＜0，
所以下一个有根的区间是[[2，3]．
故答案为：[2，3]．
18．在10枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称　3　次就可以发现这枚假币．
【解答】解：①分2组，每组5枚，用天平称出质量较轻的一组，
②把5枚分成一组2枚，另一组也2枚，把两组放入托盘中，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那2枚硬币里面，
③用天平称出轻的一枚即可，
所以最多称3次．
故答案为：3．
19．为了求函数f（x）＝2x+3x﹣7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f（x）的部分对应值，如表所示：
x 1.25 1.3125 1.375 1.4375 1.5 1.5625
f（x） ﹣0.8716 ﹣0.5788 ﹣0.2813 0.2101 0.32843 0.64115
则方程2x+3x＝7的近似解（精确到0.1）可取　1.4　．
【解答】解：由题表知，f（1.375） f（1.4375）＜0，且1.4375和1.375精确到0.1均为1.4，
所以方程的一个近似解可取为1.4．
20．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点（不含端点A，B），如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测　6　次．
【解答】解：第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6．
故答案为：6．
21．已知f（x）＝x2﹣5满足f（2.2）＜0，用二分法求方程x2﹣5＝0的近似正实数根为　2.2　．（精确度为0.1）
【解答】解：设方程x2﹣5＝0的近似正实数根为x1，
∵f（2.2）＜0，f（3）＝4＞0，∴x1∈（2.2，3），
∵f（）＝f（2.65）＞0，∴x1∈（2.2，2.65），
如此继续下去，得：
f（2.2） f（2.425）＜0 x1∈（2.2，2.425），
f（2.2） f（2.3125）＜0 x1∈（2.2，2.3125），
f（2.2） f（2.256）＜0 x1∈（2.2，2.256），
f（2.228） f（2.256）＜0 x1∈（2.228，2.256），
f（2.228） f（2.242）＜0 x1∈（2.228，2.242），
∵2.228，2.242精确到0.1的近似值都为2.2，
∴方程x2﹣5＝0的近似正实数根为2.2．
故答案为：2.2．
22．用二分法研究函数f（x）＝x3+ln（x+）的零点时，第一次经计算f（0）＜0，f（）＞0，可得其中一个零点x0∈　（0，）　，第二次应计算　f（）　．
【解答】解：∵f（0）＜0，f（）＞0，
∴f（0）f（）＜0，
∴其中一个零点x0∈（0，）；
第二次应计算的f（x）的值为f（）＝f（）；
故答案为：（0，），f（）．
23．用二分法求方程x3﹣x2﹣1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间（1，2）内，则下一步可断定该实数根所在的区间为　（1，）　．
【解答】解：令f（x）＝x3﹣x2﹣1，
则f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝3＞0，f（）＝＞0，
由f（）f（1）＜0知根所在区间为（1，）．
故答案为：（1，）．
24．已知函数f（x）＝x3﹣2x﹣2，f（1） f（2）＜0，用二分法逐次计算时，若x0是[1，2]的中点，则f（x0）＝　﹣1.625　．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣2x﹣2，
若x0是[1，2]的中点，则x0＝1.5，f（x0）＝f（1.5）＝﹣1.625．
故答案为：﹣1.625．
三．解答题（共5小题）
25．你认为数0.9991000会落在下面四个区间[0，）、[，）、[，）和[，1]中的哪一个？为什么？
【解答】解：∵（1+）n＝e，
令n＝﹣n可得＝（1﹣）﹣n＝e﹣1，
数列an＝（1﹣）n的极限为e﹣1≈0.368，
0.9991000＝（1﹣）1000＝a100，
∴这个数的极限是接近0.368，
故0.9991000会落在[，）．
26．用二分法求方程lnx﹣3＝﹣x在（2，3）内的根的近似值．（精确度0.01）
【解答】解：令f（x）＝lnx+x﹣3，在（2，3）内单调递增，因此存在唯一零点x0∈（2，3）．
f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0．
f（）＝ln﹣＞0，∴x0∈（，3）．
f（）＝ln﹣＞0，∴x0∈（，）．
所以x0≈2.73．
27．用二分法求方程x3﹣x﹣1＝0在区间[1，1.5]内的一个近似解（误差不超过0.001）．
【解答】设f（x）＝x3﹣x﹣1，
f（1）＝﹣1＜0，f（1.5）＝0.875＞0，
区间 区间中点 函数值符号 精确度
[1，1.5] 1.25 f（1.25）≈﹣0.297＜0，f（1.5）＝0.875＞0 1.5﹣1.25＝0.25＞0.001
[1.25，1.5] 1.375 f（1.375）≈0.225＞0，f（1.25）≈﹣0.297＜0 1.375﹣1.25＝0.125＞0.001
[1.25，1.375] 1.3125 f（1.3125）≈﹣0.052＜0，f（1.375）≈0.225＞0 1.375﹣1.3125＝0.0625＞0.001
[1.3125，1.375] 1.34375 f（1.34375）≈0.083＞0，f（1.3125）≈﹣0.052＜0， 1.34375﹣1.3125＝0.03125＞0.001
[1.3125，1.34375] 1.328125 f（1.328125）≈0.0146＞0，f（1.3125）≈﹣0.052＜0， 1.328125﹣1.3125＝0.015625＞0.001
[1.3125，1.328125] 1.3203125 f（1.3203125）≈﹣0.0187＜0，f（1.328125）≈0.0146＞0， 1.328125﹣1.3203125＝0.0078＞0.001
[1.3203125，1.328125] 1.32421875 f（1.32421875）≈﹣0.002＜0，f（1.328125）≈0.0146＞0， 1.328125﹣1.32421875≈0.0039＞0.001
[1.32421875，1，328125] 1.32617188 f（1.32617188）≈0.006＞0，f（1.32421875）≈﹣0.002＜0， 1.32617188﹣1.32421875≈0.00195＞0.001
[1.32421875，1.32617188] 1.32519532 f（1.32519532）≈0.002＞0，f（1.32421875）≈﹣0.002＜0， 1.32519532﹣1.32421875≈0.00098＜0.001
所以方程x3﹣x﹣1＝0在区间[1，1.5]内的一个近似解为1.32519532．
28．已知x0是函数f（x）＝2x+的一个零点，若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），求f（x1）和f（x2）与0的大小关系．
【解答】解：由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠1}，且f′（x）＝2xln2+＞0，
∴函数f（x）在（﹣∞，1）、（1，+∞）上单调递增，
∵f（x0）＝0，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），
∴f（x1）＜f（x0）＝0＜f（x2）．
即：f（x1）＜0，f（x2）＞0．
29．在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（质量比真金的略轻）．现只有一台天平，请问：利用二分法的思想，你至多几次就一定可以找出这枚假币？
【解答】解：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则轻的那一枚即是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．
故答案为：4．
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